1、1 2021.1 北京市各区高三数学期末试题选填压轴汇总北京市各区高三数学期末试题选填压轴汇总+详解详解 一、海淀区一、海淀区 （10）如图所示，在圆锥内放入两个球 1 O, 2 O,它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相 切） ， 切点圆 （图中粗线所示） 分别为 1 C， 2 C.这两个球都与平面相切， 切点分别为 1 F， 2 F，丹德林（G.Dandelin）利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆， 1 F， 2 F为 此椭圆的两个焦点. 这两个球也称为 Dandelin 双球. 若圆锥的母线与它的轴的夹角为30， 1 C， 2 C的半径分别为1，4，点M为 2 C上的一个定点，
2、点P为椭圆上的一个动点.则 从点P沿圆锥表面到达点M的路线长与线段 1 PF的长之和的最小值是（ ） （A）6 （B）8 （C）3 3 （D）4 3 （15）已知圆P: 22 (5)(2)2xy，直线l:yax，点(5,22)M，点( , )A s t. 给出下列四个结论： 当0a 时，直线l与圆P相离； 若直线l是圆P的一条对称轴，则 2 5 a ； 若直线l上存在点A，圆P上存在点N，使得90MAN，则a的最大值为 20 21 ； N为圆P上的一个动点.若90MAN，则t的最大值为 5 28 4 其中所有正确结论的序号是 . 2 二、西城区二、西城区 （10）在棱长为 1 的正方体 111
3、1 ABCDABC D中，,M N分别为 111 ,BD BC的中点，点P在正 方体的表面上运动，且满足MPCN，则下列说法正确的是 （A）点P可以是棱 1 BB的中点 （B）线段MP的最大值为 3 2 （C）点P的轨迹是正方形 （D）点P轨迹的长度为2+ 5 （15）炎炎夏日，冰激凌成为非常受欢迎的舌尖上的味道.某商店统计了一款冰激凌 6 月份 前 6 天每天的供应量和销售量，结果如下表： 6月1日 6月2日 6月3日 6月4日 6月5日 6月6日 供应量 90 100 90 100 90 100 销售量 80 90 85 80 90 85 记( )V t为6月t日冰激凌的供应量，( )W
4、t为6月t日冰激凌的销售量，其中 1,2,30t . 用 销 售 指 数 ( )(1)(1) ( , )100% ( )(1)(1) W tW tW tn P t n V tV tV tn , (1,)nnN来评价从6月t日开始连续n天的冰激凌的销售情况. 当1n 时， ( ,1)P t表示6月t日的日销售指数. 给出下列四个结论： 3 在6月1日至6日这6天中，(4,1)P最小，(5,1)P最大； 在6月1日至6日这6天中，日销售指数越大，说明该天冰激凌的销售量越大； (1,3)(4,3)PP； 如果6月7日至12日冰激凌每天的供应量和销售量与6月1日至6日每天的供应 量和 销售量对应相等，
5、则对任意1,2,3,4,5,6,7t，都有( ,6)(1,12)P tP. 其中所有正确结论的序号是_. 三、朝阳区三、朝阳区 （10）在平面直角坐标系xOy中，已知直线ymx（0m ）与曲线 3 yx从左至右依次交 于A，B，C三点若直线l： 30kxy （kR）上存在点P满足 2PAPC ，则实 数k的取值范围是 （A）( 2,2) （B） 22,2 2 （C）( , 2)(2,) （D）( , 22 2,)2 4 （15） 设函数 ( )yf x 的定义域为D， 若对任意 1 xD， 存在 2 xD， 使得 12 ( )()1f xf x， 则称函数 ( )f x具有性质M，给出下列四个
6、结论： 函数 3 yxx不具有性质M； 函数 ee 2 xx y 具有性质M； 若函数 8 log (2)yx，0, xt具有性质M，则510t ； 若函数 3sin 4 xa y 具有性质M，则5a 其中，正确结论的序号是_ 注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其 他得 3 分。 5 四、东城区四、东城区 （10）某公园门票单价 30 元，相关优惠政策如下： 10 人（含）以上团体购票 9 折优惠； 50 人（含）以上团体购票 8 折优惠； 100 人（含）以上团体购票 7 折优惠； 购票总额每满 500 元减 100 元（单张票价不优惠）
