1、 第 1 页（共 18 页） 2021 年上海市闵行区高考数学一模试卷年上海市闵行区高考数学一模试卷 一一.填空题（本大题共填空题（本大题共 12 题，题，1-6 每题每题 4 分，分，7-12 每题每题 5 分，共分，共 54 分）分） 1 （4 分）已知集合 AN*，Bx|2x1|5，则 AB （用列举法表示） 2 （4 分）已知复数 z 满足 zi2+i（i 为虚数单位） ，则 z 3（4 分） 若函数 f （x） 2x+1 的图象与 g （x） 的图象关于直线 yx 对称， 则 g （9） 4 （4 分）若 tan（+ 4）3，则 tan 5 （4 分）在（12x）6的二项展开式中，x
2、3项的系数为 .（用数字作答） 6 （4 分）如图，已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面边长为 2，高为 3，则异面直线 AA1 与 BD1所成角的大小是 7 （5 分）新冠病毒爆发初期，全国支援武汉的活动中，需要从 A 医院某科室的 6 名男医生 （含一名主任医师） 、4 名女医生（含一名主任医师）中分别选派 3 名男医生和 2 名女医 生，要求至少有一名主任医师参加，则不同的选派方案共有 种 （用数字作答） 8 （5 分）设 k2，1，1 3， 2 3，2，若 x（1，0）（0，1） ，且 x k|x|，则 k 取值 的集合是 9 （5 分）已知定义在0，+）上的函数 f（x）满足
3、() = 15 | 1|，0 2 ( 2) 2， 2 ，设 f （x）在2n2，2n） （nN*）上的最大值记作 an，Sn为数列an的前 n 项和，则 Sn的最 大值为 10 （5 分）已知 nN，n2，函数 = 2+3 + 3 +3的图象与 y 轴相交于点 An、与函数 = 1 ( 4)的图象相交于点 Bn，OAnBn的面积为 Sn（O 为坐标原点） ，则 = 11 （5 分）已知平面向量 、 、 ，对任意实数 t，都有| t | |、| t | | 第 2 页（共 18 页） 成立，若| |3，|2，| |= 7，则| | 12 （5 分）已知函数() = | + 1 |，给出下列命题：
4、 存在实数 a，使得函数 yf（x）+f（xa）为奇函数； 对任意实数 a，均存在实数 m，使得函数 yf（x）+f（xa）关于 xm 对称； 若对任意非零实数 a，f（x）+f（xa）k 都成立，则实数 k 的取值范围为（， 4； 存在实数 k，使得函数 yf（x）+f（xa）k 对任意非零实数 a 均存在 6 个零点 其中的真命题是 （写出所有真命题的序号） 二二.选择题（本大题共选择题（本大题共 4 题，每题题，每题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）若 a 为实数，则“a1”是“1 1”的（ ） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件 1
5、4 （5 分）若 lg2a，lg3b，则 log512 等于（ ） A2: 1: B 2 1: C2: 1; D 2 1; 15 （5 分）已知点 P 为双曲线 2 2 2 2 = 1（a0，b0）右支上一点，点 F1、F2分别为 双曲线的左、右焦点，点 I 是PF1F2的内心（三角形内切圆的圆心） ，若恒有 1 2= 3 2 12，则双曲线的渐近线方程是（ ） Ayx B = 2 2 C = 3 D = 3 3 16 （5 分）如图，正四棱锥 PABCD 的底面边长和高均为 2，M 是侧棱 PC 的中点，若过 AM 作该正四棱锥的截面，分别交棱 PB、PD 于点 E、F（可与端点重合） ，则
6、四棱锥 P AEMF 的体积的取值范围是（ ） A1 2 ，1 B1 2 ， 4 3 C1， 4 3 D8 9 ，1 第 3 页（共 18 页） 三三.解答题（本大题共解答题（本大题共 5 题，共题，共 14+14+14+16+1876 分）分） 17 （14 分）如图，在圆柱 OO1中，AB 是圆柱的母线，BC 是圆柱的底面O 的直径，D 是 底面圆周上异于 B、C 的点 （1）求证：CD平面 ABD； （2）若 BD2，CD4，AC6，求圆柱 OO1的侧面积 18 （14 分）已知函数() = 22 2 2 + 222 2 2，x0， （1）求函数 f（x）的值域； （2）若方程() =
