1、第 1 页 共 26 页 福建省厦门市福建省厦门市2019-2020学年高一上学期质量检测期末考试数学学年高一上学期质量检测期末考试数学 试题试题 学校:_姓名：_班级：_考号：_ 1已知集合| 11Axx ， |02Bxx，则AB （ ） A| 1 2xx B|01xx C|1 2xx D1|0 xx 2已知函数 ( )f x的定义域为 2,3 ，则函数 2 2 (3) ( ) 2 fx g x xx 的定义域为（ ） A( , 1)(2,) B 6, 1)(2,3 C5, 1)(2, 5 D 2, 1)(2,3 3已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与直线 3yx 重合，且
2、 sin0，又P m n,是角终边上一点，且10OP (O为坐标原点)，则m n 等于 （ ） A2 B2 C4 D4 4某工厂前n年的总产量 n S与n之间的关系如图所示从目前记录的结果看，前m年的年 平均产量最高，m值为（ ） A2 B4 C5 D6 5 1 2 2 ln2 11 lg2lg2 54 e 的值为（ ） A-1 B 1 2 C3 D-5 第 2 页 共 26 页 6已知a，b都为单位向量，且a，b夹角的余弦值是 4 5 ，则2(ab ) A 4 5 B 9 5 C 2 5 5 D 3 5 5 7已知 3 cos() 63 ，则sin(2) 6 的值为（ ） A 2 2 3 B
3、 1 3 C 1 3 D 2 2 3 8已知函数，若关于x的方程 f xa aR有四个不同实数解 1 x， 2 x， 3 x， 4 x，且 1234 xxxx，则 1234 xxxx的取值范围为（ ） A 1 2, 4 B 1 2, 4 C2, D2, 9以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数 x组成的集 合： 对于函数 x， 存在一个正数M， 使得函数 x的值域包含于区间,M M。 例如，当 3 1 xx， 2 sinxx时， 1 xA， 2 xB。则下列命题中正确 的是： （ ） A设函数 f x的定义域为D，则“ f xA”的充要条件是“bR ，aD ， f ab”
4、B函数 f xB的充要条件是 f x有最大值和最小值 C若函数 f x， g x的定义域相同，且 f xA， g xB，则 f xg xB D若函数 2 ln22, 1 x f xaxxaR x 有最大值，则 f xB 10已知 ,O A B C为平面上两两不重合的四点，且 00 xOAyOBzOCxyz，则 （ ） A当且仅当 0 xyz 时，O在ABC的外部 B当且仅当 :3:4:5x y z 时，4 ABCOBC SS 第 3 页 共 26 页 C当且仅当x yz 时，O为ABC的重心 D当且仅当 0 xyz 时，, ,A B C三点共线 11计算： 1726 cos()sin 43 _
5、 12已知集合 |1 2Axx ，集合 |Bx xa，若ABB，则实数a的取值范 围是_. 13在平面直角坐标系中，角终边过点2,1P，则 2 cossin2的值为_ 14在平面内，点A是定点，动点B，C满足|1ABAC，0AB AC ，则集合 |,12P APABAC所表示的区域的面积是_. 15某辆汽车以/xkm h的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求 60120 x）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为 14500 () 5 xkL x ，其中k为常 数.若汽车以120/km h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L，欲使每小时的油耗不超过 9L，则速度x的取值范围为
