1、高高 20182018 级第一次诊断性考试级第一次诊断性考试 数学数学（理工类理工类） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. . 1.已知集合 |24 x Ax，|410Bxxx，则AB R （ ） A.|12xx B.|24xx C.|24xx D.|24x xx或 2.若 2 2, 1 ai b a bR i ，则复数abi在复平面内所对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.
2、若sin2sin 2 ，则 2 cos（ ） A. 1 5 B. 1 3 C. 3 5 D. 4 5 4.已知直线l是圆 22 25xy在点3,4处的切线，则直线l的方程为（ ） A.34250 xy B.3470y C.3470 xy D.34250 xy 5.如图，在ABC中，D为线段BC上异于,B C的任意一点，E为AD的中点，若AEABAC， 则（ ） A. 2 3 B. 1 2 C. 1 3 D. 1 6 6.居民消费价格指数（ Consumer Price Index，简称CPI）是根据与居民生活有关的产品及劳务价格统 计出来的物价变动指标，它是进行经济分析和决策、价格总水平监测和
3、调控及国民经济核算的重要指标.根 据下面给出的我国 2019 年 9 月一 2020 年 9 月的居民消费价格指数的同比（将上一年同月作为基期进行对 比的价格指数）增长和环比（将上月作为基期进行对比的价格指数）增长情况的折线图，以下结论正确的 是（ ） A.2020 年 1 月到 9 月的居民消费价格指数在逐月增大 B.2019 年 9 月到 2020 年 9 月的居民消费价格指数在逐月减小 C.2020 年 1 月到 9 月的居民消费价格指数分别低于 2019 年同期水平 D.2020 年 7 月过后，居民消费价格指数的涨幅有回落趋势 7.2022 年北京冬季奥运会组委会招聘了 5 名志愿者
4、，分别参与冰壶、冰球、花样滑冰、自由式滑雪、越野 滑雪五项比赛项目的前期准备工作.若每个人只能担任其中一项工作，且志愿者甲不能在越野滑雪项目，则 不同的派遣方法种数共有（ ） A.120 B.96 C.48 D.24 8.函数 | |2 | x f xexx的大致图象是（ ） A. B. C. D. 9.已知双曲线C: 22 22 1 6 xy aa （0a）的离心率为5，则双曲线C的一个焦点F到它的一条渐近线 的距离为（ ） A.4 2 B.2 2 C.2 D.2 10.将函数 sin0 4 fxx 的图象向右平移 4 个单位长度后得到函数 g x的图象，且 g x 的图象的一条对称轴是直线
5、 4 x ，则的最小值为（ ） A. 3 2 B.2 C.3 D. 7 2 11.定义在R上的偶函数 f x满足 212f xf x，则2021f（ ） A.3或 4 B.4或 3 C.3 D.4 12.如图，已知四棱锥PABCD中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD平面APB，G为PC上一 点，且BG平面APC，2AB ，则三棱锥PABC体积最大值为（ ） A. 2 3 B. 2 2 3 C. 4 3 D.2 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 4 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 2020 分分. . 13.若, x y满足约束条件 2 21 0 xy xy y ，则 1
6、 2 zxy的最大值为_. 14.2021年第31届世界大学生夏季运动会将在成都举行.为营造“爱成都迎大运”全民运动和全民健身活动 氛围，某社区组织甲、乙两队进行一场足球比赛，根据以往的经验知，甲队获胜的概率是 2 5 ，两队打平的 概率是 1 10 ，则这次比赛乙队不输的概率是_. 15.给出下列命题： 同时垂直于一条直线的两个平面互相平行； 一条直线平行于一个平面，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直； 设，为平面，若，则； 设，为平面，若，则. 其中所有正确命题的序号为_. 16.设函数 2 ln2fxxmxx，若存在唯一的整数 0 x使得 0 0f x，则实数m的取值范围是
7、_. 三、解答题：共三、解答题：共 7070 分分. .解答应写出文字说明解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤. .第第 1717- -2121 题为必考题题为必考题，每每 个试题考生都必须作答个试题考生都必须作答. .第第 2222、2323 题为选考题题为选考题，考生依据要求作答考生依据要求作答. . （一一）必考题：共必考题：共 6060 分分. . 17.在数列 n a中， 1 1a ， * 1 212, nn aannN . （1）证明：数列1 n a 为等比数列，并求数列 n a的通项公式； （2）若1 nn bn a，求数列 n b的前n项和 n S. 18.
