1、. 7概率与统计概率与统计 1随机抽样方法 简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同点是抽样过程中每个个体被抽取的机会相等，且 是不放回抽样 问题 1 某社区现有 480 个住户，其中中等收入家庭 200 户、低收入家庭 160 户，其他为高 收入家庭在建设幸福社区的某次分层抽样调查中，高收入家庭被抽取了 6 户，则该社区本 次抽取的总户数为_ 答案 24 解析 由抽样比例可知6 x 480200160 480 ，则 x24. 2对于统计图表问题，求解时，最重要的就是认真观察图表，从中提取有用信息和数据对 于频率分布直方图，应注意的是图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率茎 叶图没有原
2、始数据信息的损失，但数据很大或有多组数据时，茎叶图就不那么直观、清晰了 问题 2 (2015 湖南)在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所 示： 若将运动员按成绩由好到差编为 135 号，再用系统抽样方法从中抽取 7 人，则其中成绩在 区间139,151上的运动员人数是_ 答案 4 解析 由题意知，将 135 号分成 7 组，每组 5 名运动员，落在区间139,151的运动员共有 4 组，故由系统抽样法知，共抽取 4 名 3在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的 值平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形底边
3、中点的横坐标之 和，众数是最高矩形的中点的横坐标 问题 3 某公司为了解用户对其产品的满意度，随机调查了 40 个用户，根据用户满意度的 评分制成频率分布直方图(如下)，则该地区满意度评分的平均值为_ . 答案 77.5 解析 由直方图估计评分的平均值为 550.05650.2750.35850.25950.15 77.5. 4变量间的相关关系 假设我们有如下一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，?，(xn，yn)线性回归方程y b xa ， 其中 ? ? ? ? ? b ? i1 n ?xi x ?yi y ? ? i1 n ?xi x ?2 ? i1 n xiyin x y ? i1
4、n x 2 i 2in x 2 ， a y b x . 问题 4 回归直线y b xa 必经过点_ 答案 ( x ， y ) 5互斥事件的概率公式 P(AB)P(A)P(B) (1)公式适合范围：事件 A 与 B 互斥 (2)P( A )1P(A) 问题 5 抛掷一枚骰子，观察掷出的点数，设事件 A 为出现奇数点，事件 B 为出现 2 点， 已知 P(A)1 2，P(B) 1 6，则出现奇数点或 2 点的概率之和为_ 答案 2 3 6古典概型 P(A)m n(其中，n 为一次试验中可能出现的结果总数，m 为事件 A 在试验中包含的基本事件 个数) 问题 6 (2015 广东)已知 5 件产品中
5、有 2 件次品，其余为合格品现从这 5 件产品中任取 2 件，恰有一件次品的概率为( ) A0.4 B0.6 C0.8 D1 . 答案 B 解析 5 件产品中有 2 件次品，记为 a，b，有 3 件合格品，记为 c，d，e，从这 5 件产品中 任取 2 件，结果有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)， (d，e)共 10 种恰有一件次品的结果有 6 种，则其概率为 p 6 100.6. 7几何概型 一般地，在几何区域 D 内随机地取一点，记事件“该点在其内部一个区域 d 内”为事件 A， 则事件A发生的概率为P(A)d的度量
6、 D的度量.此处D的度量不为0， 其中“度量”的意义依D确定， 当 D 分别是线段、平面图形和立体图形时，相应的度量分别为长度、面积和体积等 即 P(A) 构成事件A的区域长度?面积或体积? 试验的全部结果所构成的区域长度?面积或体积?. 问题 7 在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 O 为底面 ABCD 的中心，在正方体 ABCDA1B1C1D1内随机取一点 P，则点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为( ) A. 12 B1 12 C. 6 D1 6 答案 B 解析 记“点 P 到点 O 的距离大于 1”为 A， P(A) 231 2 4 31 3 23 1 12.