6、_ 16 偶函数 yf x满足 33f xfx， 在3 , 0 x 时， 2 x f x 若存在 1 x， 2 x， n x，满足 12 0 n xxx，且 12231 2019 nn f xf xf xf xf xf x ，则 n x最小值为 _ 17已知函数 sin()( 0,0) 2 f xAx 的部分图象如图所示. （）求函数 f x的解析式； 第 4 页 共 26 页 （）若为第二象限角且 3 sin 5 ，求 f的值. 18已知函数 1 5 1 5 x x f x （1）写出 f x的定义域； （2）判断 f x的奇偶性； （3）已知 f x在定义域内为单调减函数，若对任意的tR，
7、不等式 22 220f ttftk恒成立，求实数k的取值范围 19ABC是边长为3的等边三角形，2BE BA , 1 (1) 2 BFBC,过点F作 DFBC交AC边于点D，交BA的延长线于点E （1）当 2 3 时，设,BAa BCb，用向量, a b表示EF； （2）当为何值时，AE FC 取得最大值，并求出最大值 20 如图， 已知P是单位圆 （圆心在坐标原点） 上一点， 3 xOP ， 作P Mx轴于M， PNy 轴于N （1）比较OM与 6 的大小，并说明理由； 第 5 页 共 26 页 （2）AOB的两边交矩形OMPN的边于A，B两点，且 4 AOB ，求OA OB 的取 值范围
8、21 如图， 河的两岸分别有生活小区ABC和DEF， 其中,ABBC EFDF DFAB， ,C E F三点共线，FD与BA的延长线交于点O，测得 3ABkm，4BCkm， 9 4 DFkm，3FEkm， 3 2 ECkm，若以,OA OD所在直线分别为 , x y轴建立平面直 角坐标系xOy则河岸DE可看成是曲线 xb y xa （其中, a b是常数）的一部分，河岸AC 可看成是直线y kxm （其中, k m为常数）的一部分 （1）求, , ,a b k m的值 （2）现准备建一座桥MN，其中,M N分别在,DE AC上，且MNAC，M的横坐标 为t写出桥MN的长l关于t的函数关系式(
9、)lf t，并标明定义域；当t为何值时，l取 到最小值？最小值是多少？ 22设 ( )f x是定义在 , a b上的函数，若存在( , )xa b ，使得 ( )f x在 , a x单调递增，在 , x b上单调递减，则称( )f x为 , a b上的单峰函数，x为峰点，包含峰点的区间称为含峰 区间，其含峰区间的长度为：ba （1）判断下列函数中，哪些是“0,1上的单峰函数”？若是，指出峰点；若不是，说出原 因； 2 12324 1 ( )2,( )121,( )log,( )sin4 2 f xxxfxxfxxfxx 骣 =-=-=+= 桫 ； （2）若函数 3 ( )(0)f xaxx a
10、=+是1,2上的单峰函数，求实数a的取值范围； （3）若函数 ( )f x是区间0,1上的单峰函数，证明：对于任意的 1212 ,(0,1),x xxx?，若 第 6 页 共 26 页 12 ( )()f xf x， 则 2 ( 0 , )x 为含峰区间； 若 12 ( )()f xf x， 则 1 ( , 1 ) x为含峰区间； 试问当 12 ,x x 满足何种条件时，所确定的含峰区间的长度不大于 0.6 参考答案参考答案 1B 【解析】 【分析】 由交集定义直接求解即可. 【详解】 集合 | 11Axx ， |02Bxx，则 |01ABxx. 故选 B. 【点睛】 本题主要考查了集合的交集
11、运算，属于基础题. 2C 【解析】 【分析】 利用复合函数的定义域和偶次根式和分母有意义的条件列不等式组可解得. 【详解】 因为函数 ( )f x的定义域为 2,3, 所以要使 2 2 (3) ( ) 2 fx g x xx 有意义, 只需 2 2 233 20 x xx ,解得: 51x 或25x , 所以函数( )g x的定义域为5, 1)(2, 5. 故选 C. 【点睛】 本题考查了复合函数的定义域的求法.属中档题. 3A 【解析】 第 7 页 共 26 页 【分析】 由题意可得0,3mnm，根据10OP ，求得 ,m n的值，即可求解mn 得值，得到 答案. 【详解】 由题意，角的顶点
