1、第 1 页 共 15 页 高一数学必修 1 各章知识点总结 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性： (1)确定性如：世界上最高的山 (2)互异性如：由 HAPPY 的字母组成的集合H,A,P,Y (3)无序性: 如：a,b,c和a,c,b是表示同一个集合 3.集合的表示： 如：我校的篮球队员，太平 洋,大西洋,印度洋,北冰洋 (1)用 拉 丁 字 母 表 示 集 合 ： A= 我 校 的 篮 球 队 员,B=1,2,3,4,5 (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集） 记作：N
2、 正整数集：N *或 N+， 整数集：Z 有理数集：Q 实数 集：R 1）列举法：a,b,c 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在 大括号内表示集合的方法。xR| x-32 ,x| x-32 3）语言描述法： 例：不是直角三角形的三角形 4）Venn 图: 4、集合的分类： (1)有限集：含有有限个元素的集合 注意： 不是空集不是空集，而是含有元素的一个集合 (2)无限集：含有无限个元素的集合 (3)空集：不含任何元素的集合。只有一种表示方法，即 例：x|x 2=5 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系子集 注意：BA有两种可能（1）A 是 B 的一部分，；（2）A 与 B 是
3、同一集合。 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记 作 A B 或 B A 2“相等”关系：A=B (55，且 55，则 5=5) 实例： 设 A=x|x 2-1=0 B=-1,1 “元素相同则两集 合相等” 第 2 页 共 15 页 即： 任何一个集合是它本身的子集。AA 真子集:如果 AB,且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真 子集，记作 AB(或 BA) 如果 AB, BC ,那么 AC 如果 AB 同时 BA 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的空集是任何非空
4、集合的 真子集真子集。 有有 n n 个元素的集合， 含有个元素的集合， 含有 2 2 n n个子集， 个子集， 2 2 n n- -1 1 个真子集 个真子集,2,2 n n- -2 2 个非空真子集 个非空真子集。 三、集合的运算 运算 类型 交 集 （相同的部分） 并 集 （两者之和） 补 集 （剩余的部分） 定 义 由所有属于 A 且 属于 B 的元素所 组成的集合,叫 做A,B的交集 记 作 AB（读作A 交 B ） ， 即 AB= x|xA ， 且 xB 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元 素所组成的集合， 叫 做A,B的 并 集 记作： AB （读 作A 并 B），即 AB
5、 =x|xA，或 xB) 设 S 是一个集合，A 是 S 的一个子集， 由 S中所有不属于 A的 元素组成的集合， 叫 做S中子集A的补集 （或余集） 记作ACS，即 CSA=,|AxSxx且 韦 恩 图 示 AB 图 1 A B 图 2 S A S A 第 3 页 共 15 页 性性 质质 AA=A A= AB=BA ABA ABB AA=A A=A AB=BA AB ABB (C(Cu uA) A) (C(Cu uB)B) = C= Cu u (A(AB)B) (C(Cu uA) A) (C(Cu uB)B) = C= Cu u(A(AB)B) A (CuA)=U A (CuA)= 例题：
6、 1.下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自 身的实数 2.集合a，b，c 的真子集共有 个 3.若集合 M=y|y=x 2-2x+1,xR,N=x|x0，则 M 与 N 的关系是 . 4.设集合 A= 1 2xx ，B= x x a，若 AB，则a的取值范围是 5.50 名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得 正确得有 40 人，化学实验做得正确得有 31 人， 两种实验都做错得有 4 人，则这两种实验都做对的有 人。 6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成 的集合 M=(x,y)|(0 x5/2
7、0y3/2)(-2x0-1y0) 7.已知集合 A=x| x 2+2x-8=0, B=x| x2-5x+6=0, C=x| x2-mx+m2-19=0, 若 BC，AC=，求 m 的值 解：可求得 A=-4,2 B=2,3 若 BC，AC= 则 3C 且 2、-4 均不属于 C 将 x=3 代入 C 9-3m+m-19=0 解得 m=5 或-2 若 m=5 则 C=x|x-5x+6=0=2,3 所以 m=5 不成立舍去 第 4 页 共 15 页 若 m=-2 则 C=x|x+2x-15=0=-5，3 所以 m=-2 也成立 综上所述 m=-2 二、函数的有关概念 1函数的概念：设 A、B 是非
8、空的数集，如果按照某个确 定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集 合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作： y=f(x)，x A其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定 义域；与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 f(x)| xA 叫做函数的值域 注意： 1定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数 的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； 例 a/b，则 b0 (2)偶次方根的被开方数不小于零； 例 nx，则当 n 为偶数时，x0
9、 (3)对数式的真数必须大于零； 例 a b ，则 b0 (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. 例 a b, a b ，则 a0 且 a1 (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的. 那么， 它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. 例 （x 2+3）/(x2-3x+1)， 则 x2-3x+10 (6)指数为零,底不可以等于零。 例 a b ，则当 a=0 时，b 不能为 0 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意 义. 2值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法:f(x)= x 1 ,值域为y|y0 (2)配方法： f(x)=x 2+6x+12使用配方
10、法即f(x)=(x+3)2+3 值域为3,+)f(x)=4x-62x-5=(2x-3)2-14 值域为 -14,+) (3) 代 换 法 : f(x)=x+1-x ， 令 t=1-x, 则 x=1-t2， 第 5 页 共 15 页 f(x)=1-t2+t= 2 ) 2 1 (t ）+ 4 5 ，值域为（， 4 5 。 f(x)=x1-x2+x2，则-1x1，令 x=sin（| 2 ），则 f （ x ） =sin cos +sin 2 = 2 1 sin2 + 2 1 (1-cos2 )= 2 1 + 2 2 sin( 4 -2 ) 2 2-1 , 2 21 补充： 、函数三要素：（1）构成函
11、数三个要素是定义域、对应关系和值 域由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数定 义域和对应关系完全一致， 即称这两个函数相等 （或为同一函数） （2） 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示 自变量和函数值的字母无关。 、相同函数的判断方法：（1）表达式相同（与表示自变量 和函数值的字母无关）；（2）定义域一致 (两点必须同时具 备) 、值域补充 (1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法 求函数的值域都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、 二次函数、 指 数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。 3. 函数图
