1、 第 1 页 共 13 页 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性 说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者 不是这个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集 合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较 它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4 集合元素的三个特性使集合本身
2、具有了确定性和整体性。 3、集合的表示： 如我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋 1. 用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 2集合的表示方法：列举法与描述法。 注意啊：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A 记作 aA ，相反，a 不属于集合 A 记作 aA 列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示
3、集合的方法。用 确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 数学式子描述法：例：不等式 x-32 的解集是xR| x-32或x| x-32 4、集合的分类： 1有限集 含有有限个元素的集合 2无限集 含有无限个元素的集合 3空集 不含任何元素的集合 例：x|x2=5 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系子集 注意： 有两种可能（1）A 是 B 的一部分，；（2）A 与 B 是同一集合。 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A B 或 B A 2“相等”关系(55，且 55，则 5=5) 实例：设 A=x|x2-1=
4、0 B=-1,1 “元素相同” 结论：对于两个集合 A 与 B，如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，同时, 集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素，我们就说集合 A 等于集合 B，即：A=B 任何一个集合是它本身的子集。AA 真子集:如果 AB,且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作 A B(或 B A) 如果 AB, BC ,那么 AC 如果 AB 同时 BA 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 第 2 页 共 13 页 三、集合的运算 1交集的定义：一般地，由所有属于 A 且
5、属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的 交集 记作 AB(读作”A 交 B”)，即 AB=x|xA，且 xB 2、并集的定义：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫 做 A,B 的并集。记作：AB(读作”A 并 B”)，即 AB=x|xA，或 xB 3、交集与并集的性质：AA = A, A= , AB = BA，AA = A, A= A ,AB = BA. 4、全集与补集 （1）补集：设 S 是一个集合，A 是 S 的一个子集（即 ），由 S 中所有不属于 A 的元 素组成的集合，叫做 S 中子集 A 的补集（或余集） 记作： CSA 即 CSA =x |
6、xS 且 xA （2）全集：如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以 看作一个全集。通常用 U 来表示。 （3）性质：CU(C UA)=A (C UA)A= 二、函数的有关概念 1 函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f，使对于集 合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作： y=f(x)，xA其中，x 叫做自变量，x 的取 值范围 A 叫做函数的定义域； 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值， 函数值的集合f(x)| x A 叫做函数的值域
7、 注意：2 如果只给出解析式 y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是 指能使这个式子有意义的实数的集合；3 函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式 定义域补充 能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式 组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对 数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是 由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么， 它的定义域是使各部分都有意义的 x 的 值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保
8、证 实际问题有意义. (又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 再注意：（1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域由于值域是由定义域 和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函 数相等（或为同一函数） （2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致， 而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：表达式相同；定义域 一致 (两点必须同时具备) (见课本 21 页相关例 2) 值域补充 (1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先 考虑其定义域. (2).应熟
