1、. 中档大题规范练中档大题规范练 4 概率与统计概率与统计 1.(2016 北京)A，B，C 三个班共有 100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽 样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)： A 班 6 6.5 7 7.5 8 B 班 6 7 8 9 10 11 12 C 班 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 (1)试估计 C 班的学生人数； (2)从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取 1 人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记 为乙.假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率； (3)再从 A，B，C
2、三个班中各随机抽取一名学生，他们该周的锻炼时间分别是 7，9，8.25(单 位：小时).这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为 1，表格中数据的平均 数记为 0，试判断 0和 1的大小(结论不要求证明). 解 (1)C 班学生人数约为 100 8 578100 8 2040. (2)设事件 Ai为“甲是现有样本中 A 班的第 i 个人”，i1，2，?，5， 事件 Cj为“乙是现有样本中 C 班的第 j 个人”，j1，2，?，8. 由题意可知 P(Ai)1 5，i1，2，?，5；P(Cj) 1 8，j1，2，?，8. P(AiCj)P(Ai)P(Cj)1 5 1 8 1 40，i
3、1，2，?，5，j1，2，?，8. 设事件 E 为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”，由题意知， E A1C1A1C2A2C1A2C2A2C3A3C1A3C2A3C3A4C1A4C2A4C3A5C1A5C2 A5C3A5C4. 因此 P(E)P(A1C1)P(A1C2)P(A2C1)P(A2C2)P(A2C3)P(A3C1)P(A3C2)P(A3C3) P(A4C1)P(A4C2)P(A4C3)P(A5C1)P(A5C2)P(A5C3)P(A5C4)15 1 40 3 8. (3)10. 2.某学校为准备参加市运动会，对本校甲、乙两个田径队中 30 名跳高运动员进行了测试， 并用茎叶图表示出
4、本次测试30人的跳高成绩(单位： cm).跳高成绩在175 cm以上(包括175 cm) 定义为“合格”， 成绩在 175 cm 以下定义为“不合格”.鉴于乙队组队晚， 跳高成绩相对较 弱，为激励乙队队员，学校决定只有乙队中“合格”者才能参加市运动会开幕式旗林队. . (1)求甲队队员跳高成绩的中位数； (2)如果将所有的运动员按“合格”与“不合格”分成两个层次，用分层抽样抽取“合格” 与“不合格”的人数共 5 人，则各层应抽取多少人？ (3)若从所有“合格”运动员中选取 2 名，用 X 表示所选运动员中甲队能参加市运动会开幕 式旗林队的人数，试写出 X 的分布列，并求 X 的均值. 解 (1
5、)由茎叶图知， 甲田径队12名队员的跳高成绩从小到大排列后中间的两个成绩为176、 178， 故中位数为 1 2 (176178)177. (2)由茎叶图可知，甲、乙两队合格人数为 12，不合格人数为 18，所以抽取五人，合格人数 为 5 30122，不合格人数为 5 30183. (3)X0，1，2，P(X0) C24 C212 1 11， P(X1)C 1 8C 1 4 C212 16 33，P(X2) C28 C212 14 33. 故 X 的分布列为 X 0 1 2 P 1 11 16 33 14 33 E(X)0 1 111 16 332 14 33 4 3. 3.安排 5 个大学生
6、到 A，B，C 三所学校支教，设每个大学生去任何一所学校是等可能的. (1)求 5 个大学生中恰有 2 个人去 A 校支教的概率； (2)设有大学生去支教的学校的个数为 ，求 的分布列. 解 (1)5 个大学生到三所学校支教的所有可能为 35243(种)， 设“恰有 2 个人去 A 校支教” 为事件 M， 则有 C25 2380(种)，P(M) 80 243. 即 5 个大学生中恰有 2 个人去 A 校支教的概率为 80 243. . (2)由题意得：1，2，3， 1?5 人去同一所学校， 有 C133(种)，P(1) 3 243 1 81，2?5 人去两所学校，即分为 4，1 或 3，2 有
