1、 20192020 学年度第一学期期末教学质量调研监测 高一数学试题 （考试时间：120 分钟，满分：150 分） 第卷（选择题） 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1. 已知全集2 3 5 7 11 13 17 19U， ， ， ，=，集合2 7 11A，=，集合5 11 13B， ，=， 则BACU A. 5 B. 13 C. 5 13， D. 11 13， 2. 计算： 33 log 2log 6-= A. 1 B. 1- C. 3 log 2- D. 3 2log 2- 3. 已知幂函数 a xaa
2、xf22 2 在区间, 0上是单调递增函数，则a的值为 A. 3 B. 1- C. 3- D. 1 4. 在ABC中，已知sin2sincosABC=，则此三角形一定为 A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 钝角三角形 5. 若实数m，n满足22 mn ，则下列不等关系成立的是 A. 22 loglogmn B. mn n 1 D. 33 mn 6. 下列关系式一定正确的是 A. sin20 C. () sin 3sin3-=- D. sin22sin 7. 若函数sin2yx=的图象经过点 ()00 P xy，则其图象必经过点 A.( )00 ,xy- B. 00, 2
3、 yx C. 00, 2 yx D. ( )00 xy，- 8. 已知2tan，则 2tan 4 tan A. 1- B. 1 C. 5 3 D. 17 15 9. 函数 xAxfsin（其中, 0, 0A）的图象如图所示，则，的 值为 A3， 4 B3， 4 C6， 2 D6， 2 10. 某数学课外兴趣小组对函数 ( ) 1 2 x fx - =的图象与性质进行了探究， 得到下列四条结论： 该函数的值域为, 0； 该函数在区间, 0上单调递增； 该函数的图象 关于直线1x =对称； 该函数的图象与直线Raay 2 不可能有交点. 则其中正确结论的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D.
4、4 11函数 2019 sin log22 xx x y 在区间3,00,3上的图象为 A B C D 12. 已知函数 ( ) fx是定义在R上的函数， ( ) 11f=. 若对任意的 1 x，Rx 2 且 12 xx- - ，则不等式23log316log23log 222 xxf的解集为 A. 1 , 3 2 B. 3 4 , C. 3 4 , 3 2 D. , 3 4 第卷（非选择题） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分,共 20 分,将答案填写在答题卷中的相应区域，答 案写在试题卷上无效 。 13. 函数 ( )() 2 lg1 2 fxx x =+ - 的定义域为_.
5、14. 计算：21sin51sin21cos39sin . 15. 已知函数 ( ) 2 tan 41 x fxx=+ + ， 则 ()()( )( )( ) 21012fffff-+-+=_. 16.若A为不等边ABC的最小内角，则 ( ) 2sincos 1 sincos AA fA AA = + 的值域为_. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本题满分 10 分） 已知集合1|xxA，集合RaaxaxB,33|. （）当4a =时，求ABU； （）若AB ，求实数a的取值范围. 18.（本题满分 12 分） 已知角的顶点在坐
6、标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P( ) 34，-. （）求cossin的值； （）求 sin2cos 2 cossin 的值. 19.（本题满分 12 分） 已知函数 0cos 6 sin xxxf图象两条相邻对称轴间的距离为 2 . （）求函数 ( ) fx在 0，上的单调递增区间； （）将函数 ( ) yfx=的图象向左平移 6 个单位后得到函数 ( ) yg x=的图象，求函 数 ( ) yg x=图象的对称中心坐标. 20.（本题满分 12 分） 已知函数 ( ) 2 4fxaxbx=+，其中Rba,，且0a. （）若函数 ( ) yfx=的图象过点( ) 3 1，-，且函