8、在新冠肺炎疫情得到有效控制后，某公司迅速复工复产，为扩大销售额，提升产品品质，现随机选取了 100 名顾客到公司体验产品，并对体验的满意度进行评分（满分 100 分）.体验结束后，该公司将评分制作 成如图所示的直方图. （1）将评分低于 80 分的为“良”，80 分及以上的为“优”.根据已知条件完成下面2 2列联表，能否在 犯错误的概率不超过 0.10 的前提下认为体验评分为“优良”与性别有关？ 良 优 合计 男 40 女 40 合计 （2）为答谢顾客参与产品体验活动，在体验度评分为50,60和90,100的顾客中用分层抽样的方法选取 了 6 名顾客发放优惠卡.若在这 6 名顾客中，随机选取
9、4 名再发放纪念品，记体验评分为50,60的顾客获 得纪念品数为随机变量X，求X的分布列和数学期望. 附表及公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd . 2 0 ()P Kk 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 0 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19.如图， 在平面五边形ABCDE中，12AE ，4 3CE ，3 3CD ，60ABC，120AED， 2 sin 3 CDE. （1）求AC的值； （2）求ABC面积的最大值. 20.如图，在四棱锥M
10、ABCD中，ABAD，AM 平面ABCD，2ABAMAD. （1）证明：BDM是正三角形； （2）若CD平面ABM，2CDAB，求二面角CBMD的余弦值. 21.已知函数 ( )2ln2ln22() x f xx eaxaR. （1）当2a时，若 f x的一条切线垂直于y轴，证明：该切线为x轴； （2）若 0f x ，求a的取值范围. （二二）选考题：共选考题：共 1010 分分. .请考生在第请考生在第 2222，2323 题中任选一题作答题中任选一题作答，如果多做如果多做，则按所做的第一则按所做的第一 题记分题记分. . 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，曲线C的参
11、数方程为 2cos sin x y （为参数）.以原点O为极点，x轴的非负半 轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标为 2 cos 42 . （1）求曲线C的普通方程与直线l的直角坐标方程； （2）设直线l与曲线C交于,A B两点，点P的坐标为2,0，证明：直线PA，PB关于x轴对称. 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 |22|1|f xxx. （1）解不等式 4f x ； （2）令 f x的最小值为M，正数, ,a b c满足a b cM ，求证： 1119 4abbcca . 参考答案参考答案 一、一、选择题选择题 1.解析：选择 C. 因为 242 x Axx x， (4)(1)0
12、 14Bx xxxx， 所以2 14 24Bx xxxAxx R 厔. 命题意图：本小题主要考查指数不等式，一元二次不等式的解法，补集与交集运算等基础知识；考查运算 求解能力，知识交汇的应用意识. 2.解析：选择 C. 因为 2 2, 1 ai b a bR i ，所以221aibi即222aibbi. 根据复数相等的条件，得 2 22 ab b ， 解得 2 1 a b ，所以2a bii ， 所对应的点在复平面内位于第三象限. 命题意图：本小题主要考查复数的乘法运算，两个复数相等的条件，复数的几何意义等基础知识；考查运 算求解能力，考查化归与转化思想. 3.解析：选择 A. 因为sin2s
13、in 2 ，所以sin2cos. 法一：有 22 sin4cos，代入 22 sincos1，解得 2 1 cos 5 . 法二：有tan2，所以 2 2 22 cos cos sincos ， 易知cos0，分子、分母同时除以 2 cos，得 2 22 111 cos tan1215 . 命题意图：本小题主要考查三角函数的恒等变换，同角间的三角函数关系，诱导公式，三角函数求值等基 础知识；考查运算求解能力，考查化归与转化思想. 4.解析：选择 D. 由已知，因圆 22 25xy在点3,4处的切线的斜率为 33 44 ， 所以切线方程为 3 43 4 yx，即直线l：34250 xy. 命题意
