1、 2 2021021 届届高三第二次调研高三第二次调研抽抽测测 数学数学 一、一、选择题：本大题共选择题：本大题共 8 8 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 4 40 0 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的. . 1.已知UR，|2Ax x，| 14Bxx ，则 U C AB （ ） A 1,2 B, 2 C2,4 D2,4 2.已知复数z的共轭复数为z，若20zai a，且4z z ，则a （ ） A 1 B 2 C 2 D6 3. 已知 1 3 2 1 2 ,log, 3 b abca，则,
2、 ,a b c的大小关系是（ ） A cab Bcba Cacb D abc 4. 命题“1,2x ， 2 20 xa”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A 2a B2a C. 4a D4a 5. 有 5 名学生志愿者到 2 个小区参加疫情防控常态化宣传活动，每名学生只去 1 个小区，每个小区至少安 排 1 名学生，则不同的安排方法为（ ） A 10 种 B 20 种 C. 30 种 D40 种 6.函数 1 2 sin log22 xx x f x 的部分图像可能是 （ ） A B C. D 7.若双曲线 22 1: 1 3 yx C a 与双曲线 22 2: 1 69 xy C的渐近线
3、相同，则双曲线 1 C的离心率为 （ ） A 10 2 B 15 3 C. 5 2 D 3 3 8.2013 年 9 月 7 日，习近平总书记在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表演讲并回答学生们提出的问题，在 谈到环境保护问题时他指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山，宁要绿水青山，不要金山银山，而且 绿水青山就是金山银山.”“绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树立生态文明观、引领中国走向 绿色发展之路的理论之基.某市为了改善当地生态环境，2014 年投入资金 160 万元，以后每年投入资金比上 一年增加 20 万元，从 2020 年开始每年投入资金比上一年增加 10%，到 2024 年底该
4、市生态环境建设投资总 额大约为 （ ） A 2655 万元 B2970 万元 C. 3005 万元 D3040 万元 二二、选择题：本题共、选择题：本题共 4 4 小小题，每小题题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分. .在在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全全 部部选对选对的得的得 5 5 分分，有，有选选错的得错的得 0 0 分分，部分选对的得，部分选对的得 3 3 分分. . 9. 2019 年 1 月到 2019 年 12 月某地新能源汽车配套公共充电桩保有量如下： 则下列说法正确的是（ ） A2019 年各月公共充电桩保有
5、量一直保持增长态势 B2019 年 12 月较 2019 年 11 月公共充电桩保有量增加超过 2 万台 C. 2019 年 6 月到 2019 年 7 月，公共充电桩保有量增幅最大 D2019 年下半年各月公共充电桩保有量均突破 45 万台 10. 设, a bR，则下列结论正确的是（ ） A若0ab，则 22 11 ab B若0ab，则 22 11ab C.若2ab，则224 ab D若 11 22 ab ba ，则ab 11.如图，在半圆柱中，AB为上底面直径，DC为下底面直径，,AD BC为母线，2ABAD，点F在 AB上，点G在DC上，1BFDG，P为DC的中点，则 （ ） A/BF
6、PG B异面直线AF与CG所成角为 60 C. 三棱锥PACG的体积为 3 2 D直线AP与平面ADG所成角的正弦值为 15 10 12. 已知函数 32sinsin2f xxx，则下列结论正确的是（ ） A函数 f x是周期函数 B函数 f x在, 上有 4 个零点 C. 函数 f x的图象关于 , 3对称 D函数 f x的最大值为 5 3 2 三三、填空题、填空题：本大题共本大题共 4 4 小小题，题，每每小小题题 5 5 分，满分分，满分 2020 分，将答案填在答题纸上分，将答案填在答题纸上 13.已知向量1,3,1atb ，且 2abb，则t 14.设函数 2 1,2 1 2 ,2
