1、2021 年 1 月“八省联考”考前模拟卷 数 学 1 D 【解析】 因为=51Axx， 2 422Bx xxx， 所以21ABxx 2C 【解析】由1 i1z得 1 1 i111 ii 11 i1 i22 z i ，所以z的虚部为 1 2 .故选 C. 3A 【解析】因为1 sin cos 32 ，所以 13 1sincossin 22 ，所以 3 sin 2 3 cos1 2 ，所以 3 sin 63 ，所以 22 12 cos1 sin1 6633 ，故选 A. 4C 【解析】两组至少都是3人，则分组中两组的人数分别为3、5或4、4，又因为3名女干部不能单 独成一组，则不同的派遣方案种数
2、为 4 32 8 82 2 2 C C1 A180 A .故选 C. 5D 【解析】对于选项 A，当0 x时， 2 1x 不成立，故 A 错误； 对于选项 B， 命题“, abR，2 ba ab ”的否定是“,2 ba a bR ab ”， 当3 ,1ab不成立， 故 B 错误； 对于选项 C，当一直线斜率为 0，另一直线斜率不存在时，“它们的斜率之积一定等于-1”不成立，故 C错 误； 对于选项 D，由方程 22 1 21 xy mm 表示双曲线等价于(2)(1)0m m，即2m或1m，所 以“ 1m”是“方程 22 1 21 xy mm 表示双曲线”的充分不必要条件，故 D正确故选 D.
3、6 B 【解析】( ) f x的定义域为 0 x x ， 关于原点对称， 且 2 2 lnln () xx fxf x xx ， ( )f x 为奇函数，图象关于原点对称，故 A，C错误；当0 x时， 2 2 1 ln x fx x ，故当0,xe时， 0fx ， f x单调递增，当,xe时， 0fx ， f x单调递减，故 D 错误，B正确.故选 B. 7D 【解析】如图所示，/AE BF CD，四边形ACDE为梯形. 对选项 A，由题知：“羡除”有且仅有两个面为三角形，故 A 正确； 对选项 B，因为/AE BF CD，所以“羡除”一定不是台体，故 B 正确； 对选项 C，假设四边形ABF
4、E和四边形BCDF为平行四边形， 则/AE BF CD，AEBFCD，则四边形ACDE为平行四边形， 与已知四边形ACDE为梯形矛盾，故不存在，C正确. 对选项 D，若AEBFCD，则“羡除”有三个面为梯形，故 D 错误. 故选 D. 8C 【解析】( ) ( ( ) 1)( ( )0F xf xf xa ，( )1f x 或( )f xa ， 0 x时，( )1 1 x f xxe ，( )(1) x fxxe ， 1x时， ( )0fx ， ( )f x递减，10 x 时，( )0fx ， ( )f x递增， ( )f x的极小值为 1 ( 1)1f e ，又( )1f x ，因此( )1
5、f x 无解 此时( )f xa要有两解，则 1 11a e ， 又 ( )f x是奇函数， 0 x时， ( )1f x 仍然无解，( )f xa 要有两解，则 1 11x e 综上， 11 1,11,1a ee 故选 C 9 CD 【解析】 11 0 ab ， 0ba， 33 ba， A错误；a b， B错误；1 b a ， C正确； 11 22 ab ， D正确故选 CD. 10 ACD 【解析】 由双曲线方程 22 1 42 yx 知2,2ab， 焦点在y轴， 渐近线方程为2 a yxx b ， A正确； 22 6cab ， 以 12 FF为直径的圆的方程是 22 6xy， B错； 由
6、22 6 2 xy yx 得 2 2 x y 或 2 2 x y ， 由对称性知M点横坐标是 2 ， C 正确； 1 2 12 11 2 622 3 22 MF FM SFFx ， D 正确故选 ACD 11ABD 【解析】因为 521 127,aaa ，所以有 43 11 27273qa qqqa ，因此选项 A正确；因为 1 31(3 1) 1 32 n n n S ，所以 1 31 +2+2(3 +3) 1 32 n n n S ，因为 + 1 +1 1 1 (3+3) +22 2 =1+ 1 +21+3 (3 +3) 2 n n n n n S S 常 数，所以数列2 n S 不是等比
7、数列，故选项 B 正确；因为 5 5 1 (31)=121 2 S ，所以选项 C不正确； 11 1 30 n n n aa q ，因为当3n 时， 2 2222 lglg=lg()=lg2lg nnnnnn aaaaaa ，所以选项 D正 确.故选 ABD. 12ACD 【解析】设(0,1)A， (2,1)B ， 2222 00 120 1xfxx 表示x轴上点 ( ,0)P x 到,A B两点的距离之和，设(1,0)Q，以,A B为焦点，Q为短轴上一个端点，作椭圆，x轴与 此椭圆相切于点Q，当P从Q向右移动时，PAPB逐渐增大，即函数 f x在区间1,上单调 递增，A正确；当P与Q重合时，