7、现购买 47 张门票，合理地设计购票方案，则门票费用最少为 （A）1090 元 （B）1171 元 （C）1200 元 （D）1210 元 （15）已知函数 sincos 23 xx f x ,0,2x，其中 x表示不超过x的最大整数. 例如： 1 =1,0.5 =0,0.5 = 1. 2 3 f _； 若 f xxa对任意0,2x都成立，则实数a的取值范围是_ 6 五、丰台区五、丰台区 （10）为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒出于对顾客 身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过 0.25 毫克/立方米时，顾客方 可进入商场已知从喷洒药物开始，商场内
8、部的药物浓度y(毫克/立方米)与时间t(分钟)之 间的函数关系为 10 0.1 ,010, 1 ( ),10 2 t a tt y t (a为常数)，函数图象如图所示.如果商场规定 10:00 顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是 7 （A）9:40 （B）9:30 （C）9:20 （D）9:10 15.对于平面直角坐标系内的任意两点 1122 (,),(,)P x yQ xy ，定义它们之间的一种“距离” 为 2121 PQxxyy已知不同三点, ,A B C满足ACCBAB，给出下列四个结 论：, ,A B C三点可能共线； , ,A B C三点可能构成锐角三角形； , ,A B
9、 C三点可能构成直角三角形； , ,A B C三点可能构成钝角三角形 其中所有正确结论的序号是_ 8 六、石景山区六、石景山区 （10）斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法 画出：如图，在黄金矩形ABCD（ 51 2 AB BC ）中作正方形ABFE，以F为圆心， AB长为半径作圆弧BE；然后在矩形CDEF中作正方形DEHG，以H为圆心，DE长 为半径 作圆弧EG；如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线 记圆弧BE，EG，GI的长度分别为, ,l m n，对于以下四个命题： lmn 2 ml n 2mln 211 mln 其中正确的是 （A） （B） （
10、C） （D） （15）从 4G 到 5G 通信，网络速度提升了 40 倍其中，香农公式 2 log (1) S CW N 是 被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率 C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其 中 S N 叫做信噪比 根据香农公式， 以下说法正确的是_（参考数据：lg50.6990） 若不改变信噪比 S N ，而将信道带宽W增加一倍，则C增加一倍； 若不改变信道带宽W和信道内信号的平均功率S，而将高斯噪声功率N降低为原来的一 半，则C增加一倍； L J I K H G F E D C B A 9 若不
11、改变带宽W，而将信噪比 S N 从 255 提升至 1023，C增加了25%； 若不改变带宽W，而将信噪比 S N 从 999 提升至 4999，C大约增加了23.3% 七、昌平区七、昌平区 10斐波那契数列又称“黄金分割数列” ，因数学家莱昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而 引入，故又称为“兔子数列” 此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的 应用斐波那契数列 n a可以用如下方法定义： * 1212 3,1 nnn aaannaa N若此数列各项除以 4 的余数依次构成一个新 数列 n b，则 2021 b（ ） A1 B2 C3 D5 10 15高中学生要从物理、化学、生物、政