7、2 xx fx fxx ，则 6ff 15.已知抛物线 2 :C yx， 斜率为 3 2 的直线l经过点1,0， 且与C交于,A B两点 （其中A点在x轴上方） . 若B点关于x轴的对称点为P，则APB外接圆的方程为 16.某公司周年庆典活动中，制作的“水晶球”工艺品如图所示，底座是用一边长为2m的正方形钢板，按 各边中点连线，垂直折起四个小三角形制成，再将一个水晶玻璃球放入其中.若水晶球最高点到底座底面的 距离为 21 m，则水晶球的表面积为 2 m. 四四、解答题：解答题：本本题共题共 6 6 小小题，题，共共 7070 分分. .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、
8、证明过程或演算步骤. . 17. 在3 sincoscAaC，tan23 4 C ， 222 3abcab这三个条件中选一个， 补充在下面问题中，并加以解答. 已知ABC中的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，面积为S，若 0 4,105cB，_，求a和S. 18. 已知数列 n a的前n项和为 n S，且1 nn aS， * 2 1 log , n n n a bnN a . （1）求数列 , nn ab的通项公式； （2）设 1 1 22 n n nn n c b b ，数列 n c的前n项和为 n T，求证： 31 164 n T. 19. 近年来，我国肥胖人群的规模不断扩
9、大，肥胖人群有很大的心血管安全隐患，目前，国际上常用身体 质量指数（Body Mass Index，缩小BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是 22 kg BMI m 体重 单位： 身高单位： ，中国成人的BMI数值标准为：18.5BMI 为偏瘦；18.524BMI为正 常；2428BMI为偏胖；28BMI 为肥胖，某单位随机调查了 100 名员工，测量身高、体重并计算出 BMI值. （1）根据调查结果制作了如下2 2列联表，请将2 2列联表补充完整，并判断是否有 99%的把握认为肥 胖与不经常运动有关； 肥胖 不肥胖 合计 经常运动员工 40 60 不经常运动员工 24 40
10、合计 100 （2）若把上表中的频率作为概率，现随机抽取 3 人进行座谈，记抽取的 3 人中“经常运动且不肥胖”的人 数为X，求随机变量X的分布列及数学期望. 附： 2 2 n adbc K abcdacbd ，其中na b cd . 2 0 P KK 0.10 0.05 0.01 0.005 0 K 2.706 3.811 6.635 7.879 20. 如图，已知多面体ABCDEF的底面ABCD是边长为 2 的正方形，FA 底面ABCD，2AF ，且 01DEAF. （1）求证：/CE平面ABF； （2）若二面角B CFE的大小为 5 6 ，求的值. 21. 已知O为坐标原点，椭圆 2 2
11、 :1 4 x Cy，点,D M N为C上的动点，,O M N三点共线，直线 ,DM DN的斜率分别为 121 2 ,0k kk k . （1）证明： 12 1 4 k k ； （2）当直线DM过点1,0时，求 2 2 119 2 1 DN k 的最小值； （3）若 12 0kk，证明： 2 2 ODOM为定值. 22.已知函数 ln1 ,1 x f xaxg xxex. （1）当1a 时，证明： f xxg x； （2）设函数 F xf xg x，若 F x有极值，且极值为正数，求实数a的取值范围. 试卷答案试卷答案 一、选择题一、选择题 1-4:DBCD 5-8:CBBC 二、二、多项选择
12、多项选择题题 9.AB 10.ACD 11.ABD 12. ACD 三、三、填空填空题题 13.8 14. 7 16 15. 22 13 10 3 xyx 16. 4S 四四、解答题：、解答题： 17.解：选 正弦定理且3 sincoscAaC，3sinsinsincosCAAC， 在ABC中，0,A，sin0A，3sincosCC， sin3 tan cos3 C C C ， 选 tan23 4 C ， tantan 4 23 1tantan 4 C C ，即1 tan 23 1tan C C ，则 3 tan 3 C ， 选 222 3abcab，由余弦定理得： 222 33 cos 22