7、3（0）在区间0，上至少有两个不同的解，求 的取值范 围 19 （14 分）大数据时代对于数据分析能力的要求越来越高，数据拟合是一种把现有数据通 过数学方法来代入某种算式的表示方式，比如 Ai（ai，bi） （i1，2，3，n）是平面直 角坐标系上的一系列点， 其中 n 是不小于 2 的正整数， 用函数 yf （x） 来拟合该组数据， 尽可能使得函数图象与点列 Ai（ai，bi）比较接近，其中一种衡量接近程度的指标是函数 的拟合误差，拟合误差越小越好，定义函数 yf（x）的拟合误差为：（f（x） ） = 1 (1) 1) 2 + (2) 2)2+() )2 已知在平面直角坐标系上，有 5 个点
8、的坐标数据如表所示： x 1 2 3 4 5 y 2.2 1 2 4.6 7 （1）若用函数 f1（x）x24x+5 来拟合上述表格中的数据，求（f1（x） ） ； （2）若用函数 f2（x）2|x 2|+m 来拟合上述表格中的数据， 求该函数的拟合误差（f2（x） ）的最小值，并求出此时的函数解析式 yf2（x） ； 指出用 f1（x） 、f2（x）中的哪一个函数来拟合上述表格中的数据更好？ 20 （16 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1（ab0）过点（0，2） ，其长轴长、焦距和短轴长 三者的平方依次成等差数列，直线 l 与 x 轴的正半轴和 y 轴分别交于点 Q、P，与椭圆 第
9、 4 页（共 18 页） 相交于两点 M、N，各点互不重合，且满足 = 1 ， = 2 （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线 l 的方程为 yx+1，求 1 1 + 1 2的值； （3）若 1+23，试证明直线 l 恒过定点，并求此定点的坐标 21 （18 分）已知数列an与bn满足 an+1an（bn+1bn） （ 为非零常数） ，nN* （1）若bn是等差数列，求证：数列an也是等差数列； （2）若 a12，3，= 2 ，求数列an的前 2021 项和； （3）设 a1b1，2= 2， = 1+2 2 （n3，nN*） ，若对an中的任意两项 ai、 aj（i，jN*，ij） ，|aia
10、j|2 都成立，求实数 的取值范围 第 5 页（共 18 页） 2021 年上海市闵行区高考数学一模试卷年上海市闵行区高考数学一模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.填空题（本大题共填空题（本大题共 12 题，题，1-6 每题每题 4 分，分，7-12 每题每题 5 分，共分，共 54 分）分） 1 （4 分）已知集合 AN*，Bx|2x1|5，则 AB 1，2 （用列举法表示） 【解答】解：集合 AN*，Bx|2x1|5x|52x15x|2x3， 则 AB1，2 故答案为：1，2 2 （4 分）已知复数 z 满足 zi2+i（i 为虚数单位） ，则 z 12i 【解答】解：zi
11、2+i，izii （2+i） ，z12i 故答案为：12i 3 （4 分） 若函数 f （x） 2x+1 的图象与 g （x） 的图象关于直线 yx 对称， 则 g （9） 3 【解答】解：函数 f（x）2x+1 的图象与 g（x）的图象关于直线 yx 对称， 故 g（x）和 f（x）互为反函数，令 f（x）2x+19，求得 x3， 可得 g（9）3， 故答案为：3 4 （4 分）若 tan（+ 4）3，则 tan 2 【解答】解：已知( + 4) = 3 = +1 1，则 tan2， 故答案为：2 5 （4 分）在（12x）6的二项展开式中，x3项的系数为 160 .（用数字作答） 【解答】
