1、第六章 平面向量及其应用 6.3 平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示 6.3.5 平面向量数量积的坐标表示平面向量数量积的坐标表示 必备知识必备知识探新知探新知 关键能力关键能力攻重难攻重难 课堂检测课堂检测固双基固双基 素养作业素养作业提技能提技能 素养目标素养目标定方向定方向 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 素养目标素养目标 定方向定方向 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 素养目标 学法指导 1掌握平面向量数量积的坐标 表示及其运算.(数学运算) 2能够利用向量的数量积解决 模长、夹角等问题.(数学运算) 通过推导
2、数量积的坐标运算及求夹角和 模及向量垂直的判断中，加深对数量积 的坐标运算的理解，两向量垂直的坐标 表示可以与平行的坐标表示进行类比. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 必备知识必备知识 探新知探新知 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 设非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2). 平面向量的数量积与向量垂直的坐标表示 知识点1 数量积 两个向量的数量积等于_， 即a b_ 两个向量垂直 ab_ 它们对应坐标的乘积的和 x1x2y1y2 x1x2y1y20 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 知识解读 1公式a
3、b|a|b|cosa，b与a bx1x2y1y2都是用 来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者 可以相互推导.若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式 a b|a|b|cosa，b求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a b x1x2y1y2求解. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 2已知非零向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab与ab的坐标表 示如下： abx1y2x2y1，即x1y2x2y10； abx1x2y1y2，即x1x2y1y20 两个结论不能混淆，可以对比学习，分别简记为：纵横交错积相 等，横横纵纵积相反 返回
4、导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，a与b的夹角为，则有 下表： 平面向量的模与夹角的坐标表示 知识点2 坐标表示 |a|2_或|a|_ 模 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB |_ 夹角 cos a b |a|b|_(a，b 为非零向量) x2 1y 2 1 x2 1y 2 1 x2x12y2y12 x1x2y1y2 x2 1y 2 1 x2 2y 2 2 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 知识解读 向量的模的坐标运算的实质 向量的模即向量的长度，其大小应为平面直角坐标系中两点间的距 离
5、，如 a(x，y)，则在平面直角坐标系中，一定存在点 A(x，y)，使得OA a(x，y)，|OA |a| x2y2，即|a|为点 A 到原点的距离.同样，若 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则AB (x2x1， y2y1)， |AB | x2x12y2y12， 即平面直角坐标系中任意两点间的距离.由此可知，向量的模的坐标运算 的实质为平面直角坐标系中两点间的距离的运算. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 关键能力关键能力 攻重难攻重难 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） (1)设a(1，2)，b(3,4)，c(3,2)，则(a
6、2b) c ( ) A12 B0 C3 D11 题型探究题型探究 题型一题型一 平面向量数量积的坐标运算 典典例例 1 C 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） (2)已知a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)，若(8ab) c30，则x ( ) A6 B5 C4 D3 (3)已知a(2，1)，a2b(6,3)，若b c14，|c|5，则向量c的 坐标为_. C (3,4)或(4,3) 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)a(1，2)，b(3,4)，c(3,2)，a2b(5,6)， (a2b) c(5)3623 (2)由题意可得，
7、8ab(6,3)，又(8ab) c30，c(3，x)，18 3x30，解得 x4 (3)因为 2b(a2b)a(6,3)(2，1)(4,4)，所以 b(2,2).设 c (x，y)，则由题可知 2x2y14， x2y25， 解得 x3， y4 或 x4， y3， 所以 c (3,4)或 c(4,3). 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 平面向量数量积坐标运算的两条途径 进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质.解 题时通常有两条途径： 一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算； 二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算. 返回
8、导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 (1)在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 OABC 的对 角线 OB 的两端点坐标分别为 O(0,0)，B(1,1)，则AB AC _. (2)在平行四边形 ABCD 中， AC (1,2)， BD (3,2)， 则AD AC _. 1 3 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)如图所示， 在正方形 OABC 中， A(0,1)， C(1,0)(当然两者位置可互换， 不影响最终结果)， 则AB (1,0)，AC (1，1)，从而AB AC (1,0) (1，1) 110(1)1 (2)
