1、. 压轴大题突破练压轴大题突破练(三三) 函数与导数函数与导数(1) 1.已知函数 f(x)(x22ax2)ex. (1)函数 f(x)在 x0 处的切线方程为 2xyb0，求 a，b 的值； (2)当 a0 时，若曲线 yf(x)上存在三条斜率为 k 的切线，求实数 k 的取值范围. 解 (1)f(x)(x22ax2)ex， f(0)2e02，2b0，得 b2. f(x)(x22ax22x2a)ex x2(22a)x22aex， f(0)22a2，得 a2， a2，b2. (2)f(x)x2(22a)x22aex， 令 h(x)f(x)，依题意知存在 k 使 h(x)k 有三个不同的实数根，
2、 h(x)(x22ax22x2a2x2a2)ex x2(42a)x44aex， 令 h(x)x2(42a)x44aex0， 得 x12，x22a2. 由 a0 知 x1x2，则 f(x)在(，2)，(2a2，)上单调递增，在(2，2a2)上单 调递减. 当 x时，f(x)0，当 x时，f(x)， f(x)的极大值为 f(2)e 2(2a2)， f(x)的极小值为 f(2a2)e2a 2(22a)， 此时 e2a 2(22a)ke2(2a2). 2.(2016 四川)设函数 f(x)ax2aln x，其中 aR. (1)讨论 f(x)的单调性； (2)确定 a 的所有可能取值，使得 f(x)1
3、xe 1x在区间(1，)内恒成立(e2.718为自然对 数的底数). 解 (1)f(x)2ax1 x 2ax21 x (x0). 当 a0 时，f(x)0 时，由 f(x)0，有 x 1 2a. 此时，当 x? ? ? ? 0， 1 2a 时，f(x)0，f(x)单调递增. (2)令 g(x)1 x 1 ex 1，s(x)ex 1x. 则 s(x)ex 11.而当 x1 时，s(x)0， 所以 s(x)在区间(1，)内单调递增. 又由 s(1)0，有 s(x)0，从而当 x1 时，g(x)0. 当 a0，x1 时，f(x)a(x21)ln xg(x)在区间(1，)内恒成立时，必有 a0. 当
4、01. 由(1)有 f? ? ? ? 1 2a 0， 所以此时 f(x)g(x)在区间(1，)内不恒成立. 当 a1 2时，令 h(x)f(x)g(x)(x1). 当 x1 时，h(x)2ax1 x 1 x2e 1xx1 x 1 x2 1 x x32x1 x2 x 22x1 x2 0. 因此，h(x)在区间(1，)内单调递增. 又因为 h(1)0，所以当 x1 时，h(x)f(x)g(x)0，即 f(x)g(x)恒成立. 综上，a? ? ? ? 1 2， . 3.已知函数 f(x)x2ln x. (1)求曲线 f(x)在点(1，f(1)处的切线方程； (2)求函数 f(x)的单调递减区间； (
5、3)设函数 g(x)f(x)x2ax，a0，若 x(0，e时，g(x)的最小值是 3，求实数 a 的值(e 为 自然对数的底数). 解 (1)f(x)x2ln x， f(x)2x1 x.f(1)1. 又f(1)1， 曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 y1x1，即 xy0. (2)函数 f(x)x2ln x 的定义域为(0，)， 由 f(x)2x1 x0，得 0x 2 2 . 函数 f(x)x2ln x 的单调递减区间是(0， 2 2 ). (3)g(x)axln x， . g(x)ax1 x ，令 g(x)0，得 x1 a. 当1 ae，即 0a 1 e时， g(x)ax1 x
6、 0 在(0，e上恒成立， 则 g(x)在(0，e上单调递减， g(x)ming(e)ae13，a4 e(舍去)； 当 01 ae，即 a 1 e时，列表如下： x (0，1 a) 1 a (1 a，e) e g(x) 0 g(x) 极小值 1ln a ae1 由表知，g(x)ming(1 a)1ln a3，ae 2，满足条件. 综上，所求实数 ae2，使得当 x(0，e时 g(x)有最小值 3. 4.已知函数 f(x)2 xaln x2(a0). (1)若曲线 yf(x)在点 P(1，f(1)处的切线与直线 yx2 垂直，求函数 yf(x)的单调区间； (2)若对?x(0，)都有 f(x)2
7、(a1)成立，试求实数 a 的取值范围； (3)记 g(x)f(x)xb(bR)，当 a1 时，函数 g(x)在区间e 1，e上有两个零点，求实数 b 的取值范围. 解 (1)直线 yx2 的斜率为 1，函数 f(x)的定义域为(0，)，f(x) 2 x2 a x， f(1) 2 12 a 11，解得 a1， f(x)2 xln x2，f(x) x2 x2 ， 由 f(x)0 得 x2，由 f(x)0)， 由 f(x)0 得 x2 a，由 f(x)2(a1)成立， f(2 a)2(a1)，即 2 2 a aln 2 a22(a1)， aln 2 aa，ln 2 a1，00)， g(x)x 2x2 x2 ，由 g(x)0 得 x1， 由 g(x)0 得 0x1. g(x)的单调递增区间是(1，)， 单调递减区间为(0，1)， 当 x1 时，g(x)取得极小值 g(1). 函数 g(x)在区间e 1，e上有两个零点， ? ? ? ? ? g?e 1?0， g?e?0， g?1?0， 解得 1b2 ee1. b 的取值范围是(1，2 ee1.
