1、第一次联合诊断检测（数学）参考答案 第 1 页 共 4 页 2021 年普通高等学校招生全国统一考试 高三第一次联合诊断检测 数学参考答案 一、单选题 14 DBDA 58 DDDC 第（6）题解析：由均值不等式2abab （当且仅当ab时等号成立） ，828ababab， 即(4)(2)0abab，16ab，当且仅当4ab时ab取到最小值16. 第（7）题解析：根据图形的对称性可知ESRC APQC ， ，故ESAPRCQCRCCQRQ ， 又| | | |RQPTBQAT ， ，故 51 2 RQQB ， 15 2 . 第 （8） 题解析： 当0 x 时， 2 ( )20( ( )0fxx
2、f xx， 令 2 ( )( )g xf xx， 则函数( )g x在(0)， 上单调递增，又 22 ()()()( )( )gxfxxf xxg x ，故( )g x为偶函数， 22 (2)( )44(2)(2)( )fxf xxfxxf xx，即(2)( )gxg x， |2| |xx，解得1x . 二、多选题 9BC 10AD 11ACD 12ABC 第（9）题解析：由题中数据知，营业收入最低的是其它类，A 错；生鲜区的净利润占比 1 65.8% 2 ，故 B 正确； 生鲜区的营业利润率为 65.8% 32.5%50% 48.6% ，故 D 错；同理可计算其他各区的营业利润率， 显然日用
3、品区为 20.2% 32.5% 10.8% ，最高，故 C 正确. 第（10）题解析：当20 x时cos|2| cos(2 )coscos|xxxx，当20 x时 cos|2| cos(2 )cos()cos|xxxx ，又|cos(2 )| |cos|xx，故 (2 )( )f xf x，即2为( )f x的周期；()0( )1 10 2 ff ， ，故( )f x在0，上 不单减；(0)20f，故( )f x不是奇函数；当20 x 时 cos|2| cos(2)coscos|xxxx，当20 x时 cos|2| cos(2 )coscos|xxxx，又|cos(2)| |cos|xx，故
4、(2)( )fxf x，( )f x的图象关于直线x对称，所以 D 正确. 第（11）题解析：如图，在同一坐标系中画出 函数 1 ln x yeyx y x ， ， 的图象， 当直线ym与三者都相交时， 交点的横坐标即为a b c， ， 的值， 由图知，当m从大变到小时， 依次出现cab、acb、abc. 第 （12） 题解析： 由题知 2 3423432 2()20202bbbbbbbqqq或1（舍） ， 故2n n b ， 1 1 22222 nnn nnn anbb ，2n n an， nn abn ，故 nn ab为等差数列，A x ye lnyx 1 y x y x O 第一次联合诊
5、断检测（数学）参考答案 第 2 页 共 4 页 正确； 2 (1) 222(12)2(21) 2 nn n n n Sn ，B 正确； 1 211 n nn aa ，故 n a单增，C 正确；当1n时， 11 11 1 2(1)1 ab ， ，矛盾，故 D 错误；. 三、填空题 138 14560 1510 16 第（15）题解析：2sinsin2sin2sincosABABABB，由正弦定理得2 cosabB，又由余弦定 理得 222 2 2 acb ab ac ，代入23bc， 得 2 10a ，故10a . 第 （16） 题解析： 1 5OD ， 取AB中点 1 O， 则 1 OOAB且
6、 1 3OO ， 又 1 AA 平面ABCD， 11 AAOO， 1 OO平面 11 ABB A，故球O截侧面 11 ABB A所得图形是以 1 O圆心、53为半径的半圆， S. 四、解答题 17 （10 分） 解：若，则. 此为真命题，2 分 理由如下： sin4 7bcA， 222 3 cos 24 bca A bc 7 sin 4 A，故16bc ， 6 分 22 22 163 40 324 bc bc ， 22 5 2 bcbc bccb ，即2 b c 或 1 2 . 10 分 任选其中三个作条件，另一个作结论所得命题均为真命题，证明同理. 18 （12 分） 解： （1） 3131
7、13 ( )sin (cossin ) 1sin2(cos21) 1sin(2) 2244264 f xxxxxxx ， 222 26236 kxkkxk ， ( )f x的单增区间为() 36 kk ， kZ； 6 分 （2） 2 1313131113 ( )sin(2)cos(2)cos () 2642346249436 f . 12 分 19 （12 分） 解： （1） 49111 46832Saadadad， 631 211aada ， 1 23ad， 23(1)31 n ann； 5 分 （2）由题知 2 23131 222 n n Snnn ， 2 212 11 () 331 n
8、b nnnn ， 8 分 第一次联合诊断检测（数学）参考答案 第 3 页 共 4 页 212 (1) 313(1) n n T nn ， 1 31 32 n n an an ， 10 分 2 1 323 0 3(1)(32) n n n ann T ann ，故 1 n n n a T a . 12 分 20 （12 分） 解： （1）由题知6.5x ，80y ， 2 分 2 3604204985606006126 6.5 80 4 162536496481 6 6.5 b ， 4 分 80( 4) 6.5106a ，6 分 故所求回归方程为4106yx ； 7 分 （2）由题知，当每件售价定
9、为x元时，企业获利z 2 (5)( 4106)4126530 xxxx ，10 分 对称轴为15.75x ，故当16x 时，z最大，即每件售价定为16元. 12 分 21 （12 分） 解： （1） 2 1 ( )f xx x ， 3 22 121 ( )2 x fxx xx ， 3 1 ( )0 2 fxx， 3 分 故( )f x在(0)， 和 3 1 (0) 2 ， 上单减，在 3 1 () 2 ， 上单增； 6 分 （2） 2 1 ( )01f xax x ，令 2 1 ( )1g xx x (0)x，则 3 33 22 ( )1 x g x xx ， 3 ( )002g xx，故(
10、)g x在 3 (02)， 上单增，在 3 ( 2)， 上单减， 9 分 0 x 时( )g x ， 333 3 13 ( 2)2121 24 g ，x 时( )g x ， 故( )f x无零点只需 3 ( 2)ag，又 3 464 ( )2 327 ，故 3 4 12 3 ， 3 33 22 22 ， 3 3( 2)2g ，整数a的最小值为2. 12 分 22 （12 分） 解： （1）由题知 22 4 22 3 ab ab ，解得31ab，所以椭圆C的方程为 2 2 1 3 x y； 4 分 （2）椭圆C的下顶点为(01)，由题知MN，均不是椭圆的上下顶点， 当直线MN的斜率存在时，设直线
11、MN的方程为ykxm(1)m ，点 1122 ()()M xyN xy， ， ， 由 2 2 1 3 ykxm x y 222 (31)6330kxkmxm， 第一次联合诊断检测（数学）参考答案 第 4 页 共 4 页 22 12(31)0km ，且 2 1212 22 633 3131 kmm xxx x kk ， ， 由题知 12 12 11 2 yy xx ，即 12 12 11 2 kxmkxm xx ，即 12 12 2(1)2 xx km x x ，将式代入得 2 6 2(1)2 33 km km m ，整理得1 1 k m ，即1km，所以直线MN过点(1 1)， ， 8 分 当直线MN的斜率不存在时，设 0000 ()()M xyN xy， ， ， ，则 00 00 11 2 yy xx 即 0 1x ，9 分 综上，直线MN恒过定点(1 1)P， . 结合图形知，当APMN时，点A到直线MN的距离最远， 即为|5AP ，此时23km ， ，12(129 1)0 ，这样的直线MN存在， 故点A到直线MN的距离的最大值为5. 12 分
