1、. 高考小题分项练高考小题分项练 8 立体几何立体几何 1已知直线 l平面 ，直线 m?平面 ，有下面四个命题： (1)?lm；(2)?lm；(3)lm?；(4)lm?. 其中正确的命题是( ) A(1)与(2) B(1)与(3) C(2)与(4) D(3)与(4) 答案 B 解析 直线 l平面 ，l平面 ，又直线 m?平面 ，lm，故(1)正确； 直线 l平面 ， l平面 ，或 l?平面 ，又直线 m?平面 ，l 与 m 可能平行也可能相交，还可以异 面，故(2)错误；直线 l平面 ，lm，m，直线 m?平面 ，故(3)正确； 直线 l平面 ，lm，m 或 m?，又直线 m?平面 ，则 与
2、可能平行也可能 相交，故(4)错误故选 B. 2已知如图所示的正方体 ABCDA1B1C1D1，点 P、Q 分别在棱 BB1、DD1上，且PB1 BB1 QD1 DD1， 过点 A、P、Q 作截面截去该正方体的含点 A1的部分，则下列图形中不可能是截去后剩下几 何体的正(主)视图的是( ) 答案 A 解析 当 P、B1重合时，正(主)视图为选项 B；当 P 到 B 点的距离比到 B1近时，正(主)视图 为选项 C；当 P 到 B 点的距离比到 B1远时，正(主)视图为选项 D，因此答案为 A. . 3一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A.4 3 5 B.8 3 C4 5 D
3、.4 3 答案 B 解析 由三视图知几何体为四棱锥，四棱锥的右边侧面与底面垂直，其直观图如图 四棱锥的底面是边长为 2 的正方形，由侧(左)视图中等腰三角形的腰长为 5，得棱锥的高为 512，几何体的体积 V1 32 228 3.故选 B. 4设 a，b，l 均为直线， 均为平面，则下列命题判断错误的是( ) A若 l，则 内存在无数条直线与 l 平行 B若 ，则 内存在无数条直线与 不垂直 C若 ，则 内存在直线 m， 内存在直线 n，使得 mn D若 al，bl，则 a 与 b 不可能垂直 答案 D 解析 由直线与平面平行的性质可知 A 正确；当 时，平面 内与两平面的交线不垂直 的直线均
4、与平面 不垂直，故 B 正确；由两平面平行的性质可知，C 正确；当 al，bl 时， ab 可以成立，例如长方体一个顶点上的三条直线就满足此条件，所以 D 错，故选 D. 5如图，ABCDA1B1C1D1是边长为 1 的正方体，SABCD 是高为 1 的正四棱锥，若点 S， A1，B1，C1，D1在同一球面上，则该球的表面积为( ) . A. 9 16 B.25 16 C.49 16 D.81 16 答案 D 解析 按如图所示作辅助线，点 O 为球心，设 OG1x，则 OB1SO2x，同时由正方体 的性质知 B1G1 2 2 ，则在 RtOB1G1中，OB21OG21G1B21，即(2x)2x
5、2( 2 2 )2，解得 x 7 8，所以球的半径 ROB1 9 8，所以球的表面积为 S4R 281 16，故选 D. 6如图，已知平面 平面 l，.点 A、B 是直线 l 上的两点，点 C、D 是平面 内的 两点，且 DAl ，CBl，DA4，AB6，CB8.点 P 是平面 上的一动点，且有APD BPC，则四棱锥 PABCD 的体积的最大值是( ) A48 B16 C24 3 D. 144 答案 A 解析 由题意知： PAD，PBC 是直角三角形， 又APDBPC，所以PADPBC. . 因为 DA4，CB8，所以 PB2PA. 作 PMAB 于点 M，则 PM. 令 AMt，则 PA2
6、t24PA2(6t)2， 所以 PA2124t， 所以 PM 124tt2， 即为四棱锥的高 又底面为直角梯形，S1 2(48)636， 所以 V1 336 124tt 2 12 ?t2?21612448. 7如图所示是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为( ) A5724 B5715 C4815 D4824 答案 D 解析 本题为圆锥与直四棱柱的组合体注意表面积分为三部分，圆锥侧面展开图，即扇形 面积 56 2 15；圆锥底面圆，Sr29；直四棱柱侧面积，34448，总面积为 48 24. 8如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，线段 B1D1上有两个动点 E，F，且 EF1
7、 2， 则下列结论中错误的是( ) . AACBE BEF平面 ABCD C三棱锥 ABEF 的体积为定值 DAEF 的面积与BEF 的面积相等 答案 D 解析 连接 BD，则 ACBD，BB1AC， 所以 AC平面 BDD1B1，则 ACBE，故 A 正确； 因为 B1D1平面 ABCD，所以 EF平面 ABCD，故 B 正确；因为三棱锥 ABEF 的底面是 底边为 EF1 2，高为棱长 BB11 的BEF， 面积为 1 4，三棱锥的高为 2 2 ，所以三棱锥 ABEF 的体积是定值 2 24，故 C 正确；显然AEF 与BEF 有相同的底边，但 B 到 EF 的距离与 A 到 EF 的距离
8、不相等，即两三角形的面积不相等，故 D 错误故选 D. 9已知 m，n 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A若 ，则 B若 mn，m?，n?，则 C若 mn，m，n，则 D若 mn，m，则 n 答案 C 解析 由 m，n 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，知： 若 ，则 与 相交或平行，故 A 错误； 若 mn，m?，n?，则 与 相交或平行，故 B 错误； 若 mn，m，n，则由线面垂直的性质定理得 ，故 C 正确； 若 mn，m，则 n 或 n?，故 D 错误故选 C. 10如图，已知斜四棱柱 ABCDA1B1C1D1的各棱长均为 2，A1AD60 ，B
9、AD90 ， 平面 A1ADD1平面 ABCD，则直线 BD1与平面 ABCD 所成的角的正切值为( ) . A. 3 4 B. 13 4 C. 39 13 D. 39 3 答案 C 解析 延长 AD，过 D1作 D1EAD 于点 E，连接 BE. 因为平面 A1ADD1平面 ABCD，平面 A1ADD1平面 ABCDAD，D1E?平面 A1ADD1，所以 D1E平面ABCD， 即BE为D1B在平面ABCD内的射影， 所以D1BE为直线BD1与平面ABCD 所成的角，因为 D1E2sin 60 3，BE AB2AE2 13，所以 tanD1BED1E BE 3 13 39 13 .故选 C.