12、治、历史、地理这 6 个科目中，依照个人兴趣、未 来职业规划等要素，任选 3 个科目构成“选考科目组合”参加高考已知某班 37 名学生关 于选考科目的统计结果如下： 选考科目名 称 物理 化学 生物 历史 地理 政治 选考该科人 数 24 28 14 15 a b 下面给出关于该班学生选考科目的四个结论： 若19a ，则11b； 选考科目组合为“历史+地理+政治”的学生一定不超过 9 人； 在选考化学的所有学生中，最多出现 10 种不同的选考科目组合； 选考科目组合为“生物+历史+地理”的学生人数一定是所有选考科目组合中人数最少 的其中所有正确结论的序号是_ 八、通州区八、通州区 10 如图，
13、 等腰直角ABC中，2ACBC， 点P为平面ABC C BA P 11 外一动点，满足PBAB， 2 PBA，给出下列四个结论： 存在点P，使得平面PAC 平面PBC； 存在点P，使得平面PAC 平面PAB； 设PAC的面积为S，则S的取值范围是0,4； 设二面角APBC的大小为，则的取值范围是 0, 4 . 其中正确结论是 A B C D 15.已知函数 4e,0, e ,0. x xx f x x x 若存在 1 0 x， 2 0 x ，使得 12 f xf x，则 12 x f x的取值范围是_. 12 九、房山区九、房山区 （10）众所周知的“太极图” ，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一
14、起，因而也被称为“阴阳 鱼太极图” 下图是放在平面直角坐标系中的“太极图” ，整个图形是一个圆形，其中黑色阴 影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆，已知直线:2l ya x给出以下命题： 当0a 时，若直线l截黑色阴影区域所得两部分面积记为 12 ,s s 12 ss,则 12 :3:1ss ； 当 4 3 a 时，直线l与黑色阴影区域有1个公共点； 13 当0,1a时，直线l与黑色阴影区域有2个公共点 其中所有正确命题的序号是 （A） （B） （C） （D） 15.复印纸幅面规格只采用A系列和B系列， 其中A系列的幅面规格为： 0128 ,.,A A AA 所有规格的纸张的幅宽（以x表示）和
15、长度（以y表示）的比例关系都为:1:2x y ； 将 0 A纸张沿长度方向对开成两等分，便成为 1 A规格； 1 A纸张沿长度方向对开成两等分，便 成为 2 A规格；如此对开至 8 A规格.现有 0128 ,.,A A AA纸各一张.若 4 A纸的幅宽为2 dm，则 0 A纸的面积为 2 dm，这9张纸的面积之和等于 2 dm 详解版详解版 一、海淀区一、海淀区 （10）如图所示，在圆锥内放入两个球 1 O, 2 O,它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相 切） ， 切点圆 （图中粗线所示） 分别为 1 C， 2 C.这两个球都与平面相切， 切点分别为 1 F， 2 F，丹德林（G.Dande
16、lin）利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆， 1 F， 2 F为 此椭圆的两个焦点. 这两个球也称为 Dandelin 双球. 若圆锥的母线与它的轴的夹角为30， 14 1 C， 2 C的半径分别为1，4，点M为 2 C上的一个定点，点P为椭圆上的一个动点.则 从点P沿圆锥表面到达点M的路线长与线段 1 PF的长之和的最小值是（ ） （A）6 （B）8 （C）3 3 （D）4 3 解析：连接解析：连接VM交交 1 C于点于点 Q， 1 PF、PQ均与球均与球 1 O相切，故相切，故 1 PFPQ，故，故 1 min PFPQMQ， 圆锥的母线与它的轴的夹角为圆锥的母线与它的轴的夹角为
17、30， 1 C， 2 C的半径分别为的半径分别为1，4，根据比例关系，根据比例关系， 8 26MQ ，选，选 A.（此题本来想引入椭圆关系考察，为了减小难度，就没考椭圆）（此题本来想引入椭圆关系考察，为了减小难度，就没考椭圆） （15）已知圆P: 22 (5)(2)2xy，直线l:yax，点(5,22)M，点( , )A s t. 给出下列四个结论： 当0a 时，直线l与圆P相离； 若直线l是圆P的一条对称轴，则 2 5 a ； 若直线l上存在点A，圆P上存在点N，使得90MAN，则a的最大值为 20 21 ； N为圆P上的一个动点.若90MAN，则t的最大值为 5 28 4 其中所有正确结论
