1、2021 届高三八省联考数学预测模拟卷届高三八省联考数学预测模拟卷 A 卷卷 一、一、单项单项选择题：本题共选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的. 1.已知集合 2 20Ax xx， 2 log0Bxx，则AB（ ） A11xx B 01xx C01xx D 12xx 2.若复数z满足1 i2iz (i为虚数单位)，则z （ ） A 1 2 B 10 2 C2 D 3 2 2 3.设 1 2 3 log 2,ln2,5abc ，则 ( ) A.abc B
2、.bca C.cab D.cba 4.已知 2 1 sin 63 ，则 sin 2 6 ( ) A. 1 3 B. 1 3 C. 2 2 3 D. 2 2 3 5.已知圆柱的上、下底面的中心分别为 12 ,O O，过直线 12 O O的平面截该圆柱所得的截面是面 积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为( ) A.12 2 B.8 2 C.12 D.10 6.设点 12 ,F F分别是双曲线 22 2 :1(0) 2 xy Ca a 的左、右焦点，过点 1 F且与x轴垂直的直线 l与双曲线C交于, A B两点.若 2 ABFV的面积为2 6，则该双曲线的渐近线方程为( ) A.3yx B. 3
3、3 yx C.2yx D. 2 2 yx 7.将标号为 1，2，3，4 的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标 号 1，2 的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为( ) A.15 B.20 C.30 D.42 8.已知函数( )ee x f xaxa， 若存在1,1a ， 使得关于x的不等式 0f xk恒成立， 则k的取值范围为( ) A.(, 1 B.(, 1) C.(,0 D.(,0) 二二、多项多项选择题：本题共选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有在每小题给出的选项中，有多多项符项符 合题目要
4、求合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分. 9.新冠肺炎疫情的出现警示我们，人类不文明的行为为各种致病细菌和病毒提供了传播途 径，成为现代文明生活的致命软肋，对人类的健康和生命构成了严重威胁.首都文明工程基 金会和文明杂志社倡议启动新时代文明工程： 呼吁社会公益组织、 新媒体和企业机构携手 “餐桌革命 公筷行动” ！某机构调查了某地区部分居民疫情前后对餐桌革命(公筷公勺、 分餐制)的支持情况，得到如下统计图，则下列说法正确的是( ) A.疫情后仅支持公筷公勺和仅支持分餐的居民均增多 B.疫情前后仅支持公筷公勺的居民
5、均多于仅支持分餐的居民 C.疫情后，不支持餐桌革命的比例下降幅度低于支持餐桌革命的上升幅度 D.疫情后，人们的健康饮食意识明显提高 10.已知数列 n a的所有项都是正数，且满足 2* 12 3 n aaann nNL，下列说 法正确的是( ) A.数列 n a的通项公式为 2 4(1) n an B.数列 1 n a n 是等差数列 C.数列 1 n a n 的前n项和是3n n D.数列 1 2 n a n 是等比数列 11.如图，,M N分别是边长为 1 的正方形ABCD的边,BC CD的中点， 将正方形沿对角线AC 折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，以下结论正确的是( )
6、A.MN P平面ABD B.异面直线AC与BD所成的角为定值 C.存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直 D.三棱锥MACN体积的最大值为 2 48 12.已知函数 sin,sincos ( ) cos,sincos xxx f x xxx ，则下列说法正确的是( ) A.( )f x的值域是0,1 B.( )f x是以为最小正周期的周期函数 C.( )f x在区间 3 (,) 2 上单调递增 D.( )f x在0,2上有 2 个零点 三、填空题三、填空题：本题共本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13.已知向量 3,1a ， , 2bx ，且 , a b共
