1、第 - 1 - 页 共 16 页 直线、平面平行的判定及其性质测试直线、平面平行的判定及其性质测试 第 1 题. 已知a，m，b，且m/，求证：ab/ 答案：证明： m mmaab amb 同理 / / 第 2 题. 已知：b，a/，a/，则a与b的位置关系是 （ ） ab/ ab a，b相交但不垂直 a，b异面 答案： 第 4 题. 如图，长方体 1111 ABCDABC D中， 11 E F是平面 11 AC上的线 段，求证： 11 E F/平面AC 答案：证明：如图，分别在AB和CD上截取 11 AEAE， 11 DFD F， 连接 1 EE， 1 FF，EF 长方体 1 AC的各个面为
2、矩形， 11 AE平行且等于AE， 11 D F平行且等于DF， 故四边形 11 AEE A， 11 DFFD为平行四边形 1 EE平行且等于 1 AA， 1 FF平行且等于 1 DD 1 AA平行且等于 1 DD， 1 EE平行且等于 1 FF， 四边形 11 EFFE为平行四边形， 11 E FEF/ EF 平面ABCD， 11 E F 平面ABCD， b a m A B C D 1 A 1 D 1 B 1 C 1 F 1 E A B C D 1 A 1 D 1 B 1 C 1 F 1 E E F 第 - 2 - 页 共 16 页 11 E F/平面ABCD 第 5 题. 如图，在正方形A
3、BCD中，BD的圆心是A，半径为AB， BD是正方形ABCD的对角线，正方形以AB所在直线为轴旋转一 周则图中，三部分旋转所得几何体的体积之比 为 答案：1 1 1 第 6 题. 如图， 正方形ABCD的边长为13， 平面ABCD外一点P到 正方形各顶点的距离都是13，M，N分别是PA，DB上的点， 且5 8PM MABN ND （） 求证：直线MN/平面PBC； （） 求线段MN的长 （） 答案：证明：连接AN并延长交BC于E，连接PE， 则由ADBC/，得 BNNE NDAN BNPM NDMA ， NEPM ANMA MNPE/，又PE 平面PBC，MN 平面PBC， A B C D A
4、 B C E N D M P 第 - 3 - 页 共 16 页 MN/平面PBC （） 解：由13PBBCPC，得60PBC； 由 5 8 BEBN ADND ，知 565 13 88 BE ， 由余弦定理可得 91 8 PE ， 8 7 13 MNPE 第 7 题. 如图， 已知P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M 为PB的中点， 求证：PD/平面MAC 答案：证明：连接AC、BD交点为O，连接MO， 则MO为BDP的中位线，PDMO/ PD平面MAC，MO平面MAC，PD/平面MAC 第 8 题. 如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，E，F分别是棱BC， 11 C D的中点
5、，求证：EF/平面 11 BB D D 答案：证明：如图，取 11 D B的中点O，连接OF，OB， OF 平行且等于 11 1 2 BC，BE平行且等于 11 1 2 BC， OF 平行且等于BE，则OFEB为平行四边形， EF/BO EF 平面 11 BB D D，BO平面 11 BB D D， EF/平面 11 BB D D 第 9 题. 如图，在正方体 1111 ABCDABC D中， C D A B M P C D A B M P O 1 A 1 B 1 D 1 C F E A B C D 1 A 1 B 1 D 1 C F E A B C D O 第 - 4 - 页 共 16 页
6、试作出过AC且与直线 1 D B平行的截面， 并说明理由 答案：解：如图，连接DB交AC于点O， 取 1 D D的中点M，连接MA，MC，则截面MAC 即为所求作的截面 MO为 1 D DB的中位线， 1 D BMO/ 1 D B 平面MAC，MO平面MAC， 1 D B/平面MAC， 则截面MAC为过AC且与直线 1 D B平行的截面 第 10 题. 设a，b是异面直线，a 平面，则 过b与平行的平面（ ） 不存在 有 1 个 可能不存在也可能有 1 个 有 2 个以上 答案： 第 11 题. 如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，求证：平面 1 ABD/ 平面 11 CD B 答
