1、金山区金山区 2020 学年第一学期学年第一学期质量监控质量监控 高高三三数学数学试卷试卷 (满分：满分：150 分，完卷时间：分，完卷时间：120 分钟分钟) （答题请写在答题纸上）（答题请写在答题纸上） 一一填空题填空题（本大题共有（本大题共有 12 题，满分题，满分 54 分分，第第 16 题每题题每题 4 分，第分，第 712 题每题题每题 5 分分） 考生应在答题纸考生应在答题纸的的相应相应位置位置直接填写结果直接填写结果 1若函数) 4 2sin( xy，则它的最小正周期 T= 2若复数 2i 12i z (i为虚数单位)，则z的模| z= 3 若矩阵 sin cos m A n
2、， sin cos m B n ， 且AB， 则 22 mn= 4若函数 2 log () 1yxm的反函数的图像经过点(1,3)，则实数m 5已知集合 |3sin ,My yx xR， |Nxxa，若MN，则实数a的 取值范围是 6已知 1 F、 2 F是椭圆 22 1 2516 xy 的两个焦点，AB是过点 1 F的弦，则 2 ABF的周 长是 7在五个数字 1，2，3，4，5 中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的 概率是 (结果用数值表示) 8在直角三角形ABC中，5AB，12AC ，13BC ，点M是ABC外接圆 上的任意一点，则AMAB的最大值是 9已知实数a、b、c成等
3、差数列，则点( 1,0)P 到直线0axbyc的最大距离 是 10球面上有 3 个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 1 6 ，以这 3 个点为 顶点构成的三角形的周长为 18，则此球的半径为 11关于x的方程 2 30( ,)xaxba b R在1,2上有实根，则 22 (4)ab的最 小值为 12若( ) |1|2|2020|1|2|2020|f xxxxxxx， xR，且 2 (32)(1)f aaf a，则满足条件的所有整数a的和是 二二 选择题 （本大题共选择题 （本大题共 4 小题，小题， 满分满分 20 分，分， 每小题每小题 5 分）分） 每题有且只有一个正确选项 考每
4、题有且只有一个正确选项 考 生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13在 4 (1 2 ) x的二项展开式中，二项式系数的和为( ) (A) 8 (B) 16 (C) 27 (D) 81 14 “|1 | 2x成立”是“(3)0 x x成立”的( ) (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 15已知定义在R上的函数( )f x是奇函数，且满足)()3(xfxf，(1)3f ，数 列 n a满足2 nn San(其中 n S为 n a的前n项和)，则 56 ()()f af a
5、( ) (A) 3 (B) 2 (C) 3 (D) 2 16 已知ABC的外接圆圆心为O， o 120A， 若ACyABxAO(x，yR)， 则yx的最小值为( ) (A) 1 2 (B) 2 3 (C) 3 2 (D) 2 三三解答题（本大题共有解答题（本大题共有 5 题，满分题，满分 76 分）解答下列各题必须在答题纸分）解答下列各题必须在答题纸的的相应相应位置位置写写 出必要的步骤出必要的步骤 17(本题满分本题满分 14 分分，第，第 1 小题满分小题满分 7 分，第分，第 2 小题满分小题满分 7 分分) 已知a、b、c是ABC中A、B、C的对边，34a，6b， 3 1 cosA (
6、1) 求c； (2) 求B2cos的值 18(本题满分本题满分 14 分分，第，第 1 小题满分小题满分 7 分，第分，第 2 小题满分小题满分 7 分分) 如图， 在三棱锥ABCP中，PA底面ABC， ABC 是边长为 2 的正三角形，侧棱PB与底面所成的角为 4 (1) 求三棱锥ABCP的体积V； (2) 若D为PB的中点， 求异面直线PA与CD所成角的 大小 19(本题满分本题满分 14 分分，第，第 1 小题满分小题满分 6 分，第分，第 2 小题满分小题满分 8 分分) 已知定义域为R的函数 1 2 ( ) 1 2 x x f x . (1) 试判断函数 1 2 ( ) 1 2 x
