1、 百师联盟百师联盟 20212021 届高三一轮复习联考届高三一轮复习联考( (四）全国卷四）全国卷 理科数学试卷理科数学试卷 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名.准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为考试时间为 120120 分钟分钟，满分满分 150150 分分 一、一、选择题：本大题共选择题：本大题共 1212 个小题个小题，每小题每小题 5 5 分分，共共
2、6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. . 1. 已知集合21,0,1,2U ，集合 2 0,Ax xxxU，则 U C A （ ） A0,1,2 B2, 1,2 C2, 1,1 D0,1 2. 已知复数z满足 2i z i ，其中i是虚数单位，则z在复平面内对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3. 若 3 sin0,) 4 (,cos，则 4 sin a 的值为（ ） A 7 8 B 46 8 C 7 8 D 46 8 4. 设 n S是等比数列 n a的前n项和，若 342
3、3 21,21aSa，则公比q （ ） A2 B1 C3 D2 5. 高斯1777 1855是德国著名数学家，物理学家，天文学家，大地测量学家，近代数学奠基者之一高 斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称，用其名字命名的高斯函数为:设,xR 用 x表示不超过x的最大整数，则 yx称为高斯函数，例如: 2.32,2.13, 已知函数 2 22,0,2f xxxx.设函数 yf x 的值域为集合D，则D中所有正整数元素个数为（ ） A3 B4 C5 D6 6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A364 B406 C324 D326 7.若实数0,0 xy，
4、且21xy，则 1 2 y xyy （ ） A有最大值为 7 3 B有最小值为 1 2 2 C有最小值为2 D无最小值 8. 设函数 12 f xasin xbsin x，则“ 2 0f 是 f x为偶函数”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 9. 已知动点A在圆 22 1: 1Cxy上运动，当过点A可作圆 2 2 2 13 :2 22 Cxy 的切线时，设 切点为B，则AB的最大值为（ ） A1 B2 C3 D2 10. 如图，在正方体 1111 ABCDABC D中，E为线段 1 AD上不含端点的动点，则直线 1 B E与 1 CC所成的 角的
5、余弦值不可能是（ ） A 1 2 B 1 3 C 3 3 D 2 4 11. 若双曲线 22 22 :10,0 xy Cab ab 的右顶点为A，圆 22 2(xycc为双曲线C的焦距)交双曲线 一条渐近线于,P Q两点，且 3 4 PAQ ，双曲线的离心率为（ ） A2 B3 C2 D5 12. 设函数 f x的定义域为R，满足 31f xf x，且当0,1x时， 2 ,fxxx若对任意 ,xa ，都有 54 25 f x ，则实数a的取值范围是（ ） A 12 , 5 B 13 , 5 C,2 D,3 二、填空题二、填空题: :本题共本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共
6、分，共 2020 分分. . 13.若, a b是两个不共线的向量，已知2 ,2,3MNab PNakb PQab，若,M N Q三点共 线，则k _ 14.设函数 x f xesinxm，若曲线 yf x在点 0,0f处的切线过点2,3，则实数 m 15.设函数 221 6 f xsinx 的图象为,C则下列结论中正确的是_ .(写出所有 正确结论的序号) 图象C关于直线 5 6 x 对称； 图象C关于点(),0 12 中心对称； 图象C可由函数 221g xsin x的图象向左平移 6 个单位长度得到； 函数 f x在 2 , 3 上单调递增. 16.设等差数列 n a的公差为,d前n项和