7、数 ( ) fx只有一个零点，求函数 ( ) fx的解析式； （）在（）的条件下，若Za，函数 kxxfxg ln在区间, 2上单调 递增，求实数k的取值范围. 21.（本题满分 12 分） 某科研团队对某一生物生长规律进行研究，发现其生长蔓延的速度越来越快 .开始在某 水域投放一定面积的该生物，经过 2 个月其覆盖面积为 18 平方米，经过 3 个月其覆盖面积 达到 27 平方米.该生物覆盖面积y（单位：平方米）与经过时间Nxx个月的关系有两 个函数模型1, 0akaky x 与 () 0yp xq p=+可供选择. （）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的函数解析式； （）问约经过几个
8、月，该水域中此生物的面积是当初投放的 1000 倍？（参考数据： 48. 03lg,30. 02lg,73. 13,41. 12） 22.（本题满分 12 分） 已知函数 1cos 4 sin22 xxxf . （）当 8 , 8 x时， 0 2 mxmfxf恒成立，求实数m的取值范围； （）是否同时存在实数a和正整数n，使得函数 ( )( ) g xfxa=-在 0n，上恰有 2019 个零点？若存在，请求出所有符合条件的a和n的值；若不存在，请说明理由. 20192020 学年度第一学期期末教学质量调研监测 高一数学参考答案 第卷 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60
9、 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内） 1.C 解析：由条件知3,5,13,17,19 U C A=，则BACU5,13，选 C. 2.B 解析： 3333 21 log 2log 6loglog1 63 -=-.故选 B. 3.A 解析：由题意知 2 221aa-=，解得3a =或1a =-，又 ( ) fx在区间, 0上是 单调递增函数得3a =，故选 A. 4.C 解析：由已知得 () sinsinsincoscossin2sincosAB CBCBCBC=+=+=，于 是sincoscossin0BCBC-=，即 () sin
10、0BC-=，所以BC=，故此三角形是等腰三角 形，选 C. 5.D 解析： 由22 mn 得mn， 但不知,m n的符号， 于是无法判断 22 log,logmn的大小， A 错误；同理排除 B，C.因为 3 yx=在R上单调递增，所以可得 33 mn，排除 A；3 弧度的角是第二象限角， 所以cos30- - 可化为 ( )( )()1212 3fxfxxx- -，即 ( )( )1122 33fxxfxx+，则函数 ( )( ) 3F xfxx=+是R上的增函数，又 ( ) 14F=，于 是不等式23log316log23log 222 xxf可化为 123log2FxF，所以 ()2 l
11、og321x-，即0322x-，解得 24 33 x-且2x，故其定义域为 , 22 , 1. 14. 3 2 解析：sin39 cos21sin51 sin21sin39 cos21cos39 sin21+=+ () 3 sin 3921sin60 2 =+=. 15.5 解析：由已知得 ( )()() 22 tantan 4141 xx fxfxxx - +-=+- + 2 14 42 14 2 x x x ， 于 是 ()( )()( ) 22112ffff-+=-+=， 又 ( ) 01f=， 则 ()()( )( )( ) 210125fffff-+-+=. 16. 12, 0 解
12、析 ： 由 已 知 得 3 , 0 A， 设s i nc o stAA=+， 则 2, 1 4 s i n2c o ss i n AAAt， 2 2sincos1AAt=-，于是 12, 01 1 1 cossin1 cossin2 2 t t t AA AA Af. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本题满分 10 分） 解： （）当4a =时， 1,7B = -， 2 分 又 , 1A，则, 1BA；4 分 （）由（）知 , 1A， 当B时，33aa- +，解得0a ，符合题意；6 分 当B时， 13 33 a aa ，解得2
13、0 a，符合题意. 8 分 综上所述，实数a的取值范围为2 ,.10 分 18.（本题满分 12 分） 解： （）由已知可得 () 2 2 345OP =+ -=，1 分 根据三角函数的定义知 5 3 cos, 5 4 sin，3 分 所以 5 7 5 3 5 4 cossin.5 分 （）根据诱导公式知 sin2cos 2 cossin sincos sin2 sincos sinsin 9 分 7 8 5 7 5 8 5 4 5 3 5 4 2 .12 分 或者由（）可知 3 4 tan，7 分 根据诱导公式知 sin2cos 2 cossin tan1 tan2 sincos sin2
