1、高三数学 第 1 页 共 21 页 20182019 学年度学年度如皋如皋高三高三年级年级第一学期期末第一学期期末教学质量调研教学质量调研 数数 学学 参考公式：参考公式：锥体的体积公式锥体的体积公式 1 3 VSh 锥体 ，其中，其中S为锥体的底面积，为锥体的底面积，h为高为高 一、一、填空题：本大题共填空题：本大题共1414 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共计分，共计7070 分请把答案填写在分请把答案填写在答题卡相应位置上答题卡相应位置上 1 已知集合已知集合 A2a2，a，B0，1，3，且，且 A B，则实数，则实数 a 的值是的值是 2 已知复数已知复数 z1 3i 1i （
2、i 为虚数单位） ，则复数为虚数单位） ，则复数 z 的模为的模为 3 为了解某地区的中小学生视力情况，从该地区的中小学生中用分层抽为了解某地区的中小学生视力情况，从该地区的中小学生中用分层抽 样的方法抽取样的方法抽取 300 位学生进行调查，该地区小学、初中、高中三个学位学生进行调查，该地区小学、初中、高中三个学 段学生人数分别为段学生人数分别为 1200、1000、800，则从高中抽取的学生人数为，则从高中抽取的学生人数为 4 执行右边的伪代码，输出的结果是执行右边的伪代码，输出的结果是 5 在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中， 已知双曲线中， 已知双曲线 2 2 1 3 x y
3、的左准线与抛物线的左准线与抛物线 2 yax的准线重合，的准线重合， 则则 a 的值为的值为 6 在一个袋子中装有分别在一个袋子中装有分别标注数字标注数字 1，2，3，4，5 的的 5 个小球，这些小球除标注数字外完个小球，这些小球除标注数字外完 全相同，现从中随机取全相同，现从中随机取 2 个小球，则取出的小球标注的数字之和为个小球，则取出的小球标注的数字之和为 3 的倍数的概率是的倍数的概率是 7 设实数设实数 x，y 满足约束条件满足约束条件 10 10 10 y xy xy ， ， ， 则则2zxy的最大值是的最大值是 8 已知已知 Sn是等比数列是等比数列an的前的前 n 项和，若项
4、和，若 6a6，a8，8a4成等差数列，且成等差数列，且 S2k65Sk，则正整，则正整 数数 k 的值是的值是 9 如图，在正三棱柱如图，在正三棱柱 ABCA1B1C1中，若中，若 AA13，AB2，点，点 D 是棱是棱 CC1的中点，点的中点，点 E 在棱在棱 AA1上，则三棱锥上，则三棱锥 B1EBD 的体积为的体积为 （第 4 题图） S1 I3 While S200 SSI II2 End While Print I 高三数学 第 2 页 共 21 页 10在平面直角坐标系在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆中，已知圆 C： 22 2430 xyxy与与 x 轴交于轴交于 A，B 两
5、点，若两点，若 动直线动直线 l 与圆与圆 C 相交于相交于 M， N 两点， 且两点， 且CMN 的面积为的面积为 4， 若， 若 P 为为 MN 的中点， 则的中点， 则PAB 的面积最大值为的面积最大值为 11已知正实数已知正实数 x，y 满足满足22xy，则，则 21 xy yx 的最小值是的最小值是 12如图，在四边形如图，在四边形 ABCD 中，已知中，已知 AB2，CD 与以与以 AB 为直径的为直径的半圆半圆 O 相切于点相切于点 D，且，且 BCAD，若，若AC BD1，则，则AD OD 13已知函数已知函数 eln 2 x f x x ， 2 2x g x xm ，若函数，
6、若函数 h xg f xm有有 3 个不同的零点个不同的零点 x1， x2，x3(x1x2x3)，则，则 123 2f xf xf x的取值范围是的取值范围是 14在在锐角锐角 ABC 中，角中，角 A，B，C 所对的边所对的边分别为分别为 a，b，c，已知，已知 22 2cos3aabCb，则，则 tantantanABC的最小值是的最小值是 高三数学 第 3 页 共 21 页 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 6 小题，共计小题，共计 9090 分请在分请在答题卡指定区域答题卡指定区域 内作答内作答解答时应写出文字解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤说明、证明过程或演算步