8、PAPB最小，最小值为2 2，因此 ( )f x的值域是2 2, )， C正确； 函数图象关于直线1x 对称， 不是中心对称是， B错误； 当0 x或2x时，( )15f x ， 由于( )2 2f x ，因此( )0f x 和 ( )2f x 都无解，D正确故选 ACD 138 【解析】因为1,am ，2, 3b ，所以2(3,6)abm .因为 2abb，所以 263(6)0abbm，解得8m. 1415 【解析】因为 6 1 ()x x 的展开式的通项是 3 3 6 2 66 1 C ()( 1) ( )C ( 1) r rrrrrr xx x ，当 3 30 2 r 时，r 2，所以展
9、开式中的常数项是 22 6 C ( 1)15 15 12 【解析】函数 ( )sin23cos22sin(2) 3 f xxxx，将函数( )f x的图象沿x轴向左平移个单位 后，得到函数 2sin(22) 3 yx的图象，因为 g x为偶函数，所以2() 32 kk Z，则 2 k () 12 k Z当 0k 时， 12 1632 3 ， 58 2 【解析】 ：由题意可知，四面体 ABCD 的外接球球心为 BD 中点，设为 O，球的半径为 2， 故体积为 32 3 ；过 M 做MPBD于点 P,连接 PN,因为ABDBCD平面平面，所以MPPN,可 求得 3 = 2 MP， 3 = 2 BP
10、,所以 5 = 2 DP，在三角形 DPN 中， 30PDN , 3DN ,所以 7 2 PN , 所以 10 2 MN ，过 O 做OHMN于 H,连接 ON,可求得1ON ，从而得 10 4 HN ,所以 106 1 164 OP ,因为球的半径为 2，故所截得的线段长为 22 658 2 2() 42 . 17（10 分） 【解析】解法 1：由正弦定理，得 3sinCcosB3sin-（BC）2sinB， 整理得 3sinBcosC2sinB0因为 sinB0，所以 2 cos 3 C （5 分） 解法 2：由 3ccosB3a2b，得 3accosB3a22ab， 由余弦定理，得 3（
11、a2c2-b2）6a24ab，整理得 3（-a2c2-b2）4ab， 即 3abcosC2ab0所以 2 cos 3 C （5 分） 选a3由余弦定理可得 c2a2b2-2abcos 2 2 2196() 3 bb ， 所以 b24b-120，解得 b2或 b-6（舍去） ， 所以问题中的三角形存在 （10 分） 选 3 5 2 ABC S 1153 5 sin 2232 ABC SabCab，故 ab9， （7 分） 由余弦定理可得 c2a2b2-2abcosC 22 4 21 3 abab，又 a2b22ab， 所以 22 410 216.3 33 abababab，与 ab9 矛盾， 所
12、以问题中的三角形不存在 （10 分） 选3sinB2sinA由正弦定理得，3sinB2sinA3b2a， （7 分） 由余弦定理可得 c2a2b2-2abcosC 2 21 21 4 b， 所以 b2 或 b-2（舍去） ， 所以问题中的三角形存在 （10 分） 18（12 分） 【解析】 （1）由21 nn Sa得： 11 21Sa，即 1 1a ， 由21 nn Sa得： 11 21 nn Sa ，两式相减得: 11 22 nnn aaa ， 即 1 2 nn aa ，即数列 n a是以 1为首项，2为公比的等比数列， （4 分） 则 1 2n n a - =， 则 1 2 21 1 2
13、n n n S .（6 分） （2）由（1）知：|216| n n b ，则 162 (14) 216(4) n n n n b n ， 则当14n时， 12 (162 )(162 )(162 ) n n T 12 2(1 2 ) 16(222 )16 1 2 n n nn 1 1622 n n ； （9 分） 当4n时， 124567 (162 )(162 )(162 )(216)(216)(216)(216) n n T 12 4 2(222 ) 16 n Tn 1 2(1 2 ) 2 341621666 1 2 n n nn ， 则 1 1 1622 (14) 21666 (4) n n
14、 n nn T nn .（12 分） 19 （12 分） 【解析】 （1）由题,不超过 6小时的频率为 100 100200 0.4 1000 ,则 100辆车中有 40辆不超过 6 小时,60辆超过 6小时， （2 分） 则22列联表如下： 男 女 合计 不超过 6小时 10 30 40 6 小时以上 20 40 60 合计 30 70 100 根据上表数据代入公式可得 2 2 10020 30 10 4050 07942706 30 70 60 4063 K 所以没有超过 90%的把握认为“停车是否超过 6 小时”与性别有关. （5 分） （2） （i）由题意知：X的可取值为 5,8,11
15、,15,19,30,则 1111 5,8,11,15, 101055 P XP XP XP X 71 19,30 2020 P XP X.（7 分） 所以X的分布列为： X 5 8 11 15 19 30 P X 1 10 1 10 1 5 1 5 7 20 1 20 （8 分） 111171 581115193014.65 1010552020 E X .（9 分） （ii）由题意得 1713 14.65 520205 P X ,所以 3 3, 5 B ,（10 分） 所以 23 2 3 323922781 2233 555255125125 PPPC +=.（12 分） 20（12 分）
