1、1 江苏省常州市四校联考 2021 届高三上学期期末测试 数学试题 202101 一、单项选择题（本大题共 8 小题， 每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1已知集合 A2，1，0，1，2，B 2 1Ay yxx，则 AB A B1，2 C2，0，2 D2，1，1，2 2当复数 2021 1i ()i 1i = a a 时，实数 a 的值可以为 A0 B1 C1 D1 32020 年 12 月 30 日，国家药品监督管理局附条件批准国药集团中国生物北京生物制品研 究所有限责任公司的新型冠状病毒灭活疫苗（Vero
2、细胞）注册申请该疫苗是首家获批 的国产新冠病毒灭活疫苗，适用于预防由新型冠状病毒感染引起的疾病（COVID 19） 2021 年 1 月 3 日，北京市人民政府新闻办公室召开疫情防控第 200 场例行新闻发 布会，表示不在 1859 岁接种年龄段范围的人员，需要等待进一步临床试验数 据近日专家对该年龄内和该年龄段外的 110 人进行了临床试验，得到如下 22 列联表： 能接种 不能接种 总计 1859 岁内 40 20 60 1859 岁外 20 30 50 总计 60 50 110 附： 2 2 () ()()()() n acbd K ab cd ac bd ，其中nabcd； 2 ()P
3、 Kk 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 参照附表，得到的正确结论是 A在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“能接种与年龄段无关” B在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“能接种与年龄段有关” C有 99%以上的把握认为“能接种与年龄段无关” D有 99%以上的把握认为“能接种与年龄段有关” 4函数 2 22 ( ) ln(1) xx f x xx 的图象大致为 A B C D 5设随机变量N(，1)，函数 2 ( )2f xxx没有零点的概率是 0.5，则 P(0 1) 2 附： 若N(， 2 )， 则 P(X)0.6826， P(
4、2X2)0.9544 A0.1587 B0.1359 C0.2718 D0.3413 6在探索系数 A，b 对函数Asin()yxb(A0，0)图象的影响时，我 们发现， 系数A对其影响是图象上所有点的纵坐标伸长或缩短， 通常称为“振幅变换”； 系数对其影响是图象上所有点的横坐标伸长或缩短， 通常称为“周期变换”； 系数对 其影响是图象上所有点向左或向右平移，通常称为“左右平移变换”；系数 b 对其影响 是图象上所有点向上或向下平移，通常称为“上下平移变换”运用上述四种变换，若 函数( )sinf xx的图象经过四步变换得到函数( )2sin(2)1 3 g xx 的图象，且已知其 中有一步是
5、向右平移 3 个单位，则变换的方法共有 A6 种 B12 种 C16 种 D24 种 7 俄国著名飞机设计师埃格西科斯基设计了世界上第一架四引擎飞机和第一种投入生产的 直升机，当代著名的“黑鹰”直升机就是由西科斯基公司生产的1992 年，为了远程性 和安全性上与美国波音 747 竞争， 欧洲空中客车公司设计并制造了 A340， 是一种有四台 发动机的远程双过道宽体客机， 取代只有两台发动机的 A310 假设每一架飞机的引擎在 飞行中出现故障率为 1p，且各引擎是否有故障是独立的，已知 A340 飞机至少有 3 个 引擎正常运行，飞机就可成功飞行；A310 飞机需要 2 个引擎全部正常运行，飞机
6、才能成 功飞行若要使 A340 飞机比 A310 飞机更安全，则飞机引擎的故障率应控制的范围是 A( 2 3 ，1) B( 1 3 ，1) C(0， 2 3 ) D(0， 1 3 ) 8已知数列 n a满足 2 1 1 nnn aaa ( * Nn)，设 12 111 n n S aaa ，且 10 9 10 23 1 a S a ， 则数列 n a的首项 1 a的值为 A 2 3 B1 C 3 2 D2 二、 多项选择题 （本大题共 4 小题， 每小题 5 分， 共计 20 分 在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 92020 年的“金九银
7、十”变成“铜九铁十”，全国各地房价“跳水”严重，但某地二手房 交易却“逆市”而行下图是该地某小区 2019 年 12 月至 2020 年 12 月间，当月在售二 手房均价（单位：万元/平方米）的散点图 （图中月份代码 113 分别对应 2019 年 12 月 2020 年 12 月） 根据散点图选择yab x和lnycdx两个模型进行拟合，经过数据处理得到的两 3 个回归方程分别为0.93690.0285yx和0.95540.0306lnyx，并得到以下一些统计 量的值： 0.93690.0285yx 0.95540.0306lnyx R2 0.923 0.973 注：x是样本数据中 x 的平