12、为坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边与直线 3yx 重合， 且sin0，所以为第三象限角. 又P m n,是角终边上一点，所以0,3mnm， 再根据 22 10(3 )10OPmmm（O为坐标原点） ， 所以1,3mn ，则2m n， 故选 A. 【点睛】 本题主要考查了三角函数的定义及其应用， 其中解答熟练应用三角函数的定义， 列出方程求 得m的值是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 4C 【解析】 【分析】 根据图中表示工厂前m年的总产量S与m之间的关系，得出平均产量的几何意义是原点与 该点连线的斜率，从而得出答案 【详解】 解：工厂前m年的总产量S与m在图中对应,P
13、S m点， 前m年的年平均产量即为直线OP的斜率， 由图得，当5m时，直线OP的斜率最大， 即前 5 年的年平均产量最高， 故选：C 【点睛】 本题考查了函数图象的应用问题， 也考查了统计中的散点图的应用问题， 解题的关键是正确 分析出平均产量的几何意义是什么 5A 第 8 页 共 26 页 【解析】 【分析】 进行对数式、分数指数幂和根式的运算即可 【详解】 原式lg2+lg522+2lg102121 故选 A 【点睛】 本题考查对数式，根式和分数指数幂的运算，考查学生计算能力，属于基础题 6D 【解析】 【分析】 利用1ab，结合数量积的定义可求得2ab的平方的值，再开方即可 【详解】 依
14、题意1ab， 222 2(2 )44abababa b 493 5 1 44 1 1 555 ，故选 D 【点睛】 本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题向量数量积的运算主要掌握两点： 一是数量积的基本公式cosa ba b；二是向量的平方等于向量模的平方 2 2 aa. 7B 【解析】 3 cos 63 ，则 5 sin 2sin 2sin 2 6662 2 21 cos22cos11 6633 ，故选 B. 8B 【解析】 第 9 页 共 26 页 【分析】 由题意作函数( )yf x与y a 的图象， 从而可得 12 4xx ， 24 0log2x ， 34 1x x ， 再结
15、合对勾函数的性质，从而得解； 【详解】 解：结合 yf x与y a 的图象可知： 12 4xx ， 24 0log2x， 34 1xx， 故 12 4xx ， 4 14x， 由对勾函数 1 g xx x 的图象可知函数 1 g xx x 在1,单调递增， 当1,4x时， 17 2, 4 g x 第 10 页 共 26 页 所以 344 4 117 2, 4 xxx x ， 故 1234 1 2 4 xxxx ， 故选：B 【点睛】 本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用属于中档题 9ACD 【解析】 【分析】 A选项中，根据函数的定义域、值域的定义，转化成用简易逻辑语言表示出来； B选项
16、中举反例保证函数的值域为集合,M M的子集，但值域是一个开区间，从而说明 函数没有最值；C选项中从并集的角度认识函数值域，可以发现 f xg xR，从而发 现命题正确；D选项中从极限的角度证明0a，0a 均不成立，所以0a，再求出函数 ( )f x的值域为 1 1 , 2 2 ，从而得到命题D正确. 【详解】 第 11 页 共 26 页 对A，“ ( )f xA ”即函数 ( )f x值域为R，“ bR ，aD ， f ab”表示的是函 数可以在R中任意取值，故有：设函数 ( )f x的定义域为D，则“( )f xA ”的充要条件是 “bR ，aD ， f ab”，命题A是真命题； 对B，若函
17、数 ( )f xB ，即存在一个正数M，使得函数 ( )f x的值域包含于区间 ,M M ( )Mf xM剟 例如：函数 ( )f x满足2( )5f x ，则有 5( ) 5f x 剟 ，此时， ( )f x无最 大值，无最小值命题B“若函数 ( )f xB ，则 ( )f x有最大值和最小值”是假命题； 对C，若函数 ( )f x，( )g x的定义域相同，且( )f xA ， ( )g xB ，则 ( )f x值域为R， ( )(,)f x ，并且存在一个正数M，使得( )Mg xM剟 ， ( )( )f xg xR ，则 ( )( )f xg xB 命题C是真命题 对D， 函数 2 (