9、悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的 值域，它是求解复杂函数值域的基础。 3. 函数图象知识归纳 第 3 页 共 13 页 (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的点 P(x，y)的集合 C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象 C 上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系 y=f(x)，反过来，以满足 y=f(x)的每一组 有序实数对 x、y 为坐标的点(x，y)，均在 C 上 . 即记为 C= P(x,y) | y= f(x) , xA 图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与
10、Y轴的直线 最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。 (2) 画法 A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出 x,y 的一些对应值并列表，以(x,y)为 坐标在坐标系内描出相应的点 P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来. B、图象变换法（请参考必修 4 三角函数） 常用变换方法有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变 (3)作用： 1、直观的看出函数的性质；2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高解题的 速度。发现解题中的错误。 4快去了解区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的 数轴表示 5什么叫做映射 一般地，设 A、B 是两个非
11、空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映像。记作“f：A B” 给定一个集合 A 到 B 的映像，如果 aA,bB.且元素 a 和元素 b 对应，那么，我们 把元素 b 叫做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象 说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，集合 A、B 及对应法则 f 是确定的；对应法则有“方向性”，即强调从集合 A 到集合 B 的对应，它与从 B 到 A 的对应关系一般是不同的；对于映射 f：AB 来说，则应满足：
12、（）集合 A 中的每 一个元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一的；（）集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个；（）不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 常用的函数表示法及各自的优点： 1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断 一个图形是否是函数图象的依据；2 解析法：必须注明函数的定义域；3 图象法：描点 法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；4 列表法： 选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征 注意啊：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出 函数值 补充一：
13、分段函数 （参见课本 P24-25） 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必 须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函 数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情 况（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域 是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集 补充二：复合函数 如果 y=f(u),(uM),u=g(x),(xA),则 y=fg(x)=F(x)，(xA) 称为 f、g 的复 合函数。 第 4 页 共 13 页 例如: y=2sinX y=2cos(X2+
14、1) 7函数单调性 （1）增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变 量 x1，x2，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数。区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间（睇清楚课本单调区间的概念） 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1， x2， 当 x1x2 时， 都有 f(x1)f(x2)， 那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间. 注意：1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 2 必须是对于区间 D 内的任意两
15、个自变量 x1， x2； 当 x1x2 时， 总有 f(x1)f(x2) 。 （2） 图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数， 那么说函数 y=f(x)在这一区间上具 有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左 到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法： 1 任取 x1，x2D，且 x11， 且 * 当 是奇数时， 正数的 次方根是一个正数， 负数的 次方根是一个负数 此时， 的 次 方根用符号 表示式子 叫做根式（radical），这里 叫做根指数（radical exponent）， 叫做被开方数（ra