8、均数，y是样本数据中 y 的平均数，则下列说法正确的是 A当月在售二手房均价 y 与月份代码 x 呈负相关关系 B由0.93690.0285yx预测 2021 年 3 月在售二手房均价约为 1.0509 万元/平方米 C曲线0.93690.0285yx与0.95540.0306lnyx都经过点(x，y) D模型0.95540.0306lnyx回归曲线的拟合效果比模型0.93690.0285yx的好 10若 22 012 (1)+(1) +(1)n n n xxxaa xa xa xLL，且 121 125 n aaan ， 则下列结论正确的是 An6 B(12 )nx展开式中二项式系数和为 7
9、29 C 2 (1)+(1) +(1)nxxxL展开式中所有项系数和为 126 D 123 23321 n aaana 11已知抛物线 C： 2 2(0)ypx p的焦点为 F，过 F 的直线 l 交抛物线 C 于点 A，B，且 A( 4 p ，a)， 3 AF 2 .下列结论正确的是 Ap4 B2a CBF3 DAOB 的面积为 3 2 2 12若函数( )f x是连续的平滑曲线，且在a，b上恒非负，则其图象与直线 xa，xb，x 轴围成的封闭图形面积称为( )f x在a，b上的“围面积”根据牛顿莱布尼兹公式， 计算围面积时，若存在函数( )F x满足( )( )F xf x，则( )( )
10、F bF a的值为( )f x在a， b上的围面积下列围面积计算正确的有 A函数 3 ( )f xx在0，1上的围面积为 1 4 B函数( )2xf x 在0，2上的围面积为 2 ln2 C函数 2 ( )cosf xx在0， 4 上的围面积为 1 48 D函数( )lnf xx在e，e2上的围面积为 e2 4 三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置 上） 13在四边形 ABCD 中，AB8，若 31 DACACB 44 ，则AB CD 14在平面直角坐标系 xOy 中，设双曲线 C： 22 22 1 xy ab (a0，b0)的右焦点为
11、F，若双 曲线的右支上存在一点 P， 使得OPF 是以 P 为直角顶点的等腰直角三角形， 则双曲线 C 的离心率为 15在ABC 中，已知 AC1，A 的平分线交 BC 于 D，且 AD1，BD2，则ABC 的面积为 16矩形 ABCD 中，AB3，BC1，现将ACD 沿对角线 AC 向上翻折，得到四面体 DABC，则该四面体外接球的体积为 ；设二面角 DACB 的平面角为， 当在 3 ， 2 内变化时，BD的范围为 （第一空 2 分，第二空 3 分） 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 10
12、分） 在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边在(2)cosBcosCacb； ABC 3BA BC=2S ；sinBsin(B)3 3 这三个条件中任选一个，作出解答 （1）求角 B 的值； （2）若ABC 为锐角三角形，且 b1，求ABC 的面积的取值范围 18 （本小题满分 12 分） 某公司在市场调查中， 发现某产品的单位定价 x （单位： 万元/吨） 对月销售量 y （单位： 吨）有影响对不同定价 i x和月销售量1, 2,8( ) i y i 数据作了初步处理： x y z 8 1 2 i i x 8 1 2 i i z 8 1i iiy x 8 1i iiy z
13、0.24 43 9 0.164 820 68 3956 表中 x z 1 经过分析发现可以用 x b ay来拟合 y 与 x 的关系 （1）求y关于 x 的回归方程； （2）若生产 1 吨产品的成本为 1.6 万元，那么预计价格定位多少时，该产品的月利润 取最大值，求此时的月利润 附：对于一组数据( 1 w， 1 v)，( 2 w， 2 v)，( n w， n v)，其回归直线v的斜率 5 和截距的最小二乘估计分别为： 11 2 2 2 11 ()() () nn iii i ii nn ii ii vnvvv n ，v 19 （本小题满分 12 分） 已知等差数列 n a和等比数列 n b满