7、为 n S，且 1912 0,12,120aaS，则 5 ad的最大值 为 三、三、解答题解答题: :共共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .第第 17211721 题为必考题，每题为必考题，每 个试题考生都必须作答个试题考生都必须作答. .第第 2222、2323 题为选考题题为选考题，考生根据要求作答考生根据要求作答. . ( (一一) )必考题必考题:60:60 分分. . 17. 如图，在ABC中，内角, ,A B C所对的边分别是, ,a b c，且1,a 3 3 bc 1求角A的大小； 2若点D在边AC上， 4 A
8、DB ，求ABD的面积. 18. 已知数列 n a的前n项和为 n S，且满足: * 123 12 23, 3 n n nn aaananN . 1求数列 n a的通项公式； 2设 1 n S 的前n项和为, n T证明: 11 9 n T 19. 如图， 在四棱锥PABCD中，PD 底面,ABCD ADCD 1 / /,1 2 ABCD PDABADCD， ,M N Q分别为线段,BC CDPA的中点. 1证明:平面/PMN平面QDB； 2求二面角PBDQ的余弦值. 20. 已知抛物线 2 :20C ypx p的焦点,0F c关于直线 1: 10lxy 的对称点为 1 F，且 1 3 2FF
9、 . 1求抛物线C的方程； 2过点2,0的直线 2 l交抛物线C于,A B两点， 抛物线C上是否存在定点D， 使直线,AD BD的斜率之 和为定值，若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由. 21. 已知函数 1,f xxlnxaxaR. 1求函数 f x的单调区间； 2当2a 时，对 1,1xf xb x任意恒成立，求正整数b的最大值. ( (二二) )选考题选考题:10:10 分分. .请考生在第请考生在第 2222、2323 题中选定一题作答题中选定一题作答，并用并用 2B2B 铅笔在答题卡上将所选题铅笔在答题卡上将所选题 目对应的题号方框涂黑目对应的题号方框涂黑. .按所涂题号进行评
10、分按所涂题号进行评分，多涂、错涂、漏涂均不给分多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多答，则按如果多答，则按 所答第一题评分所答第一题评分. . 22.选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy中，曲线 1 C的参数方程为 _23 1 2 1 t x t y t (t为参数)，曲线 2 C的参数方程为 2xcos ysin (为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系. 1求 1 C的普通方程和 2 C的极坐标方程； 2求曲线 2 C上的点到曲线 1 C距离的最小值. 23. 选修 45:不等式选讲(10 分) 若, ,a b c为正实数，且满足231abc. 1求abc的最大
11、值； 2证明: 111 123 abc . 百师联盟百师联盟 20212021 届高三一轮复习联考届高三一轮复习联考( (四）全国卷四）全国卷 理科数学参考答案及评分意见理科数学参考答案及评分意见 一、选择题一、选择题 1.D【解析】 2 0, 10,21,2Ax xxxUx xxxU 或， 所以0,1 U C A， 故选D. 2. D【解析】 2 22 1 2 i ii zi ii ， 所以z在复平面对应的点(1,)2位于第四象限， 故选D. 3. D【解析】因为() 3 4 sincossincos， 所以 296 1 2,20 1617 sincossin cossin cos ， 因为
12、0,a， 所以 223 0,0,0,12, 216 sincossincossin cos 246 , 428 sinsincos 故选D. 4.C【解析】因为 3423 21,21SaSa， 两式作差得 32343 222SSaaa， 即 43 3aa， 则该等比数列的公比3,q 故选C. 5.A【解析】函数 f x图象的对称轴为 1 4 x ， 当0,2x时， 易知 min 117 48 ffx . 17 ,4 8 fx . 所以 yf x 的值域3, 2, 1,0,1,2,3D ， 故其值域中所有正整数元素为1,2,3,个数为3， 故选A. 6.D【解析】由三视图可知该几何体为上下两个半
13、圆柱加上中间一个长方体组合而成， 所以 2 22126 ,4 2 22 2 24 232,SS 半圆柱正方体 故326 ,SSS 表半圆柱长方体 故选D. 7.B【解析】因为21xy， 所以 1221211 22 2222222 yyxyyxyyxy xyyxyyxyyxyy 当且仅当 2 2 yxy xyy 即32 2,21xy 时取“” ， 故选B. 8.C【解析】若 f x为偶函数， 则 f xxf， 即 1212 asin xbsin xasinxbsinx 整理得 12 220,asinxcosbsinxcos 即 12 0,acosbcos 所以0, 2 f 若0, 2 f 即有