7、 8解排列组合问题的常用策略 相邻问题捆绑法；相间隔问题插空法；定位问题优先法；多元问题分类法；至多至少问题间 接法；相同元素分组可采用隔板法，数量不大时可以逐一排出结果 问题 8 4 个不同的小球放入编号为 1、2、3、4 的 4 个盒中，则恰有 1 个空盒的放法共有 _种 答案 144 解析 把4个球分成3组， 每组至少1个， 即分的小球个数分别为2,1,1的3组， 有C 2 4C 1 2C 1 1 A22 种 最 后将三组球放入 4 个盒中的 3 个， 有分配方法数 A34种， 因此， 放法共有C 2 4C 1 2C 1 1 A22 A34144(种) 9二项式系数的性质 (1)对称性：
8、CknCn k n (k0,1,2，?，n) (2)系数和：C0nC1n?Cnn2n，C1nC3nC5n?C0nC2nC4n?2n 1. (3)最值：n 为偶数时，n1 为奇数，中间一项的二项式系数最大且为第(n 21)项，二项式系 . 数为 2 C n n ；n 为奇数时，(n1)为偶数，中间两项的二项式系数最大为第n1 2 项及第n1 2 1 项，其二项式系数为 11 22 CC. nn nn ? ? 问题 9 已知( x1 2 4 1 x) n展开式中，前三项系数成等差数列 (1)求 n； (2)求第三项的二项式系数及该项的系数 解 (1)前三项系数为 1，1 2C 1 n，1 4C 2
9、 n，成等差数列， 所以 21 2C 1 n11 4C 2 n，即 n 29n80，得 n1(舍)或 n8. (2)由 n8 可知其通项公式为 Tk1Ck8( x)8 k (1 2 4 1 x) k 3 4 4 8 1 ( ) C0,18 2 k kkx k? ， ， ， ， 所以第三项的二项式系数为 C2828， 第三项系数为(1 2) 2C2 87. 10条件概率 P(A|B)P?AB? P?B? . 问题 10 设 A、B 为两个事件，若事件 A 和 B 同时发生的概率为 3 10，在事件 A 发生的条件 下，事件 B 发生的概率为1 2，则事件 A 发生的概率为_ 答案 3 5 11离
10、散型随机变量的均值、方差 (1)离散型随机变量的均值、 方差： E(X)x1p1x2p2?xipi?xnpn为随机变量 X 的均值， D(X)x1E(X)2p1x2E(X)2p2?xnE(X)2pn叫做这个离散型随机变量 X 的方差 (2)两点分布与二项分布的均值、方差 若 X 服从两点分布，则 E(X)p，D(X)p(1p) 若 XB(n，p)，则 E(X)np，D(X)np(1p) 问题 11 若随机变量 的分布列如下表，则 E()的值为_. 0 1 2 3 4 5 . P 2x 3x 7x 2x 3x x 答案 20 9 解析 根据概率之和为 1，求出 x 1 18， 则 E()02x1
11、3x?5x40x20 9 . 12一般地，如果对于任意实数 a4)0.2， 由题意知图象的对称轴为直线 x2， P(4)0.2， P(04)0.6. P(08，且 nN*)，其中女校友 6 位， 组委会对这 n 位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出 2 位校友代表，若选出的 2 位校友是一男一女，则称为“最佳组合” (1)若随机选出的 2 位校友代表为“最佳组合”的概率不小于1 2，求 n 的最大值； (2)当n12时， 设选出的2位校友代表中女校友人数为X， 求随机变量X的分布列和均值E(X) 解 (1)由题意可知，所选 2 人为“最佳组合”的概率为 C1n6C16 C2n 12?n6? n?n1? ， 则12?n6? n?n1? 1 2. 化简得 n225n1440，解得 9n16， 故 n 的最大值为 16. (2)由题意可得，X 的可能取值为 0,1,2. 则 P(X0) C26 C212 5 22，P(X1) C16C16 C212 6 11，P(X2) C26 C212 5 22， X 的分布列为 X 0 1 2 P 5 22 6 11 5 22 E(X)0 5 221 6 112 5 221.