14、足 1 3a ， 1 2b ， 22 21ab， 33 3ab （1）求 n a和 n b的通项公式； （2）将 n a和 n b中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列 n c，求数列 n c的 前 100 项和 100 S 20 （本小题满分 12 分） 在多面体 ABCDE 中，平面 ACDE平面 ABC，四边形 ACDE 为直角梯形，CDAE， ACAE，ABBC，CD1，AEAC2，F 为 DE 的中点，且点 E 满足EB4EG （1）证明：GF平面 ABC； （2）当多面体 ABCDE 的体积最大时，求二面角 ABED 的余弦值 21 （本小题满分 12 分） 已知函数( )(0)
15、 ln ax f xa x （1）当函数( )f x在 1 e x 处的切线斜率为2 时，求( )f x的单调减区间； （2）当 x1 时， ln ( ) eln x x x a f x x ，求 a 的取值范围 22 （本小题满分 12 分） 6 已知椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 1 2 ，且过点 A(2，3)，右顶点为 B （1）求椭圆 C 的标准方程； （2） 过点 A 作两条直线分别交椭圆于点 M， N， 满足直线 AM， AN 的斜率之和为3， 求点 B 到直线 MN 距离的最大值 江苏省常州市四校联考 2021 届高三上学期期末测试 数学试题 20
16、2101 一、单项选择题（本大题共 8 小题， 每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1已知集合 A2，1，0，1，2，B 2 1Ay yxx，则 AB A B1，2 C2，0，2 D2，1，1，2 答案：D 解析：因为 B 2 1Ay yxx，5，5，2，2，1，1， A2，1，0，1，2， 所以 AB2，1，1，2，选 D 2当复数 2021 1i ()i 1i = a a 时，实数 a 的值可以为 A0 B1 C1 D1 答案：C 解析： 2021 1i1i ()ii1 1i1i aa a aa ，选 C 3
17、2020 年 12 月 30 日，国家药品监督管理局附条件批准国药集团中国生物北京生物制品研 究所有限责任公司的新型冠状病毒灭活疫苗（Vero 细胞）注册申请该疫苗是首家获批 的国产新冠病毒灭活疫苗，适用于预防由新型冠状病毒感染引起的疾病（COVID 19） 2021 年 1 月 3 日，北京市人民政府新闻办公室召开疫情防控第 200 场例行新闻发 布会，表示不在 1859 岁接种年龄段范围的人员，需要等待进一步临床试验数 据近日专家对该年龄内和该年龄段外的 110 人进行了临床试验，得到如下 22 列联表： 能接种 不能接种 总计 1859 岁内 40 20 60 1859 岁外 20 30
18、 50 总计 60 50 110 附： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中nabcd； 2 ()P Kk 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 参照附表，得到的正确结论是 7 A在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“能接种与年龄段无关” B在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“能接种与年龄段有关” C有 99%以上的把握认为“能接种与年龄段无关” D有 99%以上的把握认为“能接种与年龄段有关” 答案：D 解析：本题通过计算后求得 K27.86.635，可判断 D 符合题意 4函数 2 22
19、( ) ln(1) xx f x xx 的图象大致为 A B C D 答案：A 解析：首先注意到原函数是奇函数，排除 B、D，其次当 x0 时，可判断出( )f x0，故选 A 5设随机变量N(，1)，函数 2 ( )2f xxx没有零点的概率是 0.5，则 P(0 1) 附： 若N(， 2 )， 则 P(X)0.6826， P(2X2)0.9544 A0.1587 B0.1359 C0.2718 D0.3413 答案：B 解析：P(01) 0.95440.6826 0.1359 2 ，选 B 6在探索系数 A，b 对函数Asin()yxb(A0，0)图象的影响时，我 们发现， 系数A对其影响
20、是图象上所有点的纵坐标伸长或缩短， 通常称为“振幅变换”； 系数对其影响是图象上所有点的横坐标伸长或缩短， 通常称为“周期变换”； 系数对 其影响是图象上所有点向左或向右平移，通常称为“左右平移变换”；系数 b 对其影响 是图象上所有点向上或向下平移，通常称为“上下平移变换”运用上述四种变换，若 函数( )sinf xx的图象经过四步变换得到函数( )2sin(2)1 3 g xx 的图象，且已知其 中有一步是向右平移 3 个单位，则变换的方法共有 A6 种 B12 种 C16 种 D24 种 答案：B 解析： 四种变换中， 相位变换在周期变换的前面， 所以满足条件的变换方法有 4 4 1 1