7、线，则a b_； 14.已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1，圆锥SO的底面圆是正方形 1111 A BC D的内切圆， 顶点S是正方形ABCD的中心，则圆锥SO的体积为_，侧面积为 _. 15.已知椭圆 22 22 1(0) xy abc ab 的左、右焦点分别为 12 ,F F，若以 2 F为圆心，bc为半 径作圆 2 F，过椭圆上一点 P 作此圆的切线，切点为 T，且PT的最小值不小于 3 () 2 ac， 则椭圆的离心率 e 的取值范围是_. 16.已知函数 e ( ),1,3 x a f xx x ，且 12 1212 12 ,1,3,2 f xf x x xxx x
8、x 恒成立，则实数 a的取值范围是_. 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10 分）在 1 31 n n n a a a ， 1 n a 为等差数列，其中 236 111 ,1, aaa 成等比数列， 2 123 11113 2 n nn aaaa L这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，然后解答补 充完整的题目. 已知数列 n a中， 1 1a ，_. (1)求数列 n a的通项公式； (2)设 1,nnnn ba aT 为数列 n b的前n项和，求证： 1 3
9、n T . 18.（12 分）在锐角ABC中，角, ,A B C所对的边分别为 , ,a b c，已知7a ， 3b ， 7sinsin2 3BA . (1)求角A的大小； (2)求ABC的面积. 19. （12 分）如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD是边长为 1 的正方形，BC PB ， 平面PAD平面ABCD，且 3PC ，E为棱PC的中点. （1）求证：PA平面ABCD； （2）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值. 20. （12 分）某贫困县在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展种 植业.该县农科所为了对比, A B两种不同品种茶叶的产量，在试验田上分别
10、种植了, A B两种 茶叶各 20 亩，所得亩产数据(单位：千克)如下： A：41.3，47.3，48.1，49.2，51.2，51.3，52.7，53.3，54.2，55.3，56.4，57.6，58.9，59.3， 59.6，59.7，60.6，60.7，61.1，62.2； B：46.3，48.2，48.3，48.9，49.2，50.1，50.2，50.3，50.7，51.5，52.3，52.5，52.6，52.7， 53.4，54.9，55.6，56.7，56.9，58.7. (1)从, A B两种茶叶亩产数据中各任取一个，求这两个数据都不低于 55 的概率. (2)从B品种茶叶的亩产
11、数据中任取两个，记这两个数据中不低于 55 的个数为X，求X 的分布列及数学期望. (3)根据以上数据，你认为该县应选择种植茶叶A还是茶叶B?说明理由. 21. （12 分）已知抛物线 2 :20C ypx p的焦点为F，点 ,2 5M a在抛物线C上. (1)若6MF ，求抛物线C的标准方程； (2)若直线xyt与抛物线C交于, A B两点，点N的坐标为1,0，且满足NANB，原 点O到直线AB的距离不小于2，求p的取值范围. 22. （12 分）已知函数 2sincos,f xxxx fx为 f x的导数. (1)证明： fx在区间0,上存在唯一零点； (2)若 0,xf xax，求a的取