16、dicand） 当 是偶数时，正数的 次方根有两个，这两个数互为相反数此时，正数 的正的 次 方根用符号 表示，负的 次方根用符号 表示正的 次方根与负的 次方根可以合并成 （ 0）由此可得：负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作 。 注意：当 是奇数时， ，当 是偶数时， 2分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： 0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义 指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数， 那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂 （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数 叫做指数函数（expon
17、ential ），其中 x 是自 变量，函数的定义域为 R 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 1 图象特征 函数性质 1.向 x、y 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为 R 2.图象关于原点和 y 轴不对称 非奇非偶函数 第 6 页 共 13 页 3.函数图象都在 x 轴上方 4.函数的值域为 R+ 5.函数图象都过定点（0，1） 6.自左向右看图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降 图象上升趋势是越来越陡 图象上升趋势是越来越缓 函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快； 函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢； 注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出： （1
18、）在a，b上， 值域是 或 ； （2）若 ，则 ； 取遍所有正数当且仅当 ； （3）对于指数函数 ，总有 ； （4）当 时，若 ，则 ； 二、对数函数 （一）对数 1对数的概念：一般地，如果 ，那么数 叫做以 为底 的对数，记作： （ 底 数， 真数， 对数式） 两个重要对数： 1 常用对数：以 10 为底的对数 ； 2 自然对数：以无理数 为底的对数的对数 （二）对数函数 1、对数函数的概念：函数 ，且 叫做对数函数，其中 是自变量，函数的定义域是 （0，+） 注意：1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。 图象特征，函数性质 1.函数图象都在 y 轴右侧 函数的定义域为（
19、0，） 2.图象关于原点和 y 轴不对称 非奇非偶函数 3.向 y 轴正负方向无限延伸 函数的值域为 R 4.函数图象都过定点（1，0） 自左向右看，图象逐渐上升，自左向右看，图象逐渐下降 （三）幂函数 1、幂函数定义：一般地，形如 的函数称为幂函数，其中 为常数 2、幂函数性质归纳 （1）所有的幂函数在（0，+）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2） 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间 上是增函数特别地，当 时，幂 函数的图象下凸；当 时，幂函数的图象上凸； （3） 时，幂函数的图象在区间 上是减函数在第一象限内，当 从右边趋向原点 时，图象在 轴右方无限地逼近 轴正半轴，当 趋于
20、时，图象在 轴上方无限地逼近 轴 正半轴 第三章 函数的应用 、方程的根与函数的零点 第 7 页 共 13 页 1、函数零点的概念：对于函数 ，把使 成立的实数 叫做函数 的零点。 2、函数零点的意义：函数 的零点就是方程 实数根，亦即函数 的图象与 轴交点的 横坐标。即： 方程 有实数根 函数 的图象与 轴有交点 函数 有零点 3、函数零点的求法： 求函数 的零点： 1 （代数法）求方程 的实数根； 2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的图象联系起来，并利 用函数的性质找出零点 4、二次函数的零点： 二次函数 1）0，方程 有两不等实根，二次函数的图象与 轴有两个交点，二
21、次函数有两 个零点 2）0，方程 有两相等实根（二重根），二次函数的图象与 轴有一个交点，二 次函数有一个二重零点或二阶零点 高一数学必修 4 3）0，方程 无 正角:按逆时针方向旋转形成的角 1、任意角 负角:按顺时针方向旋转形成的角 零角:不作任何旋转形成的角 2、角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第 几象限，则称为第几象限角 第一象限角的集合为 36036090 ,kkk 第二象限角的集合为 36090360180 ,kkk 第三象限角的集合为 360180360270 ,kkk 第四象限角的集合为 360270360360 ,kkk 终边在x轴上的角的集合为 1
22、80 ,kk 终边在y轴上的角的集合为 18090 ,kk 终边在坐标轴上的角的集合为 90 ,kk 3、与角终边相同的角的集合为 360,kk 4、已知是第几象限角，确定 * n n 所在象限的方法：先把各象限均 分n等份，再从x轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则 原来是第几象限对应的标号即为 n 终边所落在的区域 第 8 页 共 13 页 P x y A O M T 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度 6、半径为r的圆的圆心角所对弧的长为l，则角的弧度数的绝对值是 l r 7、弧度制与角度制的换算公式：2360，1 180 ， 180 157.3 8、若扇形的
23、圆心角为 为弧度制，半径为r，弧长为l，周长为C，面 积为S，则lr，2Crl， 2 11 22 Slrr 9、设是一个任意大小的角，的终边上任意一点的坐标是, x y，它与 原点的距离是 22 0r rxy，则sin y r ，cos x r ，tan0 y x x 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三 象限正切为正，第四象限余弦为正 11、三角函数线：sin，cos，tan 12、同角三角函数的基本关系： 22 1 sincos1 2222 sin1 cos,cos1 sin ； sin 2tan cos sin sintancos ,cos tan 13、