9、设 AC，BD 相交于点 O，则AD AO OD 1 2AC 1 2BD 1 2，1 3 2，1 (1,2).又AC (1,2)，AD AC (1,2) (1,2)143 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 题型二题型二 与平面向量模有关的问题 典典例例 2 (1)设平面向量 a(1,2)，b(2，y)，若 ab，则|3a b|等于 ( ) A 5 B 6 C 17 D 26 (2)已知向量 a(cos ，sin )，向量 b( 3，0)，则|2ab|的最大值 为_. A 2 3 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)ab，1y2(
10、2)0， 解得 y4，从而 3ab(1,2)，|3ab| 5. (2)2ab(2cos 3，2sin )， |2ab| 2cos 322sin 2 4cos24 3cos 34sin2 74 3cos ， 当且仅当 cos 1 时，|2ab|取最大值 2 3. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 求向量的模的两种基本策略 (1)字母表示下的运算： 利用|a|2a2，将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题. (2)坐标表示下的运算： 若 a(x，y)，则 a aa2|a|2x2y2，于是有|a| x2y2. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修
11、第二册RJA） 【对点练习】 (1)已知向量a(1,2)，b(3,4)，ca b(R)，则|c|取最小值时，的值为_. (2)已知|a|10，b(1,2)，且ab，求a的坐标. 解析 (1)由 a(1,2)，b(3,4)，cab(13，24) |c|2c2(13)2(24)225210525 1 5 24 当 1 5时，|c|min2 1 5 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） (2)设 a 的坐标为(x，y)，由题意得 2xy0， x2y210， 解得 x2 5， y4 5 或 x2 5， y4 5. 所以 a(2 5，4 5)或 a(2 5，4 5). 返回导航
12、第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 题型三题型三 向量夹角和垂直问题 典典例例 3 设平面上向量 a(cos ，sin )(0 90 )，b 1 2， 3 2 . (1)求 a 与 b 的夹角 . (2)求证：ab 与 ab 垂直. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)由题意知，|a|1，|b|1， a b1 2cos 3 2 sin ，则 cos a b |a|b| 1 2cos 3 2 sin 11 1 2cos 3 2 sin cos(120 ). 0 90 ，30 120 120 . 又 0 180 ，120 ， 即两向量的夹角为
13、120 . 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） (2)证明：(ab) (ab) cos 1 2，sin 3 2 cos 1 2，sin 3 2 cos 1 2 cos 1 2 sin 3 2 sin 3 2 cos21 4sin 23 4 11 4 3 40， (ab)(ab). 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤 (1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积. (2)利用|a| x2y2计算出这两个向量的模. (3)由公式 cos x1x2y1y2 x2 1y 2 1 x 2
14、 2y 2 2直接求出 cos 的值. (4)在0，内，由 cos 的值求角 . 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 (1)设向量 a(3,3)，b(1，1).若(ab)(a b)，则实数 _. (2)已知向量 a 与 b 的夹角为 60 ， 且 a(2， 6)， |b| 10， 则 a b _. 3 10 解析 (1)(ab)(ab)(ab) (ab)a22b2018 220 3 (2)因为 a(2，6)，所以|a| 22622 10.又|b| 10， 向量 a 与 b 的夹角为 60 ，所以 a b|a|b|cos 60 2 10 101 210 返
15、回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 易错警示易错警示 典典例例 4 忽视向量共线致误 已知 a(1，2)，b(1，)，且 a 与 b 的夹角 为锐角， 则实数 的取值范围是 ( ) A(，2) 2，1 2 B 1 2， C 2，2 3 2 3， D ，1 2 A 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 错解 a 与 b 的夹角 为锐角， cos0，即 a b120，得 1 2，故选 D 错因分析 由于 0，利用 cos a b |a|b|来判断角 时，要注意 cos 0 也有两种情况： 一是 为锐角，二是 0本题错解中就是忽略了 0 这种情况，此时
16、 cos 0 成立，但夹角不是锐角. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 正解 a 与 b 的夹角 为锐角，cos0 且 cos1，即 a b0 且 a 与 b 方向不同，即 a b120，且 amb(m0)，解得 (， 2) 2，1 2 ，故选 A 误区警示 对于非零向量 a 与 b，设其夹角为 ，则 为锐角cos 0， 且 cos 1a b0， 且 amb(m0)； 为钝角cos 0， 且 cos 1a b0，且 amb(m0)； 为直角cos 0a b0 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 设a(2，x)，b(4,5)，若a与b的夹角为钝 角，求x的取值范围. 解析 由 cos0 得 x8 5，因为 ab 时有4x100，即 x 5 2， 当 x5 2时，a(2， 5 2) 1 2b，所以 a 与 b 反向，故 x 8 5且 x 5 2.
