1、20202021 学年度第一学期期末七校联考高三数学学年度第一学期期末七校联考高三数学 第第 I 卷卷（选择题选择题） 一、 单选题： 共一、 单选题： 共 9 小题， 每小题小题， 每小题 5 分， 共分， 共 45 分分 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 1设集合1,2M ， 2 230NxZ xx，则MN （ ） A1,2 B 1,3 C1 1,2 2对于实数 a、b，0ba是 11 ba 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3函数 2 ( )2exf xxx的图象大致是
2、（ ） A B C D 4 某学校组织部分学生参加体能测试， 成绩的频率分布直方图如图， 数据的分组依次为20,40)，40,60)， 60,80)，80,100若低于 60 分的人数是 18 人，则参加体能测试的学生人数是（ ） A45 B48 C50 D60 5 已知三棱锥 A-BCD 的四个顶点 A、B、C、D 都在半径为3的球 O 的表面上，AC 平面 BCD，3BD， 2BC ，5CD ，则该三棱锥的体积为（ ） A 2 15 3 B 15 3 C 15 6 D15 6已知定义在 R 上的函数( )f x满足(6)( )f xf x，(3)yf x为偶函数，若( )f x在(0,3)
3、内单调递 减则下面结论正确的是（ ） A 1 2 (10)(ln2)ffef B 1 2 (ln2)(10)feff C 1 2 (ln2)(10)fffe D 1 2 (ln2)(10)ffef 7已知双曲线 22 22 :1 xy C ab （0a ，0b）的左焦点为 F，以 OF 为直径的圆与双曲线 C 的渐近线交 于不同于原点O的A，B两点， 若四边形AOBF的面积为 22 1 2 ab， 则双曲线C的渐近线方程为 （ ） A 2 2 yx B2yx Cyx D2yx 8己知函数( )2(|cos|cos ) sinf xxxx，给出下列四个命题： ( )f x的最小正周期为； ( )
4、f x的图象关于直线 4 x 对称； ( )f x在区间, 4 4 上单调递增； ( )f x的值域为 2,2，其中所有正确的编号是（ ） A B C D 9已知函数 2 (43)3 ,0 ( ) log (1) 1,0 a xaxa x f x xx ， （0a ，且1)a ）在 R 上单调递减，且关于 x 的方程 ( )2f xx恰好有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是（ ） A 2 0, 3 B 2 3 , 3 4 C 1 23 , 3 34 D 1 23 , 3 34 第第 II 卷卷（非选择题非选择题） 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分
5、，共分，共 30 分分把答案填在答题纸中相应的横线上把答案填在答题纸中相应的横线上 10i 是虚数单位，复数 1 3 12 i i _ 11 7 3 1 x x 的展开式中 5 x的系数是_ （用数字填写答案） 12已知圆 22 :2260C xyxy，直线 l 过点（0，3） ，且与圆 C 交于 A、B 两点，| 4AB ，则 直线 l 的方程为_ 13已知实数0a ，0b， 12 1 ab ，则 43 12 ab ab 的最小值是_ 14一个口袋里装有大小相同的 5 个小球，其中红色 2 个，其余 3 个颜色各不相同现从中任意取出 3 个 小球，其中恰有 2 个小球颜色相同的概率是_；若变
6、量 X 为取出的三个小球中红球的个数，则 X 的数学期望()E X _ 15已知扇形 AOB 半径为 1，60AOB，弧 AB 上的点 P 满足OPOAOB， （，R） ，则 的最大值是_；PA PB最小值是_ 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 个小题，共个小题，共 75 分分解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16 （本小题满分 14 分） 在ABC中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知45B，10b ， 1 tan 2 C （1）求边 a； （2）求sin(2)AB 17 （本小题满分 15 分） 如图，四边形 ABCD