12、值范围. 答案以及解析答案以及解析 1.答案：B 解析：因为 2 2012Ax xxxx ， 222 log0loglog 1 01Bxxxxxx， 所以 01ABxx，故选 B. 2.答案：B 解析：由(1 i)2iz，得 2i(2i)(1i)13i13i 1i(1i)(1i)222 z 22 1310 | 222 z . 3.答案：C 解析： 3 2 1 log 2 log 3 a ， 2 1 ln2 log b e ，而 22 log 3log1e，所以ab， 1 2 1 5 5 c ，而 22 52log 4log 3，所以ca，综上cab. 故选：C. 4.答案：A 解析：因为 2
13、1 sin 63 ，所以 2 1 cos 212sin 363 ，所以 1 sin 2cos2cos2cos 2 626333 .故选 A. 5.答案：C 解析：设圆柱的底面半径为r，高为h，由题意得 2 2,8rh h，所以2,2 2rh， 所以圆柱的表面积为 22 222( 2)812rrh.故选 C. 6.答案：D 解析：设 10 (,0),FcAc y，则 2222222 200 0 22222 4 1,1, 22 yycccab y aaaaa ， 0 4 | 2ABy a .又 2 11446 2 6,2|22 6, 222 ABF cc ScABc aaa V ， 2 2 2 1
14、 2 bc aa .该双曲线的渐近线方程为 2 2 yx .故选 D. 7.答案：C 解析：四个篮球分成三组有 2 4 C种分法，三组篮球进行全排列有 3 3 A种排法，标号 1，2 的两 个篮球分给同一个小朋友有 3 3 A种分法，所以有 233 433 C AA36630种分法，故选 C. 8.答案：A 解析：解法一 当1x 时，(1)10fkk ，所以1k .当1x 时，令 ( )eeee xx m aaxaax，因为存在( 1,1)a ，使得( )0m ak，等价于 (1)ee x kmx ，所以存在( 1,1)a ，使得关于x的不等式( )kf x恒成立，等价于 ee x xk恒成立
15、.令( )ee(1) x g xx x ，则( )e10 x g x ，所以( )g x单调递增，所 以( )ee 11g x ，故1k .当1x 时，因为( 1,1)a ，所以 eeeeee xxx axaaxx ， 所以存在( 1,1)a ， 使得关于x的不等式( )kf x恒 成立， 等价于eexxk恒成立.令( )ee(1) x h xx x ， 则( )h x单调递减， 所以( )1h x ， 故1k .综上，得1k . 解法二 ( )e1 x fxa， 当( 1,0a 时，)(0fx ， 所以( )f x单调递减， 且当x趋近于 时，( )f x趋近于，与不等式恒成立矛盾，舍去；当
16、(0,1)a时，令( )0fx ，得 1 ln,x a ，所以( )f x在区间 1 ln, a 上单调递增，令)(0fx ，得 1 ,lnx a ， 所以( )f x在区间 1 ,ln a 上单调递减，所以存在(0,1)a，使得 min 1 ( )lnlne1f xfaak a 成立.令( )lne1,(0,1)g aaaa，则e 1 ( )g a a ，所 以当 1 0, e a 时，( )0,( )g ag a单调递增；当 1 ,1 e a 时，( )0,( )g ag a单调递减.所以 max 1 ( )1 e g ag ，故1k . 9.答案：ABD 解析：由饼图可知，疫情后仅支持公
17、筷公勺和仅支持分餐的比例分别上升至 10%，7%，故 A 正确； 疫情前后， 仅支持公筷公勺的比例分别为 8%， 10%， 仅支持分餐的比例分别为 5%， 7%，故 B 正确；疫情后，不支持餐桌革命的比例下降了 42%，支持餐桌革命的比例上升了 38%，故 C 错误；由题图易得，人们的健康饮食意识明显提高，故 D 正确. 10.答案：ABD 解析： 当1n 时， 1 4a ， 可得 1 16a ， 当2n 时， 由 2 121 3 nn aaaann L， 可得 22 121 (1)3(1)2 n aaannnn L，两式相减得2(1) n an，得 2 4(1) n an，又 1 16a 也
18、适合上式，所以数列 n a的通项公式为 2* 4(1) n annN，所 以 A 正确.因为4(1) 1 n a n n ，所以 12 (844) 8124(1)2 (3) 2312 n aaann nn n n LL，所以 C 不正确.结合等差 数列、等比数列的定义知 B，D 都正确. 11.答案：ABD 解析：因为,M N分别是,BC CD的中点，所以MNBDP，又MN 平面,ABD BD平面 ABD，所以MN P平面ABD，故 A 正确；取AC的中点O，连接,OB OD，则 ,ACOB ACOD，因为OBODO，所以AC 平面OBD，因为BD平面OBD，所 以ACBD，所以异面直线AC与
