1、20202020- -2022021 1 学年北京市人大附中高一上学期期中考试数学试题学年北京市人大附中高一上学期期中考试数学试题 2020 年 11 月 4 日 说明：本试卷分卷和卷，卷 18 道题，共 100 分，卷 7 道题，共 50 分；卷、卷共 25 题，合计 150 分，考试时间 120 分钟 卷（共卷（共 18 题，满分题，满分 100 分）分） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位
2、置）目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置） 一、选择题（共 10 个小题，每题 4 分，共 40 分） 1设全集2,3,4,5,6,7U ，集合2,4,5M ，3,5,7N ，则 U NM（ ） A 5 B3,7 C2,3,4,5,7 D2,3,4,6,7 2下列函数中，既是奇函数，又是在区间0,上单调递增的函数为（ ） A 1 yx Byx x Cyx D 2 1yx 3已知命题:0px ，20 x，则p是（ ） A0 x ，20 x B0 x ，20 x C0 x ，20 x D0 x ，20 x 4不等式 2 560 xx的解集为（ ） A32x xx 或 B23x xx 或
3、C61x xx 或 D16xx 5函数 3 5f xx的零点所在的区间是（ ） A1,2 B2,3 C3,4 D4,5 6若ab，则下列不等关系一定成立的是（ ） A1 a b B 11 ab Cab D33ab 7函数 2 x y x 的图象大致是（ ） A B C D 8 “2x”是“2x ”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 9关于x的方程 22 20 xmxmm有两个正的实数根，则实数m的取值范围是（ ） A0m B0m C1m D1m 10 若关于x的不等式2121x xa x对于一切1,x恒成立， 则实数a的取值范围是 （ ） A,4
4、B4, C,6 D6, 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分，请把结果填在答题纸上的相应位置）分，请把结果填在答题纸上的相应位置） 11函数 1 3 x f x x 的定义域为_ 12若函数 2f xxxa是偶函数，则 3f_ 13奇函数 f x的定义域为1,1， f x在第一象限的图象为圆心在原点，半径为 1 的圆弧，如图所示， 则不等式 f xx的解集为_ 14已知函数 2 f xx，如果对 1 0,1x ， 2 0,1x，使得 12 f xg x成立，请给出一个满足 上述条件的函数 g x，则 g x的解析式为_ 15设函数
5、2 , 2 , xxa xxa f x x 若xR ，使得11fxfx成立，则实数a的取值范围是_ 若函数 f x为R上的单调函数，则实数a的取值范围是_ 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 3 小题，共小题，共 35 分，解答应写出文字说明程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相分，解答应写出文字说明程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相 应位置）应位置） 16已知集合13Ax axa ， 2 2150Bx xx （1）当3a 时，求AB； （2）若ABB，求实数a的取值范围 17经济订货批量模型，是目前大多数工厂、企业等最常采用的订货方式，即某种物资在单位时间的需求 量为某常数，经过某
6、段时间后，存储量消耗下降到零，此时开始订货并随即到货，然后开始下一个存储周 期该模型适用于整批间隔进货、不允许缺货的存储问题 具体如下：年存储成本费T（元）关于每次订货量x（单位）的函数关系为 2 bxac T x x ，其中a为年 需求量，b为每单位物资的年存储费，c为每次订货费，某化工厂需用甲醇作为原料，年需求量为 6000 吨 每吨存储费为 120 元年，每次订货费为 2500 元 （1）若该化工厂每次订购 300 吨甲醇，求年存储成本费； （2）每次需订购多少吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少？最少费用为多少？ 18已知函数 1 2f xx x （）判断函数 f x在0,上的单调性，
7、并用函数单调性定义证明； （）关于x的方程 0,f xb f xcb cR有 6 个不同的实数根1,2,3,4,5,6 i x i 则： （1） 123456 x x x x x x _ （2）求b，c满足的条件 （直接写出答案） 卷（共卷（共 7 道题，满分道题，满分 50 分）分） 一、选择题（共一、选择题（共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置）请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置） 19使不等式 1 01 x 成立的一
8、个充分不必要条件是（ ） A 1 0 2 x B1x C2x D0 x 20若指数函数 x f xa的图象和函数 351g xxx图象相交，则（ ） A 1 0, 2 a B 1 ,1 2 a C 1 ,11, 2 a D 1 0,1, 2 a 21已知函数 1 41,0 4 13 41, 44 3 45,1 4 xx f xxx xx 对于给定的01m mRm且存在 0 0,1xm，使得 00 ffxxm，则m的最大值为（ ） A 1 3 B 2 3 C 1 2 D 3 4 二、填空题（共二、填空题（共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分，请把结果填在答题纸上的相应位置