18、的序号是 . 解析：考试时，不敢确定，填，先得 3 分，有时间再回头算. 对于对于，当当0a 时时，直线直线l: :0y ，圆心，圆心(5,2)，半径，半径2，正确正确； 15 对于对于，若直线若直线l是圆是圆P的一条对称轴的一条对称轴，则直线过圆的圆心，故，则直线过圆的圆心，故 202 505 a ，正确正确； 对于对于， 想要想要t最大，即每个时刻图中最大，即每个时刻图中 A A 的位置时刻，令的位置时刻，令QMP，则，则2cosQAQM， 2 22cos22cosPBMBMQ， 22 15 28 2cos2cos222(cos) 24 P tyPBQA ， 故当故当 1 cos 2 时，
19、时， max 5 28 4 t ，正确正确； 对于对于，如果设坐标计算，过于繁琐，一张，如果设坐标计算，过于繁琐，一张 A4A4 不一定够，故转化成图形，来慢慢分析不一定够，故转化成图形，来慢慢分析. . 抛开直线抛开直线l的限制， 点的限制， 点M先看成动点的前提下，先看成动点的前提下， 随着点随着点N滑动， 如图每个时刻的滑动， 如图每个时刻的 A 离圆心离圆心P 最远，最远，PAPQQAPQQN， 连接， 连接PN， 则， 则 222 2PQNQPN， 故当且仅当， 故当且仅当1PQQN 时，时， maxmax ()1 12PAPQQN ，所以此时，所以此时 A 的轨迹为以的轨迹为以P为
20、圆心，为圆心，2 2 为半径的圆（下图为半径的圆（下图 红圆） ，红圆） ， 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 22468101214161820 A A B Q M P I N 16 过过(0,0)做红色圆的切线，此时圆心到直线的距离做红色圆的切线，此时圆心到直线的距离 2 52 2 1 a d a ，解得，解得0a 或或 20 21 a ； 下面需要判断下面需要判断 A A 点轨迹是否包括此刻的切点点轨迹是否包括此刻的切点. . 让点让点M为定点为定点(5,22)，此时的，此时的N为为(52,2)，可得到此时，可得到此时(52,52)A， 此时此时1 PA k ，又，
21、又 20 1 21 PA k ，故，故 A A 点轨迹不包括直线点轨迹不包括直线l与红色圆的切点，即与红色圆的切点，即 20 21 a ，错错 误误. . 综上，填综上，填. . （此次评分标准：填对（此次评分标准：填对 1 个，个，2 分；填对分；填对 2 个，个，3 分；全对分；全对 5 分；有就分；有就 0 分）分） 二、西城区二、西城区 （10）在棱长为 1 的正方体 1111 ABCDABC D中，,M N分别为 111 ,BD BC的中点，点P在正 方体的表面上运动，且满足MPCN，则下列说法正确的是 （A）点P可以是棱 1 BB的中点 （B）线段MP的最大值为 3 2 （C）点P
22、的轨迹是正方形 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 22468101214161820 A A Q M P I N 17 （D）点P轨迹的长度为2+ 5 解析：解析：动点问题不如建系动点问题不如建系. 1 1 1 ( , ) 2 2 2 M， 1 ( ,1,1) 2 N，(0,1,0)C，设，设( , , )P x y z， 则则 111113 ( ,0,1) (,)0 222224 CN MPxyzxz，可判断，可判断 P 点轨迹在侧面点轨迹在侧面 11 AAD D上，上， 且为线段且为线段,设线段的两个端点为设线段的两个端点为 3 (0,0, ) 4 H， 1 (1,0
23、, ) 4 Q， 则线段则线段MP的最大值的最大值为为 3 2 MQMH， 选选 B. （15）炎炎夏日，冰激凌成为非常受欢迎的舌尖上的味道.某商店统计了一款冰激凌 6 月份 前 6 天每天的供应量和销售量，结果如下表： 6月1日 6月2日 6月3日 6月4日 6月5日 6月6日 供应量 90 100 90 100 90 100 销售量 80 90 85 80 90 85 记( )V t为6月t日冰激凌的供应量，( )W t为6月t日冰激凌的销售量，其中 1,2,30t . 用 销 售 指 数 ( )(1)(1) ( , )100% ( )(1)(1) W tW tW tn P t n V t