7、 与 BDEF 均为菱形，FAFC，2AB ，且60DABDBF （1）求证：AC 平面 BDEF； （2）求钝二面角 E-AF-B 的余弦值； （3）若 M 为线段 DE 上的一点，满足直线 AM 与平面 ABF 所成角的正弦值为 2 30 15 ，求线段 DM 的 长 18 （本小题满分 15 分） 已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左右焦点分别是 1 F和 2 F，离心率为 1 2 ，以 P 在椭圆 E 上，且 12 PFF的面积的最大值为3 （1）求椭圆 C 的方程； （2） 直线 l 过椭圆 C 右焦点 2 F， 交该椭圆于 A、B 两点， AB 中点为 Q，
8、射线 OQ 交椭圆于 P， 记A O Q 的面积为 1 S，BPQ的面积为 2 S，若 21 3SS，求直线 l 的方程 19 （本小题满分 15 分） 已知等比数列 n a的公比0q ， 且满足 123 6aaa， 2 43 4aa， 数列 n b的前 n 项和 (1) 2 n n n S ， * nN （1）求数列 n a和 n b的通项公式； （2）设 2 2 38 , , n n nnn nn b an b bc a b n 为奇数 为偶数 ，求数列 n c的前 2n 项和 2n T 20 （本小题满分 16 分） 已知函数( )ln2 x e f xxxa x ，aR （1）求函数(
9、 )f x的单调区间； （2）若函数( )f x有两个不同的零点 1 x， 2 x （i）求 a 的取值范围； （ii）证明： 2 21 421 21 aa xx a 20202021 学年度第一学期期末七校联考高三数学参考答案学年度第一学期期末七校联考高三数学参考答案 一、选择题一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 D A A D B A C B C 二、填空题二、填空题 101 i 1135 123y 或 4 3 3 yx 1374 3 14 3 10 ， 6 5 15 2 3 3 ， 3 3 2 三、解答题三、解答题 16 （I） 1 tan 2 C 且0, 2 C ， 5 s
10、in 5 C， 2 5 cos 5 C ， 3 10 sinsin()sincoscossin 10 ABCBCBC， sinsin ab AB ，45B，10b ， 3 10 10 sin 10 3 2 sin2 2 bA a B （II）由正弦定理 sinsin cb CB 得： 5 10 sin 5 2 sin2 2 bC c B ， 222 104 1810 cos 2104 10 bca A bc ， 又 3 10 sin 10 A， 22 4 cos2cossin 5 AAA ， 3 sin22sincos 5 AAA ， 32422 sin(2)sin2 coscos2 sin
11、525210 ABABAB 17 （1）设 AC 与 BD 相交于点 O，连接 FO， 四边形 ABCD 为菱形，ACBD， 且 O 为 AC 中点，FAFC，ACFO， 又FOBDO，BD 平面 BDEF，FO平面 BDEF， AC平面 BDEF （2）连接 DF，四边形 BDEF 为菱形， 且60DBF，DBF为等边三角形， O 为 BD 中点，FOBD， 又ACFO，BD 平面 ABCD，AC 平面 ABCD， FO平面 ABCD OA，OB，OF 两两垂直， 建立空间直角坐标系 O-xyz，如图所示， 设2AB ，四边形 ABCD 为菱形， 60DAB，2BD，2 3AC ， DBF为
12、等边三角形， 3OF，( 3,0,0)A，(0,1,0)B，(0, 1,0)D，(0,0, 3)F， (3, 1,0)AD ，(3,0, 3)AF ，(3,1,0)AB ，(0,2,0)EFDB， 设平面 AEF 的法向量为 111 ,mx y z， 则 22 2 330 20 AF nxz EF ny ， 令 1 1x ，则 2 1z ，得(1,0,1)m 设平面 ABF 的法向量为 222 ,nxy z， 则 22 22 330 30 AF nxz AB nxy ， 令 2 1x ，则 2 3y ， 2 1z ，得(1, 3,1)n 所以 |10 cos, 5| m n m n m n 又
13、因为二面角 E-AF-B 为钝角，所以二面角 E-AF-B 的余弦值为 10 5 （3）设(0, 1, 3)(0, 3 )DMDEBF，(01)， 则(3, 1,0)(0, 3 )(3, 1, 3 )AMADDM ， 所以 2 |2 32 30 |cos,| 15| 5424 AM n AM n AMn ， 化简 2 8410 ，解得： 31 4 或 13 4 （舍） 所以 31 2 DM 18 【答案】 （1） 22 1 43 xy ； （2） 1 (1) 2 yx 【详解】 解： （1）依题意，显然当 P 在短轴端点时， 12 PFF的面积最大为 1 23 2 c b， 即3bc ，又由离
