1、. 高考小题分项练高考小题分项练 10 圆锥曲线圆锥曲线 1 椭圆x 2 9 y2 51的两个焦点分别为点F1、 F2， 点P是椭圆上任意一点(非左右顶点)， 则PF1F2 的周长为( ) A6 B8 C10 D12 答案 C 解析 由x 2 9 y2 51 知 a3，b 5，c a 2b22，所以PF 1F2周长为 2a2c64 10，故选 C. 2已知圆 x2y2mx1 40 与抛物线 x 24y 的准线相切，则实数 m 等于( ) A 2 2 B 3 C. 2 D. 3 答案 B 解析 因为圆 x2y2mx1 40，即(x m 2) 2y2m 21 4 与抛物线 x24y 的准线相切，所
2、以 m21 4 1， m 3，故选 B. 3点 F1，F2分别是双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点，过点 F1的直线 l 与 C 的 左、右两支分别交于 A，B 两点，若ABF2为等边三角形，则双曲线 C 的离心率为( ) A. 3 B2 C. 7 D3 答案 C 解析 ABF2是等边三角形，|BF2|AB|， 根据双曲线的定义，可得 |BF1|BF2|2a， |BF1|AB|AF1|2a， 又|AF2|AF1|2a，|AF2|AF1|2a4a. 在AF1F2中，|AF1|2a，|AF2|4a， F1AF2120 ， |F1F2|2|AF1|2|AF2|22|AF
3、1| |AF2| cos 120 ， 即 4c24a216a222a4a(1 2)28a 2， . 解得 c 7a，由此可得双曲线 C 的离心率 ec a 7. 4如图，抛物线的顶点在坐标原点，焦点为 F，过抛物线上一点 A(3，y)向准线 l 作垂线， 垂足为 B，若ABF 为等边三角形，则抛物线的标准方程是( ) Ay21 2x By2x Cy22x Dy24x 答案 D 解析 设抛物线方程为 y22px，则 F(p 2，0)，将 A(3，y)代入抛物线方程得 y 26p，y 6p， 由于ABF 为等边三角形，故 kAF 3，即 6p0 3p 2 3，解得 p2. 5过双曲线 x2y 2
4、151 右支上一点 P，分别向圆 C1：(x4) 2y24 和圆 C 2：(x4) 2y21 作切线，切点分别为 M，N，则|PM|2|PN|2的最小值为( ) A10 B13 C16 D19 答案 B 解析 |PM|2|PN|2(|PC1|24)(|PC2|21)|PC1|2|PC2|23 (|PC1|PC2|)(|PC1|PC2|)3 2(|PC1|PC2|)32|C1C2|313， 故选 B. 6双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)与抛物线 y 22px(p0)相交于 A，B 两点，直线 AB 恰好 过它们的公共焦点 F，则双曲线 C 的离心率为( ) A. 2 B1 2
5、 C2 2 D2 2 答案 B 解析 由题意，得 xAxBp 2c， . |yA| 2p p 2p2c， 因此c 2 a2 4c2 b2 1?4c 2 b2 b 2 a2?b 22ac?c2a22ac ?e22e10?e1 2(负值舍去)，故选 B. 7已知 ab0，椭圆 C1的方程为x 2 a2 y2 b21，双曲线 C2 的方程为x 2 a2 y2 b21，C1 与 C2的离心 率之积为 3 2 ，则 C2的渐近线方程为( ) A. 2x y0 Bx 2y0 C2x y0 Dx 2y0 答案 B 解析 ab0， 椭圆 C1的方程为x 2 a2 y2 b21， 离心率为 a2b2 a ； 双
6、曲线 C2的方程为x 2 a2 y2 b21， 离心率为 a2b2 a . C1与 C2的离心率之积为 3 2 ， a2b2 a a2b2 a 3 2 ， (b a) 21 2， b a 2 2 ， C2的渐近线方程为：y 2 2 x， 即 x 2y0.故选 B. 8我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”已知点 F1、 F2是一对相关曲线的焦点，点 P 是它们在第一象限的交点，当F1PF230 时，这一对相关 曲线中椭圆的离心率是( ) A74 3 B2 3 C. 31 D42 3 答案 B 解析 由题意设椭圆方程为x 2 a2 y2 b21， 双曲线方程为x 2