14、图：本小题主要考查圆的切线方程等基础知识；考查运算求解能力，数形结合等数学思想. 5.解析：选择 B. 因为E为AD的中点，且AEABAC， 所以 22AACADB，因为,B D C三点共线， 所以221，所以 1 2 . 法二： （特殊点法）D为BC上异于,B C的任意一点时都可得到唯一结果， 可取D为BC的中点，则有 11 22 ADABAC， 而 111 244 AEADABAC，所以 1 2 . 命题意图：本小题主要考查平面向量的基本定理，向量加法的几何意义，向量共线等基础知识；考查运算 求解能力，应用意识，考查化归与转化，数形结合等数学思想. 6.解析：选择 D. 由环比增长折线图可
15、知，A，B 错误；由同比折线图可知 C 错误，D 项正确. 命题意图：本小题主要考查统计图表等基本知识；考查数据处理能力和应用意识. 7.解析：选择 B. 根据题意，甲有 4 种派法，其余 4 人共有 24 种派法，于是共有 96 种派遣方法. 命题意图：本小题主要考查计数原理、排列及排列数等基础知识；考查逻辑推理能力和应用意识，考查分 类与整合等数学思想. 8.解析：选择 C. 函数 f x是偶函数，排除 A，B， 当0 x时， 2x f xexx， 21 x fxex， 130fe ， 2 250fe ， 知存在 0 1,2x 使得 0fx，故选 C. 命题意图：本小题主要考查函数图象和性
16、质等基本知识；考查逻辑推理能力及应用意识，考查数形结合、 化归与转化等数学思想. 9.解析：选择 B. 由离心率 22 2 6 5 aa e a ，解出2a ； 由 2 62 2ba，所以渐近线方程为2yx ，焦点坐标为 10,0. 所以焦点到渐近线的距离为2 2. 命题意图：本小题主要考查双曲线的标准方程、性质，点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力. 10.解析：选择 A. 将函数 sin0 4 fxx 的图象向右平移 4 个单位长度后得到函数 g x的图象对应的函数为 ( )sinsin 4444 g xxx ， 因为函数 g x的图象的一条对称轴是直线 4 x ， 所以 4442
17、k ，kZ， 解得 1 2 2 k ，kZ，又0， 所以当1k 时，取最小值，为 3 2 . 命题意图：本小题主要考查三角函数的图象变换及其性质，最值问题等基础知识；考查运算求解能力及应 用意识；考查化归与转化思想，数形结合等数学思想. 11.解析：选择 D. 由 212f xf x，得(2)12()12( )2fxfxf xf x ， 则 f x的图象关于直线2x对称， 于是 4f xfxf x， 故 f x的一个周期为 4，由 212f xf x， 令1x得 11 21211210ffff ， 2 11120ff，解得 14f或3（负值舍去） ， 所以 202114ff. 命题意图：本小题
18、主要考查函数性质等基本知识；考查抽象概括、逻辑推理、运算求解能力及应用意识； 考查化归与转化等数学思想. 12.解析：选择 A. 由题意，平面ABCD平面APB，得APBC； 由BG平面APC，有APBG； 从而AP 平面PBC，所以BPAP， 所以 1 11 3 23 P ABCC APB VVPA PB BCPA PB . 令PAm，PBn，则 22 4mn. 所以 22 112 3323 P ABC mn Vmn ， 其中“”当且仅当2mn时取得. 命题意图：本小题主要考查线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积、基本不等式等基础知识；考查空间想象 能力、逻辑推理能力和创新意识；考查化归与转化等
19、数学思想. 二、填空题二、填空题 13.解析：填 3 2 . 作出约束条件 2 21 0 xy xy y ，表示的可行域是以 1 ,0 2 ，2,0，1,1三点为顶点的三角形及其内部， 当目标函数 1 2 zxy过点1,1时，取得最大值，且最大值为 3 2 . 命题意图：本小题主要考查约束条件的不等式组表示的可行域，线性规划求最值等基础知识；考查运算求 解能力与应用意识；考查数形结合，化归与转化等数学思想. 14.解析：填 3 5 . 方法一 设事件A为“这次比赛乙队不输”，则事件A为“这次比赛甲队获胜”， 因为甲队获胜的概率 2 5 P A ， 所以这次比赛乙队不输的概率 23 11 55
20、P AP A . 方法二 设事件A为“这次比赛乙队不输”，事件B为“这次比赛乙队获胜”，事件C为“这次比赛甲、 乙两队打平”，所以 1 10 P C ， 211 1 5102 P B ， 所以这次比赛乙队不输的概率 113 2105 P AP BP C. 命题意图：本小题主要考查互斥事件的概率等基础知识；考查运算求解等数学能力；考查化归与转化等数 学思想. 15.解析：填. 根据线面垂直的性质知命题正确；由线面平行的性质和线面垂直的性质知命题正确；由面面垂直的性 质和判定知命题不正确；由面面平行的性质知命题正确. 命题意图：本小题主要考查直线与平面间平行、垂直的位置关系等基础知识；考查空间想象