21、2 2 A 种 7 俄国著名飞机设计师埃格西科斯基设计了世界上第一架四引擎飞机和第一种投入生产的 直升机，当代著名的“黑鹰”直升机就是由西科斯基公司生产的1992 年，为了远程性 和安全性上与美国波音 747 竞争， 欧洲空中客车公司设计并制造了 A340， 是一种有四台 发动机的远程双过道宽体客机， 取代只有两台发动机的 A310 假设每一架飞机的引擎在 8 飞行中出现故障率为 1p，且各引擎是否有故障是独立的，已知 A340 飞机至少有 3 个 引擎正常运行，飞机就可成功飞行；A310 飞机需要 2 个引擎全部正常运行，飞机才能成 功飞行若要使 A340 飞机比 A310 飞机更安全，则飞
22、机引擎的故障率应控制的范围是 A( 2 3 ，1) B( 1 3 ，1) C(0， 2 3 ) D(0， 1 3 ) 答案：C 解析： 3342 4 12 (1)101 33 C pppppp ，选 C 8已知数列 n a满足 2 1 1 nnn aaa ( * Nn)，设 12 111 n n S aaa ，且 10 9 10 23 1 a S a ， 则数列 n a的首项 1 a的值为 A 2 3 B1 C 3 2 D2 答案：C 解析： 2 1 11 1111111 1 1(1)111 nnn nnnnnnnn aaa aa aaaaaa ， 9 122391 011 0 1111111
23、1 11111111 S aaaaaaaa ， 代入 10 9 10 23 1 a S a ， 10 11010 2311 111 a aaa ，求得 1 3 2 a ，选 C 二、 多项选择题 （本大题共 4 小题， 每小题 5 分， 共计 20 分 在每小题给出的四个选项中， 至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 92020 年的“金九银十”变成“铜九铁十”，全国各地房价“跳水”严重，但某地二手房 交易却“逆市”而行下图是该地某小区 2019 年 12 月至 2020 年 12 月间，当月在售二 手房均价（单位：万元/平方米）的散点图 （图中月份代码 113 分别对
24、应 2019 年 12 月 2020 年 12 月） 根据散点图选择yab x和lnycdx两个模型进行拟合，经过数据处理得到的两 个回归方程分别为0.93690.0285yx和0.95540.0306lnyx，并得到以下一些统计 量的值： 9 0.93690.0285yx 0.95540.0306lnyx R2 0.923 0.973 注：x是样本数据中 x 的平均数，y是样本数据中 y 的平均数，则下列说法正确的是 A当月在售二手房均价 y 与月份代码 x 呈负相关关系 B由0.93690.0285yx预测 2021 年 3 月在售二手房均价约为 1.0509 万元/平方米 C曲线0.93
25、690.0285yx与0.95540.0306lnyx都经过点(x，y) D模型0.95540.0306lnyx回归曲线的拟合效果比模型0.93690.0285yx的好 答案：BD 解析：y 随 x 的增加而增加，显然 A 错误； 2021 年 3 月，此时 x16，代入0.93690.0285yx，求得 1.0509，故 B 正确； 曲线0.93690.0285yx经过点(x，y)， 曲线0.95540.0306lnyx经过点(ln x， y)，故 C 错误； 因为 0.9730.923，所以模型0.95540.0306lnyx回归曲线的拟合效果比模型 0.93690.0285yx的好，故
26、D 正确 故选 BD 10若 22 012 (1)+(1) +(1)n n n xxxaa xa xa xLL，且 121 125 n aaan ， 则下列结论正确的是 An6 B(12 )nx展开式中二项式系数和为 729 C 2 (1)+(1) +(1)nxxxL展开式中所有项系数和为 126 D 123 23321 n aaana 答案：ACD 解析： 2 121 125222(125) 16 n n aaannnn ，A 正确； (12 ) n x展开式中二项式系数和为 64，故 B 错误； 2 (1) + (1) + (1) n xxxL展开式中所有项系数和 236 2222126，