7、x f x 在R上的单调性，并用函数单调性的定义证明； (2) 若对于任意tR，不等式 22 (2 )()0f ttf tk恒成立，求实数k的取值 范围 20(本题满分本题满分 16 分分，第第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 5 分分，第第 3 小题满分小题满分 7 分分) 已知点P在抛物线 2 :4C yx上， 过点P作圆 222 :(3)Mrxy(02r) 的两条切线，与抛物线C分别交于A、B两点，切线PA、PB与圆M分别相切于点 E、F. . (1) 若点P到圆心M的距离与它到抛物线C的准线的距离相等，求点P的坐标； (2) 若点P的坐标为(1,2)，且2
8、r 时，求PFPE的值； (3) 若点P的坐标为(1,2)，设线段AB中点的纵坐标为t，求t的取值范围. 第 18 题图 P A B C D 21(本题满分本题满分 18 分，第分，第 1 小题满分小题满分 4 分，第分，第 2 小题满分小题满分 7 分，第分，第 3 小题满分小题满分 7 分分) 若数列 n a满足 1 1 n n a a (1， 且为实常数)， * nN， 则称数列 n a为 ( )B数列. . (1) 若数列 n a的前三项依次为2 1 a，xa 2 ，9 3 a，且 n a为(3)B数列， 求实数x的取值范围； (2) 已知 n a是公比为(1)q q 的等比数列，且
9、1 0a ，记 21321 | | nnn Taaaaaa . 若存在数列 n a为(4)B数列，使得 1 lim0 nn n n TtT T 成立，求实数t的取值范围； (3) 记无穷等差数列 n a的首项为 1 a，公差为d，证明：“ 1 10 d a ”是 “ n a为( )B数列”的充要条件. . 金山区金山区 2020 学年第一学期期学年第一学期期末末考试高考试高三三数学数学试卷评分参考答案试卷评分参考答案 (满分：满分：150 分，完卷时间：分，完卷时间：120 分钟分钟) 一、填空题一、填空题（本大题共有（本大题共有 12 题，满分题，满分 54 分分，第第 16 题每题题每题
10、4 分，第分，第 712 题每题题每题 5 分分） 考考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 1；21；31；42；53a ；620；70.3；845；92 2；106；112； 126 二、 选择题 （本大题共二、 选择题 （本大题共 4 小题，小题， 满分满分 20 分，分， 每小题每小题 5 分）分） 每题有且只有一个正确选项 考每题有且只有一个正确选项 考 生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑 13B；14B；15C；16D. 17解：解：(1) 在ABC中，由余弦定理得， Ab
11、ccbacos2 222 ，2 分 即 ) 3 1 (623648 2 cc， 4 分 整理，得 0124 2 cc，6 分 解得 2c； 7 分 (2) 在ABC中，由余弦定理得， ac bca B 2 cos 222 ，9 分 得 3 3 cosB， 11 分 3 1 1cos22cos 2 BB. 14 分 18解：解：(1) PA 底面ABC， PBA为侧棱PB与底面所成的角，即 4 PBA，2 分 2PAAB. 又 1 2 2 sin3 23 S ， 4 分 故 112 3 32 333 VSh， 6 分 即三棱锥ABCP的体积为 2 3 3 ；7 分 (2) 取AB中点E，连结DE
12、，CE，则DEPA， CDE就 是 异 面 直 线PA与CD所 成 的 角 ( 或 其 补 角)，9 分 3CE ， 1 1 2 DEPA. 因为PA底面ABC，DE底面ABC. 在直角三角形CDE中， 3tan CE CDE DE ， 所以 3 CDE， 13 分 所以异面直线PA与CD所成角的大小为 3 14 分 19解：(1) 任取 12 ,x x R，且 12 xx，1 分 则 12 22 xx ， 1 120 x ， 2 120 x ， 第 18 题图 P A B C D E 于是 1221 1212 12 1 21 22(22 ) ( )()0 1 21 2(1 2 )(1 2 )