14、心率为 1 2 c e a ， 222 abc， 解得 2 4a ， 2 3b ， 2 1c ， 所以椭圆 C 的方程为 22 1 43 xy （2）因为 21 3SS， 所以 11 |sin3|sin 22 QP QBBQPQA QOAQO ， 所以| 3|QPQO，所以| 4|OPOQ， 当 AB 斜率不存在时， 21 SS，不合题意， 当 AB 斜率存在时，设直线方程为(1)yk x， 设点 11 ,A x y， 22 ,B x y， 则 22 11 22 22 1 43 1 43 xy xy ，两式作差得： 1212 1212 3 4 yyyy xxxx ， 即 3 , 4 ABOP
15、kk ， 故直线 OP 的方程为： 3 4 yx k ， 联立 22 3 4 1 43 yx k xy ，解得 2 2 2 16 34 P k x k ， 联立 3 4 (1) yx k yk x ，解得 2 2 4 34 Q k x k ， 因为4 PQ xx，所以 2 2 2 4|4 4 34 34 kk k k ， 即 2 1 4 k ，解得： 1 2 k ， 所以直线 AB 的方程为 1 (1) 2 yx 19 （1）依题意，由 123 6aaa， 2 43 4aa， 可得 2 111 2 32 11 6 4 aa qa q a qa q ， 因为0q ，所以解得 1 2 q ， 1
16、1 2 a ， 1 111 222 nn n a ， * nN， 对于数列 n b：当1n 时， 11 1bS， 当2n时， 1 (1)(1) 22 nnn n nn n bSSn ， 当1n 时， 1 1b 也满足上式， n bn， * nN （2）由题意及（1） ，可知： 当 n 为奇数时， 2 2 2 38381 (2)2 n n nn n n bn ca b bn n 2 11 2(2) 2 nn nn ， 当 n 为偶数时， 1 2 n nnn cabn ， 令 1321n Accc ， 242n Bccc， 则 1321n Accc 13352121 111111 1 23 23
17、25 2(21) 2(21) 2 nn nn 121 11 1 2(21) 2 n n 21 11 2(21) 2 n n ， 2462 2462 1111 2462 2222 n n Bccccn ， 246222 11111 24(22)2 22222 nn Bnn 两式相减，可得 246222 311111 22222 422222 nn Bn 1352122 11111 2 22222 nn n 2 22 2 11 1 22 1 2 1 2 1 2 n n n 21 22 2 11 122 2 2 1 1 2 n n n 21 241 332 n n ， 21 8341 992 n n
18、 B ， 2122nn Tccc 13212462nn ccccccc AB 21 21 113418 2(21) 2929 n n n n 21 251341 184(21)92 n n n 20解： （1）函数的定义域为(0,)， ( )ln2 x e f xxxa x ， 所以 22 (1) (1)1 ( )1 x x xex ex fx xxx ，0 x， 当1x 时，( )0fx，( )f x单调递增； 当01x时，( )0fx，( )f x单调递减 所以( )f x的单调递增区间为(1,)，单调递减区间为(0,1) （2） （i）由题意可知(1)0f，即1 20ea ，所以 1 2
19、 e a ， （ii）不妨设 12 xx 因为 22 (2 )ln222ln2 22 aa ee faaaaa aa 令21tae ，( )ln t e g tt t ， 2 (1) ( ) t e tt g t t 令( )(1) t h te tt， 则( )1 t h te t ，( )(1)0 t h tet， 所以( )h t单调递增， 又因为(1)0h e，所以( )h t单调递增 因为 2 (1)10 e h ee ， 所以( )0g t，故( )g t单调递增 又因为 1 (1)( )10 e g eg ee ， 所以(2 )0fa ， 2 2xa 设( )ln1xxx，(0,)x， 1(1) ( )1 x x xx ， 当(0,1)x时，( )0 x，( )x单调递增， 当(1,)x时，( )0 x，( )x单调递减， max ( )(1)0 x 所以ln1xx，则 11 2121 111 ln21 2 11 212121 2121 aa ee faa aaa aa ， 令 11 0, 21 m ae ，所以 1 ( )0 m e f m mm ， 所以 1 1 21 x a ，所以 2 21 421 21 aa xx a