27、故 C 正确； 因为 22 012 (1)+(1) +(1)n n n xxxaa xa xa xLL， 所以 1 2 2(1)3(1)xx 10 525 1236 6(1)236xaa xa xa x， 从而 1236 23614123280192321aaaa ，故 D 正确 故选 ACD 11已知抛物线 C： 2 2(0)ypx p的焦点为 F，过 F 的直线 l 交抛物线 C 于点 A，B，且 A( 4 p ，a)， 3 AF 2 .下列结论正确的是 Ap4 B2a CBF3 DAOB 的面积为 3 2 2 答案：BCD 解析： 3 2 422 pp p，故 A 错误； 点 A( 1
28、2 ，a)在抛物线 2 4yx上，故求得2a ，B 正确； 2 12 4 p x x 可知点 B 的横坐标为 2，所以 BF2(1)3，故 C 正确； 2 43 2 2sin22 2 2 3 AOB p S ，故 D 正确 故选 BCD 12若函数( )f x是连续的平滑曲线，且在a，b上恒非负，则其图象与直线 xa，xb，x 轴围成的封闭图形面积称为( )f x在a，b上的“围面积”根据牛顿莱布尼兹公式， 计算围面积时，若存在函数( )F x满足( )( )F xf x，则( )( )F bF a的值为( )f x在a， b上的围面积下列围面积计算正确的有 A函数 3 ( )f xx在0，1
29、上的围面积为 1 4 B函数( )2xf x 在0，2上的围面积为 2 ln2 C函数 2 ( )cosf xx在0， 4 上的围面积为 1 48 D函数( )lnf xx在e，e2上的围面积为 e2 答案：ACD 解析：选项 A 的 4 1 ( ) 4 F xxC，围面积 1 (1)(0) 4 FF，故 A 正确； 选项 B 的 2 ( ) ln2 x F xC，围面积 3 (2)(0) ln2 FF，故 B 错误； 选项 C 的 sin2 ( ) 24 xx F xC，围面积()(0) 1 448 FF ，故 C 正确； 选项 D 的( )lnF xxxxC，围面积 22 (e )(e)e
30、FF，故 D 正确 11 故选 ACD 三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置 上） 13在四边形 ABCD 中，AB8，若 31 DACACB 44 ，则AB CD 答案：16 解析： 根据题意可知四边形 ABCD 是梯形， 且 1 CDAB 4 ， 所以 21 AB CDAB16 4 14在平面直角坐标系 xOy 中，设双曲线 C： 22 22 1 xy ab (a0，b0)的右焦点为 F，若双 曲线的右支上存在一点 P， 使得OPF 是以 P 为直角顶点的等腰直角三角形， 则双曲线 C 的离心率为 答案： 102 2 解析：根据题意可
31、知点( 2 c ， 2 c )在双曲线 C 上，则 22 22 1 44 cc ab ，将 222 bca代入并化简 得： 4224422 102 64064035 2 ca caeeee 15在ABC 中，已知 AC1，A 的平分线交 BC 于 D，且 AD1，BD2，则ABC 的面积为 答案： 3 7 8 解析：设BADCAD，则ADB 2 ， 根据 SACDSABDSABC，得 111 1 1 sin1 ABsin1 ABsin2 222 ， 化简得1AB2ABcos， 又 2 1121 1 AB sin12sinsincos1 22222ABAB ， 得 2 1 1AB2AB(1)AB
32、2 AB ， 3 cos 4 ， 3 7 sin2 8 ， 所以 113 73 7 AB AC sin22 1 2288 S 16矩形 ABCD 中，AB3，BC1，现将ACD 沿对角线 AC 向上翻折，得到四面体 DABC，则该四面体外接球的体积为 ；设二面角 DACB 的平面角为， 当在 3 ， 2 内变化时，BD的范围为 （第一空 2 分，第二空 3 分） 答案： 4 3 ， 7 2 ， 10 2 解析：设 AC 中点为 O，则 O 为四面体外接球球心，半径 OA1，故 V球 4 3 ； 取 CO 中点 E，取 CD 三等分点 F，且 F 靠近点 C，连 BE、EF、BF， 12 此时B
33、EF，余弦定理求得 BF2 5cos 62 ， CBF 中，用余弦定理求得 cosBCF 3(1cos ) 4 ， BCD 中，余弦定理求得 BD24 3 (1cos ) 2 ，根据 3 ， 2 ， 即可确定 7 2 BD 10 2 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17 （本小题满分 10 分） 在ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边在(2)cosBcosCacb； ABC 3BA BC=2S ；sinBsin(B)3 3 这三个条件中任选一个，作出解答 （1）求角 B 的值； （2）若ABC