12、解：设求的项为 Tr+1C6r（2x）r 令 r3， T4C6323x3160 x3 故答案为：160 6 （4 分）如图，已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面边长为 2，高为 3，则异面直线 AA1 与 BD1所成角的大小是 22 3 第 6 页（共 18 页） 【解答】解：由正四棱柱的性质知，AA1DD1， DD1B 即为异面直线 AA1与 BD1所成角， 在 RtDD1B 中，tanDD1B= 1 = 22 3 ， DD1Barctan22 3 ， 异面直线 AA1与 BD1所成角的大小是 arctan22 3 故答案为：arctan22 3 7 （5 分）新冠病毒爆发初期，全国
13、支援武汉的活动中，需要从 A 医院某科室的 6 名男医生 （含一名主任医师） 、4 名女医生（含一名主任医师）中分别选派 3 名男医生和 2 名女医 生，要求至少有一名主任医师参加，则不同的选派方案共有 90 种 （用数字作答） 【解答】解：根据题意，从 A 医院某科室的 6 名男医生和 4 名女医生中分别选派 3 名男 医生和 2 名女医生，有 C63C42120 种取法， 若其中没有主任医师参加，即从不是主任医师的 5 名男医生中选出 3 名男医生，从不是 主任医师的 3 名女医生中选出 2 名女医生， 其取法有 C53C3230 种， 则至少有一名主任医师参加的取法有 1203090 种
14、， 故答案为：90 8 （5 分）设 k2，1，1 3， 2 3，2，若 x（1，0）（0，1） ，且 x k|x|，则 k 取值 的集合是 2，2 3， 【解答】解：令 f（x）xk，由 f（x）|x|，可知， 幂函数 f（x）的图象在 y|x|的图象上方， 如果函数 f（x）为奇函数，则第三象限有图象， 所以函数 f（x）不是奇函数， 第 7 页（共 18 页） 所以 k1，1 3，不符合， 由于 x（0，1） ，xkx，整理得 1x1 k， 所以 1k0，所以 k1，故 k2 不符合， 所以 k2，2 3， 即2，2 3， 故答案为：2，2 3， 9 （5 分）已知定义在0，+）上的函数
15、 f（x）满足() = 15 | 1|，0 2 ( 2) 2， 2 ，设 f （x）在2n2，2n） （nN*）上的最大值记作 an，Sn为数列an的前 n 项和，则 Sn的最 大值为 64 【解答】解：由题意，函数() = 15 | 1|，0 2 ( 2) 2， 2 ， 当 n1 时，x0，2） ，此时 f（x）15|x1|， 此时函数 f（x）在0，2）上的最大值为 f（1）15|11|15，所以 a115， 当 n2 时，x2，4） ，此时 f（x）f（x2）2，此时 x20，2） ， 所以 f（x）f（x2）215|x21|213|x3|， 此时函数 f（x）在2，4）上的最大值为 f
16、（3）13|33|13，所以 a213， 当 x2n2，2n）时，f（x）15fx（2n2）2（n1）15|x（2n2） 1|2（n1） ， 此时函数 f（x）的最大值为 f（n）172n，所以 an172n， 当 1n8，nN*时，an0，当 n9，nN*时，an0， 所以 Sn的最大值为 S8= 8(1+8) 2 = 8(15+1) 2 =64 故答案为：64 10 （5 分）已知 nN，n2，函数 = 2+3 + 3 +3的图象与 y 轴相交于点 An、与函数 = 1 ( 4)的图象相交于点 Bn，OAnBn的面积为 Sn（O 为坐标原点） ，则 = 6 第 8 页（共 18 页） 【解
17、答】解：由 = 2+3 + 3 +3，取 x0，得 An（0， 3 :3） ， 2+3 = 0， 3 +3 = 3 1+3 = 3， 点 An趋近于 A（0，3） ； 可得函数 = 2+3 + 3 +3的图象趋近于直线 y3， 此时点 Bn趋近于函数 = 1 ( 4)的渐近线与 y3 的交点，即 B（4，3） ， = = 1 2 4 3 = 6 故答案为：6 11 （5 分）已知平面向量 、 、 ，对任意实数 t，都有| t | |、| t | | 成立，若| |3，|2，| |= 7，则| | 221 3 【解答】解：设 = ， = ， = ， 则 t =t ，t =t ， 则 A，C分别在