10、11如图，已知正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 E、F 分别为棱 BC 和棱 CC1的中点，则异 面直线 AC 和 EF 所成的角为( ) A30 B45 C60 D90 答案 C 解析 连接 BC1，A1C1，A1B，如图所示： 根据正方体的结构特征，可得 EFBC1，ACA1C1，则A1C1B 即为异面直线 AC 和 EF 所 成的角，BC1A1C1A1B，A1C1B 为等边三角形，故A1C1B60 ， 故选 C. 12 如图， 在矩形 ABCD 中， AB2， AD3， 点 E 为 AD 的中点， 现分别沿 BE， CE 将ABE， DCE 翻折，使得点 A，D 重合于 F，则此时
11、二面角 EBCF 的余弦值为( ) . A.3 4 B. 7 4 C.2 3 D. 5 3 答案 B 解析 如图所示，取 BC 的中点 P，连接 EP，FP. 由题意得 BFCF2，PFBC， 又EBEC?3 2? 2225 2，EPBC， EPF 即为二面角 EBCF 的平面角， 而 FP FB2?1 2BC? 2 7 2 ， 在EPF 中，cosEPFEP 2FP2EF2 2EP FP 47 4 9 4 2 2 7 2 7 4 ， 故选 B. 13如图，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 O 为底面 ABCD 的中心，点 E 为 CC1的中点，那么异面直线 OE 与 A
12、D1所成角的余弦值等于_ 答案 6 3 解析 取 BC 的中点 F，连接 EF，OF， 由于点 O 为底面 ABCD 的中心，点 E 为 CC1的中点，所以 EFBC1AD1， . 所以异面直线 OE 与 AD1所成角，即 OE 与 EF 所成的角 平面 ABCD平面 BCC1B1， 平面 ABCDBCC1B1BC， OFBC，OF?平面 ABCD， 所以 OF平面 BCC1B1，EF?平面 BCC1B1， 所以 EFOF. 因为 EF 2，OF1， 所以 OE EF2OF2 21 3. 所以 cosFEOEF OE 2 3 6 3 . 14四棱锥 PABCD 的五个顶点都在一个球面上，底面
13、ABCD 是矩形，其中 AB3，BC 4，又 PA平面 ABCD，PA5，则该球的表面积为_ 答案 50 解析 由勾股定理得 AC5， 在等腰直角三角形 PAC 中， PC2R5 2， 因此表面积 S4R2 50. 15已知矩形 ABCD 的周长为 18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积 最大时，它的外接球的表面积为_ 答案 13 解析 设正六棱柱的底面边长为 x，高为 y， 则 6xy9,0x1.5， 正六棱柱的体积 V6 3 4 x2y 3 2 (6x39x2)， V9 3x(x1)， 令 V0，则 x0(舍)或 x1. 当 x1 时，V0， 当 x1 时，正六棱柱体积最
14、大，此时 y3. 可知正六棱柱的外接球的球心是其上下底面中心连线的中点，则半径为 19 4 13 2 ， 外接球的表面积为 413 4 13. 16， 是两个平面，AB，CD 是两条线段，已知 EF，AB 于 B，CD 于 D， 若增加一个条件，就能得出 BDEF，现有下列条件： . AC； AC 与 ， 所成的角相等； AC 与 CD 在 内的射影在同一条直线上； ACEF. 其中能成为增加条件的序号是_ 答案 解析 由题意得，ABCD，A，B，C，D 四点共面， 中，AC，EF?，ACEF， 又AB，EF?， ABEF，ABACA，EF平面 ABCD， 又BD?平面 ABCD， BDEF， 故正确； 中， 由可知， 若 BDEF 成立， 则有 EF 平面 ABCD，则有 EFAC 成立，而 AC 与 ， 所成的角相等是无法得到 EFAC 的，故 错误；中，由 AC 与 CD 在 内的射影在同一条直线上可知 EFAC，由可知正确； 中，仿照的分析过程可知错误，故填：.
