1、1 1 淮安市淮安市 20192019- -20202020 学年度第一学期期末调研测试学年度第一学期期末调研测试 高二数学试题高二数学试题 2020.01 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共计分，共计 4040 分，在每小题给出的分，在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的。四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 命题“Rx，032 2 xx”的否定是( ) . ARx,032 2 xx .BRx,032 2 xx .CRx,032 2 xx .DRx,032 2 xx 【答案】D 7.“2x”是“02 2 x
2、x”的( )条件 . A充分不必要 .B必要不充分 .C充要条件 .D既不充分也不必要 【答案】B 3. 准线方程为1y的抛物线的标准方程为( ) . Ayx4 2 .Bxy4 2 .Cyx2 2 .Dyx4 2 【答案】A 4. 若直线l的方向向量)2 , 1,( xm ，平面的法向量)4 , 2, 2(n ，且直线l平面， 则实数的x值是( ) . A1 .B5 .C1 .D5 【答案】C 5. 函数 1 2 2 x xy) 1( x的最小值是( ) . A2 .B4 .C6 .D8 【答案】C 6. 已知数列 n a是等比数列，4 2014 a，16 2020 a，则 2017 a( )
3、 . A24 .B24 .C8 .D8 【答案】D 7. 已知 21,F F分别为双曲线:C1 2 2 2 2 b y a x 的左,右焦点，过 2 F作垂直于x轴的直线与双曲 线C相交于BA,两点，若ABF1为等边三角形，则该双曲线的离心率是( ) . A3 .B 3 3 .C2 .D5 【答案】A 2 2 8.九章算术中的“竹九节”问题：现有一根 9 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数 列，上面 4 节的容积共 4 升，下面 3 节的容积共 6 升，则第 5 节的容积是( ) . A 11 2 .B 11 8 .C 11 16 .D 11 18 【答案】C 二、多项选择题：本大题共二、多
4、项选择题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共计分，共计 2020 分。每小题给出的四分。每小题给出的四 个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 3 分，分， 有选错的得有选错的得 0 0 分。分。 9. 已知函数34)( 2 xxxf，则0)(xf的充分不必要条件是( ) . A3 , 1 .B3 , 1 .C), 3 1 ,( .D)4 , 3( 【答案】BD 10.与直线02 yx仅有一个公共点的曲线是( ) . A1 22 yx .B1 2 2 2 y x .C 1 22
5、yx .Dxy 2 【答案】AC 11.已知数列 n a是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是( ) . A n a 1 .B n a .C 1 nn aa .D 21 nnn aaa 【答案】ACD 12.如图，在正方体 1111 DCBAABCD 中，下列各式中运算的 结果为 1 AC的有( ) .ACDBCAB .B 11111 CDCBAA .C 111 CBCCAB .D 111 CBDCAA 【答案】BCD 三、填空题：本大题共三、填空题：本大题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共计分，共计 2020 分。分。 13.若数列 n a的前n项和为 n S，点),(
6、 n Sn在函数xxxf 2 )(的图象上，则 3 a . 【答案】4 14.在空间直角坐标系xyzO中，), 1, 1 (tA，)0 , 2(tB，)2, 1 (tC，若BCAB ，则实数t 的值为 . 【答案】 2 1 3 3 15.若关于x的一元二次不等式02 2 abxax的解集为) 1,(mm，则实数 a b . 【答案】3 16.已知椭圆1: 2 2 2 2 b y a x C)0(ba的焦点为 21,F F，如果椭圆C上存在一点P，使得 0 21 PFPF，且 21F PF的面积等于4，则实数b的值为 ，实数a的取值范围 为 . 【答案】2 ),22 四、解答题：本大题共四、解答
7、题：本大题共 6 6 小题，共计小题，共计 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或分。解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤。演算步骤。 17.(本小题满分 10 分) 已知 n S为等差数列 n a的前n项和，且7 4 a，9 3 S. （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 n nn ab 2 1 ，求数列 n b的前n项和 n T. 【解】 （1）因为等差数列 n a，7 4 a，9 3 S， 所以 933 73 1 1 da da ，解得 2 1 1 d a ， 所以12) 1(21) 1( 1 nndnaan， 即 n a的通项公式为12 nan； （2） n nn aa
8、aaT 2 1 2 1 2 1 2 1 3 3 2 2 1 1 n n aaaa 2 1 2 1 2 1 2 1 321 321 2 1 1 2 1 1 2 1 2 ) 121( n nn n n 2 1 1 2 . 18.(本小题满分 12 分) 已知抛物线:Cpxy2 2 )0(p经过点)2, 1 ( A， 直线l过抛物线C的焦点F且与抛物线 交于NM,两点，抛物线的准线与x轴交于点B. （1）求实数p的值； （2）若4BNBM，求直线l的方程. 4 4 【解】 （1）抛物线C过点)2, 1 ( A， 12)2( 2 p，解得2p； （2）抛物线C的方程为xy4 2 ,焦点)0 , 1 (