7、案：证明： 11 11 11 B BA A B BD D A AD D 四边形 11 BB D D是平行四边形 11 1 111 D BDB DBABD D BABD 平面 平面 / 111 11 1111 D BABD BCABD D BBCB 平面 同理平面 / / 111 BCDABD平面平面/ 1 A 1 D 1 B 1 C A B C D 1 A 1 D 1 B 1 C A B C D O M 1 D 1 A 1 C 1 B A B D C 第 - 5 - 页 共 16 页 第 12 题. 如图，M、N、P分别为空间四边形ABCD的边AB， BC，CD上的点，且AM MBCN NBC
8、P PD 求证： （）AC/平面MNP，BD/平面MNP； （）平面MNP与平面ACD的交线AC/ 答案：证明： （） AMCN MNAC MBNB ACMNPACMNP MNMNP / 平面/平面 平面 CNCP PNBD NBPD BDMNPBDMNP PNMNP / 平面/平面 平面 （） MNPACDPE ACACDPEAC ACMNP 设平面平面 平面/， /平面 MNPACDAC即平面与平面的交线/ 第 13 题. 如图， 线段AB，CD所在 直线是异面直线，E，F，G，H分 别是线段AC，CB，BD，DA的中点 （） 求证：EFGH共面且AB 面EFGH，CD面EFGH； （）
9、设P，Q分别是AB和CD上 任意一点，求证：PQ被平面EFGH平分 答案：证明： （） E，F，G，H分别是AC，CB，BD，DA A M B N C P E D A E H C F B G D M P Q N 第 - 6 - 页 共 16 页 的中点 ， EHCD/，FGCD/，EHFG/因此，E，F，G，H共面 CDEH/，CD平面EFGH，EH 平面EFGH， CD/平面EFGH同理AB/平面EFGH （）设PQ平面EFGHN，连接PC，设PCEFM PCQ所在平面 平面EFGHMN， CQ/平面EFGH，CQ 平面PCQ，CQMN/ EF 是ABC是的中位线， M是PC的中点，则N是P
10、Q的中点，即PQ被平面EFGH平分 第 14 题. 过平面外的直线l，作一组平面与相交，如果所 得的交线为a，b，c，则这些交线的位置关系为（ ） 都平行 都相交且一定交于同一点 都相交但不一定交于同一点 都平行或都交于同一点 答案： 第 15 题. a，b是两条异面直线，A是不在a，b上的点，则下 列结论成立的是（ ） 过A且平行于a和b的平面可能不存在 过A有且只有一个平面平行于a和b 过A至少有一个平面平行于a和b 过A有无数个平面平行于a和b 第 - 7 - 页 共 16 页 答案： 第 16 题. 若空间四边形ABCD的两条对角线AC，BD的长分别 是 8，12，过AB的中点E且平行
11、于BD、AC的截面四边形的周 长为 答案：20 第 17 题. 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC， CD，DA上的一点，且EFGH为菱形，若AC/平面EFGH，BD/平 面EFGH，ACm，BDn，则AEBE ： 答案：m n 第 18 题. 如图，空间四边形ABCD的对棱AD、BC成60 的角， 且ADBCa，平行于AD与BC的截面分别交AB、AC、CD、BD 于E、F、G、H （）求证：四边形EGFH为平行四边形； （）E在AB的何处时截面EGFH的面积最大？最大面积是多 少？ 答案： （）证明：BC/平面EFGH，BC 平面ABC， 平面ABC平面EFGHEF， B
12、CEF/同理BCGH/， EFGH/，同理EHFG/， 四边形EGFH为平行四边形 （）解：AD与BC成60 角， 60HGF或120 ，设:AE ABx， EFAE x BCAB ， A E B H F D G C 第 - 8 - 页 共 16 页 BCa，EFax，由1 EHBE x ADAB ， 得(1)EHax sin60 EFGH SEFEH 四边形 3 (1) 2 axax 22 3 () 2 axx 22 311 () 224 ax 当 1 2 x 时， 2 3 8 Sa 最大值 ， 即当E为AB的中点时，截面的面积最大，最大面积为 2 3 8 a 第 19 题. P为ABC所在