7、 C 2 3 (C 4 5 C35) A2290(种)， P(2) 90 243 30 81 10 27，3?5 人去三所学校，即分为 3，1，1 或 2，2，1 有( C35 C12 1 2！ C25 C23 1 2！ ) A33150(种)，P(3)150 243 50 81. 的分布列为 1 2 3 P 1 81 10 27 50 81 4.甲、乙两人进行定点投篮比赛，在距篮筐 3 米线内设一点 A，在点 A 处投中一球得 2 分， 不中得 0 分； 在距篮筐 3 米线外设一点 B， 在点 B 处投中一球得 3 分， 不中得 0 分， 已知甲、 乙两人在 A 点投中的概率都是1 2，在
8、B 点投中的概率都是 1 3，且在 A，B 两点处投中与否相互 独立，设定甲、乙两人先在 A 处各投篮一次，然后在 B 处各投篮一次，总得分高者获胜. (1)求甲投篮总得分 的分布列和均值； (2)求甲获胜的概率. 解 (1)设“甲在 A 点投中”为事件 A，“甲在 B 点投中”为事件 B，根据题意， 的可能取 值为 0，2，3，5，则 P(0)P( A B )(11 2)(1 1 3) 1 3， P(2)P(A B )1 2(1 1 3) 1 3， P(3)P( A B)(11 2) 1 3 1 6， P(5)P(AB)1 2 1 3 1 6. 所以 的分布列为 0 2 3 5 P 1 3
9、1 3 1 6 1 6 E()01 32 1 33 1 65 1 62. (2)同理，乙的总得分 的分布列为 0 2 3 5 . P 1 3 1 3 1 6 1 6 甲获胜包括：甲得 2 分、3 分、5 分三种情形，这三种情形之间彼此互斥.因此，所求事件的 概率为 PP(2)P(0)P(3)P(3)P(5)P(5)1 3 1 3 1 6( 1 3 1 3) 1 6(1 1 6) 13 36. 5.某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制， 已知所有这些学生 的原始成绩均分布在50， 100内， 发布成绩使用等级制各等级划分标准见下表， 规定： A、 B、C 三级为合格等级，D
10、 为不合格等级. 百分制 85 分及以上 70 分到 84 分 60 分到 69 分 60 分以下 等级 A B C D 为了解该校高一年级学生身体素质情况， 从中抽取了 n 名学生的原始成绩作为样本进行统 计， 按照50，60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100的分组作出频率分布直方图 如图 1 所示， 样本中分数在 80 分及以上的所有数据的茎叶图如图 2 所示. (1)求 n 和频率分布直方图中 x，y 的值； (2)根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，若在该校高一 学生中任选 3 人， 求至少有 1 人成绩是合格等级的概率； (3)在选
11、取的样本中， 从 A、C 两个等级的学生中随机抽取了 3 名学生进行调研， 记 表示 所抽取的 3 名学生中为 C 等级的学生人数， 求随机变量 的分布列及均值. 解 (1)n 6 0.0121050，x 2 50100.004， . y10.040.10.120.56 10 0.018. (2)成绩是合格等级人数为(10.1)5045， 抽取的 50 人中成绩是合格等级的频率为 9 10， 故从该校学生中任选 1 人， 成绩是合格等级的概率为 9 10， 设在该校高一学生中任选 3 人， 至 少有 1 人成绩是合格等级的事件为 A， 则 P(A)1C03(1 9 10) 3999 1 000. (3) 由题意可知 C 等级的学生人数为 0.18509，A 等级的学生人数为 3， 故 的取值为 0，1，2，3，则 P(0) C33 C312 1 220，P(1) C19C23 C312 27 220， P(2)C 2 9C 1 3 C312 108 220 27 55，P(3) C39 C312 84 220 21 55， 所以 的分布列为 0 1 2 3 P 1 220 27 220 27 55 21 55 E()0 1 2201 27 2202 27 553 21 55 9 4.
