1、高高 2021 级第五期期末复习专项训练级第五期期末复习专项训练 专题三立体几何（二）专题三立体几何（二） 一、一、选择题选择题 1.已知 ， 是两个不同的平面，m，n 是两条不同的直线，下列四个命题中正确的是（ ） A如果 m，n，那么 mn B如果 m，n，那么 mn C如果 mn，m，n，那么 D如果 ，m，则 m 2.已知正四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面边长为 1，高为 2，M 为 B1C1的中点，过 M 作平面 平行平 面 A1BD，若平面 把该正四棱柱分成两个几何体，则体积较小的几何体的体积为（ ） A1 8 B 1 16 C 1 24 D 1 48 3.在边长为 30 米
2、的正六边形广场正上空悬挂一个照明光源， 已知这个光源发出的光线过旋转轴的截面是 一个等腰直角三角形，要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为（ ） A30 米 B20 米 C152米 D15 米 4.已知某圆柱的底面直径与某圆锥的底面半径相等，且它们的表面积也相等，圆锥的底面积是圆锥侧面 积的一半，则此圆锥与圆柱的体积之比为（ ） A8：53 B4：53 C23：5 D4：113 5.（多选题）如图正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 2，线段 B1D1上有两个动点 E、F，且 EF= 1 2，则 下列结论中正确的是（ ） AACBE BEF平面 ABCD C三棱锥 ABEF 的体积为定值
3、 DAEF 的面积与BEF 的面积相等 6.（多选题）对于四面体ABCD，下列命题正确的是（ ） A.由顶点 A 作四面体的高，其垂足是BCD的垂心 B.分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点 C.若分别作ABC和ABD的边AB上的高，则这两条高所在直线异面 D.最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱 7.（多面体）已知四面体 ABCD 的所有棱长均为 2，则下列结论正确的是（ ） A异面直线 AC 与 BD 所成角为 60 B点 A 到平面 BCD 的距离为26 3 C四面体 ABCD 的外接球体积为6 D动点 P 在平面 BCD 上，且 AP 与 AC 所
4、成角为 60，则点 P 的轨迹是椭圆 二、填空题 8.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 4，面积为 4 的扇形，则该圆锥的体积为 9. 点 M，N 分别为三棱柱 ABCA1B1C1的棱 BC，BB1的中点，设A1MN 的面积为 S1， 平面 A1MN 截三棱柱 ABCA1B1C1所得截面面积为 S，五棱锥 A1CC1B1NM 的体积为 V1， 三棱柱 ABCA1B1C1的体积为 V，则 1 = ，1 = 三、解答题三、解答题 10.如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧面 ACC1A1底面 ABC，AA1A1CAC，ABBC，ABBC， E，F 分别为 AC，B1C1的中点 （1）求证：直线
5、 EF平面 ABB1A1； （2）求二面角 A1BCB1的余弦值 11.在四棱锥 PABCD 中，PAB 为等边三角形，四边形 ABCD 为矩形，E 为 PB 的中点，DEPB （1）证明：平面 ABCD平面 PAB； （2）设二面角 APCB 的大小为 ，求 的取值范围 高高 2021 级第五期期末复习专项训练（六）级第五期期末复习专项训练（六） 专题三立体几何（二）参考答案专题三立体几何（二）参考答案 1.D 2.C 解：分别取 C1D1、CC1中点 EF，由题意知平面 EFM 平行于平面 A1BD， 又平面 过点 M，平面 平行于平面 A1BD， 平面 EFM 与平面 是同一个平面， 体
6、积较小的几何体等于 V= 1 3 1 2 (1 2) 2 1= 1 24 3.A 解：如图所示，点 O 为正六边形 ABCDEF 的中心，PAD 是一个等腰直角三角形，APD90 OAB 为等边三角形，OA30， OP平面 ABCDEF，OAP45，OPOA30 要使整个广场都照明，光源悬挂的高度至少为 30m 4.A 解：设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，则 r2= 1 2 1 2 ，解得 l2r， 圆锥的高 h= 3，圆锥的体积 V= 1 3 2 3 = 3 3 3 由题意知圆柱的底面半径为 2，设圆柱的高为 h， 圆锥和圆柱的表面积相等，3r22（ 2） 2+2（ 2）h，解得 h=
7、 5 2， 圆柱体积 V= ( 2) 2 5 2 = 5 8 3，此圆锥与圆柱的体积之比为： 3 3 3 5 8 3 = 8 53 5.ABC 解：连结 BD，则 AC平面 BB1D1D，BDB1D1， ACBE，EF平面 ABCD，三棱锥 ABEF 的体积为定值， 从而 A，B，C 正确点 A、B 到直线 B1D1的距离不相等， AEF 的面积与BEF 的面积不相等，故 D 错误 6. BD 7. BCD 解：如图，由题意，四面体 ABCD 为正四面体，取底面 BCD 的中心为 G，连接 CG 并延长，角 BD 于 E， 则 E 为 BD 的中点， 且 CEBD， 连接 AG， 则 AG底面