14、sincos sinsin 10 分 7 8 3 7 3 8 3 4 1 3 4 2 .12 分 19.（本题满分 12 分） 解： （）由已知得 xxxf cos 6 sin xxxcoscos 2 1 sin 2 3 6 sincos 2 1 sin 2 3 xxx，3 分 于是 2 2 2 T，所以2，即 6 2sin xxf，5 分 由 2 2 6 2 2 2 kxk，解得 63 kxk， 又, 0 x，所以函数 ( ) fx在, 0上的单调递增区间为 , 3 2 , 6 , 0.7 分 （）由条件得xxxgy2cos 66 2sin)( ，9 分 令 2 2 kx，解得Zk k x,
15、 42 故 ( ) yg x=图象的对称中心坐标为Zk k 0 , 42 .12 分 20.（本题满分 12 分） 解： （）由题意可得 016 143)3( 2 2 ab ba ，整理得 ab ab 16 13 2 ，2 分 消去b得 2 91010aa-+ =，解得1a =或 1 9 a =4 分 所以当1a =时，4b =， ( ) 2 44fxxx=+； 当 1 9 a =时， 4 3 b =， ( ) 2 14 4 93 fxxx=+. 综上所述，函数 ( ) fx的解析式为 ( ) 2 44fxxx=+或 ( ) 2 14 4 93 fxxx=+.6 分 （）因Za，于是 ( )
16、2 44fxxx=+，7 分 44lnln 2 xkxkxxfxg，8 分 要使函数 ( ) g x在区间, 2上单调递增， 则必须满足 04242 2 2 4 2 k k ，10 分 解得8k 中，y随x的增长而增长的速度越来越慢，根据已知条件应选 1, 0akaky x 更合适. 3 分 由已知得 27 18 3 2 ak ak ，解得 8 2 3 k a ，5 分 所以函数解析式为Nxy x 2 3 8.6 分 （）由（）知，当0 x =时，8y =，所以原先投放的此生物的面积为 8 平方米； 设 经 过x个 月 该 水 域 中 此 生 物 的 面 积 是 当 初 投 放 的1000倍
17、， 则 有 10008 2 3 8 x ，8 分 解得17 30. 048. 0 3 2lg3lg 1000lg x，11 分 所以约经过 17 个月，该水域中此生物的面积是当初投放的 1000 倍. 12 分 22.（本题满分 12 分） 解：由已知得 1cos 4 sin22 xxxf 1cos 4 sincos 4 cossin22 xxx 4 2sin22cos2sin1cos2cossin2 2 xxxxxx2 分 （）当 8 , 8 x时， 2 , 0 4 2 x，1 , 0 4 2sin x， 2, 0 xf 要使 0 2 mxmfxf对任意 8 , 8 x恒成立，令 ( ) t
18、fx=，则2, 0t， 0 2 mmttth对任意2, 0t恒成立， 只需 0222 00 mmh mh ，4 分 解得222m，所以实数m的取值范围为 , 222.5 分 （）假设同时存在实数a和正整数n满足条件，函数 ( )( ) g xfxa=-在n, 0上恰有 2019 个零点，即函数 ( ) yfx=与直线ya=在n, 0上恰有 2019 个交点. 6 分 当, 0 x时， 4 9 , 44 2 x， 当2a 或2a -时，函数 ( ) yfx=与直线ya=在n, 0上无交点， 当 2a = 或 2a =- 时，函数 ( ) yfx=与直线y a= 在0,上仅有一个交点， 此时要使函
19、数 ( ) yfx=与直线y a= 在 n, 0 上恰有 2019 个交点，则2019n =；8 分 当 21a- 或1 2a 时，函数 ( ) yfx=与直线y a= 在0,上有两个交点，此 时函数 ( ) yfx=与直线y a= 在n, 0上有偶数个交点，不可能有 2019 个交点，不符合； 当1a =时， 函数 ( ) yfx=与直线y a= 在0,上有 3 个交点， 此时要使函数 ( ) yfx= 与直线y a= 在n, 0上恰有 2019 个交点，则1009n=；11 分 综上可得，存在实数a和正整数n满足条件，当 2a = 时2019n =；当 2a =- 时， 2019n =；当1a =时，1009n=12 分