13、2 abcab C abab ， 选 在ABC中，0,C， 6 C ， 在ABC中，AB C，且 0 105B ， 4 A ， 正弦定理 sinsin ac AC ，且4c ， 4 sinsin 46 a ，则4 2a ， 0000000 212326 sinsin105sin 4560sin45 cos60cos45 sin60 22224 B ， 1126 sin4 2444 3 224 SacB . 18.解： （1）1 nn aS， 当1n 时， 11 1aS，即 1 21a ， 1 1 2 a ； 当2n时， 11 1 nn aS ， 11nnnnn aSSaa ， 1 2 nn a
14、a ，即 1 1 2 n n a a ； n a是等比数列，且首项为 1 1 2 a ，公比为 1 2 q ， 1 111 222 nn n a ， 2 1 2 1 1 1 log log2 2 1 2 n n n n n n a bn a . （2） 11 122212 1 2222221111 21 21 21 221 2 nn n nnnnnn n n nnn c b bnnn nnnnn 233445122 1111111111 1 22 22 23 23 24 221 241 2 n nnn T nnn * nN，且 n T单调递增， 31 164 n T. 19.解： （1） 肥胖
15、 不肥胖 合计 经常运动员工 20 40 60 不经常运动员工 24 16 40 合计 44 56 100 2 2 100 20 1640 24 6.936.635 60 40 44 56 K ， 有 99%的把握认为肥胖与不经常运动有关； （2）经常运动且不肥胖的概率为： 402 1003 ， X的所有可能取值为 0，1，2，3， 3 0 3 327 0 5125 P XC ， 2 1 3 2354 1 55125 P XC 2 2 3 2336 2 55125 P XC ， 3 3 5 28 3 5125 P XC X的分布列 X 0 1 2 3 P 27 125 54 125 36 12
16、5 8 125 543686 123 1251251255 E X . 20.解： （1）DEAF， /DEAF， DE 平面ABF，AF 平面ABF， /DE平面ABF， ABCD为正方形， /CDAB， AB 平面ABF，CD平面ABF， / /CD平面ABF， DECDD，,DE CD 平面CDE， 平面/CDE平面ABF，CE平面CDE， /CE平面ABF； （2）以A为坐标原点，分别以,AB AD AE为, ,x y z轴建立空间直角坐标系Axyz. 0,0,0 ,2,0,0 ,2,2,0 ,0,2,0 ,0,2,2,0,0,2ABCDEF， 设平面BCF的法向量为 1111 ,nx
17、 y z， 1 1 0 0 n BF n CF ， 11 111 220 2220 xz xyz ， 不妨设 1 1x ，则 11 0,1yz，即 1 1,0,1n ， 设平面CFE的法向量为 2222 ,nxy z， 2 2 0 0 n CF n CE ， 222 22 2220 220 xyz xz ， 不妨设 2 1z ，则 22 ,1xy ，即 2 ,1,1n， 二面角B CFE为 5 6 ， 12 12 12 5 coscos, 6 n n n n nn ， 2 2 311 22 211 或2， 又01， 1 2 . 21.解：法一： （1）设,M O N三点共线，且MN在椭圆C上，
18、 ,M N关于原点对称，设 00 ,M x y，则 00 ,Nxy， 设 11 ,D x y， 22 22 10 101010 1 2 2222 10101010 1 1 4 4 xx yyyyyy k k xxxxxxxx ； （2） 1 :1DM ykx，即 11 0k xyk， 11 2 2 0 1 4 k xyk x y ，消y可得 2222 111 418440kxk xk， 2 1 2 1 2 1 2 1 8 41 44 41 MD MD k xx k k xx k ， 1112 2 1 2 11 41 MD k yykxkx k ， 2 1 2 1 1 2 1 8 41 2 41