18、 OA，OC 所在的直线上， 所以 t = = ， = = ， 因而| t | |， 所以| | |， 因为垂线段距离最短， 所以| |即为点 B 到 OA 的垂线段长度， 第 9 页（共 18 页） 即 OAAB，同理 ， 所以 OABC 四点在以 OB 为直径的圆上， 而| | |3，| | |2，| | |= 7， 所以 cosCOA= 9+47 232 = 1 2， 即COA60，sinCOA= 3 2 ， 由正弦定理可得三角形 OAC 外接圆的直径 2R= 7 3 2 = 221 3 ， 即四边形 OABC 外接圆的直径为221 3 ， 所以| | |2R= 221 3 故答案为：2
19、21 3 12 （5 分）已知函数() = | + 1 |，给出下列命题： 存在实数 a，使得函数 yf（x）+f（xa）为奇函数； 对任意实数 a，均存在实数 m，使得函数 yf（x）+f（xa）关于 xm 对称； 若对任意非零实数 a，f（x）+f（xa）k 都成立，则实数 k 的取值范围为（， 4； 存在实数 k，使得函数 yf（x）+f（xa）k 对任意非零实数 a 均存在 6 个零点 其中的真命题是 （写出所有真命题的序号） 【解答】解：令 g（x）f（x）+f（xa） ， 函数 f（x）的定义域为x|x0，且 f（x）|x 1 |x+ 1 |f（x） ， f（x）为偶函数 对于，若
20、 a0，则 g（x）2|x+ 1 |，g（1）2g（1） ，此时，函数 g（x）不是 第 10 页（共 18 页） 奇函数； 若 a0，则 g（x）的定义域为x|x0，且 xa， 而 g （ 2） 2f （ 2） 2:4 | 0， g （ 2） | 2 + 2 |+| 3 2 + 2 3|0， 显然 g （ 2） g （ 2） ， 综上所述，对任意 xR，函数 yf（x）+f（xa）都不是奇函数，即错误； 对于，g（ax）f（ax）+f（x）f（xa）+f（x）g（x） ， 函数 yf（x）+f（xa）关于直线 x= 2对称， 对任意实数 a，均存在实数 m，使得函数 yf（x）+f（xa）关
21、于 xm 对称，即正 确； 对于，f（x）|x+ 1 |x|+ 1 | 2| 1 | =2，当且仅当 x1 时，等号成立， f（xa）|（xa）+ 1 |xa|+ 1 | 2| | 1 | =2，当且仅当 xa1 时，等号成立， g（x）f（x）+f（xa）4， a0，当 a2 时，两个等号可以同时成立，k4， 实数 k 的取值范围是（，4，即正确； 对于，假设存在实数 k，使得直线 yk 与函数 g（x）的图象有 6 个交点， 若 a0，当 0 xa 时，g（x）x+ 1 +ax+ 1 =a+ () =a+ 1 2 4 ( 2) 2， 此时，函数 g（x）在（0， 2）上单调递减，在（ 2，
22、a）上单调递增， 当 0 xa 时，g（x）ming（ 2）= 2+4 =a+ 4 ； 当 xa 时，任取 x1、x2（a，+） ，且 x1x2，即 x1x2a， 则 g（x1）g（x2）（x1+ 1 1 +x1a+ 1 1）（x2+ 1 2 +x2a+ 1 2） 2（x1x2）+（ 1 1 1 2）+（ 1 1; 1 2;） 2（x1x2）+ 21 12 + 21 (1)(2) （x1x2）2 1 12 1 (1)(2)， x1x2a，2 1 12 1 (1)(2)随着 x1、x2 的增大而增大， 当 x1a 且 x2a 时，2 1 12 1 (1)(2)； 第 11 页（共 18 页） 当