7、骤 15 （ （本小题满分本小题满分 14 分分） 如图，在四棱锥如图，在四棱锥 PABCD 中，中，DCAB，DC2AB， 平面平面 PCD 平面平面 PAD，PAD 是正三角形，是正三角形，E 是是 PD 的的 中点中点 （1）求证：）求证：AEPC； （2）求证：）求证：AE平面平面 PBC 16 （ （本小题满分本小题满分 14 分分） 已已知函数知函数 f(x)Asin(x)，其中，其中 A0，0， 2 2， ，xR，其部分图象如图所，其部分图象如图所 示示 （1）求函数）求函数 yf(x)的解析式；的解析式； （2）若）若 f()2 3 3， 0， 2 ，求，求 cos2 的值的值
8、 O x y 5 6 （第 16 题图） 2 3 P A B C D E （第 15 题图） 高三数学 第 4 页 共 21 页 17 （ （本小题满分本小题满分 14 分分） 一件铁艺品由边长为一件铁艺品由边长为 1（米）的正方形及两段圆弧组成，如图所示，弧（米）的正方形及两段圆弧组成，如图所示，弧 BD，弧，弧 AC 分别是以分别是以 A，B 为为 圆心半径为圆心半径为 1（米（米）的四分之一圆弧若要在铁艺中焊装一个矩形）的四分之一圆弧若要在铁艺中焊装一个矩形 PQRS，使，使 S，R 分别在圆弧分别在圆弧 AC， BD 上，上，P，Q 在边在边 AB 上，设矩形上，设矩形 PQRS 的面
9、积为的面积为 y （1）设）设 APt，PAR，将，将 y 表示成表示成 t 的函数的函数或或将将 y 表示成表示成 的函数（只需选择一个变量求解）的函数（只需选择一个变量求解） ，并，并 写出写出函数的定义域；函数的定义域； （2）求面积）求面积 y 取最大值时对应自变量的值取最大值时对应自变量的值（若（若选选 作为自变量，求作为自变量，求 cos 的值）的值） 18 （本小题满分 （本小题满分 16 分）分） 如图，已知椭圆如图，已知椭圆 C： 22 22 10 xy ab ab 的离心率为的离心率为 1 2 ，右准线方程为，右准线方程为4x ，A，B 分别是椭圆分别是椭圆 C 的左，的左
10、， 右顶点，过右焦点右顶点，过右焦点 F 且斜率为且斜率为 k(k0)的直线的直线 l 与椭圆与椭圆 C 相交于相交于 M，N 两点两点 （1）求椭圆）求椭圆 C 的标准方程；的标准方程； （2）记）记AFM，BFN 的面积分别为的面积分别为 S1，S2，若，若 1 2 3 2 S S ，求，求 k 的值；的值； （3） 设线段） 设线段 MN 的中点为的中点为 D， 直线， 直线 OD 与右准线相交于点与右准线相交于点 E， 记直线， 记直线 AM， BN， FE 的斜率分别为的斜率分别为 k1， k2， 3 k ， 求求 k2 (k1 3 k) 的的值值 l x y F E A C O l
11、 x y F A B （第18题图） O M N x4 S R Q P A B C D （第 17 题图） 高三数学 第 5 页 共 21 页 19 （本小题满分 （本小题满分 16 分）分） 已知函数已知函数 ln2f xxaxa，其中，其中aR （1）若函数）若函数 f x的图象在的图象在1x 处的切线与直线处的切线与直线20 xay垂直，求实数垂直，求实数 a 的值；的值； （2）设函数）设函数 2 2g xf xaxa 1.求求函数函数 g x的单调区间；的单调区间； 2.若不等式若不等式 0g x 对任意的实数对任意的实数1x，恒成立，求实数恒成立，求实数 a 的取值范围的取值范围
12、20 （本小题满分 （本小题满分 16 分）分） 已知已知等差等差数列数列 n a的前的前 n 项和为项和为 Sn，若若 n S为为等差数列，且等差数列，且 1 1a （1）求数列）求数列 n a的通项公式；的通项公式； （2）是否存在正整数）是否存在正整数n， 使使 2244 1, 2, 4 nnnnnn aSaSaS成等比数列？若存在，请求出成等比数列？若存在，请求出 这个等比数列；若不存在，请说明理由；这个等比数列；若不存在，请说明理由； （3）若数列）若数列 n b满足满足 2 1 n nn n b bb S ， 1 1 b k ，且对任意的，且对任意的*Nn，都有，都有1 n b ，