19、BD所成的角为 90，故 B 正确；假设存在某个位置， 使得ADBC，因为,ABBC ADABA，所以BC 平面ABD，所以BCBD，则 BCCD， 这与BCCD矛盾， 故 C 错误； MACNN ACM VV 三棱锥三棱锥 ， 当平面DAC 平面ABC 时， NACM V 三棱锥 取得最大值，其最大值为 11122 1 322448 ，故 D 正确.故选 ABD. 12.答案：AD 解析： 5 sin,2 2 () 44 ( ) 3 cos,2 2 () 44 xkxkk f x xkxkk Z Z 作出函数( )f x的大致图象如图所示 由图可知( )f x的值域是0,1，故 A 正确 因
20、为()sin0, (2)cos21ff，所以(2)()ff 所以不是( )f x的最小正周期，故 B 正确 由图知( )f x在区间 5 (,) 4 上单调递增，在 5 3 (,) 42 上单调递减，故 C 不正确 由图知，在0,2上， 3 ()()0 2 ff，所以( )f x在0,2上有 2 个零点，故 D 正确，故 选 AD 13.答案：-20 解析： , a b共线，所以 60 x ，解得 6x . 所以 6, 2b ， 182=20a b . 故答案为： 20 14.答案： 1 12 ； 5 4 解析： 由题意知圆锥SO的高为 1， 底面半径为 1 2 ， 则母线长为 15 1 42
21、 ， 所以圆锥SO的 体积为 2 1 1 3212 ，侧面积为 155 224 . 15.答案： 32 , 52 解析：因为 2 2 2 |() ()PTPFbcbc，所以当且仅当 2 PF取得最小值时，PT取得最 小值.而 2 PF的最小值为ac，所以PT的最小值为 22 ()()acbc.依题意可得 22 3 ()()() 2 acbcac，所以 22 ()4()acbc，所以2()acbc，所以 2acb，所以 222 ()4acac，所以 22 5302caca，所以 2 5230ee，又 bc，所以 22 bc，所以 222 acc，所以 2 21e ，联立，得 32 52 e. 1
22、6.答案： 3 9 , e 解析：解法一 12 1212 12 ,1,3,2 f xf x x xxx xx ，即 1122 12 1212 22 20 f xxf xxf xf x xxxx .令 e ( )( )22 x a h xf xxx x ，则( )h x 在1,3上单调递减， 2 e (1) ( )20 x ax h x x 在1,3上恒成立， 当1x 时， 显然成立，aR. 当(1,3x时， 2 2 e (1) x x a x ， 令 2 2 ( ),(1,3 e (1) x x t xx x ， 则 2 2 222 ( )0 e (1) x x xx t x x ，( )t
23、x 在(1,3上单调递减， min 33 99 ( )(3), ee t xta.综上， 3 9 e a . 解法二 不妨令 12 xx，则 1122 22f xxf xx，令( )( )2g xf xx，则( )g x在1,3上 单调递减，即( )0g x 在1,3上恒成立.而 2 11 ( )e2 x g xa xx ，当0a 时，( )0g x 在 1,3上恒成立.当0a 时， 2 3 e ( )220,( ) x a g xxxg x x 单调递增，则(3)0g，故 3 9 0 e a.综上， 3 9 e a . 17. 解析：若选条件， (1)易知 1 1 11 0,3 31 n n
24、n nnn a aa aaa Q. 又 1 1 1 a ， 数列 1 n a 是以 1 为首项，3 为公差的等差数列， 11 32, 32 n n na an . (2)由(1)可知， 1111 (32)(31)3 3231 n b nnnn ， 11111111111 11 344732313313933 n T nnnn L， 故 1 3 n T . 若选条件， (1)设数列 1 n a 的公差为 d，则 236 111 1,122 ,15ddd aaa ， 236 111 ,1, aaa Q成等比数列， 2 22115ddd，解得3d 或1d . 当1d 时， 2 1 10d a ，此时