18、 )(2)(2,) 1 x f xaln xxaR x 有最大值，假设0a， 当x 时， 2 0 1 x x ，( 2)ln x，(2)aln x， 则( )f x ， 与题意不符； 假设0a ， 当2x 时， 2 2 15 x x ， (2)ln x，(2)aln x，则( )f x ，与题意 不符.0a ，即函数 2 ( )(2) 1 x f xx x ，当0 x时， 1 2x x ， 11 0 1 2 x x ，即 1 0( ) 2 f x；当 0 x时， ( )0f x ；当0 x时， 1 2x x ， 11 0 1 2 x x ，即 1 ( )0 2 f x 11 ( ) 22 f
19、x，即( )f xB，故命题D是真命题 故选：ACD. 【点睛】 本题以新定义概念为问题背景，考查函数值域的概念、基本不等式、充要条件、双勾函数等 知识的综合，还考查了极限思想、数形结合思想、分类讨论思想的综合应用，计算量较大， 有一定的思维难度，属于难题 10CD 【解析】 【详解】 第 12 页 共 26 页 当1xyz 时，O为ABC的重心，在ABC的内部，所以选项 A 不正确；当 0 xyz 时， yzyzyz AOABACABAC xyzxyzxyzyzyz ， 1 OBC ABC Syzx Sxyzxyz ，所以1,2xyz时也有4 ABCOBC SS ，所以选项 B 错误；对于选
20、项 C 重心的几何意义不难得出是正确的：00 xOAyOBzOCxyz 可化为0 xyz OAyABzAC，由于0 xyz ，所以当且仅当0 xyz时， , ,A B C三点共线，所以选项 D 正确. 11 32 2 【解析】 【分析】 利用诱导公式化简题目所给表达式，根据特殊角的三角函数值求得运算的结果. 【详解】 依题意，原式 17262 cossincos 4sin 8 4343 232 cossin 432 . 【点睛】 本小题主要考查利用诱导公式化简求值， 考查特殊角的三角函数值， 考查化归与转化的数学 思想方法， 属于基础题.利用诱导公式化简， 首先将题目所给的角， 利用诱导公式变
21、为正角， 然后转化为较小的角的形式， 再利用诱导公式进行化简， 化简过程中一定要注意角的三角函 数值的符号. 121a 【解析】 【分析】 若ABB则 AB，根据集合 |12Axx，集合 |Bx xa，即可得出实数a 的取值范围. 【详解】 第 13 页 共 26 页 若ABB则 AB，又集合 |12Axx，集合 |Bx xa，所以1a . 故答案为1.a 【点睛】 本题考查的知识点是集合的包含关系的判断与应用，集合的并集运算，属于基础题. 13 8 5 【解析】 【分析】 由条件利用任意角的三角函数的定义， 求得cos、sin的值， 从而求得 2 cossin2的 值 【详解】 解：平面直角
22、坐标系中，角终边过点2,1P， 2x，1y ，5rOP， 22 5 cos 55 x r ， 15 sin 55 y r ， 则 2 4448 cossin22sincos 5555 ， 故答案为： 8 5 【点睛】 本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题 143 【解析】 【分析】 以A为原点建立平面直角坐标系，根据 0AB AC 设出,B C两点的坐标，利用向量运算 求得P点的坐标，化简后可求得P点的轨迹也即P表示的区域，由此计算出区域的面积. 【详解】 以A为原点建立平面直角坐标系，由于|1ABAC， 0AB AC ，即AB AC ,故 第 14 页 共 26 页 设 cos ,
23、sin,cos,sin 22 BC ，即sin ,cosC，设,P x y，由 APABAC 得 ,cossin , sincosx y ，即 cossin,sincosxy ，则 222 1xy，故P表示的是原点在圆心， 半径为 2 1 的圆，由于12，故P点所表示的区域是圆心在原点，半径为2, 5 的两个圆之间的扇环，故面积为 5 23 . 【点睛】 本小题主要考查数形结合的数学思想方法， 考查向量的坐标运算， 考查化归与转化的数学思 想方法，考查分析求解能力，属于中档题. 1560,100 【解析】 【分析】 先利用120/km h时的油耗，计算出k的值，然后根据题意“油耗不超过9L”列