9、）分，请把结果填在答题纸上的相应位置） 22设 1 x、 2 x是关于x的方程 22 242320 xmxmm的两个实数根，则 22 12 xx的最小值为_ 23自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线等这些现象中都有相似的曲线形态事实上， 这些曲线在数学上常常被称为悬链线悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用 在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为 xx f xaebe（其中a，b是非零常数，无理数 2.71828e） （1）如果 f x为单调函数写出满足条件的一-组值：a_，b_ （2）如果 f x的最小值为 2，则ab的最小值为_ 24设集合A是集合 * N的子
10、集，对于 * iN，定义 1, 0, i iA A iA 给出下列三个结论： 存在 * N的两个不同子集A，B，使得任意 * iN都满足0 i AB且1AB； 任取 * N的两个不同子集A，B，对任意 * iN都有 iii ABAB； 设 * 2 ,Ax xn nN， * 42,Bx xnnN，对任意 * iN，都有 iii ABAB 其中正确结论的序号为_ 三、三、解答题（本小题解答题（本小题 14 分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置）分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置） 25已知集合A为非空数集，定义： , ,Sx xab
11、 a bA，, ,Tx xab a bA （）若集合1,3A，直接写出小强数学集合S，T （）若集合 1234 ,Ax x x x， 1234 xxxx，且TA，求证： 1423 xxxx （）若集合02020,AxxxN，S，ST，记A为集合A中元素的个数，求A的最 大值 人大附中人大附中 2020-2021 学年度第一学期高一年级数学期中练习学年度第一学期高一年级数学期中练习 参考答案和评分标准参考答案和评分标准 2020.11.4 阅卷须知： 1评分参考中所注分数，表示考生正确做了该步应得的该步骤分数 2其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分 第第卷（共卷（共 17 题，满分题，满分
12、 100 分）分） 一、选择题（共一、选择题（共 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A C A D A B D C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分 ）分 ） 题号 11 12 13 14 15 答案 3,1 5 22 ,0,1 22 2 2g xx （答案不唯一） 1a 0a或者1a 注： 11 题和 13 题如果未写成区间或者集合形式 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 3 小题，共小题，共 25 分，解答应写出文字说明证明过
13、分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）程或演算步骤） 16解： （1）由题可得： 26Axx 53Bx xx 或 则56ABxx （2）因为ABB，则AB， 所以：33a 或15a 即：6a或6a 所以a的取值范围为, 66, 【注：a的取值范围写成不等式】 17解： （1）有题意可得： 1206000 2500 2 x T x x ，06000 x 将300 x代入，得30068000T 因此，该化工厂年存储成本费为 68000 元 （2）因为120 6000 2500120 6000 2500 2 22 x x ， 所以 60000T x ， 当且仅当500 x，且5000,6000时
14、，等号成立 因此，每次订购 500 吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少，最少费用为 60000 元 18解： （）证明： 任取 1 x， 2 0,x ，且 12 xx， 则 21 21 21 11 22f xfxx x x x 12 1212 1212 1 220 xx xxxx x xx x 因为 12 0 xx，所以 12 0 xx， 12 0 x x ， 12 1 20 x x 所以 21 0f xf x即 12 f xf x 所以 f x是0,上的减函数 【注：没有“任取”或者“” ，体现任意性词语和符号】 （） （1） 1 8 （2）0b，0c 卷（共卷（共 7 道题，满分道题，满
15、分 50 分分) 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分 ）分 ） 题号 19 20 21 答案 C D C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分 ）分 ） 题号 22 23 24 答案 8 9 a=1，1b（答案不 唯一0ab即可） 2 三、解答题三、解答题 25解： （1）根据题意，由1,3A，则2,4,6S ，0,2T ； （2）由于集合 1234 ,Ax x x x， 1234 xxxx，且TA， 所以T中也只包含四个元素， 即 213141 0,Txx xx xx
16、， 剩下的 324321 xxxxxx， 所以 1423 xxxx； （3）设 12 , k Aa aa满足题意，其中 12k aaa， 则 112132231 22 kkkkkk aaaaaaaaaaaaaa ， 21Sk， 1121311k aaaaaaaa， Tk， ST，31STSTk， ST中最小的元素为 0，最大的元素为2 k a， 21 k STa， * 31214041 k kakN ， 1347k ， 实际上当674,675,676,2020A时满足题意， 证明如下： 设,1,2,2020Am mm，mN， 则2 ,21,22,4040Smmm，0,1,2,2020Tm， 依题意有20202mm，即 1 673 3 m ， 故m的最小值为 674，于是当674m时，A中元素最多， 即674,675,676,2020A时满足题意， 综上所述，集合A中元素的个数的最大值是 1347