23、 x1+且 x2+时，2 1 12 1 (1)(2)2， 存在 x0a， 使得 ax2x1x0时， 2 1 12 1 (1)(2)0， 则 g （x1） g （x2） ， 函数 g（x）在（a，x0）上单调递减； 当 x1x2x0时，2 1 12 1 (1)(2)0，则 g（x1）g（x2） ， 函数 g（x）在（x0，+）上单调递增， 当 xa 时，g（x）ming（x0） 若存在实数 k，使得函数 yf（x）+f（xa）k 对任意非零实数 a 均存在 6 个零点，即 直线 yk 与函数 g（x）的图象有 6 个交点， 由于函数 g（x）的图象关于直线 x= 2对称， 则直线 yk 与函数
24、g（x）在直线 x= 2右侧的图象有 3 个交点， kmaxa+ 4 ，g（x0）a+ 4 由于 k 为定值，当 a2 且当 a 逐渐增大时，a+ 4 也在逐渐增大， ka+ 4 不可能恒成立， 当 a0 时，不存在实数 k，使得函数 yf（x）+f（xa）k 对任意非零实数 a 均存 在 6 个零点， 同理可知，当 a0 时，不存在实数 k，使得函数 yf（x）+f（xa）k 对任意非零实 数 a 均存在 6 个零点， 错误 故答案为： 二二.选择题（本大题共选择题（本大题共 4 题，每题题，每题 5 分，共分，共 20 分）分） 13 （5 分）若 a 为实数，则“a1”是“1 1”的（
25、） A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件 【解答】解：由1 1得 0a1， 则“a1”是“1 1”的必要不充分条件， 故选：B 第 12 页（共 18 页） 14 （5 分）若 lg2a，lg3b，则 log512 等于（ ） A2: 1: B 2 1: C2: 1; D 2 1; 【解答】解：log512= 12 5 = 3+22 12 = 2+ 1 故选：C 15 （5 分）已知点 P 为双曲线 2 2 2 2 = 1（a0，b0）右支上一点，点 F1、F2分别为 双曲线的左、右焦点，点 I 是PF1F2的内心（三角形内切圆的圆心） ，若恒有 1 2= 3
26、 2 12，则双曲线的渐近线方程是（ ） Ayx B = 2 2 C = 3 D = 3 3 【解答】解：设PF1F2的内切圆半径为 r， 由双曲线的定义得|PF1|PF2|2a，|F1F2|2c， S 1= 1 2|PF1|r，S 2= 1 2|PF2|r， S 12= 1 22crcr， 由题意得：1 2|PF1|r 1 2|PF2|r= 3 2 cr， 故3c|PF1|PF2|2a， 故 3c23a2+3b24a2，3b2a2，即可得 = 3 3 ， 则双曲线的渐近线方程是 y= 3 3 x 故选：D 16 （5 分）如图，正四棱锥 PABCD 的底面边长和高均为 2，M 是侧棱 PC
27、的中点，若过 AM 作该正四棱锥的截面，分别交棱 PB、PD 于点 E、F（可与端点重合） ，则四棱锥 P AEMF 的体积的取值范围是（ ） 第 13 页（共 18 页） A1 2 ，1 B1 2 ， 4 3 C1， 4 3 D8 9 ，1 【解答】解：首先证明一个结论：在三棱锥 SABC 中，棱 SA，SB，SC 上取点 A1，B1， C1， 则 111 = 111 ， 设 SB 与平面 SAC 所成角为 ， 则 111 = 111 = 1 3 1 2111 1 3 1 2 = 111 ， 设 =x， =y， 则 VpAEFxyVPABD= 4 3 ， VPMEF= 1 2xyVPBCD=
28、 2 3 ， VPAFM= 2VPACD= 2 3 ， VPAEM= 2VPABC= 2 3 ， 所以 VPAEMFVPAEF+VPMEFVPAFM+VPAEM2xy= 2 3（x+y） ， 则 x+y3xy，所以 x= 31， 所以 0 1 0 1 = 31 ，所以1 2 y1， 所以 VPAEMF= 2 3（x+y）= 2 3（y+ 31）= 2 3 32 3;1， 令 t3y1， 则 2 3;1 = (:1)2 9 = 1 9（t+ 1 +2） ， 因为 y1 2，1， 第 14 页（共 18 页） 所以 t1 2，2， 则 2 3;1 = (:1)2 9 = 1 9（t+ 1 +2）4