25、 236 111 ,1, aaa 不能构成等比数列， 3d， 1 13(1)32 n nn a ， 1 32 n a n . (2)由(1)可知， 1111 (32)(31)3 3231 n b nnnn ， 11111111111 11 344732313313933 n T nnnn L， 故 1 3 n T . 若选条件， (1)由 2 123 11113 2 n nn aaaa L知， 当2n 时， 2 1231 11113(1)(1) 2 n nn aaaa L， 两式相减，得 22 133(1)(1) 32 22 n nnnn n a ， 1 (2) 32 n an n ，当1n
26、时， 1 1a 也适合上式， 1 32 n a n . (2)由(1)可知， 1111 (32)(31)3 3231 n b nnnn ， 11111111111 11 344732313313933 n T nnnn L， 故 1 3 n T . 18. 解析：(1)在ABC中，由正弦定理 sinsin ab AB ，得 73 sinsinAB ，即 7sin3sinBA. 又因为 7sinsin2 3BA ，所以 3 sin 2 A . 因为ABC为锐角三角形，所以 3 A . (2)在ABC中，由余弦定理 222 cos 2 bca A bc ，得 2 197 26 c c ， 即 2
27、320cc .解得 1c 或 2c . 当 1c 时，因为 222 7 cos0 214 acb B ac ，所以角B为钝角，不符合题意，舍去. 当 2c 时，因为 222 7 cos0 214 acb B ac ，又 ,bc baBC BA ， 所以 ABC 为锐角三角形，符合题意. 所以 ABC 的面积 1133 3 sin3 2 2222 SbcA . 19.解析：（1） ,BCAB BCPB ，AB PBB ， ,AB PB平面PAB， BC平面PAB，又PA平面PAB，BC PA ， 平面PAD平面ABCD，面PAD平面ABCD AD ，AB AD ，AB平面ABCD， AB 平面P
28、AD，而PA平面PAD，AB PA ， 又AB BCB ， ,AB BC 平面ABCD， PA平面ABCD （2）以 ,AB AD AP为 , ,x y z轴建立空间直角坐标系， 由（1） 22222 ()1PAPCACPCABBC ， (0,0,0), (1,0,0), (1,1,0),(0,1,0), (0,0,1)ABCDP，则 1 1 1 (, 2 2 2 E ， 1 1 1 , 2 2 2 BE ， (0, 1,1)DP ， (1, 1,0)DB ， 设平面PBD的一个法向量是 ( , , )nx y z ， 则 0 0 n DPyz n DBxy ，取 1x ，则1,1yz，即 (
29、1,1,1)n ， 设直线BE与平面PBD所成角为， 则 111 1 222 sincos, 3111 1 1 1 444 BE n BE n BE n 20.解析：(1)从A种茶叶亩产数据中任取一个，不低于 55 的有 11 个，从B种茶叶亩产数 据中任取一个，不低于 55 的有 4 个， 设“所取两个数据都不低于 55”为事件M，则 11411 () 2020100 P M . (2)X的所有可能取值为 0，1，2， 20 164 2 20 C C12 (0) C19 P X ， 11 164 2 20 C C32 (1) C95 P X ， 02 164 2 20 C C3 (2) C9
30、5 P X ， X的分布列为 X 0 1 2 P 12 19 32 95 3 95 X的数学期望 123232 ()012 1995955 E X . (3)如果选择A，可以从A的亩产数据的中位数或平均值比B高等方面叙述理由.如果选择 B，可以从B的亩产数据比A的方差小，比较稳定等方面叙述理由. 21.解析：(1)由题意及抛物线的定义得，6 2 p a ， 又点( ,2 5)M a在抛物线C上，所以202pa， 由 6, 2 202, p a pa 解得 2, 5 p a 或 10, 1. p a 所以抛物线C的标准方程为 2 4yx或 2 20yx. (2)解法一 联立方程，得 2 , 2,