21、能力、逻辑推 理能力；考查化归与转化等思想方法. 16.解析：填 ln2 1,2) 4 . 显然，当0m，不符合题意，当0m时，由于0 x， 所以 ln 2 x mx x ，作出函数 ln x y x 和2ymx的大致图象（如图） ， 过点0, 2的直线2ymx介于1,0、 2,2f之间时满足条件， 直线2ymx过点1,0时，m的值为 2； 该直线过点 2,2f时，m的值为 ln2 1 4 ， 由图知m的取值范围是 ln2 1,2) 4 . 命题意图：本小题主要考查函数图象和性质、函数的导数等基本知识；考查抽象概括、运算求解能力和应 用意识；考查化归与转化、数形结合、分类讨论等数学思想. 三、
22、解答题三、解答题 17.解析： （1）因为 1 212, nn aann N，所以 1 121 nn aa ， 又 1 1a ，所以 1 120a ， 所以数列1 n a 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列. 所以 1 12 22 nn n a ， 所以数列 n a的通项公式21 n n a . （2）由（1）得12n nn bn an ， 所以 23 1 22 23 22n n Sn ， 2341 21 22 23 2(1) 22 nn n Snn ， 由得 231 1 22222 nn n Sn ， 即 111 2 1 2 2222 1 2 n nnn n Snn ， 所以 1 1 2
23、2 n n Sn . 命题意图：本小题主要考查递推数列求通项公式，等比数列，等差数列通项公式与数列的前n项和公式， 错位相减求和等基础知识；考查运算求解能力及应用意识；考查化归与转化思想方法. 18.解析： （1）列联表下： 良 优 合计 男 20 20 40 女 20 40 60 合计 40 60 100 由题得， 2 2 100(20 4020 20)25 2.782.706 40 60 60 409 K ， 所以，能在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下认为评分为“优良”与性别有关. （2）由已知得体验度评分为50,60)和90,100的顾客分别有 10 人，20 人， 则在随机抽取的
24、 6 人中评分为50,60)有 2 人，评分为90,100有 4 人. 则X可能的取值有 0，1，2. 4 4 4 6 1 (0) 15 C P X C ， 13 24 4 6 8 (1) 15 CC P X C ， 22 24 4 6 6 (2) 15 CC P X C ， 则X的分布列为 X 0 1 2 P 1 15 8 15 6 15 所以， 1864 012 1515153 EX . 命题意图：本小题主要考查统计案例、卡方分布、离散型随机变量的分布列和数学期望等基础知识；考查 抽象概括、数据分析处理等能力和应用意识. 19.解析： （1）在CDE中，由正弦定理得 sinsin CECD
25、 CDECED ， 所以 2 3 3 sin1 3 sin 24 3 CDCDE CED CE ， 因为CDCE，所以CED为锐角，所以30CED. 所以1203090AECAEDCED， 所以 2222 12(4 3)8 3ACAECE. （2）在ABC中，由余弦定理得 222 2cos60ACABBCAB BC， 即 22 1922ABBCAB BCAB BCAB BCAB BC， 当且仅当8 3ABBC时等号成立，所以192AB BC. 所以 1 sin60 2 ABC SAB BC 13 19248 3 22 . 命题意图：本小题主要考查正弦定理，余弦定理，勾股定理，三角形的面积等基础
26、知识；考查运算求解能 力，推理论证能力与应用意识；考查化归与转化思想. 20.解析： （1）由已知，AM 平面ABCD， 所以，AMAB，AMAD. 又2ABAMAD，ABAD， 所以， 222 8BDABAD， 222 8BMABAM， 222 8DMADAM， 则BDBMDM，所以BDM是正三角形. （2）因为ABAD，AM 平面ABCD， 于是，可以A为原点，直线AB，AD，AM分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. 由CD平面ABM，易知CDAB，又2CDAB， 则2,0,0B，1,2,0C，0,2,0D，0,0,2M. 所以2,2,0BD ，2,0,2BM . 设平面BDM的一个