29、 9， 1 2（当且仅当 t1 时，取最小值） 所以 VPAEMF2 2 3;1 8 9，1， 故选：D 三三.解答题（本大题共解答题（本大题共 5 题，共题，共 14+14+14+16+1876 分）分） 17 （14 分）如图，在圆柱 OO1中，AB 是圆柱的母线，BC 是圆柱的底面O 的直径，D 是 底面圆周上异于 B、C 的点 （1）求证：CD平面 ABD； （2）若 BD2，CD4，AC6，求圆柱 OO1的侧面积 【解答】证明： （1）AB底面 BCD，ABCD， 又 CDBD，且 ABBDB， CD平面 ABD； 解： （2）在 RtBCD 中，由 BD2，CD4， 得 BC= 2
30、2+ 42= 25， 又在 RtABC 中，AC6，得 AB=62 (25)2= 4 圆柱的底面半径为5，母线长为 4， 圆柱 OO1的侧面积为2 5 4 = 85 18 （14 分）已知函数() = 22 2 2 + 222 2 2，x0， （1）求函数 f（x）的值域； 第 15 页（共 18 页） （2）若方程() = 3（0）在区间0，上至少有两个不同的解，求 的取值范 围 【解答】 解： （1） 函数() = 22 2 2 + 222 2 2 = 2sinx+2cosx2sin （x+ 4） ， 当 x0，x+ 4 4， 5 4 ，sin（x+ 4） 2 2 ，1， 故 () = 2
31、( + 4) 的值域为 2，2 （2）方程() = 3（0）在区间0，上至少有两个不同的解， 即 sin（x+ 4）= 3 2 在区间0，上至少有两个不同的解 x+ 4 4，+ 4，sin 3 = 3 2 ，sin2 3 = 3 2 ， + 4 2 3 ，解得 5 12 19 （14 分）大数据时代对于数据分析能力的要求越来越高，数据拟合是一种把现有数据通 过数学方法来代入某种算式的表示方式，比如 Ai（ai，bi） （i1，2，3，n）是平面直 角坐标系上的一系列点， 其中 n 是不小于 2 的正整数， 用函数 yf （x） 来拟合该组数据， 尽可能使得函数图象与点列 Ai（ai，bi）比较
32、接近，其中一种衡量接近程度的指标是函数 的拟合误差，拟合误差越小越好，定义函数 yf（x）的拟合误差为：（f（x） ） = 1 (1) 1) 2 + (2) 2)2+() )2 已知在平面直角坐标系上，有 5 个点的坐标数据如表所示： x 1 2 3 4 5 y 2.2 1 2 4.6 7 （1）若用函数 f1（x）x24x+5 来拟合上述表格中的数据，求（f1（x） ） ； （2）若用函数 f2（x）2|x 2|+m 来拟合上述表格中的数据， 求该函数的拟合误差（f2（x） ）的最小值，并求出此时的函数解析式 yf2（x） ； 指出用 f1（x） 、f2（x）中的哪一个函数来拟合上述表格中的
33、数据更好？ 【解答】解： （1）由 f1（x）x24x+5 可得，f1（1）2，f1（2）1，f1（3）2，f1 （4）5，f1（5）10， 所以（f1（x） ）= 1 5（22.2） 2+（11）2+（22）2+（ （54.6）2+（107）2=46 25； 第 16 页（共 18 页） （2）f2（x）2|x 2|+m， f2（1）2+m，f2（2）1+m，f2（3）2+m，f2（4）4+m，f2（5）8+m， （f2（x） ）= 1 5（2+m2.2） 2+（ （1+m1）2+（ （2+m2）2+（4+m4.6）2+（8+m 7）2， m2+0.08m+0.28， 当 m0.04 时，取
34、最小值174 625， 2() = 2|;2| 0.04； 174 625 46 25， 选 f2（x） 20 （16 分）已知椭圆： 2 2 + 2 2 = 1（ab0）过点（0，2） ，其长轴长、焦距和短轴长 三者的平方依次成等差数列，直线 l 与 x 轴的正半轴和 y 轴分别交于点 Q、P，与椭圆 相交于两点 M、N，各点互不重合，且满足 = 1 ， = 2 （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线 l 的方程为 yx+1，求 1 1 + 1 2的值； （3）若 1+23，试证明直线 l 恒过定点，并求此定点的坐标 【解答】解： （1）椭圆： 2 2 + 2 2 = 1（ab0）过点（0，