12、象知识归纳 (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的x为横坐标，函 数值y为纵坐标的点 P(x，y)的集合 C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象C 上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一 组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在 C 上 . 即记为 C= P(x,y) | y= f(x) , x A 。 图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与 Y 轴的直 线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。 (2) 画法 A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出 x,y 的一些 对应
13、值并列表， 以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的 点 P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来。 图象变换法：（请参考必修 4 三角函数） 常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4区间的概念 第 6 页 共 15 页 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 （2）无穷区间 （3）区间的数轴表示 5映射 一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个 确定的对应法则 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x， 在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应， 那么就称对 应 f： AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。 记作 “f （对
14、应关系）：A（原象）B（象）” 对于映射f：AB来说，则应满足： (1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象 是唯一的； (2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同 一个； (3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 6 常用的函数表示法及各自的优点： 1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个 图形是否是函数图象的依据；2 解析法：必须注明函数的定义域；3 图象法：描点法作 图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；4 列表法：选取 的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征 注意：解析法：便于算出函数值。列
15、表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值 7、分段函数 课本 P24-25 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况在不同的定义域里求函 数值时必须把自变量代入相应的表达式。 (3)分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数， 分段函数的定义域是各段定义域的交集， 值域是各段值 域的并集 补充：复合函数 如果 y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),则 y=fg(x)=F(x)(x A) 称为 F（x）为复合函数。 例如：y=2cos(x2+1) 可以看成是函数 g(x)=x2+1 和 f(x)=2cosx 组成的复合函数。 复合函数单调性
16、判断：同增异减。 二函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) （1）增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的 第 7 页 共 15 页 某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2，当 x1x2时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间. 如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1， x2， 当x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减 函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间. 注意：函数的单调性是函数的局部性质函数的单调性是函数的局部性质； （2） 图象的
17、特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数， 那么说 函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性， 在单调区 间上增函数的图象从左到右是上升的， 减函数的图象从左 到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法：（最常用） 1 任取 x1，x2D，且 x11，且nN * 负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作 00 n 。 当n是 奇 数 时 ，aa nn ， 当n是 偶 数 时 ， )0( )0( | a a a a aa nn 2分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1, 0( * nNnmaaa nm n m ， ) 1, 0(
18、 11 * nNnma a a a nm n m n m 0 的正分数指数幂等于 0， 0 的负分数指数幂没有意义 3实数指数幂的运算性质 （1） r a srr aa ), 0(Rsra； （2） rssr aa)( ), 0(Rsra； （3） srr aaab)( ), 0(Rsra （二）指数函数及其性质 1、 指数函数的概念： 一般地， 函数) 1, 0(aaay x 且叫 做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域为 R 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零 和 1 2、指数函数的图象和性质 a1 0a1 0a0，a0，函数 y=a x与 y=log a(-x)的图
19、象只能是 ( ) 2. 计 算 ： 64log 2log 27 3 ; 3log4 2 2 = ； 2log227log 55 3 1 25 = ; 2 1 3 4 3 1 01. 016)2() 8 7 (064. 0 75. 030 = 3.函数 y=log 2 1 (2x 2-3x+1)的递减区间为 4.若函数 ) 10 (log)(axxf a 在区间2,aa上的最大值是最小值的 3 倍，则 a= 5.已知 1 ( )log(01) 1 a x f xaa x 且 ，（1）求( )f x的定义域（2）求使 ( )0f x 的x的取 值范围 第三章 函数的应用 第 14 页 共 15 页
20、 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数)(Dxxfy，把使 0)(xf成立的实数x叫做函数)(Dxxfy的零点。 2、函数零点的意义：函数)(xfy 的零点就是方程 0)(xf实数根，亦即函数)(xfy 的图象与x轴交点的 横坐标。 即：方程0)(xf有实数根函数)(xfy 的图象与x轴 有交点函数)(xfy 有零点 3、函数零点的求法： 1 （代数法）求方程0)(xf的实数根； 2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与 函数)(xfy 的图象联系起来，并利用函数的性质找出零 点 4、二次函数的零点： 二次函数)0( 2 acbxaxy （1），方程0 2 cbxax有两不等实根，二次函 数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点 （2），方程0 2 cbxax有两相等实根，二次函 数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或 二阶零点 （3），方程0 2 cbxax无实根，二次函数的图 象与x轴无交点，二次函数无零点 5.函数的模型 检验 收集数据 画散点图 选择函数模型 求函数模型 用函数模型解释实际问题 符合实际 不 符 合 实 际 第 15 页 共 15 页