13、求正整数，求正整数 k 的最小值的最小值 高三数学 第 6 页 共 21 页 20182019 学年度学年度如皋如皋高三高三年级年级第一学期期末第一学期期末教学质量调研教学质量调研 数学参考答案及评分标准数学参考答案及评分标准 一、一、填空题：本大题共填空题：本大题共1414 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共计分，共计7070 分请把答案填写在分请把答案填写在答题卡相应位置上答题卡相应位置上 11 25 380 411 56 6 2 5 71 86 93 106 11 3 2 12 3 2 13 1 1 00 2 ， 146 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 6 小题，共计
14、小题，共计 9090 分请在分请在答题卡指定区域答题卡指定区域 内作答内作答解答时应写出文字解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤说明、证明过程或演算步骤 15 【证明】【证明】 （1）因为）因为PAD 是正三角形，点是正三角形，点 E 是是 PD 的中点的中点， 所以所以 AEPD 2 分分 又平面又平面 PCD面面 PAD，平面，平面 PCD平面平面 PADPD，AE 平面平面 PAD 所以所以 AE平面平面 PCD 5 分分 又又 PC 平面平面 PCD， 所以所以 AEPC 7 分分 （2）取取 PC 的中点的中点 F，连，连结结 EF， 在在PCD 中，中，E，F 分别是分别是
15、PD，PC 的中点的中点， 所以所以 EFCD 且且 CD2EF 又又 ABCD，CD2AB， 所以所以 EFAB 且且 EFAB， 所以四边形所以四边形 AEFB 是平行四边形是平行四边形， 所以所以 AEBF， 10 分分 又又 AE平面平面 PBC，BF平面平面 PBC， P A B C D E （第 15 题图） F 高三数学 第 7 页 共 21 页 所以所以 AE平面平面 PBC 14 分分 16 【解】【解】 （1）由图可知，）由图可知，A2， 15 4632 T ， 所以所以2T ，所以，所以 2 2 ，1 4 分分 又又 2 3 f ，所以，所以 2sin2 3 ，即，即 s
16、in1 3 ， 因为因为 22 ，所以所以 5 636 ，故，故 32 ， 6 所以所以 2sin 6 xxf 7 分分 （2）因为因为 2 3 3 f，所以，所以 2 2sin3 63 ，即即 3 sin 63 ， 因为因为 0 2 ，所以，所以 2 663 又因为又因为 32 sin 632 ，所以所以 664 所以所以 2 2 36 cos1sin1 6633 ， 10 分分 所以所以 sinsinsincoscossin 666666 336116 323226 12 分分 所以所以 2 2 1616 cos212sin12 2663 14 分分 17 【解】【解】选选 APt （1）
17、依题意，）依题意，BQt，PQ12t 在在 RtAQR 中，中，RQA90，AQ1t，AR1， 故故 RQ 2 11t 2 2tt 所以所以 yPQRQ 2 122ttt 5 分分 高三数学 第 8 页 共 21 页 显然显然 01 0121 t t ， ， 解得解得 1 0 2 t 所以所以 y 2 122ttt，定义域为，定义域为 1 0 2 ， 7 分分 （2）由（）由（1）知，）知，y 2 122ttt，即即 y 2 2 122ttt， 1 0 2 t 令令 43 2 32 41212922ftttttttt-， 1 0 2 t 则则 3232 16361822 81 189ftttt
18、ttt 22 =212t4219212 21 471ttttttt 令令 0ft ，得，得 733 8 t 或或 733 8 t （舍）或（舍）或 1 2 （舍）（舍） 10 分分 列表：列表： t 733 0 8 ， 733 8 7331 82 ， ft 0 f t 单调增单调增 极大值极大值 单调减单调减 所以当所以当 733 8 t 时，时， f t取最大值，取最大值，y 取最大值取最大值 答：面积答：面积 y 取最大值时，取最大值时，AP 的长为的长为 733 8 米米 14 分分 选选PAR （1）在）在 RtAQR 中，中，RQA90，AR1，RAQ， 所以所以 RQsin，AQc