19、 DN DN k xx k k yy k ， 42 42 22 22 11 22 22 1 2 11 644 44644 41 1 41 4 DNDN kkkk DNxxyy k k 2 22 2 22 222 22 2 22 21646444 41 4 1641 kkk k kk 2 2 2 22 2 22 211919 41 2 12 1 k DN k kk ， 令 2 2 1kt ，则 22 2 1kt， 2 2 2 119288 28 21 t t DNtt k ，当且仅当2t ， 2 2 3k 时取等； （3） 12 12 0 0 kk k k ， 1 2 1 2 1 2 k k 或
20、 2 1 1 2 1 2 k k ， 不妨设 1 1 2 k ， 2 1 2 k ， 设 1 : 2 DMyxm， 2 2 1 2 1 4 yxm x y ，消y可得 22 2220 xmxm， 2 2 22 DM DM xxm xxm ， 22 22 111 44 DM DM xx yy ， 222222 4 15 DDMM ODOMxyxy . 法二：证明：设 00 ,M x y， 0011 ,NxyD x y， 22 101010 1 2 22 101010 yyyyyy k k xxxxxx ， ,M N D均在椭圆C上， 2 2 0 0 2 2 1 1 11 4 12 4 x y x
21、 y （2）设DM的方程为 1 1ykx， 11 ,D x y， 22 ,M xy， 22 ,Nxy， 22221 111 22 1 1 48440 44 ykx kxk xk xy ， 2 1 12 2 1 2 1 12 2 1 8 14 44 14 k xx k k x x k ， 1 12112 2 1 2 2 14 k yykxx k ， 2 42 22 11 11 121222 2 22 1 11 2161644 14 1414 kkkk DNxxyy k kk ， 2 12 2 2 11 1611 11 164 k k kk ， 2 1 1 222 2111 3841119 2 1
22、2161161 kk DN kkkk 2 222 11 111 222 1 11111 32161801161 64 2 168 2 21612161161 kkkkk k kkkkk ， 当且仅当： 2 11 2 1 1 32161 2 161 kk k k ， 2 1 1 48 k 时，取“=”； （3） 12 0kk， 12 1 4 k k ，不妨设 1 1 2 k ， 2 1 2 k ， DM方程： 11 1 2 yxxy ， DN方程： 11 1 2 yxxy， +得 1 11 2,2 2 x yx yxy， 1 1 2, 2 x Dy ， D在椭圆上， 2 2 1 1 444 4
23、x y ，即 22 11 44yx， 2 222222222 1 1111111 55 4545 444 x ODOMyxyyxxy为定值. 22.解： （1）当1a 时， ln1f xx， 令 ln1F xxx， 1 1 11 x Fx xx ，令 0Fx得0 x， 且当10 x 时， 0Fx， F x；当0 x时， 0Fx， F x， 00F xF，ln1xx，即 f xx， 令 1 xx G xxexx e， 当10 x 时， 0G x ，当0 x时， 0G x ， 当1x时， 0G x ，即 g xx， f xxg x； （2） ln1 x F xaxxe， 2 1 1 11 x x
24、axea Fxxe xx ， 当0a时， 0Fx， F x在1, 上单调递减， F x无极值，舍去， 当0a时，令 2 1 x xaxe， 130 x xxxe， x在1, 上单调递减，注意到10a， 22 110 a aaaeaa a， 存在唯一的 0 1,xa ，使 0 0 x， 0 2 0 10 x axe， 且当 0 1xx 时， 0 x， 0Fx， F x； 当 0 xx时， 0 x， 0Fx， F x， F x在 0 xx处取极大值，即 F x有极大值 0 F x， 且 000 2 000000 ln11ln10 xxx F xaxx exexx e， 2 0 00002 0 1ln10ln10 1 x xxxx x ， 令 2 ln1 1 x G xx x ， 2 44 1311 1 11 x xxx G x x xx ， 令 0G x得0 x， 当10 x时， 0G x， G x，当0 x时， 0G x， G x， 00G xG， 0 0G x， 0 1,00,x ，此时 0 2 0 1 x axe， 令 2 1 x H xxe， 130 x Hxxxe， H x在1, ， 0 1,00,x ， 0 2 0 10,11, x axe， 故实数a的取值范围为 0,11,.