14、12 0,acosbcos 所以“0 2 f 是 f x为偶函数”的充要条件， 故选C. 9.B【解析】设, ,02A cossin， 则 2 2 2 2 13 sin, 22 ACcos 因为圆 2 C的半径为2,R 所以 22 2 2 3 322, 3 ABACRsincossintan 当且仅当1sin时取“” ， 故此时AB最大值为2， 故选B. 10.C【解析】如图建立空间直角坐标系， 不妨设正方体的棱长为1, 则 1 1,0,1 ,B 设0, ,1Eaa， 所以 111 1,01 ,0,0,1B EaaaCCAA , 11 11 2 11 ,0 21 CCB Ea cos CC B
15、 E CCB Ea 令 2 2 1 1 21 2 x f x x x 所以 f x在0,1单调递减， 易知 3 ,0 3 f x 则直线 1 B E与 1 CC所成的角的余弦值的范围为0,3， 故选C. 11.D【解析】不妨设圆与双曲线渐近线 b yx a 相交且点的坐标为 000 ,0 xyx ， 则点Q的坐标为 00 ,xy， 联立 00 b yx a 和 222 00 xyc 解得,P a b Qab， 所以,PAb 22 4QAab 又因为,0A a且 3 4 PAQ ， 所以由余弦定理得 222222 3 4423cos 4 cbabbab 结合 222 cab 化解得 22 5ac
16、， 所以离心率5 c e a ， 故选D. 12.A【解析】当0,1x时， 2 f xxx的最小值为 1 4 ； 当1,0 x 时， 2 10,111,1xf xxx 由 3 1f xf x知， 1 1 3 f xf x， 所以此时 21 11 3 f xxx ， 其最小值为 1 12 ； 同理， 当1,2x时， 2 311f xxx ，其最小值为 3 4 ； 当2,3x时， 2 922fxxx 的最小值为 9 4 ； 作出如简图， 因为 9543 4254 要使 54 25 f x 则有 254 922 25 xx . 解得 12 5 x 或 13 5 x 要使对任意,xa ，都有 54 2
17、5 f x ， 则实数a的取值范围是 12 , 5 . 故选A. 二、填空题二、填空题 13.1【解析】由题意知，1NQPQPNakb， 因为,M N Q三点共线， 故,MNNQ 即21abakb ， 解得1,1k. 故答案为1. 14. 1【解析】由题意得 xx fxesinxecosx， 当0 x 时， 01f， 所以曲线 yf x在 0,0f处的切线方程为32yx， 即1,yx 而 0,fm该切线过点0,m， 代入解得1m. 故答案为1. 15.【解析】当 5 6 x 时， min 5 3 6 ff x ， 故正确； 当 12 x 时.10, 12 f 所以错误； 函数 221g xsi
18、n x的图象向左平移詈个单位长度得到的函数为 221221 63 h xsinxsimx 所以错误； ysinx在区间 35 , 22 上单调递增， 当 2 , 3 x 时， 31335 2, 62622 x ， 易知正确. 故答案为. 16.8【解析】由题意得 1 91 121 0 812 1266120 a aad Sad ， 即 1 1 1 0 812, 21120 a ad ad 令 1, ya xd， 所以有， 0 812 11220 y xy xy 则 5 ad为3xy，作出动点,P x y的可行域如下图阴影部分所示: 解得 4 28 , 55 A ， 令33zxyyxz ， 易知
19、要使z得取得最大值，可行域内的A点即为所求， 此时 max 428 338. 55 zxy 故答案为8. 三、解答题三、解答题 17. 【解析】 1因为在ABC中， 3 1, 3 abc， 所以由余弦定理: 222 1 22 bca cosA bc 因为0,A 所以 2 3 A 2在ABD中，由正弦定理: ABBD sin ADBsinA ， 即 3 3 23 22 BD 解得 2321262 , 2123422224 BDsin ABDsinsin 所 133 224 ABD SABBDsin ABD 18.【解析】 1因为 123 3 12 23 n n nn aaana 所以 1 3 1