13、平面外一点，平面/平面ABC，交 线 段PA，PB，PC于ABC ，2 3PA AA， 则 ABCABC SS 答案：4 25 第 20 题. 如图， 在四棱锥PABCD中，ABCD是平行四边形，M， N分别是AB，PC的中点 求证：MN/平面PAD 答案：证明：如图，取CD的中点E，连接NE，ME M，N分别是AB，PC的中点， NEPD/，MEAD/， 可证明NE/平面PAD，ME/平面PAD 又NEMEE， 平面MNE/平面PAD， A P D M N B C 第 - 9 - 页 共 16 页 又MN 平面MNE，MN/平面PAD 第 21 题. 已知平面/平面，AB，CD是夹在两 平行
14、平面间的两条线段，A，C在内，B，C在 内，点E，F分别在AB，CD上， 且AE EBCF FDm n 求证：EF/平面 答案：证明：分AB，CD是异面、共面两种情况讨论 （） 当AB，CD共面时，如图（a） /，ACBD/，连接E，F AE EBCF FD，EFACBD/且EF，AC，EF/平面 （） 当AB，CD异面时，如图（b） ，过点A作AHCD/ 交于点H 在H上取点G，使AG GHm n，连接EF，由（）证明可得 GFHD/，又AG GHAE EB得EGBH/平面EFG/平面/平 面 又EF 面EFG，EF/平面 第 22 题. 已知a，m，b， 且m/， 求证：ab/ 答案：证明
15、： m mmaab amb 同理 / / 第 23 题. 三棱锥ABCD中，ABCDa， 截面MNPQ与AB、CD都 A C E F B D 图（a） A C E F B D 图（b） H G b a m A P D M N B C E 第 - 10 - 页 共 16 页 平行，则截面MNPQ的周长是（ ） 4a 2a 3 2 a 周长与截面的位置有关 答案： 第 24 题. 已知：b，a/，a/，则a与b的位置关系是 （ ） ab/ ab a、b相交但不垂直 a、b异面 答案： 第 25 题. 如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外的一 点，E、F分别是PA、BD上的点且:PE EAB
16、F FD，求证：EF/ 平面PBC 答案：证明：连结AF并延长交BC于M 连结PM， ADBC/， BFMF FDFA ， 又由已知 PEBF EAFD ， PEMF EAFA 由平面几何知识可得EF/PM， 又EFPBC，PM 平面PBC， EF/平面PBC 第 26 题. 如图， 长方体 1111 ABCDABC D中， 11 E F是平面 11 AC上的线 段，求证： 11 E F/平面ABCD 答案：证明：如图，分别在AB和CD上截得 11 AEAE， 11 DFD F， P E A C B D F A B C D 1 A 1 D 1 B 1 C 1 F 1 E 第 - 11 - 页
17、共 16 页 连接 1 EE， 1 FF，EF 长方体 1 AC的各个面为矩形， 1 EE平行且等于 1 AA， 1 FF平行且等于 1 DD 1 AA平行且等于 1 DD， 1 EE平行且等于 1 FF， 四边形 11 EFFE为平行四边形， 11 E FEF/ EF 平面ABCD， 11 E F 平面ABCD， 11 E F/平面ABCD 第 27 题. 已知正方体 1111 ABCDABC D， 求证：平面 11 AB D/平面 1 C BD 答案：证明：因为 1111 ABCDABC D为正方体， 所以 1111 DCA B/， 1111 DCAB 又 11 ABAB/， 11 ABA
18、B， 所以 11 DCAB/， 11 DCAB， 所以 11 DC BA为平行四边形 所以 11 D AC B/由直线与平面平行的判定定理得 1 D A/平面 1 C BD 同理 11 D B/平面 1 C BD，又 1111 D AD BD， 所以，平面 11 AB D/平面 1 C BD 第 28 题. 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平 面，求证：另一条也平行于这个平面 如图，已知直线a，b平面，且ab/，a/，a，b都在外 A B C D 1 A 1 D 1 B 1 C 1 F 1 E E F A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D c b a 第 - 12 - 页
