1、第六章 平面向量及其应用 6.3 平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1 平面向量基本定理平面向量基本定理 必备知识必备知识探新知探新知 关键能力关键能力攻重难攻重难 课堂检测课堂检测固双基固双基 素养作业素养作业提技能提技能 素养目标素养目标定方向定方向 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 素养目标素养目标 定方向定方向 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 素养目标 学法指导 1了解基底的含义，理 解并掌握平面向量基本定 理，会用基底表示平面内 任一向量.(直观想象) 2能够灵活运用平面向 量基本定理解决相关问题
2、.(数据分析) 1平面向量基本定理沟通了数与形，同时也 进一步提出了基底的思想，在学习时要善于类 比生活中的实例，如人民币的基本组成，一些 社会架构组成的基本单位等. 2在学习平面向量基本定理时要善于结合四 边形法则来理解，同时要结合充要条件来加以 理解. 3要充分利用平面直角坐标系来加强对平面 向量正交分解的理解. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 必备知识必备知识 探新知探新知 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 如果e1，e2是同一平面内的两个_向量，那么对于这一平面 内的_向量a，_实数1，2，使a_. 平面向量的基本定理 知识点1
3、 不共线 任一 有且只有一对 1e12e2 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 若e1，e2_，我们把e1，e2叫做表示这一平面内_向 量的一个基底. 基底 知识点2 不共线 所有 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 知识解读 对平面向量基本定理的理解 (1)基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基 底.同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的. (2)基底给定时，分解形式唯一.1，2是被a，e1，e2唯一确定的数值. (3)e1，e2是同一平面内所有向量的一组基底，则当a与e1共线时，2 0；当a与e2共线时，10；当a0时
4、，120 (4)由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中 的向量. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 关键能力关键能力 攻重难攻重难 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 题型探究题型探究 题型一题型一 对基底概念的理解 典典例例 1 (多选)如果 e1、e2是平面 内两个不共线的向量，那么下 列说法中不正确 的是 ( ) Aae1e2(、R)可以表示平面 内的所有向量 B对于平面 内任一向量 a，使 ae1e2的实数对(，)有无穷 多个 C若向量 1e11e2与 2e12e2共线，则1 2 1 2 D若实数 、 使得 e1e
5、20，则 0 BC 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 分析 应用平面向量基本定理解题时，要抓住基向量e1与e2不共 线和平面内向量a用基底e1、e2表示的唯一性求解. 解析 由平面向量基本定理可知，A、D是正确的.对于B，由平面 向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此 基底下的实数对是唯一的.对于C，当120或120时不一定成立，应 为12210故选BC 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 (1)对于平面内任一向量都可以用两个不共线的向量来 表示；反之，平面内的任一向量也可以分解成两个不共线的向量的和的 形
6、式. (2)向量的基底是指平面内不共线的两个向量，事实上若e1，e2是基 底，则必有e10，e20且e1与e2不共线，如0与e1，e1与2e1，e1e2与 2(e1e2)等，均不能构成基底. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 (1)如果e1，e2是平面内所有向量的一组基底，那 么 ( ) A若实数m、n使得me1ne20，则mn0 B空间任一向量a可以表示为a1e12e2，其中1，2为实数 C对于实数m、n，me1ne2不一定在此平面上 D对于平面内的某一向量a，存在两对以上的实数m，n，使ame1 ne2 A 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学
7、（必修第二册RJA） (2)设e1、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：e1与e1 e2；e12e2与e22e1；e12e2与4e22e1；e1e2与e1e2其中不 能作为平面内所有向量的一组基底的是_.(写出所有满足条件的序号) 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)选项 B 中应为“平面内任一向量”，C 中 me1ne2一定 在此平面上，选项 D 中，m，n 应是唯一的，只有 A 正确. (2)设 e1e2e1，则 1， 10， 无解， e1e2与 e1不共线，即 e1与 e1e2可作为一组基底； 设 e12e2(e22e1)， 则(12)e1(2
8、)e20， 则 120， 20， 无解， e12e2与 e22e1不共线，即 e12e2与 e22e1可作为一组基底； 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） e12e21 2(4e22e1)，e12e2 与 4e22e1共线，即 e12e2 与 4e22e1不可作为一组基底； 设 e1e2(e1e2)，则(1)e1(1)e20， 10， 10， 无解， e1e2与 e1e2不共线，即 e1e2与 e1e2可作为一组基底. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 题型二题型二 用基底表示向量 典典例例 2 (1)D，E，F 分别为ABC 的边 BC，