7、a21 y2 b211，且 cc1. 由题意c a c a11，(*) 又F1PF230 ，由余弦定理得： . 在椭圆中，4c24a2(2 3)|PF1|PF2|， 在双曲线中，4c24a21(2 3)|PF1|PF2|， 可得 b21(74 3)b2，代入(*)得 c4a21a2(c2b21)a2(84 3)c2a2(74 3)a4， 即 e4(84 3)e2(74 3)0， 得 e274 3，即 e2 3，故选 B. 9在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 为双曲线 x22y21 的右支上的一个动点，若点 P 到直 线 2x2y20 的距离大于 m 恒成立，则实数 m 的最大值为( ) A
8、2 B. 3 2 C. 6 3 D. 2 6 3 答案 C 解析 设点 P(x，y)，由题意得| 2x2y2| 6 minm，而直线 2x2y20 与渐近线 2x2y 0 的距离为 |2| 6 6 3 ，因此| 2x2y2| 6 min 6 3 ，即 m 6 3 ，实数 m 的最大值为 6 3 ，故选 C. 10过双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0，c a 2b2)的左焦点 F 作圆 x2y2c 2 4的切线，切点 为 E， 延长 FE 交双曲线 C 的右支于点 P， 若点 E 为 PF 的中点， 则双曲线 C 的离心率为( ) A. 21 B. 21 2 C. 31 D. 3
9、1 2 答案 C 解析 设双曲线 C：x 2 a2 y2 b21 (a0，b0，c a 2b2)的右焦点是 F，则 PF的长是 c， 并且FPF 2，|PF| 3c，从而 3cc2a，e 31， 故选 C. 11双曲线 C：x 2 a2 y2 b21 (a0，b0)的离心率为 3，抛物线 y 22px (p0)的准线与双曲线 C 的渐近线交于 A，B 两点，OAB(O 为坐标原点)的面积为 4 2，则抛物线的方程为( ) Ay28x By24x Cy22x Dy4 3x 答案 A . 解析 ec a 3?c 3a，b c 2a2 2a， y b ax 2x， SAOB1 2 p 2 2p4 2
10、，p4， 抛物线的标准方程是 y28x，故选 A. 12已知点 P( 2， 3)在双曲线x 2 a2 y2 31 上，双曲线的左、右焦点分别为点 F1、F2，PF1F2 的内切圆与 x 轴相切于点 M，则MP MF2 的值为( ) A. 31 B. 21 C. 21 D. 31 答案 B 解析 点 P( 2， 3)在双曲线x 2 a2 y2 31 上，可得 a1， 设点 M(x,0)，内切圆与 x 轴相切于点 M，PF1，PF2与圆分别切于点 N，H，由双曲线的定义 可知|PF1|PF2|2a2，由切线长定理知|PN|PH|，|NF1|HF2|2， 即|MF1|MF2|2， 可得(x2)(2x
11、)2，解得 x1，M(1,0)，MP MF2 ( 21， 3) (21,0) 21，故选 B. 13已知点 P 在抛物线 y24x 上，当点 P 到直线 yx4 的距离最短时，点 P 的坐标是 _ 答案 (1,2) 解析 设 P(y 2 4，y)，则点 P 到直线 yx4 的距离 d |y 2 4y4| 2 1 4?y2? 23 2 ，当 y2 时， d 取得最小值把 y2 代入 y24x，得 x1，所以点 P 的坐标为(1,2) 14 已知点 F1、 F2是椭圆 C： x2 a2 y2 b21(ab0)的两个焦点， P 为椭圆 C 上一点， 且PF1 PF2 . 若PF1F2的面积为 9，则
12、 b_. 答案 3 解析 由PF1 PF2 知F1PF290 ， . 则由题意，得 ? ? ? ? ? |PF1|PF2|2a， 1 2|PF1| |PF2|9， |PF1|2|PF2|24c2， 可得 4c2364a2，即 a2c29， 所以 b3. 15已知点 F1、F2分别为椭圆x 2 a2 y2 161 的左、右焦点，点 M 为椭圆上一点，且MF1F2 内 切圆的周长等于 3，若满足条件的点 M 恰好有 2 个，则 a2_. 答案 25 解析 由椭圆的对称性，知满足题意的点 M 是椭圆短轴的端点， |MF1|MF2|a.设内切圆 半径为 r， 则 2r3，r3 2，又 1 2(2a2c)r 1 22c4，所以(a a 216)3 24 a 216，解得 a2 25. 16方程 x2 4k y2 k11 表示的曲线为 C，给出下列四个命题： 曲线 C 不可能是圆； 若 14； 若曲线 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 10， k10， 4kk1， 解得k|14，正确 C 表示焦点在 x 轴上的椭圆，得 ? ? ? ? ? 4kk1， 4k0， k10， 4kk1， 解得：1k5 2，正确综上，正确的是.