9、F，准线为1x， 抛物线的准线与x轴交于点B，)0 , 1(B， 由题意知l的斜率不为 0，故设直线l:1 myx， 设),( 11 yxM，),( 22 yxN， 由 xy myx 4 1 2 得044 2 myy， 4 4 0 21 21 yy myy， 4BNBM，4), 1(), 1( 2211 yxyx， 化简3 4 2)( 16 )( 21 2 21 21 2 21 yyyy yy yy ， 即3 4 816 41 2 m ，解得1m，满足0， 故直线l的方程为01 yx或01 yx. 19.(本小题满分 12 分) 如图，在四棱锥ABCDS 中，底面ABCD是矩形，SA平 面AB
10、CD，2 SAAD，1AB，点E是棱SD的中点. (1)求异面直线CE与BS所成角的余弦值； (2)求二面角DBCE的大小. 【解】 （1）以A为坐标原点建立空间直角坐标系， 则)0 , 0 , 0(A，)0 , 0 , 1 (B，)0 , 2 , 0(D，)2 , 0 , 0(S，)0 , 2 , 1 (C，) 1 , 1 , 0(E， ) 1 , 1, 1(CE，)2 , 0 , 1(BS，CE3210) 1)(1(BS， 31) 1() 1(| 222 CE，520) 1(| 222 BS， 0 5 15 | | ,cos BSCE BSCE BSCE， 故异面直线CE与BS所成角的余弦
11、值为 5 15 ； （2）SA平面ABCD，)2 , 0 , 0(AS是平面ABCD的一个法向量， 设平面EBC的一个法向量为),(zyxn ， 5 5 )0 , 2 , 0(BC，) 1, 1, 1(CE， 则 0 0 CEn BCn ,即 0 02 zyx y ，令1x，得) 1 , 0 , 1 (n ， 2 2 22 2 | ,cos ASn ASn ASn ， , 0,ASn ， 4 , ASn ， 二面角DBCE为锐角，二面角DBCE的大小 4 . 20.(本小题满分 12 分) 随着中国经济的腾飞，互联网的快速发展，网络购物需求量不断增大。某 物流公司为扩 大经营，今年年初用192
12、万元购进一批小型货车，公司第一年需要付保险费等各种费用 共计12万元，从第二年起包括保险费、维修费等在内的所需费用比上一年增加6万元， 且该批小型货车每年给公司带来69万元的收入. （1）若该批小型货车购买n年后盈利，求n的范围； （2）该批小型货车购买几年后的年平均利润最大，最大值是多少？ 【解】 （1）由题意得： (1) 69192 1260 2 n n nn 化简得： 2 20640nn 解得：4n16， 答：该批小型货车购买 n 年后盈利，n 的范围为(4，6)； （2）设批小型货车购买 n 年后的年平均利润为 y 则 2 36019264 3()60 nn yn nn 3 2 646
13、012 当且仅当 n8 时取“” ，所以12 max y， 答：该批小型货车购买 8 年后的年平均利润最大，最大值是 12 21.(本小题满分 12 分) 6 6 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1: 2 2 2 2 b y a x C)0(ba的离心率为 2 3 ， 焦距为32. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若M是椭圆C上一点，过点O作OM的 垂线交直线 3 32 y于点N，设OM的斜 率为k)0( k. 求证： 22 11 ONOM 为定值. 【解】 （1）由题意知 322 2 3 c a c ，解得 3 2 c a ，1 222 cab， 所以椭圆C的标准方程1 4 2 2
14、 y x ； （2）直线OM的方程为kxy ，设),( MM yxM， 则 1 4 2 2 M M MM y x kxy ，所以 14 4 2 2 k xM， 14 4 2 2 2 k k yM， 所以 14 ) 1(4 2 2 222 k k yxOM MM ， 因为ONOM 所以直线ON的方程为x k y 1 ，设),( NN yxN， 则 3 32 1 N NN y x k y ，所以 3 32k xN， 3 32 N y， 所以 3 ) 1(4 2 222 k yxON NN ， 所以1 ) 1(4 3 ) 1(4 1411 22 2 22 kk k ONOM 为定值. 22.(本小题
15、满分 12 分) 已知数列 n a的前n项和为 n S，且满足22 nn aS)( * Nn. （1）求数列 n a的通项公式； 7 7 （2）若对任意的 * Nn，不等式15)( 1 nn aan恒成立，求实数的最大值. 【解】 （1）因为22 nn aS)( * Nn， 所以当1n时有2 1 a，当2n时有22 11 nn aS， 所以 11 22 nnnnn aaSSa，所以 1 2 nn aa， 又因02 1 a，所以0 1n a，所以2 1 n n a a ， 所以数列 n a是等比数列，所以 nnn n qaa222 11 1 ； （2）不等式15)( 1 nn aan可化为 2 1 2 15 1 n n， 所以 min 1 ) 2 1 2 15 ( n n， 令 2 1 2 15 1 n n nb，则 2 2 2 1 2 152 2 15 1 n n n nn bb， 当2n时，0 1 nn bb，即 nn bb 1 ， 当1n时，0 1 nn bb，即 12 bb , n bbbbb 4321 ,即 8 27 )( 2min bbn， 所以 8 27 ，故实数的最大值 8 27 .
