1、 浙江省宁波市浙江省宁波市 20182018 第一学期期末考试高一数学试卷 (解析版)第一学期期末考试高一数学试卷 (解析版) 一、选择题(本大题共一、选择题(本大题共 1010 小题,共小题,共 40.040.0 分)分) 1.已知集合,则( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 故 选 A 2.若幂函数在区间上单调递减,则实数m的值可能为 A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 由幂函数的单调性结合选项得答案 【详解】幂函数在区间上单调递减, , 由选项可知,实数m的值可能为 故选:C 【点睛】本题考查幂函数的单调性,是基础题 3.M是边AB上的中点,记
2、,则向量 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由题意得, 选 C 4.函数的零点所在区间是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 计算各区间端点的函数值,根据零点的存在性定理判断 【详解】在上为增函数, 且, , 的零点所在区间为 故选:C 【点睛】本题考查了函数零点的存在性定理,对数运算,属于基础题. 5.已知 为锐角,则 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用诱导公式变形,结合平方关系把根式内部的代数式化为完全平方式,开方得答案 【详解】为锐角, 故选:D 【点睛】本题考查三角函数的化简求值,考查同角三角函数基本关系式及诱导公式的应用, 是
3、基础题 6.函数的图象可能是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 判断函数的奇偶性和对称性,利用,进行排除即可. 【详解】, 则函数是奇函数,图象关于原点对称,排除B,D, ,排除C, 故选:A 【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断,利用函数的奇偶性和对称性以及特殊值的符 号进行排除是解决本题的关键 7.以下关于函数的说法中,正确的是 A. 最小正周期 B. 在上单调递增 C. 图象关于点对称 D. 图象关于直线对称 【答案】B 【解析】 【分析】 根据三角函数的周期性,单调性以及对称性分别进行判断即可 【详解】函数的最小正周期,故A错误, 当时, 此时函数为增函数,故
4、B正确, , 即图象关于点不对称,故C错误, ,则图象关于直线不对称,故D错误, 故选:B 【点睛】本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断,结合三角函数的周期性,单调性 以及对称性是解决本题的关键 8.若向量 , 满足,且,则 , 的夹角为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 对两边平方计算,再代入夹角公式即可求出答案 【详解】由可得, 即, , , 的夹角为 故选:A 【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算,向量的夹角公式,属于基础题 9.设函数的定义域为A,且满足任意恒有的函数是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 满足任意恒有,则函数关于中心对
5、称,由此可得结论 【详解】满足任意恒有 函数关于中心对称 的对称中心为 故选:C 【点睛】本题考查函数的对称性,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题. 10.已知函数,的值城是,则 A. B. C. 2 D. 0 【答案】D 【解析】 【分析】 根据条件判断函数的奇偶性,利用奇偶性的性质结合值域得到,即可得到结论 【详解】, 即函数是奇函数,得图象关于原点对称, 函数的值城是, , 则, 故选:D 【点睛】本题主要考查函数值的计算,根据条件判断函数的奇偶性是解决本题的关键 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 7 7 小题,共小题,共 36.036.0 分)分) 11.已知,则_,_ 【
6、答案】 (1). 3 (2). 【解析】 【分析】 根据即可得出,从而得出,的值,进而得出的值 【详解】; ; ; 故答案为: 【点睛】考查分数指数幂的运算,以及对数的定义,对数的运算性质 12.设,则_,_ 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 由已知展开两角和的正切求,由同角三角函数基本关系式化弦为切求 【详解】由, 得, 故答案为:; 【点睛】本题考查三角函数的化简求值,考查同角三角函数基本关系式的应用及两角和的正 切,是基础题 13.已知向量,则_;若,则_ 【答案】 (1). (2). 2 【解析】 【分析】 直接由向量模的公式计算;再由向量共线的坐标运算列式求解 值 【
7、详解】,; 由,且, 得,即 故答案为:;2 【点睛】本题考查向量模的求法,考查向量共线的坐标运算,是基础题 14.已知函数一部分图象如图所示, 则_, 函数 的单调递增区间为_ 【答案】 (1). 2 (2). , 【解析】 【分析】 根据图象先求出函数的周期,和 ,利用五点对应法求出函数的解析式,结合函数单调性的性 质进行求解即可 【详解】由图象知, 则周期, 即,即, 即, 由五点对应法得,即, 则, 由, 得, 即函数的单调递增区间为, 故答案为:, 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质,根据条件求出的解析式是解决本题的关键 15.已知一个扇形的弧长为,其圆心角为 ,则这扇形的面积