19、os 故故 BQABAQ1cos，且且 AP1cos 所以所以 PQAQAPcos(1cos)2cos1 高三数学 第 9 页 共 21 页 所以所以 yPQRQ(2cos1)sin 5 分分 依题意，依题意， 0sin1 0cos1 ， ， ，解解得得锐角锐角 0 3 ， 所以所以 y(2cos1)sin，定义域为定义域为 0 3 ， 7 分分 （2）由（）由（1）知，）知，2cos1 siny， 0 3 ， 故故 22 2sinsin2cos1 cos2cos2sincosy 222 2cos2 1coscos4coscos2， 令令0y， 解得， 解得 133 cos 8 （负舍）（负舍
20、） ， 设锐角设锐角 0 0 3 ， 且， 且 0 133 cos 8 10 分分 列表：列表： 0 0， 0 0 3 ， y 0 y 单调增单调增 极大极大 值值 单调减单调减 故当故当 0 时，时，y 取取最大值最大值 答：面积答：面积 y 取最大值时，取最大值时，cos的值为的值为 133 8 14 分分 18 【解】 （【解】 （1）设椭圆的焦距为）设椭圆的焦距为 2c(c0) 依题意，依题意， 1 2 c a ，且，且 2 4 a c ，解得，解得 a2，c1 故故 b2a2c23 所以椭圆所以椭圆 C 的标准方程为的标准方程为 22 1 43 xy 4 分分 高三数学 第 10 页
21、 共 21 页 （2）设点）设点 M(x1，y1)， N(x2，y2) 据题意，据题意， 1 2 3 2 S S ，即，即 1 2 1 3 2 1 2 2 AFy BFy ，整理可得，整理可得 1 2 1 2 y y ，所以，所以2NFFM 代入坐标，可得代入坐标，可得 21 21 121 2 xx yy ， ， 即即 21 21 32 2 xx yy ， 又点又点 M， N 在椭圆在椭圆 C 上，所以上，所以 22 11 22 11 1 43 322 1 43 xy xy ， ， 解得解得 1 1 7 4 3 5 8 x y ， 所以直线所以直线 l 的斜率的斜率 3 5 5 8 7 2 1
22、 4 k 9 分分 （3）法一：法一：依题意，直线依题意，直线 l 的方程为的方程为1yk x 联立方程组联立方程组 22 1 1 43 yk x xy ， ， 整理得整理得 2222 4384120kxk xk， 所以所以 2 12 2 8 43 k xx k ， 2 12 2 412 43 k x x k 故故 2 12 2 4 243 D xxk x k ， 2 3 1 43 DD k yk x k ， 所以直线所以直线 OD 的方程为的方程为 3 4 yx k ， 令， 令 x4， 得， 得 3 E y k ， 即， 即 3 4E k ， 所以所以 3 3 1 41 k k k 12
23、分分 所以所以 21 21321 21 11 22 yy kkkkk kxxk 2 211221 2112 1111121 2222 k xk xkxxxx xxkxx 高三数学 第 11 页 共 21 页 2 12121212 1212 122 224 kx xxxx xxx x xxx 2 121212122 12122 123 244 kx xxxx xxxx x xxxx 2222 2 2 2222 22 2 22 41284128 123 43434343 4128 244 4343 kkkk kx kkkk kk x kk 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 76 211
24、8 3 3 433 43 2824476 44 4343 k k x x k k kk xx kk 16 分分 法二：法二：依题意，直线依题意，直线 l 的方程为的方程为1yk x，即，即 1 1xy k ，记，记 1 m k ， 则直线则直线 l 的方程为的方程为1xmy，与椭圆，与椭圆 C 联立方程组联立方程组 22 1 1 43 xmy xy ， ， 整理得整理得 22 43690mymy， 所以所以 12 2 6 43 m yy m ， 12 2 9 43 y y m 故故 12 2 3 243 D yym y m ， 2 4 1 43 DD xmy m ， 所以直线所以直线 OD的方