13、 xxxx xxxx f xf x ， 4 分 即 12 ( )()f xf x， 故 函 数 1 2 ( ) 1 2 x x f x 在R上 单 调 递 减. 6 分 (2) 任取xR，则 1221 ()() 1221 xx xx fxf x ，7 分 故 1 2 ( ) 1 2 x x f x 为奇函数，从而 222 (2)()()fttftkfkt，9 分 由(1)知，函数( )f x在R上单调递 减，11 分 故 22 2ttkt， 即 2 220ttk对 于 任 意tR恒 成 立，12 分 由4 80k ， 得 1 2 k ， 即 实 数k的 取 值 范 围 是 1 ( 2 ,) 1
14、4 分 20解：解：(1) 设点P的坐标为( , )x y， 则 2 22 4 (3)|1| yx xyx ，解得 2 2 2 x y 或 2 2 2 x y ，3 分 即点P的坐标为(2,22)或 (2, 2 2)； 4 分 (2) 当点P的坐标为(1,2)，且2r 时， 22 |(1 3)22 2PM ，6 分 在直角三角形PME中，|826PE ，且 30MPE，7 分 同理，|6PF ，且 30MPF，8 分 从而 6|co6cos603sPEPFPEPFEPF ； 9 分 (3) 由题意知切线PA、PB的斜率均存在且不为零，设切线方程为 2(1)yk x，10 分 由 2 |22|
15、1 k r k ，得 222 (4)840rkkr， 记切线PA、PB的斜率分别为 1 k、 2 k，则 12 2 12 8 4 1 kk r k k ，12 分 由于切线PA、PB的方程分别为 1 2(1)yk x、 2 2(1)ykx， 联立 2 1 4 2(1) yx yk x ，消去x，得 2 11 4840k yyk ， 设 11 ( ,)A x y、 22 (,)B xy，则 1 1 4 2y k ，故 1 1 4 2y k ， 同理， 2 2 4 2y k ，14 分 于是 1212 2 1212 2 1 ()2216 222 24 0, 6) yykk t kkk kr , 即
16、t的取值范围是 10, 6).16 分 21 (1) 解 ： 由 3 2 9 1 3 1 3 3 x x ， 得 2 3 6 32 7 x x ， 故 实 数x的 取 值 范 围 是 3,6； 4 分 (2) 解：由 n a为(4)B数列，得 1 1 ,4 4 n n a q a ，6 分 当(1,4q时， 1nn aa ， 故 2132111 ()()() nnnn Taaaaaaaa ， 从 而 1 1 1 1 n n n n Tq Tq ， 1 (1,4lim n n n T q T ， 所 以 当q1时 ， t q；9 分 当 1 ,1) 4 q时， 1nn aa ， 故 1223+1
17、11 ()()() nnnn Taaaaaaaa ， 从 而 1 1 1 1 n n n n Tq Tq ， 1 lim1 n n n T T ， 所 以 当0q1时 ， t 1；11 分 (3) 证明：(必要性)当 n a为( )B数列时， 1 1 0 n n a a ，故数列 n a的所有项 都同号，12 分 由 1 2 1 , a a ，得 1 1 ad a ，即 1 1 d a ，13 分 若 1 0 d a ,不妨设 1 0a ，0d ， 则当n充分大时， 1 (1)0 n aand，与数列 n a的所有项都同号矛盾,故 1 0 d a ， 综上 1 10 d a ； 14 分 （充分性）当 1 10 d a 时，由 1 0 d a ，得 11 111 10 n aandd n aaa , 故数列 n a的所有项都同号，且 0 n d a ，15 分 故 2 2 2 2221 212111 1111 2 0 nn n nnnnnnn nnnnnnnn aa a aaa aaaa aaa aa aa a ，即 21 1 nn nn aa aa ， 于是 12 11 11 (1) n n aad aaa ， 16 分 另一方面， 1 1 11 nn nnn aadd aaa ，17 分 故 1 1 , n n a a ，即 n a为( )B数 列.18 分