24、不等式， 解不等式求得x的取值范围. 【详解】 由于“汽车以120/km h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L”，所以 14500 12011.5 5120 k ，解得100k，故每小时油耗为 14500 20 5 x x ，依题意 第 15 页 共 26 页 14500 209 5 x x ，解得45100 x，依题意60120 x，故60100 x.所以 速度x的取值范围为60,100. 【点睛】 本小题主要考查利用待定系数法求解析式， 考查一元二次不等式的解法， 考查实际应用问题， 属于中档题. 161012 【解析】 【分析】 由函数( )yf x是最小正周期为 6 的偶函数可知函
25、数的值域为1，8，对任意 i x， ( j x i， 1j ，2，3， )m，都有|( )()|( )( )7 ijmaxmin f xf xf xf x ，要使m取得最小值，尽 可能多让 (1 i x i ，2，3，)m取得最高点，然后可得 n x的最小值 【详解】 解：偶函数 yf x满足333f xfxf x， 6f xf x， 函数 yf x是最小正周期为 6的偶函数，且在3,0 x 时， 2 x f x ， 函数的值域为1,8， 对任意 i x， j x（i，1,2,3,jm, ） ，都有 maxmin 7 ij f xf xf xf x， 3,0 x 时， 2 x f x 单调递减
26、， 根据偶函数的对称性可知0,3x时， 2xf x 单调递增， 01f， 338ff， 要使 n x取最小值，尽可能多让1,23 i x in, 取最高点与最低点， 满足 12 0 n xxx，且 12231 2019 nn f xf xf xf xf xf x ， 20197 288 3 ， 第 16 页 共 26 页 033686486710081009ffffffff+ 10091012ff 4 5040113ffff 4 5040 10 12018 ， 则 n x最小值为 1012， 故答案为：1012 【点睛】 本题考查函数的图象和性质， 考查函数的有界性的应用， 考查了分析问题和解
27、决问题的能力， 考查数学转化思想方法，属于难题. 17(1) ( )2(2 ) 6 f xsinx=+p;(2) 724 3 ( )2(2) 625 fsin . 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析： （1） 根据图象可得周期T，故2再根据图象过点 5 ,0 12 可得 6 最后根据 函数的图象过点0,1可求得2A，从而可得解析式（2）由题意可得 4 cos 5 ，进 而可求得sin2和cos2，再按照两角和的正弦公式可求得 22 6 fsin 的 值 试题解析： (1)由图可知，周期 115 2 1212 T ， 2 2 T . 又函数的图象过点 5 ,0 12 ， 第 17 页 共 2
28、6 页 5 sin 20 12 A ， 5 2+ = +2, 12 kkZ ， =+2, 6 kkZ ， 0 2 ， 6 2 6 f xAsinx , 函数图象过点0,1， sin1 6 A ， 2A， 所以 22 6 f xsinx . （2）为第二象限角且 3 sin 5 ， 4 cos 5 , 24 sin22sin cos 25 ， 22 7 cos2cossin 25 ， 24371724 3 2sin 22(2cos2 sin)2 () 66625225225 fsincos 点睛： 已知图象求函数 sinf xAx解析式的方法 （1）根据图象得到函数的周期T，再根据 2 T 求得