27、法向量为, ,mx y z， 则 220 220 m BDxy m BMxz ， 取1x ，得1,1,1m . 同理可求平面CBM的一个法向量为2,1,2n . 所以， |55 3 cos, 9| |3 3 m n n m nm ， 即二面角CBMD的余弦值为 5 3 9 . 命题意图：本小题主要考查直线与平面间平行、垂直的位置关系、二面角等基础知识；考查空间想象能力、 逻辑推理能力、运算求解能力，考查化归与转化等思想方法. 21.解析： （1）证明：由题可知 ( )22ln2ln22(0) x f xx exx， 则 22 ( )2(1) xxx fxexexe xx ， 设切点为 00 ,
28、xf x，则由 0 0fx得 0 0 2 x e x ， 则 0 0 2 lnx x ，即 00 lnln2xx， 则有 000 0 2 22 ln22ln220f xxx x ， 所以所求切线为0y ，即为x轴. （2）因为( )2ln2ln22 0 x f xx eax ，其中0 x， 则 2ln2ln22 x x ae x 对于0 x恒成立， 令 2ln2ln22 ( ) x x h xe x ，则 22 2(2ln2ln22)2ln2ln2 ( ) xx xx h xee xx ， 即 2 2 2ln2ln2 ( ) x x ex h x x ， 令 2 ( )2ln2ln2 x u
29、xx ex，则 2 2 ( )20 x u xxx e x ，其中0 x， 则 2 ( )2ln2ln2 x u xx ex为0,的增函数， 又因为(1)2ln20ue， 1 4ln20 24 e u ， 所以存在 0 1 ,1 2 x ，使得 0 2 000 2ln2ln20 x u xx ex，即 0 2 0 0 2 2ln x x e x ， 而 000 2 ln 2 00 0000 2222 2lnlnln xxx x ex ee xxxx ， 又由于 x v xxe为0,的增函数， 故 0 0 2 lnx x ，即 0 0 2 x e x ， 又 0 0 xx， 0h x， h x为
30、减函数； 0 xx， 0h x， h x为增函数， 所以 00 0 00 min0 0000 2ln2 2ln2ln22222 2 ( )2 xx x xx h xh xee xxxx ， 故a的取值范围是(,2. 命题意图：本小题主要考查函数与导数，导数的概念及其几何意义、导数的运算及导数在研究函数中的应 用等基础知识；考查抽象概括、运算求解、逻辑推理等能力，以及应用意识和创新意识；考查函数与方程， 化归与转化等数学思想. 选考题选考题 22.解析： （1）由曲线C的参数方程 2cos sin x y （为参数） ， 可得曲线C的普通方程为 2 2 1 2 x y. 直线l的极坐标方程可变形
31、为cossin10 ， 于是，其直角坐标方程为10 xy . （2）由方程组 2 2 10 1 2 xy x y 消元，有 2 340 xx. 由此可知，点A，B的坐标分别为0, 1， 4 1 , 3 3 ， 直线PA，PB的斜率分别为 1 11 022 k ， 2 1 0 1 3 4 2 2 3 k . 所以， 12 11 0 22 kk ， 于是，直线PA，PB关于x轴对称. 命题意图：本小题主要考查曲线的参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转 化等数学思想. 23.解析： （1）当1x时，( )22131 4f xxxx ，得1x； 当11x 时，( )2213
32、4f xxxx ，此时无解； 当1x 时， 221314f xxxx ，得 5 3 x . 所以，不等式的解集为 5 (, 1 ,) 3 . （2）由（1） ，1x时， 314f xx ； 当11x 时， 32f xx ； 当1x 时， 312f xx ， 则1x 时， f x的最小值为 2，即2M . 于是, ,a b c满足2a b c ， 1111111 () 2 abc abbccaabbcca 1111 ()()() 4 abbcca abbcca 1 3 4 bcabbccacaab abbccabcabca 19 3222 44 bc abbc caca ab ab bcca bcab ca 当且仅当 bcab abbc 且 bcca cabc 且 caab abca 即abc时取“”. 命题意图：本小题主要考查含绝对值的不等式、基本不等式、不等式证明方法等基础知识；考查运算求解、 推理论证等数学能力；考查分类与整合、化归与转化等数学思想.