25、程为的方程为 3 4 m yx ， 令， 令 x4， 得， 得3 E ym ， 即， 即43Em， 所以所以 3 3 41 m km 12 分分 所以所以 1221 21 21321 2112 21 2222 y ymyxyy kkkkkm kxxxx 2 122 1221 2 121212 13 3 3133 my ymy y ymymy mymym y ymymy 高三数学 第 12 页 共 21 页 2 2 2 2 122 222 12122 2 22 91 3 13 43 9634 34 4343 m my my ymy m mmm y ym yymy my mm 2 2 2 2 2
26、2 91 3 3 43 4121 4 43 m my m m my m 16 分分 法三：法三：依题意，点依题意，点 M(x1，y1)， N(x2，y2)在椭圆在椭圆 C 上，上， 所以所以 22 11 22 22 1 43 1 43 xy xy ， ， 两式相减，得两式相减，得 2222 2121 0 43 xxyy ， 即即 2121 2121 3 4 yyyy xxxx ，所以，所以 3 4 OD kk ，即，即 3 4 OD k k ， 所以直线所以直线 OD 的方程为的方程为 3 4 yx k ， 令， 令 x4， 得， 得 3 E y k ， 即， 即 3 4E k ， 所以所以
27、3 3 1 41 k k k 12 分分 又直线又直线 AM 的方程为的方程为 1 2ykx， 与椭圆， 与椭圆 C 联立方程组联立方程组 1 22 2 1 43 ykx xy ， ， 整理得整理得 2222 111 431616120kxk xk， 所以所以 2 1 1 2 1 1612 2 43 k x k ，得得 2 1 1 2 1 68 43 k x k ， 1 111 2 1 12 2 43 k ykx k 所以点所以点 M 的坐标为的坐标为 2 11 22 11 6812 43 43 kk kk ， 同理，点同理，点 N 的坐标为的坐标为 2 22 22 22 8612 4343
28、kk kk ， 又点又点 M，N，F 三点共线，三点共线， 高三数学 第 13 页 共 21 页 所以所以 12 22 12 22 12 22 12 1212 4343 6886 11 4343 kk kk k kk kk ，整理得，整理得 1212 43 30k kkk， 依题意，依题意， 1 0k ， 2 0k ，故，故 21 3kk 由由 1 2 11 22 11 2 1 12 434 6814 1 43 k kk k kk k 可得，可得， 2 1 1 11 1411 44 k k kkk ， 即， 即 1 1 11 4 k kk 所以所以 213111 1 113 33 44 kkk
29、kkk kk 16 分分 19 【解】 （ 【解】 （）因为）因为函数函数 ln2f xxaxa，定义域为，定义域为0 ， 所以所以 1fa ， 1 2fxa x ， 112fa ， 所以函数所以函数 f x图象在图象在1x 处的切线方程为处的切线方程为121yaax ， 即即1210a xya 依题意，依题意，11210aa ，解得，解得1a 所以实数所以实数 a 的值为的值为 1 4 分分 （）令令 22 22ln43g xf xaxaxaxaxa，0 x ， 则则 2 221 242 axax gxaxa xx （1） 若若0a ， 2 0gx x ，故函数，故函数 g x在在0 ，上单
30、调增上单调增 5 分分 若若0a ，记，记 2 44aa 若若0， 即， 即01a， 则， 则 0gx ， 函数， 函数 g x在在0 ，上单调增上单调增 若若0 ， 即， 即1a ， 令， 令 0gx ， 得， 得 2 1 1 aa x a ， 2 2 1 aa x a 当当 12 0 xxx，时，时， 0gx ， g x在在 1 0 x，和和 2 x，上上 高三数学 第 14 页 共 21 页 单调单调 增；增； 当当 12 xxx，时，时， 0gx ， g x在在 12 xx，上单调减上单调减 7 分分 若若0a ，令，令 0gx ，得，得 2 1 aa x a （负舍）（负舍） 当当