16、【解析】 （1）四边形ABCD是菱形，O是AC的中点，BDAC， BDPA，PAACA，BD 平面PAC， （2 分） PO平面PAC，BDPO. PAPC，O是AC的中点，POAC.AC 平面ABCD，BD 平面ABCD， ACBDO， PO平面ABCD.（5 分） （2）由（1）知，PO平面ABCD，BDAC. 以 O为坐标原点，以OA，OB，OP所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系. 设四边形ABCD的边长为 4，POa. 四边形ABCD是菱形，60BAD，ABD与BCD都是等边三角形. 2 3OAOC. 0,0,Pa，2 3,0,0A，2 3,0,0C ， 3 3 ,0 22
17、E ， 2 3,0,PAa， 3 3 , 22 PEa ， 3 33 ,0 22 EC .（7 分） PAPE， 3 3 2 3,0,0 22 PA PEaa ， 即 2 30a ，得3a . 2 3,0,3PA， 3 3 ,3 22 PE .（9 分） 设平面PAE的法向量为 111 ,mx y z， 由 11 111 2 330 33 30 22 m PAxz m PExyz ，取 1 2z ，得 5 3 1,2 3 m ； 设平面PEC的一个法向量为 222 ,nxy z， 由 22 222 3 33 0 22 33 30 22 n ECxy n PExyz ，取 2 1x ，得 1,
18、3,2n . 设二面角APEC的平面角为，由图可得，为钝角， 则 15 cos 5 m n mn . 二面角APEC的余弦值为 15 5 .（12 分） 21 （12 分） 【解析】 （1）设( , )P m n， 1( ,0)Fc， 2( ,0) F c， 由 3 2 OP ， 12 3 4 PF PF 可得 22 9 4 mn，( cm ，)?(ncm， 2222 93 ) 44 nmcnc ， 即有 2 3c ，即3c ， （2 分） 又 3 2 c e a ，可得2a， 22 1bac ， 则椭圆的方程为 2 2 1 4 x y.（4 分） （2）设 1 (A x， 1) y， 2 (
19、B x, 2) y，由题意可得( 2,0)M ， 若直线AB的斜率不存在， 即 12 xx， 12 yy ， 由题意可得直线MA，MB的斜率大于 0， 即 12 0y y ， 矛盾； （6 分） 因此直线BA的斜率存在，设其方程为y kxm 联立椭圆方程 22 44xy， 化为： 222 (1 4)84(1)0kxkmxm， 2222 6416(1 4)(1)0k mkm，化为： 22 14km 12 2 8 14 km xx k ， 2 12 2 4(1) 1 4 m x x k （8 分） 由 2 ，可得tantan1， 12 12 1 22 yy xx ， 1212 ()()(2)(2)
20、kxm kxmxx，化为： 22 1212 (1)(2)()40kx xmkxxm， 2 22 22 4(1)8 (1)(2)()40 1 41 4 mkm kmkm kk ， （10 分） 化为 22 316200mkmk，解得2mk，或 10 3 mk 直线AB的方程可以表示为2ykxk （舍去） ，或 10 3 ykxk， 则直线AB恒过定点 10 ( 3 ,0) （12 分） 22 （12 分） 【解析】 （1）因为 x f xexa，所以 1 x fxexa. （1 分） 由 0fx ， 得1xa ；由 0fx ，得 1xa . 所以 f x的增区间是1a , ,，减区间是,1a .
21、（3 分） （2） 22x ax a g xf xaxxexx ex . 由 0g x ，得0 x或0 x a ex .（6 分） 设 x a h xex ，又 00 a he ，即0 x不是 h x的零点， 故只需再讨论函数 h x零点的个数. （5 分） 因为 1 x a h xe ， 所以当,xa 时， 0,h xh x 单调递减；当,xa时， 0,h xh x 单调递增. 所以当xa时， h x取得最小值 1h aa .（6 分） 当 0h a ，即1a 时，无零点； 当 0h a ，即1a 时， 0,h xh x有唯一零点； （8 分） 当 0h a ，即1a 时，因为 00 a he，所以 h x在a，上有且只有一个零点. 令2xa，则22 a haea. 设 22120 aa ahaea aae，则，所以 a在1 ，上单调递增， 所以1,a ，都有 120ae ，所以 2 a haaea . 所以 h x在, a 上有且只有一个零点，所以当1a 时， h x有两个零点 综上，当1a 时， g x有一个零点；当1a 时， g x有两个零点；当1a 时， g x有三个零点. （12 分）