35、2） ， b2，设焦距为 2c， 长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列， （2a）2+（2b）22（2c）2，又 a2b2+c2 解得 a212， 椭圆的方程为 2 12 + 2 4 = 1； 解： （2）联立 = + 1 2 12 + 2 4 = 1，得 4x 26x90 设 M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 则1+ 2= 3 2，12 = 9 4， 由题意可知，P（0，1） ，Q（1，0） ， = 1 ， = 2 ， 第 17 页（共 18 页） （x1，y11）1（1x1，y1） ，得 1 1 = 1;1 1 ， （x2，y21）2（1x2，y2） ，得 1 2 = 1;2
36、2 1 1 + 1 2 = 1;1 1 + 1;2 2 = 1:2 12 2 = 3 2 ;9 4 2 = 8 3； 证明： （3）由题意设 P（0，n） ，Q（m，0） ，M（x1，y1） ，N（x2，y2） ， 设直线 l 的方程为 xt（yn） ， 由 = 1 ，知（x1，y1n）1（mx1，y1） ， y1ny11，由题意 10，1= 1 1， 同理由 = 2 ，知2= 2 1， 1+23，y1y2+n（y1+y2）0， 联立 2 + 32= 12 = ( ) ，得（t2+3）y22nt2y+t2n2120， 4n2t44（t2+3） （t2n212）0， 1+ 2= 22 2+3，1
37、2 = 2212 2+3 ， 把代入得，得（nt）212， 直线 l 与 x 轴正半轴和 y 轴分别交于点 Q、P， 由题意 mt0，mt= 23（满足） ， 得直线 l 的方程为 xty+23，过定点（23，0） 21 （18 分）已知数列an与bn满足 an+1an（bn+1bn） （ 为非零常数） ，nN* （1）若bn是等差数列，求证：数列an也是等差数列； （2）若 a12，3，= 2 ，求数列an的前 2021 项和； （3）设 a1b1，2= 2， = 1+2 2 （n3，nN*） ，若对an中的任意两项 ai、 aj（i，jN*，ij） ，|aiaj|2 都成立，求实数 的取值
38、范围 【解答】解： （1）由题意，数列bn是等差数列，设公差为 d，即 bn+1bnd， 可得 an+1and， 数列an也是等差数列； （2）由= 2 ，可得 bn+4bn， 第 18 页（共 18 页） bn是周期为 4 的数列； an+1an（bn+1bn） ， 可得an也是周期为 4 的数列； bnsin 2 ，a12，3，an+1an3（bn+1bn） ， a21，a34，a41，a52， 那么 Sna1+（a2+a3+a4+a5）+（a2018+a2019+a2020+a2021）a1+505（4） 2018 （3）设 a1b1，2= 2， = 1+2 2 （n3，nN*） 可得（
39、bn+1bn）= 1 2（bnbn1） ， （bn+1bn）是为（b2b1）为首项，公比为 1 2的等比数列， bn+1bn= 2（ 1 2） n1(1 2) ， 那么 bn（bnbn1）+（bn1bn2）+（b2b1）+b1 = ( 1 2) ;1 + ( 1 2) ;2 + + ( 1 2) 1 + 2 3 + 1 3 ( 1 2) 1 an+1an（bnbn1） 可得 anbn+a1b1= 2 3 2( 1 2) ;1 + 2 3 当 n 为偶数时，可知 an是单调递增，那么 2 2 an 2 3 ， 当 n 为奇数时，可知 an是单调递减，那么 2 3 an； 0， 可得 2 2 2 3 ， 可得an中的最大值 a1，最小值为2= 2 2 对an中的任意两项 ai、aj（i，jN*，ij） ，|aiaj|2 都成立， 即 2 2 2， 解得：22 故得实数 的取值范围是（2，0）（0，2）