34、 为锐角三角形，且 b1，求ABC 的面积的取值范围 解： （1）选 由正弦定理得：2sincossincossincosCABCBB 2sincossinABA 0,sin0AA 1 cos 2 B 0, 3 BB 选 32 ABC BA BCS 1 3cos2sin 2 acBacB sin3cosBB 0,sin0cos0BBB 3 B 选 13 sinsincos3 22 BBB 31 sincos1 22 BB sin1 6 B 7 0, 666 BB 623 BB 13 （2）由正弦定理得： 2 sinsinsin3 abc ABC 22 sin,sin 33 aA cC 112
35、sinsinsin 233 SacBAA 33 sin 2 6612 A 锐角三角形ABC 0 2 262 0 32 A A CA 5 2, 666 A 33 , 64 S 18 （本小题满分 12 分） 某公司在市场调查中， 发现某产品的单位定价 x （单位： 万元/吨） 对月销售量 y （单位： 吨）有影响对不同定价 i x和月销售量1, 2,8( ) i y i 数据作了初步处理： x y z 8 1 2 i i x 8 1 2 i i z 8 1i iiy x 8 1i iiy z 0.24 43 9 0.164 820 68 3956 表中 x z 1 经过分析发现可以用 x b a
36、y来拟合 y 与 x 的关系 （1）求y关于 x 的回归方程； （2）若生产 1 吨产品的成本为 1.6 万元，那么预计价格定位多少时，该产品的月利润 取最大值，求此时的月利润 附：对于一组数据( 1 w， 1 v)，( 2 w， 2 v)，( n w， n v)，其回归直线v的斜率 和截距的最小二乘估计分别为： 11 2 2 2 11 ()() () nn iii i ii nn ii ii vnvvv n ，v 解： （1）令 1 z x ，则yab z 14 则 8 1 82 2 1 2 39568 9 43 5 8208 9 8 8 ii i i i z yzy b zz 2ayb z
37、 5 2y x （2）月利润 58 1.621.68.22yxxx xx T 8 8.22 20.2x x （当且仅当 8 2x x 即2x时取等号） 答： （1）y关于x的回归方程为 5 2y x ； （2）预计价格定位2万元/吨时，该产品的月利润取最大值，最大值为0.2万元 19 （本小题满分 12 分） 已知等差数列 n a和等比数列 n b满足 1 3a ， 1 2b ， 22 21ab， 33 3ab （1）求 n a和 n b的通项公式； （2）将 n a和 n b中的所有项按从小到大的顺序排列组成新数列 n c，求数列 n c的 前 100 项和 100 S 解： （1）由 22
38、 32 2144 3223 dqdq dqaq 2,4qd 41,2n nn anb （2）当 n c的前100项中含有 n b的前7项时，令 8 41225664.25nn 此时至多有64 771 项（不符） 当 n c的前100项中含有 n b的前8项时，令 9 412512128.25nn 则 n c的前100项中含有 n b的前8项且含有 n a的前92项 8 100 2 1 2 92 91 92 341702051017530 21 2 S 20 （本小题满分 12 分） 在多面体 ABCDE 中，平面 ACDE平面 ABC，四边形 ACDE 为直角梯形，CDAE， ACAE，ABB
39、C，CD1，AEAC2，F 为 DE 的中点，且点 E 满足EB4EG 15 （1）证明：GF平面 ABC； （2）当多面体 ABCDE 的体积最大时，求二面角 ABED 的余弦值 解： （1）分别取EBAB,中点NM,，连结NDMNCM,. 在梯形ACDE中，EADC/且EADC 2 1 ，且NM,分别为BEBA,中点 EAMNEAMN 2 1 ,/ CDMNCDMN,/ 四边形CDNM是平行四边形 DNCM / 又EBEG 4 1 ，N为EB中点，G为EN中点， 又F为ED 中点 DNGF/ CMGF/ 又CM平面ABC，GF平面ABC /GF平面ABC （2）在平面ABC内，过B作ACB
40、H 交AC于H. 平面ACDE平面ABC，平面ACDE平面ACABC ， BH平面ABC，ACBH ， BH平面ACDE BH即为四棱锥ACDEB的高， 又底面ACDE面积确定，所以要使多面体ABCDE体 积最大，即BH最大，此时2ABBC 过点H作AEHP/，易知HPHCHB,两两垂直， 以HPHCHB,为正交基底建立如图所示的平面直角坐标系xyzH 则) 1 , 1 , 0(),2 , 1, 0(),0 , 0 , 1 (),0 , 1, 0(DEBA ) 1 , 2, 0(),2 , 1, 1(),0 , 1 , 1 (DEBEAB 设),( 1111 zyxn 为平面ABE的一个法向量