8、为_ 【答案】2 【解析】 【分析】 根据孤长公式求出对应的半径,然后根据扇形的面积公式求面积即可. 【详解】扇形的半径为,圆心角为 , 弧长 , 这条弧所在的扇形面积为,故答案为 . 【点睛】本题主要考査扇形的面积公式和弧长公式,意在考查对基础知识与基本公式掌握的 熟练程度,属于中档题. 16.已知且,函数,满足对任意实数,都有 成立,则实数a的取值范围为_ 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意知函数在R上为增函数,利用分段函数的单调性列不等式组,从而求出a的取值 范围 【详解】函数, 对任意实数,都有成立, 则在R上为增函数; 当时,函数为增函数,则有,即; 当时,函数为增函数,则有;
9、由在R上为增函数,则,即有; 由可得a的取值范围为: 故答案为: 【点睛】本题考查了分段函数的单调性与应用问题,注意各段的单调性,以及分界点的情况, 是易错题 17.已知单位向量 , ,满足,向量 满足,则的取值范围是 _ 【答案】 【解析】 【分析】 由题意, 不妨设, 根据可得到点和 的距离和为,可得直线AB的方程,则表示点点到直线直线AB 上点的距离,即可求出范围 【详解】由题意,单位向量 , ,满足,不妨设, , , , 即到点和的距离和为, 则直线AB的方程为, 表示点点到线段AB上点的距离, , 最大值为到的距离即为, 故的取值范围是, 故答案为:. 【点睛】本题考查向量的坐标运算
10、,考查两点的距离公式和点到直线的距离公式,向量模的 几何意义,属于中档题 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 5 5 小题,共小题,共 74.074.0 分)分) 18.已知集合, 1 求; 2 已知,若,求实数a的取值范围 【答案】 (1), (2). 【解析】 【分析】 (1) 由指数不等式、 对数不等式的解法得:A=,B=, 故AB=; (2)由集合的包含关系得:CB,则:a4,得到 的范围是 【详解】 (1)解不等式 x-44,得:3x6,即 A=, 解不等式 log3(2x+1)2,得:x4,即B=, 故AB=, (2)由集合的包含关系得:CB,则:a4, 所以 的范围是 【点
11、睛】本题考查了指数不等式、对数不等式的解法及集合的包含关系,属简单题 19.已知函数 1 求函数的最小正周期; 2 现将函数图象上所有的点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 , 得到函数的图 象,求在区间上的值域 【答案】 (1) ; (2) 【解析】 【分析】 (1)首先利用平面向量的数量积运算和三角函数关系式的恒等变换,把三角函数的关系式转 换为正弦型函数,进一步求出函数的最小正周期 (2)利用函数的关系式和函数的图象的平移变换的应用求出函数的值域 【详解】 1 函数 , , 函数的最小正周期; 2 由于, 将函数图象上所有的点的横坐标伸长到原来的 2 倍 纵坐标不变 , 得到函数的
12、图象, 由于, 故:, 所以:, 故:的值域为 【点睛】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,正弦型函数性质的应用,函数 图象的平移变换和伸缩变换的应用,主要考查学生的运算能力和转化能力,属于基础题型 20.如图所示,在等腰梯形ABCD中,已知,动点E和F 分别在线段BC和DC上,且, 1 求的值; 2 求的最小值,并求出此时t的值 【答案】 (1)3; (2) 【解析】 【分析】 1 结合向量的数量积公式即可求出 2 利用等腰梯形的性质结合向量的数量积公式将所求表示为关于 的代数式, 根据具体的形式 求最值 【详解】 1, 2 , , , 故当时,的最小值为 【点睛】本题考查了等腰梯
13、形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值;关 键是正确表示所求,利用基本不等式求最小值 21.如图,在平面直角坐标系中,角 , 的顶点与原点重合,始边与x轴非负半轴重合,角 , 的终边与单位圆分别交、两点 1 求的值; 2 若,求的值 【答案】 (1); (2) 【解析】 【分析】 1 根据三角函数的定义求出,和,的值,利用两角和差的余弦公式进行求解 2 先求出的三角函数值,结合两角和差的正弦公式求的值即可. 【详解】 1 由、, 得,、, 则 2, , 则, 【点睛】本题主要考查三角函数值的计算,结合三角函数的定义求出对应角的三角函数值, 以及利用两角和差的公式进行求解是解决本题
14、的关键 22.设,其中 1 当时,分别求及的值域; 2 记,若,求实数 t的值 【答案】 (1); (2)或或或 【解析】 【分析】 1 当时,求出函数和的解析式,结合二次函数的性质进行求解即可 2 根据,得到两个集合的值域相同,求出两个函数对应的最值建立方程即可 【详解】 1 当时,由, 当且仅当时,取等号,即的值域为 设,则, 则, 当且仅当,即时,取等号, 故的值域为 2,即此时函数的值域为 , , ,得或, 当时,即或, ,即, 即,则,得或成立 当时,即时, , 即,即, 即或或, 或满足条件, 综上或或或成立 【点睛】本题主要考查函数值域的应用,结合复合函数值域关系求出的最值是解决本题的关 键综合性较强,运算量较大,有一定的难度