8、 BCD， 得 AGBD， 又 AGCEG， BD平面 ACG，则 ACBD，故 A 错误； 由四面体的所有棱长为 2，可得 CG= 2 3CE= 23 3 ，又 AC2， AG=22 (2 3 3 )2= 26 3 ， 即点 A 到平面 BCD 的距离为26 3 ，故 B 正确； 设四面体 ABCD 的外接球的球心为 O，半径为 R，连接 OC，则2= (2 6 3 )2+ (2 3 3 )2， 解得 R= 6 2 ，则四面体 ABCD 的外接球体积为4 3 ( 6 2 )3=6，故 C 正确； AP 与 AC 所成角为 60， AP 可看作以 AC 为轴的圆锥的母线所在直线， P 的轨迹为
9、平面 BCD 截圆锥 所得曲线，为椭圆，故 D 正确 二、填空题 8. 15 3 解：由题意可得，圆锥的母线长 l4，设圆锥的底面半径为 r，由 rl4r4，得 r1 圆锥的高为 h= 2 2= 16 1 = 15，该圆锥的体积为 V= 1 3 2 = 15 3 9. 7 12， 3 5 9. 解：如图所示，延长 NM 交直线 C1C 于点 P，连接 PA1交 AC 于点 Q，连接 QM 平面 A1MN 截三棱柱 ABCA1B1C1所得截面为四边形 A1NMQ BB1CC1，M 为 BC 的中点，则PCMNBM点 M 为 PN 的中点 A1MN 的面积 S1= 1 2 1，QCA1C1， 1
10、= 1 3 = 1， A1QM 的面积= 2 31， 1 = 3 5 BMN 的面积= 1 8 四边形11，五棱锥 A1CC1B1NM 的体积为 V1= 7 8 四棱锥111， 而三棱锥 A1ABC 的体积= 2 3V， 1 = 7 8 2 3 = 7 12 三、解答题 10.（1）证明：取 A1C1的中点 G，连接 EG，FG，由于 E，F 分别为 AC，B1C1的中点， 所以 FGA1B1又 A1B1平面 ABB1A1，FG平面 ABB1A1，所以 FG平面 ABB1A1 又 AEA1G 且 AEA1G，所以四边形 AEGA1是平行四边形 则 EGAA1又 AA1平面 ABB1A1，EG平
11、面 ABB1A1， 所以 EG平面 ABB1A1所以平面 EFG平面 ABB1A1又 EF平面 EFG， 所以直线 EF平面 ABB1A1 （2）解：令 AA1A1CAC2， 由于 E 为 AC 中点，则 A1EAC，又侧面 AA1C1C底面 ABC，交线为 AC，A1E平面 A1AC， 则 A1E平面 ABC，连接 EB，可知 EB，EC，EA1两两垂直以 E 为原点，分别以 EB，EC，EA1所 在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系， 则 B（1，0，0） ，C（0，1，0） ，A1（0，0，3） ，A（0，1，0） ，1(1，1，3) 所以 = (1，1，0)，1 = (1，0，
12、3)，1 = 1 = (0，1，3)， 令平面 A1BC 的法向量为1 =（x1，y1，z1） ， 由1 = 0 1 1 = 0 则1 + 1= 0 1+ 31= 0令1 = 3，则1 =（3，3，1） 令平面 B1BC 的法向量为2 =（x2，y2，z2） ， 由2 = 0 2 1 = 0 则2 + 2= 0 2+ 32= 0令2 = 3，则2 =（3，3，1） 由 cos1 ，2 = 1 2 |1 |2 | = 5 7，故二面角 A1BCB1 的余弦值为5 7 11.解： （1）证明：连接 AE，因为PAB 为等边三角形，所以 AEPB， 又 DEPB，AEDEE，所以 PB平面 ADE，
13、所以 PBAD 因为四边形 ABCD 为矩形，所以 ADAB，且 ABBPB， 所以 AD平面 PAB因为 AD平面 ABCD，所以平面 ABCD平面 PAB （2）解：以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 Axyz， 不妨设 PBABPA1，C（0，1，n） ， 则(0，0，0)，( 3 2 ， 1 2 ，0)，(0，1，0)， 由空间向量的坐标运算可得： = ( 3 2 ， 1 2，)， = ( 3 2 ， 1 2，0)， = ( 3 2 ， 1 2 ，0) 设平面 BPC 的法向量为 =（x1，y1，z1） ， 则 = 0 = 0 ，代入可得 3 2 1+ 1 2 1+ 1= 0， 3 2 1 1 2 1= 0， 令1= 1，则1= 3，1= 0，所以 =（1，3，0） 设平面 PAC 的法向量为 =（x2，y2，z2） ，则 = 0 = 0 ，代入可得 3 2 2+ 1 2 2+ 2= 0， 3 2 2+ 1 2 2= 0， 令2= 1，则2= 3，2= 3 ，所以 =（1，3， 3 ） 二面角 APCB 的大小为 ，由图可知，二面角 为锐二面角， 所以 cos= | | | |= 2 24+ 3 2 = 1 4+ 3 2 （0，1 2） ，所以 ( 3 ， 2)