24、三角函数的诱导公式： 1 sin 2sink，cos 2cosk，tan 2tankk 2 sinsin，coscos，tantan 3 sinsin，coscos，tantan 4 sinsin，coscos，tantan 口诀：函数名称不变，符号看象限 5 sincos 2 ，cossin 2 6 sincos 2 ，cossin 2 口诀：奇变偶不变，符号看象限 14、函数sinyx的图象上所有点向左（右）平移个 第 9 页 共 13 页 单位长度，得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有 点的横坐标伸长（缩短）到原来的 1 倍（纵坐标不变） ，得到函数sinyx 的图象
25、；再将函数sinyx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来 的倍（横坐标不变） ，得到函数sinyx 的图象 函数sinyx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的 1 倍（纵坐标 不变） ，得到函数 sinyx的图象； 再将函数sinyx的图象上所有点向左 （右） 平移 个 单位长度，得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上 所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变） ，得到函数 sinyx 的图象 函数sin0,0yx 的性质： 振幅：；周期： 2 ；频率： 1 2 f ；相位：x； 初相： 函数sinyx ，当 1 xx时，取得最小值为 min y ；当 2 xx
26、时， 取得最大值为 max y， 则 ma xmi n 1 2 yy ， maxmin 1 2 yy ， 2112 2 xxxx 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质： sinyx cosyx tanyx 图 象 定 义 域 R R , 2 x xkk 值 域 1,1 1,1 R 函 数 性 质 第 10 页 共 13 页 最 值 当 2 2 xk k 时 ， max 1y； 当 2 2 xk k时， min 1y 当2xkk 时， max 1y；当 2xk k时， min 1y 既无最大值也无 最小值 周 期 性 2 2 奇 偶 性 奇函数 偶函数 奇函数 单 调 性 在 2,2
27、22 kk k上是增函 数；在 3 2,2 22 kk k上是减函 数 在 2,2kkk上 是增函数；在 2,2kk k上是减函数 在 , 22 kk k上是增函 数 对 称 性 对称中心 ,0kk 对称轴 2 xkk 对称中心 ,0 2 kk 对称轴 xkk 对称中心 ,0 2 k k 无对称轴 16、向量：既有大小，又有方向的量 数量：只有大小，没有方向的量 有向线段的三要素：起点、方向、长度 零向量：长度为0的向量 单位向量：长度等于1个单位的向量 平行向量（共线向量） ：方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平 第 11 页 共 13 页 行 相等向量：长度相等且方向相同的向量 17
28、、向量加法运算： 三角形法则的特点：首尾 相连 平行四边形法则的特点： 共起点 三角形不等式：ababab 运算性质：交换律：abba；结合律： abcabc； 00aaa 坐 标 运 算 ： 设 11 ,ax y， 22 ,bxy， 则 1212 ,abxxyy 18、向量减法运算： 三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量 坐 标 运 算 ： 设 11 ,ax y， 22 ,bxy， 则 1212 ,abxxyy 设、两点的坐标分别为 11 ,x y， 22 ,xy，则 1212 ,xxyy 19、向量数乘运算： 实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a aa； 当
29、0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方 向相反；当0时，0a 运算律： aa ； aaa； abab 坐标运算：设,ax y，则,ax yxy 20、向量共线定理：向量 0a a 与b共线，当且仅当有唯一一个实数， 使ba b a C abCC 第 12 页 共 13 页 设 11 ,ax y， 22 ,bxy，其中0b ，则当且仅当 1221 0 x yx y时，向量 a、 0b b 共线 21、平面向量基本定理：如果 1 e、 2 e是同一平面内的两个不共线向量，那么 对于这一平面内的任意向量a， 有且只有一对实数 1 、 2 ， 使 1 12 2 aee （不 共线的向量
30、 1 e、 2 e作为这一平面内所有向量的一组基底） 22、分点坐标公式：设点是线段 12 上的一点， 1 、 2 的坐标分别是 11 ,x y， 22 ,xy，当 12 时，点的坐标是 1212 , 11 xxyy 23、平面向量的数量积： cos0,0,0180a ba bab零向量与任一向量的数量积为 0 性质：设a和b都是非零向量，则0aba b 当a与b同向时， a ba b；当a与b反向时，a ba b ； 2 2 a aaa或aa a a ba b 运 算 律 ： a bb a； aba bab； abca cb c 坐标运算：设两个非零向量 11 ,ax y， 22 ,bxy，
31、则 1 21 2 a bxxy y 若,ax y，则 2 22 axy，或 22 axy 设 11 ,ax y， 22 ,bxy，则 1 212 0abx xy y 设a、b都是非零向量， 11 ,ax y， 22 ,bxy，是a与b的夹角，则 1212 2222 1122 cos x xy ya b a bxyxy 24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： coscoscossinsin； coscoscossinsin； 第 13 页 共 13 页 sinsincoscossin； sinsincoscossin； tantan tan 1 tantan （tantantan1 tantan） ； tantan tan 1 tantan （tantantan1 tantan） 25、二倍角的正弦、余弦和正切公式： sin22sincos 2222 cos2cossin2cos1 1 2sin （ 2 cos21 cos 2 ， 2 1 cos2 sin 2 ） 2 2tan tan2 1 tan 26、 22 sincossin ，其中tan 实根，二次函数的图象与 轴无交点，二次函数无零点