31、 xyt ypx 消去y，整理得 22 (22 )0 xtp xt， 设 1122 ,A x yB x y， 由根与系数的关系可得 2 121 2 22 ,xxtp x xt. 因为NANB，所以 1212 110 xxy y， 又 1122 ,ytx ytx ，所以 2 1212 2(1)10 x xtxxt ， 得 2 21 2 1 tt p t . 由原点O到直线AB的距离不小于2， 得 | | 2 2 t ，即2t (舍去)或2t ， 因为 2 214 214 11 tt pt tt ， 所以函数 2 21 1 tt y t 在2,)t上单调递增， 所以 1 6 p ，即 p的取值范围
32、为 1 , 6 . 解法二 将直线xyt，抛物线C，点N均向左平移 1 个单位长度，得到直线 1xyt ，抛物线 2 210yp xp与点 0,0N. 联立方程，得 2 1, 2 (1), xyt yp x 消去y，整理得 22 (222 )(1)20 xtp xtp， 设直线1xyt 与抛物线 2 21yp x交于点 1122 ,A x yB x y， 由根与系数的关系可得 2 1 2 (1)2x xtp. 由 2 1, 2 (1) xyt yp x 消去x，整理得 2 220ypypt， 由根与系数的关系可得 12 2y ypt . 由已知得， 1212 0 x xy y， 所以 2 (1
33、)220tppt，整理得 2 21 2 1 tt p t . 易得 | | 2 2 t ，即2t (舍去)或2t ， 因为 2 214 214 11 tt pt tt ，所以函数 2 21 1 tt y t 在2,)t上单调递增， 所以 1 6 p ，即 p的取值范围为 1 , 6 . 22.解析：(1) 2coscossin 1cossin1fxxxxxxxx . 令( )cossin1g xxxx，则( )sinsincoscosg xxxxxxx . 当(0,)x时，令)(0g x ，解得 2 x . 当 0, 2 x 时，)(0g x ；当 , 2 x 时，)(0g x ， ( )g
34、x在 0, 2 上单调递增，在 , 2 上单调递减. 又 (0)1 10,10, ()1 12 22 ggg ， 当 0, 2 x 时， 0g x ，此时( )g x无零点，即 fx无零点， 0 ()0, 22 ggx ，使得 0 0g x， 又( )g x在 , 2 上单调递减， 0 xx为( )g x即)(fx在 , 2 上的唯一零点. 综上所述，)(fx在区间(0,)上存在唯一零点. (2)若0, ( )xf xax，即( )0f xax在0,上恒成立. 令( )( )2sincos(1) ,0,h xf xaxxxxax x， 则( )cosins1h xxxxa ， 令( )coss
35、in1t xxxxa ，则( )co( )st xxxg x. 由(1)可知，)(h x在 0, 2 上单调递增，在 , 2 上单调递减， 且 2 (0),()2 2 2 ha ha ha ， minmax 2 ( )()2,( ) 2 2 h xha h xha . 当2a 时， min 20h xha ，即 0h x 在0,上恒成立， ( )h x在0,上单调递增， 00h xh，即 0f xax，此时 f xax在0,上恒成立. 当20a 时， (0)0,0,()0 2 hhh ， 1 , 2 x ，使得 1 0h x， ( )h x在 1 0,x上单调递增，在 1, x上单调递减. 又(0)0, ()2sincos(1)0hhaa ， 0h x在0,上恒成立，即 f xax在0,上恒成立. 当 2 0 2 a 时， 2 (0)0,0 22 hha ， 2 0, 2 x ，使得 2 0h x， ( )h x在 2 0,x上单调递减，在 2 , 2 x 上单调递增， 当 2 0,xx时，( )(0)0,( )h xhf xax在0,上不恒成立. 当 2 2 a 时， max 2 ( )0 22 h xha ， ( )h x在 0, 2 上单调递减， 00h xh，可知 f xax在0,上不恒成立. 综上所述，a的取值范围为(0,.