29、 （2）可根据代点法求解，代点时一般将最值点的坐标代入解析式；也可用“五点法”求 解，用此法时需要先判断出“第一点”的位置，再结合图象中的点求出的值 第 18 页 共 26 页 （3）在本题中运用了代点的方法求得A的值，一般情况下可通过观察图象得到A的值 18 （1）x x R（2） f x为奇函数 （3） 1 3 k - 【解析】 【分析】 （1）根据函数成立的条件即可求出 ( )f x的定义域； （2）根据函数的奇偶性的定义即可判断 ( )f x的奇偶性； （3）利用函数奇偶性和单调性的关系，将不等式进行转化即可 【详解】 解： （1）50 x ，510 x 恒成立， xR， 即 f x的
30、定义域为x xR （2）由（1）得 f x的定义域为x xR关于原点对称， 511 551 511 551 xxx xxx fxf x ， f x为奇函数 （3）对任意的tR，不等式 22 220f ttftk 恒成立， 22 22f ttftk ， 又 f x是奇函数， 22 22f ttf kt 又 f x在定义域内为单调减函数 22 22ttkt， 即 2 320ttk对任意tR恒成立， 4 120k 得 1 3 k -即为所求 【点睛】 本题主要考查函数的奇偶性的判断以及函数单调性的应用，综合考查了函数的性质 第 19 页 共 26 页 19 （1） 42 33 ab； （2） 9 1
31、6 【解析】 【分析】 【详解】 （）由题意可知： 2 3 BFb，且 2 32 3 BF ， 4BE ，故 44 33 BEBAa， 42 33 EFBFBEab （）由题意，3 ,3 3BFFC， 6 ,63BEAE， 2 279 (63)(33 )cos609 22 AE FC 当 27 3 2 9 24 1 (,1) 2 时， AE FC 有最大值 9 16 、 20 （1） 6 OM ，见解析（2） 13 , 44 【解析】 【分析】 （1）记(0,1)C，可求PC，|OM，由|PCPC，可得结论； （2）设AOx，0, 4 ， 13 ( ,) 22 P，记( )fOA OB，分0,
32、 12 ，(, 12 4 两种情况进行讨论，表示出( )f，根据其单调性及端点处函数值可求得范围； 【详解】 解： （1）记0,1C，连接PC，则 236 PC ， 依题意cos60PNPCPCOM ， 第 20 页 共 26 页 6 OM ； （2）设AOx，0, 4 ， 13 , 22 P ，记 fOA OB， 当0,12 时， 1 1 ,tan 2 2 A ， 1 1 ,tan 2 24 B ， 11 tantan 444 fOA OB 2 11 tan1 1 tan 1 tan 41 tan4 1 tan 11 4 coscossin 2 1111 4 coscossin2 1 cos
33、2sin2 1 2 12cos 2 4 第 21 页 共 26 页 当, 12 4 时， 1 1 ,tan 2 2 A ， 33 , 2 2tan 4 B ， 31 tan 4 tan 4 fOA OB 2 3 1 tan3 1tan tan 41tan41tan 3131 4coscossin21 cos2sin2 31 2 22sin 2 4 综上， 11 ,0, 212 12cos 2 4 31 , 212 4 22sin 2 4 x f ， f在0,12 增函数，在, 12 8 是减函数，在, 84 是增函数， 第 22 页 共 26 页 1 0 4 f， 31 122 f ， 63
34、82 f ， 3 44 f ， 13 , 44 fOA OB 【点睛】 本题考查三角函数中的恒等变换、 平面向量的综合应用， 考查分类讨论思想、 数形结合思想， 考查学生解决问题的能力，属于中档题 21 （1）4,7ab ， 4 ,2 3 km .（2） 19 |49|,0,3 54 ltt t ；当 5 2 t 时 取到最小值，为1km 【解析】 【分析】 （1）计算 7 0, 4 D ，()3,4E， 3 ,0 2 A ， 9 ,4 2 C ，将点代入直线方程计算得到答案. （2）计算 7 ,0,3 4 t M tt t ，得到 19 ( )|49|,0,3 54 lf xtt t ，再利