31、2 0 1 aa x a ，时，时， 0gx ， g x在在 2 0 1 aa a ，上单调上单调 增；增； 当当 2 1 aa x a ，时，时， 0gx ， g x在在 2 1 aa a ，上上 单调单调 减减 9 分分 综综上所述，当上所述，当0a 时，时，函数函数 g x的单调增区间为的单调增区间为 2 0 1 aa a ，减区，减区 间为间为 2 1 aa a ，； 当当01a时，时，函数函数 g x的单调增区间为的单调增区间为0 ，无减区间；，无减区间； 当当1a 时 ，时 ， 函 数函 数 g x的 单 调 增 区 间 为的 单 调 增 区 间 为 2 0 1 aa a ，和和
32、2 1 aa a ， 减区间为减区间为 22 11 aaaa aa ， 10 分分 高三数学 第 15 页 共 21 页 （2）由（由（1）可知，当）可知，当01a时，时，函数函数 g x在在1 ，上单调增，上单调增， 故故 10g xg，所以，所以01a符合题意；符合题意； 当当1a 时，时，函数函数 g x在在 2 1 1 aa a ，上单调减，在上单调减，在 2 1 aa a ， 上单上单 调增，故存在调增，故存在 2 0 1 aa x a ， 0 10g xg，所以，所以1a 不符题意；不符题意； 12 分分 当当0a 时，时， g x在在 2 1 1 aa a ，上单调增上单调增，在
33、在 2 1 aa a ，上单上单 调调减减 下面证明：存在下面证明：存在 2 0 2 41 aa x aa ， 0 0g x 首先证明：首先证明： 2 0 2 41 aa x aa 要证要证： 2 2 41 aa aa ，只要证只要证： 2 23aaa 因 为因 为0a ， 所 以， 所 以 2 2 22 2381140aaaaa， 故故 2 23aaa 所以所以 2 2 41 aa aa 其次证明：当其次证明：当0a 时时， 3 ln 2 xxa对任意的对任意的1x，都成立都成立 令令 3 ln 2 t xxxa，1x ，则，则 1 10tx x ，故故 t x在在1 ，上单上单 调递调递
34、高三数学 第 16 页 共 21 页 减减，所以，所以 3 110 2 t xta ，即即 3 ln0 2 xxa 所以当所以当0a 时时， 3 ln 2 xxa对任意的对任意的1x，都成立都成立 又当又当 0 2 4xx a 时时， 2 0000 2ln43g xxaxaxa 2 00000 32 24340 2 xaaxaxaaxx a ，与题意矛盾与题意矛盾， 故故0a 不符题意不符题意 综上所述综上所述，实数实数 a 的取值范围是的取值范围是0 1， 16 分分 20 【解】【解】 （1）设等差数列）设等差数列 n a的公差的公差 d，则，则 11 n and， 1 2 n n n S
35、nd 又又 n S是等差数列，所以是等差数列，所以 213 2 SSS， 即即2 2133dd ，解得，解得 d2 此时此时 2 n Sn， n Sn，符合数列符合数列 n S是等差数列是等差数列， 所以所以21 n an 4 分分 （2）假设存在）假设存在*Nn，使得，使得1 nn aS， 22 2 nn aS， 44 4 nn aS成等比数列成等比数列 则则 244 2 2 214 nnnnnn aaSSaS， 由（由（1）可知）可知21 n an， 2 n Sn，代入上式，得，代入上式，得 222 2 121481116244nnnnnn =， 整理得整理得 32 2427210nnn
36、（*） 6 分分 法一：法一： 令令 32 242721f xxxx，x1 则则 2 72542722054xxxfxx， 高三数学 第 17 页 共 21 页 所以所以 f x在在1，上单调增，上单调增， 所以所以 0f n 在在1，上至少有一个根上至少有一个根 又又 10f， 故故1n 是方程是方程（*）的唯一解）的唯一解 所以存在所以存在1n ， 使得， 使得1 nn aS， 22 2 nn aS， 44 4 nn aS成等比数列，成等比数列， 且该等比数列为且该等比数列为 3，9，27 9 分分 法二：法二： 322 24243210nnnn ，即，即 2 2411 310nnnn，