24、V tV tn , (1,)nnN来评价从6月t日开始连续n天的冰激凌的销售情况. 当1n 时， 18 ( ,1)P t表示6月t日的日销售指数. 给出下列四个结论： 在6月1日至6日这6天中，(4,1)P最小，(5,1)P最大； 在6月1日至6日这6天中，日销售指数越大，说明该天冰激凌的销售量越大； (1,3)(4,3)PP； 如果6月7日至12日冰激凌每天的供应量和销售量与6月1日至6日每天的供应 量和 销售量对应相等，则对任意1,2,3,4,5,6,7t，都有( ,6)(1,12)P tP. 其中所有正确结论的序号是_. 解析：解析：此题送分题，就是计算，没时间的话，填个此题送分题，就是
25、计算，没时间的话，填个，有时间再回头看，有时间再回头看. 对于对于， ( ) ( ,1) ( ) W t P t V t ，最大为，最大为 (5) (5,1)1 (5) W P V ，最小为，最小为 (4)4 (4,1) (4)5 W P V ，正确；，正确； 对于对于，由，由，6月 2 日和 6 月 5 日日销售指数不同，但该天销售量相同，但该天销售量相同，错误；错误； 对于对于， (1)(2)(3)255 (1,3) (1)(2)(3)280 WWW P VVV ， (4)(5)(6)255 (4,3) (4)(5)(6)290 WWW P VVV ， 错误；错误； 对于对于， ( )(1
26、)(5) ( ,6) ( )(1)(5) W tW tW t P t V tV tV t ， (1)(2)(12) (1,12) (1)(2)(12) WWW P VVV ， 因为因为( )V t以以 2 为周期，为周期，( )W t以以 3 为周期，又为周期，又62 3，故，故正确；正确； 综上，填综上，填. 19 三、朝阳区三、朝阳区 （10）在平面直角坐标系xOy中，已知直线ymx（0m ）与曲线 3 yx从左至右依次交 于A，B，C三点若直线l： 30kxy （kR）上存在点P满足 2PAPC ，则实 数k的取值范围是 （A）( 2,2) （B） 22,2 2 （C）( , 2)(2,
27、) （D）( , 22 2,)2 解析：解析：平行四边形法则平行四边形法则. ymx， 3 yx均为奇函数，故点均为奇函数，故点B与原点重合，点与原点重合，点A与点与点C关于原点对称，关于原点对称， 故故22PAPCPO，故，故1PO ，即转化成圆点到直线的距离，即转化成圆点到直线的距离 22 3 1 ( 1) d k ， 解得解得2 2k 或或2 2k ，选，选 D. （15） 设函数 ( )yf x 的定义域为D， 若对任意 1 xD， 存在 2 xD， 使得 12 ( )()1f xf x， 则称函数 ( )f x具有性质M，给出下列四个结论： 函数 3 yxx不具有性质M； 函数 ee
28、 2 xx y 具有性质M； 若函数 8 log (2)yx，0, xt具有性质M，则510t ； 若函数 3sin 4 xa y 具有性质M，则5a 其中，正确结论的序号是_ 注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其 他得 3 分。 解析：解析： 对于对于，取，取 1 0 x ，则，则 1 ()0f x，故不具有性质故不具有性质M，正确，正确； 20 对于对于，定义域，定义域R，偶函数，值域，偶函数，值域1,)，不合题意，不合题意，不具有性质不具有性质M，错误；错误； 对于对于，定义域，定义域( 2,)，单调递增函数，若，单调递增函数，若0,
29、xt具有性质具有性质M， 因为因为 3 8 2 1 (0)log 2log2 3 f，故，故 8 ( )log (2)3f tt， 3 82510t ，正确；正确； 对于对于， max 3 ( ) 4 a f x ， min 3 ( ) 4 a f x ， 2 maxmin 9 ( )( )1 16 a f xf x ，则，则，5a ，错误错误. 综上，填综上，填. 四、东城区四、东城区 （10）某公园门票单价 30 元，相关优惠政策如下： 10 人（含）以上团体购票 9 折优惠； 50 人（含）以上团体购票 8 折优惠； 100 人（含）以上团体购票 7 折优惠； 购票总额每满 500 元减