9、CA，AB 上的中点， 且BC a，CA b，给出下列结论： AD 1 2ab；BE a1 2b； CF 1 2a 1 2b；EF 1 2a. 其中正确的结论的序号为_. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 分析 用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角 形法则或平行四边形法则. (2)如图，已知梯形 ABCD 中，ABCD，AB2CD，E，F 分别是 DC，AB 的中点，设AD a，AB b，试用 a，b 表示DC ，EF ，FC . 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)如图，AD AC CD b1 2CB b1 2a
10、，正确；BE BC CE a1 2b，正确； AB AC CB ba， CF CA 1 2AB b1 2(ba) 1 2b 1 2a， 正确；EF 1 2CB 1 2a，不正确. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） (2)因为 DCAB，AB2DC，E，F 分别是 DC，AB 的中点， 所以FC AD a，DC AF 1 2AB 1 2b. EF ED DA AF 1 2DC AD 1 2AB 1 2 1 2ba 1 2b 1 4ba. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 用基底表示向量的三个依据和两个“模型” (1)依据：向量加法
11、的三角形法则和平行四边形法则； 向量减法的几何意义； 数乘向量的几何意义. (2)模型： 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 如图， 在OAB 中， P 为线段 AB 上的一点， OP xOA yOB ，且BP 2PA ，则 ( ) Ax2 3，y 1 3 Bx1 3，y 2 3 Cx1 4，y 3 4 Dx3 4，y 1 4 A 解析 OP OA AP OA 1 3AB OA 1 3(OB OA )2 3OA 1 3OB. x2 3，y 1 3. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 如图，在ABC中，点M是BC的中点，点N在A
12、C上，且AN 2NC，AM与BN相交于点P，求APPM与BPPN的值. 题型三题型三 平面向量基本定理的应用 典典例例 3 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 设BM e1，CN e2，则AM AC CM 3e2e1， BN BC CN 2e1e2 A，P，M 和 B，P，N 分别共线， 存在实数 ， 使得AP AM e13e2，BP BN 2e1e2 故BA BP PA BP AP (2)e1(3)e2 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 而BA BC CA 2e13e2，由平面向量基本定理， 得 22， 33， 解得 4 5， 3
13、5. AP 4 5AM ，BP 3 5BN ， APPM4，BPPN3 2. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 (1)平面向量基本定理唯一性的应用 设 a，b 是同一平面内的两个不共线向量，若 x1ay1bx2ay2b， 则 x1x2， y1y2. (2)重要结论：设 e1，e2是平面内一组基底， 当1e12e20时 恒有120 若a1e12e2 当20时，a与e1共线 当10时，a与e2共线 120时，a0 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 (1)如图，在平行四边形 ABCD 中，E 和 F 分别是 边 CD 和
14、 BC 的中点， 若AC AE AF ， 其中 ， R， 则 _. 4 3 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） (2)如图，点 A，B，C 是圆 O 上三点，线段 OC 与线段 AB 交于圆内 一点 P.若OC mOA 2mOB ，AP AB ，则 _. 2 3 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)设AB a，AD b，则AE 1 2ab， AF a1 2b，又AC ab，AC 2 3(AE AF )，即 2 3， 4 3. (2)OP 与OC 共线，存在实数 ，使OP OC mOA 2mOB . AP OP OA ，AP mOA
15、 2mOB OA (m1)OA 2mOB AB (OB OA )OA OB . OA 与OB 不共线， m1， 2m， 解得 2 3. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 易错警示易错警示 典典例例 4 忽视平面向量基本定理的使用条件致误 已知OA a，OB b，OC c，OD d，OE e，设 tR， 如果 3ac,2bd，et(ab)，那么 t 为何值时，C，D，E 三点在一条 直线上？ 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 错因分析 本题可以根据向量共线的充要条件列出等式解决，但 在得出等式后根据平面向量基本定理列式解决时，容易忽视平面向
16、量基 本定理的使用条件，出现漏解，漏掉了当a，b共线时，t可为任意实数这 个解. 错解 由题设， 知CD dc2b3a， CE ec(t3)atb， C， D，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数 k，使得CE kCD ，即(t 3)atb3ka2kb，整理得(t33k)a(2kt)b. a，b 不共线， t33k0， 2kt0. 解得 t6 5. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 误区警示 当条件不明确时要分类讨论. 正解 由上解可知， (k33k)a(2kt)b， 若 a，b 共线，则 t 可为任意实数； 若 a，b 不共线，则有 t33k0， 2kt0， 解之得 t6 5. 综上，可知 a，b 共线时，t 可为任意实数；a，b 不共线时，t6 5. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 已知向量e1、e2不共线，实数x、y满足(3x4y)e1 (2x3y)e26e13e2，则xy等于_. 3 解析 e1，e2不共线， 3x4y6 2x3y3 解得 x6 y3 ，xy3