35、用均值 不等式计算得到答案. 【详解】 （1） 由题意得：4ODBC，OBFC， 7 0, 4 D ，()3,4E， 3 ,0 2 A ， 9 ,4 2 C ， 把 7 0, 4 D ，3,4E代入 xb y xa 得 7 4 3 4 3 b a b a ，解得：4,7ab ， 把 3 ,0 2 A ， 9 ,4 2 C 代入y kxm 得 3 0 2 9 4 2 km km ，解得 4 ,2 3 km . （2）由（1）得：M点在 7 4 x y x 上， 7 ,0,3 4 t M tt t ， 第 23 页 共 26 页 桥MN的长l为MN到直线 4 2 3 yx的距离， 故 22 3(7
36、) 46 194 ( )|49|,0,3 54 34 t t t lf xtt t ； 由得： 1919 ( )|49|4(4)7| 5454 f ttt tt ， 而 9 40,0 4 t t ， 99 4(4)2 4(4)12 44 tt tt ， 当且仅当 9 4(4) 4 t t 时即 5 2 t “=”成立， min 1 ( )| 127| 1 5 f t. 【点睛】 本题考查了函数的应用，均值不等式求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力. 22 （1）见解析（2） 11 , 312 a 骣 ?- 桫 （3）证明见解析； 1 2 0.4 0.6 x x 【解析】 【分析】 （1）画
37、出四个函数图像，根据图像集合单峰函数的定义进行判断. （2） 利用 f x的导函数 fx的零点在区间1,2列不等式， 解不等式求得a的取值范围. （3）分成 12 ( )()f xf x、 12 ( )()f xf x两种情况进行分类讨论，利用反证法证得结论成 立.根据含峰区间的长度的概念列不等式，由此确定 12 ,x x满足的条件. 【详解】 （1） 2 1( ) 2f xxx=-图像如下图所示，其对称轴为 1 4 x ，由图可知， 2 1( ) 2f xxx=- 是0,1上的单峰函数，峰点为 1 4 ； 第 24 页 共 26 页 2( ) 121f xx= -的图像如下图所示，其对称轴为
38、 1 2 x ，由图可知， 2( ) 121f xx= -是0,1上的单峰函数，峰点为 1 2 x ； 32 1 ( )log 2 fxx 骣 =+ 桫 的图像如下图所示，根据图像可知， 32 1 ( )log 2 fxx 骣 =+ 桫 不是 0,1上的单峰函数； 第 25 页 共 26 页 4( ) sin4fxx=的图像如下图所示， 其对称轴为 8 x ， 由图可知， 4( ) sin4fxx=是0,1 上的单峰函数，峰点为 8 . （2）函数 3 ( )(0)f xaxx a=+是1,2上的单峰函数，令 2 310fxax ，解得 1 3 x a ，故 1 1 3 x a 时， f x递
39、增， 1 2 3 x a 时， f x递减，所以 1 12 3a ，解得 11 312 a ，故a的取值范围是 11 , 312 . （3）设 0 x为 f x的峰点，则由单峰函数定义可知， f x在 0 0,x上递增，在 0,1 x上 递减. 当 12 f xf x时，假设 02 0,xx，则 120 xxx，从而 021 f xf xf x， 与 12 f xf x矛盾，所以 02 0,xx，即 2 0,x是含峰区间. 当 12 f xf x时，假设 01,1 xx，则 012 xxx，从而 012 f xf xf x， 与 12 f xf x矛盾，所以 01,1 xx，即 1,1 x是含
40、峰区间. 第 26 页 共 26 页 在所得的含峰区间内选取 3 x，由 3 x与 1 x或 3 x与 2 x，确定一个新的含峰区间，对先选择的 12 ,x x， 12 xx ， 12 1xx +，在第一次确定的含峰区间为 2 0,x的情况下， 3 x的取值应 满足 312 xxx，由可得 21 31 1 1 2 xx xx ，当 13 xx时，含峰区间的长度为 1 x. 由条件 13 0.2xx，得 11 1 20.2xx，从而 1 0.4x .因此确定的含峰区间的长度不 大于0.6，只要取 1 2 0.4 0.6 x x . 【点睛】 本小题主要考查新定义的理解和运用，考查利用导数研究函数的单调性，考查反证法，综合 性很强，属于难题.