30、 100 元（单张票价不优惠） 现购买 47 张门票，合理地设计购票方案，则门票费用最少为 （A）1090 元 （B）1171 元 （C）1200 元 （D）1210 元 解析：解析：可理解为打可理解为打 8 折折，所以，所以优惠力度更大优惠力度更大. 21 故选择故选择 2 次满次满 500 减减 100+剩下的按剩下的按 9 折优惠的形式票费最少，折优惠的形式票费最少，34 件件+13 件来分配，件来分配， 最少费用为最少费用为34 30200 13 30 0.91171元元. （15）已知函数 sincos 23 xx f x ,0,2x，其中 x表示不超过x的最大整数. 例如： 1 =
31、1,0.5 =0,0.5 = 1. 2 3 f _； 若 f xxa对任意0,2x都成立，则实数a的取值范围是_ 解析：解析：数形结合数形结合. 3 221 sincos 2 01332 214 2323231 333 f ； 0,02 22 sin1, 2 1,2 xxx xx x 或或 ， 3 0,02 22 cos1,02 3 1, 22 xx xxx x 或 或， 故故 4,02 2,0 2 3, 2 ( ) 4 , 3 2 53 , 62 3 3 ,2 22 xx x x f x x x x 或 ，即，即对任意对任意0,2x，( )yf x图象一直图象一直yxa在上方，在上方， 临界
32、为直线过点临界为直线过点 3 (2 , ) 2 ，此时，此时 3 2 2 a，故，故实数实数a的取值范围是的取值范围是 3 (,2 2 . 五、丰台区五、丰台区 （10）为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒出于对顾客 22 身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过 0.25 毫克/立方米时，顾客方 可进入商场已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度y(毫克/立方米)与时间t(分钟)之 间的函数关系为 10 0.1 ,010, 1 ( ),10 2 t a tt y t (a为常数)，函数图象如图所示.如果商场规定 10:00 顾客可以进入商场，那么开始喷洒
33、药物的时间最迟是 （A）9:40 （B）9:30 （C）9:20 （D）9:10 解析：图象过点解析：图象过点(10,1)，故，故 10 10 1 ( )1 2 a ，解得，解得1a ，若，若 1 10 1 ( )0.25 2 t ，故，故 0.5 1log0.252 10 t ， 解得解得30t ，故至少提前，故至少提前 30 分钟，选分钟，选 B. 15.对于平面直角坐标系内的任意两点 1122 (,),(,)P x yQ xy ，定义它们之间的一种“距离” 为 2121 PQxxyy已知不同三点, ,A B C满足ACCBAB，给出下列四个结 论：, ,A B C三点可能共线； , ,A
34、 B C三点可能构成锐角三角形； , ,A B C三点可能构成直角三角形； , ,A B C三点可能构成钝角三角形 其中所有正确结论的序号是_ 解析：解析： CABCCABC ACCBxxxxyyyy， BABA ABxxyy； 若想等式成立，则若想等式成立，则 BCA BCA xxx yyy 或或 BCA BCA xxx yyy 或或 BCA BCA xxx yyy 或或 BCA BCA xxx yyy 23 四种情况结果一样，不妨取四种情况结果一样，不妨取 BCA BCA xxx yyy . .即即 B B 在在 C C 的右、上、右上，同理的右、上、右上，同理 C C 与与 A.A. 对
35、于对于，如，如(3,3)B，(2,2)C，(1,1)A，此时，此时=4ACCBAB，故，故正确；正确； 对于对于，若，若, ,A B C组成一个三角形组成一个三角形90ACB，故，故正确，正确，错误错误. . 综上，填综上，填. . 六、石景山区六、石景山区 （10）斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法 画出：如图，在黄金矩形ABCD（ 51 2 AB BC ）中作正方形ABFE，以F为圆心， AB长为半径作圆弧BE；然后在矩形CDEF中作正方形DEHG，以H为圆心，DE长 为半径 作圆弧EG；如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线 记圆弧BE，EG，G