37、所以方程所以方程（*）可整理为）可整理为 2 1 24310nnn 因为因为*Nn，所以，所以 2 24310nn 无解，故无解，故1n 所以存在所以存在1n ， 使得， 使得1 nn aS， 22 2 nn aS， 44 4 nn aS成等比数列，成等比数列， 且该等比数列为且该等比数列为 3，9，27 9 分分 （3）由由 2 1 n nn n b bb S 可知，可知， 2 1 2 n nn b bb n 又又 1 1 b k ，*Nk ，故，故 1 0b ，所以，所以 1 0 nn bb 依题意，依题意，1 n b 对任意对任意*Nn恒成立，恒成立， 所以所以 1 1b ，即，即 1
38、1 k ，故，故1k 若若2k ，据，据 2 1 2 n nn b bb n ，可得可得 当当2n，*Nn时，时， 2222 11231 222 111 23 1 nn bbbbbb n 222222 122212 222222 111111 2323 11 bbbbbb nn 高三数学 第 18 页 共 21 页 2222 1212 11111 2 33 412 bbbb nnn 由由 1 1 2 b 及及 2 1 21 2 1 b bb可得可得 2 3 4 b 所以，当所以，当2n，*Nn时，时， 11911 2416 2 n b n ，即即 339 3216 n b n 故当故当18n
39、，*Nn时，时， 339 1 3216 n b n ， 故， 故2k 不合题意不合题意 12 分分 若若3k，据，据 2 1 2 n nn b bb n ，可得，可得 1 1 2 nn nn b b bb n ，即，即 2 1 111 nn bbn 所以，当所以，当2n，*Nn时，时， 222 1 11111 12 1 n bb n ， 当当2n =时，时， 12 11 1 bb ，得，得 21 11 112k bb ，所以所以 2 1 1 2 b 当当3n，*Nn时，时， 222 1 11111 12 1 n bb n 2 11111 2 11 223211nnn ， 所以所以 1 1111
40、1 221 111 n k bbnnn ， 故故 1 1 1 1 1 n b n 故当故当3k时，时，1 n b 对任意对任意*Nn都成立都成立 所以正整数所以正整数 k 的最小值为的最小值为 3 16 分分 21B 【解】【解】 （1）因为）因为 A 1 2 1 1 ，所以，所以 A2 1 2 1 1 1 2 1 1 34 23 4 分分 （2） 设点设点x y，是直线是直线 l 上任意一点，上任意一点， 其经过其经过 A2 对应的变换作用后得对应的变换作用后得到到点点xy， 则则 34 23 xx yy ，即，即 34 23 xxy yxy ， 高三数学 第 19 页 共 21 页 依题意
41、，依题意，点点xy，在直线在直线 l：xy10 上上，即，即 10 xy ， 所以所以 342310 xyxy ，整理得，整理得 xy10 所以直线所以直线 l的方程为的方程为 xy10 10 分分 21C 【解】 【解】 （1）依题意，依题意， 2 cos212siny ，sin1 1x ， 所以所以 2 12yx ，其中，其中 1 1x ， 所以曲线所以曲线 C 的普通方程为的普通方程为 2 12yx ， 1 1x ， 4 分分 （2）直线）直线 l 的极坐标方程为的极坐标方程为 4 ，所以直线所以直线 l 的直角坐标方程为的直角坐标方程为 yx 联立方程组联立方程组 2 12 yx yx
42、 ， ， 解得解得 1 1 x y ， 或或 1 2 1 2 x y ， 所以直线所以直线l被曲线被曲线C截得得弦长为截得得弦长为 22 113 112 222 10 分分 22 【解】 （【解】 （1）记）记“甲同学至少购买甲同学至少购买 2 种书籍种书籍”为事件为事件 A 则则 31211131113 42342342324 P A 所以甲同学至少购买所以甲同学至少购买2种书种书籍的概率为籍的概率为 13 24 4 分分 （2）设甲、乙同学购买）设甲、乙同学购买 2 种书籍的概率分别为种书籍的概率分别为 p1，p2 则则 1 3123111115 42342342312 p ， 2 2112111115 32232232212 p ， 所以所以 p1p2 6 分分 高三数学 第 20 页 共 21 页 所以所以 X 5 2 12 B ， 02 0 2 5749 0 1212144 P XC ， 11 1 2 5770 1 1212144 P XC ， 20 2 2 5725 2 121