41、，则 0 0 1 1 BEn ABn ，所以 02 0 111 11 zyx yx ，取)0 , 1, 1 ( 1 n 设),( 2222 zyxn 为平面DBE的一个法向量，则 0 0 2 2 BEn DEn ，所以 02 02 222 22 zyx zy ，取)2 , 1 , 3( 2 n 16 所以 7 7 | ,cos 21 21 21 nn nn nn， 由图，二面角DBEA为钝二面角，所以二面角DBEA的余弦值为 7 7 21 （本小题满分 12 分） 已知函数( )(0) ln ax f xa x （1）当函数( )f x在 1 e x 处的切线斜率为2 时，求( )f x的单调
42、减区间； （2）当 x1 时， ln ( ) eln x x x a f x x ，求 a 的取值范围 解： （1） ln ax fx x 定义域为 0,11, 因为 2 ln1 ln ln axx fxa x x 所以 f x在 1 x e 处的切线斜率为2a 所以1a 所以 ln x fx x ， 2 ln1 ln ln xx fx x x 令 0fx ，则xe x 0,1 1,e e , e fx 0 f x 极小值e 由表可知： f x的单调减区间为0,1和1,e （2）由题 ln ln x x x a f x ex 对任意), 1 ( x恒成立 所以lnln x aexa对任意),
43、1 ( x恒成立 方法一：所以 ln lnln a x eaxxx 对任意), 1 ( x恒成立 所以 lnln lnln a xx eaxex 对任意), 1 ( x恒成立 令 x g xex 则lnlngaxgx对任意), 1 ( x恒成立 因为 10 x g xe 所以 g x在R上单调增 所以lnlnaxx 对任意), 1 ( x恒成立 所以 max lnln1axxx 17 令 ln1h xxx x 因为 11 10 x gx xx 所以 g x在(1,)上单调减 所以 11g xg 所以ln1a即 1 a e 方法二：设) 1(lnln)(xaxaexh x ， 则0 1 )( 1
44、 )( 2 x aexh x aexh xx ， 所以)( xh在), 1 ( 单调递增，又1) 1 ( aeh 若 e a 1 ，则0) 1 ( h，所以0)( xh恒成立，所以)( xh在), 1 ( 单调递增， 又011ln) 1 (aaeh，所以0)(xh恒成立，符合题意. 若 e a 1 0，则011ln) 1 (aaeh，不符合题意，舍去. 综上所述， e a 1 . 22 （本小题满分 12 分） 已知椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 1 2 ，且过点 A(2，3)，右顶点为 B （1）求椭圆 C 的标准方程； （2） 过点 A 作两条直线分别交椭圆
45、于点 M， N， 满足直线 AM， AN 的斜率之和为3， 求点 B 到直线 MN 距离的最大值 解： （1）由题 222 22 4 1 2 3 2 2 49 1 bca a c b a c ab 所以C的标准方程为1 1216 22 yx （2）若直线MN斜率不存在，设),(),( 0000 yxNyxM，则 0 4 3 2 3 2 3 1 1216 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 y x x y x y yx ，此时NM,重合，舍去. 若直线MN斜率存在，设),(),( 2211 yxNyxMtkxyMN，：， 联立 tkxy yx 1 1216 22 得04848) 34( 22
46、2 tktxxk， 18 所以 34 484 , 34 8 2 2 21 2 21 k t xx k kt xx 由题3 2 3 2 3 2 2 1 1 x y x y ，即3 2 3 2 3 2 2 1 1 x tkx x tkx 化简得. 0244)(92() 32( 2121 txxktxxk 因此. 0244) 34 8 )(92( 34 484 ) 32( 22 2 t k kt kt k t k 化简得06868 22 tktktk 即0)24)(32(tktk 若032tk，则32 kt，直线MN过点)3 , 2(A，舍去， 所以024tk，即24 kt，因此直线MN过点)2, 4( P. 又点)0 , 4(B，所以点B到直线MN距离最大值即2BP, 此时2yMN：，符合题意. 所以点B到直线MN距离最大值为2