36、I的长度分别为, ,l m n，对于以下四个命题： lmn 2 ml n 2mln 211 mln 其中正确的是 （A） （B） （C） （D） 解析：令解析：令5 1AB ，2BC ， 1( 5 1) 2( 5 1) 42 l ， 1(35) 22( 5 1) 42 m ， 1(2 54) 2( 5 1)(35) 42 n ， 分别代入验证即可，分别代入验证即可，正确，选正确，选 A. （15）从 4G 到 5G 通信，网络速度提升了 40 倍其中，香农公式 2 log (1) S CW N 是 被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率C取 决于信道带
37、宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中 S N 叫做 信噪比根据香农公式，以下说法正确的是_ （参考数据：lg50.6990） L J I K H G F E D C B A 24 若不改变信噪比 S N ，而将信道带宽W增加一倍，则C增加一倍； 若不改变信道带宽W和信道内信号的平均功率S，而将高斯噪声功率N降低为原来的一半， 则C增加一倍； 若不改变带宽W，而将信噪比 S N 从 255 提升至 1023，C增加了25%； 若不改变带宽W，而将信噪比 S N 从 999 提升至 4999，C大约增加了23.3% 解析：对于解析：对于，不改变不改变信噪比信噪比 S
38、N ，C与与W成正比，成正比，正确；正确； 对于对于， 2 2 log (1) S CW N ， 2 2 2log (1) S CW N ，错误错误； 对于对于， 12 log (1 255)8CWW， 22 log (1 1023)10CWW，8 (1 25%)10，正确；正确； 对于对于， 122 log (1 999)log 1000CWW， 222 log (14999)log 50000CWW， 2 100100100100 1 5000011 1log50000log1000loglog50lg50(1 lg5)0.85 100022 C C ，错误；错误； 综上，填综上，填. 七
39、、昌平区七、昌平区 10斐波那契数列又称“黄金分割数列” ，因数学家莱昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而 引入，故又称为“兔子数列” 此数列在现代物理、准晶体结构、化学等领域都有着广泛的 应用斐波那契数列 n a可以用如下方法定义： * 1212 3,1 nnn aaannaa N若此数列各项除以 4 的余数依次构成一个新 数列 n b，则 2021 b（ ） A1 B2 C3 D5 解析：解析：这类题无脑列一列，找周期这类题无脑列一列，找周期. 经过列出经过列出 n b前前 13 项，可知项，可知 n b为以为以 6 为周期的数列，且前为周期的数列，且前 6 项分别为项分别为1,1,2,3,1
40、,0, 25 又又 2021 3365 6 余，故，故 20215 1bb，选，选 A. 15高中学生要从物理、化学、生物、政治、历史、地理这 6 个科目中，依照个人兴趣、未 来职业规划等要素，任选 3 个科目构成“选考科目组合”参加高考已知某班 37 名学生关 于选考科目的统计结果如下： 选考科目名 称 物理 化学 生物 历史 地理 政治 选考该科人 数 24 28 14 15 a b 下面给出关于该班学生选考科目的四个结论： 若19a ，则11b； 选考科目组合为“历史+地理+政治”的学生一定不超过 9 人； 在选考化学的所有学生中，最多出现 10 种不同的选考科目组合； 选考科目组合为“
41、生物+历史+地理”的学生人数一定是所有选考科目组合中人数最少 的其中所有正确结论的序号是_ 解析：解析： 对于对于，共，共 37 名学生，都任选名学生，都任选 3 科，故科，故2428 14 1537 3ab，30ab，正确正确； 对于对于，若，若超过超过 9 人人，则化学不可能，则化学不可能 28，正确正确； 对于对于，选考化学后，需要从，选考化学后，需要从 5 门中再选门中再选 2 门，门， 2 5 10C ，正确正确； 对于对于，因为，因为, a b不确定，故判断不了，不确定，故判断不了，错误错误； 综上，填综上，填. 八、通州区八、通州区 10如图，等腰直角ABC中，2ACBC，点P为