19、共 16 页 求证：b/ 答案：证明：过a作平面，使它与平面相交，交线为c 因为a/，a，c， 所以ac/ 因为ab/， 所以bc/ 又因为c，b， 所以b/ 第 29 题. 如图， 直线AA，BB，CC相交于O，AOAO，BOBO， COCO 求证：ABC/平面ABC 答案：提示：容易证明ABAB/ ，ACAC/ 进而可证平面ABC/平面ABC 第 30 题. 直线a与平面平行的充要条件是（ ） 直线a与平面内的一条直线平行 直线a与平面内两条直线不相交 直线a与平面内的任一条直线都不相交 直线a与平面内的无数条直线平行 答案： 一、选择题 1、若/l，A，则下列说法正确的是（ ） A、过A
20、在平面内可作无数条直线与l平行 B、 过A在平面内仅可作一条直线与l平行 O A B C A B C 第 - 13 - 页 共 16 页 C、 过A在平面内可作两条直线与l平行 D、 与A的位置 有关 2、 ba/ ， Pa ，则b与的关系为（ ） A、 必相交 B、 必平行 C、 必在内 D、 以上均有可能 3、 A ，过A作与平行的直线可作（ ） A 、 不 存 在 B 、 一 条 C 、 四 条 D、 无数条 4、/a，b、c，ba/，cb ，则有（ ） A、 ca/ B、 ca C、 a、c共面 D、 a、 c异面，所成角不确定 5、下列四个命题 （1）ba/，cb/ca/ （2） b
21、a ， cb ca/ （3）/a，bba/（4）ba/，/b/a 正确有 （ ）个 A、 1 B、 2 C、 3 D、 4 6、若直线a直线 b，且 a平面，则 b 与 a 的位置关系 是（ ） A、一定平行 B、不平行 C、平行或相交 D、 平行或在平面内 7、 直线 a平面,平面内有 n 条直线交于一点， 那么这 n 条直线中与直线 a 平行的（ ） A、至少有一条 B、至多有一条 C、有且只有一条 D、 不可能有 8、若 a/b/c , 则经过 a 的所有平面中（ ） A、必有一个平面同时经过 b 和 c B、必有一个平面经过 b 且不经过 c C、必有一个平面经过 b 但不一定经过 c
22、 D、不存在同时经过 b 和 c 的平面 二、填空题 9、过平面外一点，与平面平行的直线有_条，如果 第 - 14 - 页 共 16 页 直线 m平面，那么在平面内有_条直线与 m 平 行 10、n平面，则 mn 是 m的_条件 11、 若P是直线l外一点， 则过P与l平行的平面有_ 个。 三、解答题 12、已知：l ,m ,lm 求证：l 13、a、b异面，求证过b与a平行的平面有且仅有一个。 14、正方形ABCD交正方形ABEF于AB，M、N在对角线AC、FB 上，且 FNAM ，求证： /MN 平面BCE。 15、P为 ABCD所在平面外一点， PAE ， ACF ，且 FA CF EB
23、 PE ， 求证： /EF 面PCD。 线面平行及性质 1. 已知： b ，a / ，a / ，则a与b的位置关系是（ ） a b/ a b a，b相交但不垂直 a，b异面 2. 已知： b ，a / ，a / ，则a与b的位置关系是（ ） a b/ a b a、b相交但不垂直 a、b异面 3. 直线a与平面平行的充要条件是（ ） 直线a与平面内的一条直线平行 直线a与平面内两条直线不相交 直线a与平面内的任一条直线都不相交 直线a与平面内的无数条直线平行 4. 如图，已知P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M为PB 的中点， B M P 第 - 15 - 页 共 16 页 求证：PD/平面
24、MAC 5. 如图， 在正方体 1111 ABCDABC D 中，E，F分别是棱BC， 11 C D 的 中点，求证：EF/平面 11 BB D D 6. 如图，在正方体 1111 ABCDABC D 中，试作出过AC且与直线 1 D B 平行的截面，并说明理由 7. 如图，M、N、P分别为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD 上的点，且AM MB CN NBCP PD 求证： （）AC/平面MNP，BD/平面MNP； （）平面MNP与平面ACD的交线 AC/ 1 A 1 B 1 D 1 C F E A B C D 1 A 1 D 1 B 1 C A B C D A M B N C P E D 第 - 16 - 页 共 16 页 8. 如图，空间四边形 ABCD的对棱AD、BC成60 的角，且 ADBCa ，平行于AD与BC的截面分别交AB、AC、CD、BD于 E、F、G、H 求证：四边形EGFH为平行四边形； 9. 如图，在四棱锥P ABCD 中，ABCD是平行四边形，M，N分 别是AB，PC的中点 求证：MN/平面PAD A E B H F D G C A P D M N B C