20、 2 3 2,a 当2n时， 1231 11 231 3 n n nn aaana 得 2 1 1 3 11 3 n n nnn n n nan n 所以1 n an，而 1 a也适合此式， 所以 * 1. n annN 2 122211 21333 n nnn nSnn 所以 21111111 1 3425123 ( n T nnnn 21111111 1 3231239nnn 19. 【解析】 1如图，连接,AN BN OQ，设,AN BN交于点， 因为N为CD中点， 1 , 2 ABCD 所以 1 , 2 DNCDAB 因为,ADCD 所以四边形ABND为矩形， 所以为AN中点， 因为Q
21、为PA中点， 所以/ /,OQPN 因为M为BC中点， 所以/ /,BDMN 因为PN 平面,PMN MN 平面,PMN OQ 平面,QDB BD 平面QDB. ,PNMNN OQBDO， 平面/PMN平面QDB. 2因为PD 平面,ABCD ADCD 可如图建立空间直角坐标系: 所以 11 0,0,0 ,0,0,1 ,1,1,0 ,0, 22 DPBQ 11 0,0,1 ,1,1,0 ,0, 22 DPDBDQ 设平面PBD和平面QBD的一个法向量分别为 111222 ,mx y znxy z， 则有 0 0 m DP m DB 0 0 n DQ n DB 即 1 11 0 0 z xy ，
22、 22 22 0 11 0 22 xy xz 取 12 1xx得(),1, 1,01, 1, 1mn 设二面角PBDQ的大小为， 所以 6 3 m n cos m n 20. 【解析】 1点F到直线 1 l的距离 13 2 2 22 c dc 所以抛物线C的方程为 2 8yx. 2存在，2,4D或4(2,)D. 理由如下: 设 112200 ,A x yB xyD xy， 直线AB的方程为2,xmy 联立抛物线C的方程 2 8yx 有: 2 8160ymy， 所以 1212 8 ,16yym y y 则 10201020 2222 00121020 8888 ACBC yyyyyyyy kk
23、yyyyxxxx 120 2 1020120120 81688yyy yyyyy yyyyy 0 2 00 16 4 168 my myy 0 2 0 0 0 64 4 16 8 8 y m y ym y 当且仅当 2 00 0 16 = 48 yy y 时 解得 0 4y ， 所以2,4D或2, 4D. 21. 【解析】 1因为 1f xxlnxax， 所以 1fxlnxa， 令 1 0 a fxxe ， 当 1 0, a xe 时， 0fx ； 当 1,a xea 时， 0fx . 所以 f x的单调递增区间为 1,a e ；单调递减区间为 1 0, a e 2当2,1ax时， 1f xb
24、 x变形为 21 11 f xxlnxx b xx . 令 21 1 xlnxx g x x 2 2 1 lnxx gx x 令 11 2, 10 x h xlnxxhx xx 所以 h x在1,单调递增， 又 220,33 10,42 220hlnhlnhln 所以存在唯一 0 3,4x ， 使得 0h x ， 即 00 2lnxx， 故当 0 1,xx时， 0,h xg x单调递减 当 0, xx时， 0,h xg x单调递增； 所以 0 000 0 ln21 1 xx x xg x gx 2 0 0 0 1 1 1 x x x 即 0 1bx， 又 0 3,4x ， 所以 0 14,5x
25、 ， 因为 * bZ， 所以4 max b. 22.【解析】 1由 23 2 1 1 t y t x t 所以 211231 2 111 tt x ttt ， 得2,x 消去参数t得 1 C的普通方程为240()2xyx； 由 2cos sin xa ya 得 2 222 2 1ycos asi x n a ， 整理得曲线 2 C的普通方程为 2 2 1 2 x y， 将,xcosysin代入得其极坐标方程为 2 2 2 1sin 2设曲线 2 C上任意一点的坐标为 2,cosa sina， 则曲线 2 C上的点到曲线 1 C的距离 2 2cossin4 3sin4 55 aa a d 其中2 2tan 当1()sin a时， 5 5 min d 23.【解析】 1因为, ,a b c为正实数，231,abc 所以 33 1233 3233 6abcabcabc 即 1 162 abc 当且仅当 1 23 3 abc时等号成立， 所以abc的最大值为 1 162 2由柯西不等式: 2 2 111111 233123abcabc abcabc 即 111 123 abc 当且仅当23abc， 即 111 , 123226336 abc 时取等号.