42、平面ABC外一动点，满足PBAB ， C BA P 26 2 PBA，给出下列四个结论： 存在点P，使得平面PAC 平面PBC； 存在点P，使得平面PAC 平面PAB； 设PAC的面积为S，则S的取值范围是0,4； 设二面角APBC的大小为，则的取值范围是 0, 4 . 其中正确结论是 A B C D 解析：对于解析：对于，当，当PB 底面底面ABC时，很容易证时，很容易证AC 平面平面PBC，进而得证，进而得证，正确，正确， 排除排除 C、 D;对于对于，PA为定值为定值4， 当， 当PAAC时， 面积为时， 面积为 4， 此时， 此时2 5PC ， 点， 点P在平面在平面ABC 上，矛盾，
43、故上，矛盾，故错误，排除错误，排除 A，选，选 B. 15.已知函数 4e,0, e ,0. x xx f x x x 若存在 1 0 x， 2 0 x ，使得 12 f xf x，则 12 x f x的取值范围是_. 解析：解析：分段函数，数形结合分段函数，数形结合. 解析：令解析：令( ) x e g x x ，0 x ， 2 (1) ( ) x ex g x x ，在，在1x 处取得最小值，且处取得最小值，且(1)ge， 27 故故 1 30ex， 1211 (4 )x f xxxe，令，令 2 ( )4, 30h xxexex，对称轴，对称轴 4 2 2 e xe ， 开口向上，故开口
44、向上，故 22 min ( )( 2 )( 2 )4( 2 )4h xheeeee ， max ( )(0)0h xh， 故故 12 x f x的取值范围为的取值范围为 2 4,0e. 九、房山区九、房山区 （10）众所周知的“太极图” ，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳 鱼太极图” 下图是放在平面直角坐标系中的“太极图” ，整个图形是一个圆形，其中黑色阴 影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆，已知直线:2l ya x给出以下命题： 当0a 时，若直线l截黑色阴影区域所得两部分面积记为 12 ,s s 12 ss,则 12 :3:1ss ； 当 4 3 a 时，直线l与黑色
45、阴影区域有1个公共点； 当0,1a时，直线l与黑色阴影区域有2个公共点 其中所有正确命题的序号是 （A） （B） （C） （D） 解析：对于解析：对于，当当0a 时时，:0l y ， 22 1 113 21 422 s， 28 22 2 111 21 422 s， 12 :3:1ss ，正确正确；对于；对于， 4 3 a 时，点时，点(0,1)到直线到直线l 的距离为的距离为 22 3 8 1 34 d ，故直线与右侧黑半圆相切，故直线与右侧黑半圆相切，正确；正确； 对于对于，直线过定点，直线过定点(2,0)，0,1a，直线直线l与黑色阴影区域有无数个公共点与黑色阴影区域有无数个公共点，错误错
46、误. . 选选 A.A. 15.复印纸幅面规格只采用A系列和B系列， 其中A系列的幅面规格为： 0128 ,.,A A AA 所有规格的纸张的幅宽（以x表示）和长度（以y表示）的比例关系都为:1:2x y ； 将 0 A纸张沿长度方向对开成两等分，便成为 1 A规格； 1 A纸张沿长度方向对开成两等分，便 成为 2 A规格；如此对开至 8 A规格.现有 0128 ,.,A A AA纸各一张.若 4 A纸的幅宽为2 dm，则 0 A纸的面积为 2 dm，这9张纸的面积之和等于 2 dm 解析解析: 0: Ayx， 1: 2 y Ax， 2: 22 yx A， 3: 24 xy A， 4: 44 yx A， 4: 44 yx A， 5: 48 xy A， 6: 88 yx A， 7: 816 xy A， 8:16 16 yx A，当，当2 4 x ，则，则8x ，8 2y ， 故故 0 A纸的面积为纸的面积为8 2 864 2 2 dm； 29 这这9张纸的面积之和为张纸的面积之和为 9 0128 1 1 ( ) 511 2 2 64 2 1 42222 1 2 xyxyxyxy . .
