1、金丽衢十二校金丽衢十二校 2020 学年高三第一次联考学年高三第一次联考 数学试题数学试题 命题人：永康一中 审核：浦江中学 本卷分第卷和第卷两部分考试时间为 120 分钟，试卷总分为 150 分请考生将所有试题的答案 涂、写在答题纸上 第第卷卷（共共 40 分分） 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题小题，每小题每小题 4 分分，共共 40 分分在每个小题给出的四个选项中在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合只有一项是符合 题目要求的题目要求的 ） 1已知集合42Mxx ， 2 60Nx xx，则MN （ ） A33xx B32xx C22xx D 23xx 2若实数 x
2、，y 满足约束条件 20 270 30 xy xy y ，则2zyx的最小值为（ ） A1 B 1 3 C7 D9 3函数( )sin|f xxx的图象大致是（ ） Asin(cos )yx Bcos(sin )yx Csin(sin )yx Dcos(cos )yx 4一个几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ） A 1 3 B 2 3 C 23 3 D 22 3 5已知条件:1p t ，条件 q：直线1xty与圆 22 1 2 xy相切，则 P 是 q 的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 6口袋中有 7 个红球、2 个蓝球和 1 个
3、黑球从中任取两个球，记其中含红球的个数为随机变量则的 数学期望( )E是（ ） A 6 5 B 7 5 C 8 5 D 9 5 7若 10210 01210 (2)xaa xa xa x，xR则下列结论正确的是（ ） A 0 1024a B 1210 1aaa C 10 01210 3aaaa D 1239 23910aaaa 8若数列 n a的通项公式为 2 2020 n n an n N，则这个数列中的最大项是（ ） A第 43 项 B第 44 项 C第 45 项 D第 46 项 9正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1，且 11 3AMMD， 1 3BNNB， 11 APxAC
4、yBD， , x yR，则|MPNP的最小值为（ ） A2 B 23 2 C6 24 3 D3 10已知函数 ln(),0 ( ) 1 ,0 x x f x x x 的图像与曲线 222 20 xyaya恰有 4 个交点，则实数 a 的取值 范围是（ ） A01a B12a C02a D13a 第第卷卷（共共 110 分分） 二、填空题二、填空题：本大题共本大题共 7 小题小题，多空题每题多空题每题 6 分分，单空题每单空题每题题 4 分分，共共 36 分分 11设平面向量(1,2)a ，( 3, )bx ，a b，则x_，|b _ 12设复数zabi（i 是虚数单位） ，若23 2zzi ，
5、则a_，b_ 13函数( )sin2cos2 26 f xxx 最小正周期为_，当0, 4 x 时， f x的值域 为_ 14已知 f x是定义在 R 上的奇函数，当0 x时， 2 ( ) 1 x xa f xe x ，则a_，若 (|1|)(2 )fmfm，则实数 m 的取值范围是_ 15将 5 名同学安排到 3 个小区参加创建文明城市宣传活动，每名同学只去 1 个小区，每个小区至少安排 1 名同学，则不同的安排方法共有_种 （用数字作答 ） 16设椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的右焦点为 F，P 是椭圆 C 上第一象限内的点，O 是原点若 2 |FO FPPF，则椭圆
6、C 离心率的取值范围是_ 17 设 32 1 ( )(1) () 3 f xxaxax aR， 若 对 于 满 足 123 fxfxfx的 三 个 不 同 实数 (1,2,3) i x i ，恒有 122313 4xxxxxx，则实数 a 的最小值为_ 三、本大题共三、本大题共 5 小题小题，共共 74 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18 （本小题满分 14 分） 已知 a，b，c 分别是ABC内角 A，B，C 的对边，bac，且2cb， 1 cossin 5 AA （1）求函数sinA的值； （2）若ABC的面积为 20，求 a 的值 19
7、 （本小题满分 15 分） 如图， 三棱柱 111 ABCABC中， 1 22ACABAC，ABAC， 1 ACBC， 1 120CBB （）证明：平面ABC 平面 11 BBCC； （）求直线 11 BC与平面 1 ABC所成角的正弦值 20已知数列 n a中， 1 1 2 a ， 1 21 2 2 nn n n aan N （1）求数列 2n n a的通项公式； （2）设数列 n a n 的前 n 项和 n T，求证2 n T 21如图，已知抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点为 F，过点 F 的直线交 C 于 A，B 两点，以 AB 为直径的 圆交 x 轴于 M，N，且当AFx轴时
8、，| 4MN （）求抛物线 C 的方程； （）若直线 AN，AM 分别交抛物线 C 于 G，H（不同于 A） ，直线 AB 交 GH 于点 P，且直线 AB 的斜 率大于 0，证明：存在唯一这样的直线 AB 使得 B，H，P，M 四点共圆 22设函数( )lnf xxx （1）求函数( )f x的最小值； （2）设( )( )g xf xkxb存在两个不同零点 1 x， 2 x，记 12 2 xx M ， 12 2 xx N ，求证： 1() ln0 2 g M N 2020 学年金丽衢十二校高三第学年金丽衢十二校高三第一一次联考次联考 数学评分标准与参考答案数学评分标准与参考答案 一、选择题
9、（一、选择题（410=40 分）分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 答案 B C D D A B C C A B 二、填空题二、填空题(9-12 题每题每题题 6 分分，13-15 题每题每题题 4 分分，共共 36 分分) 116，3 5； 121，2； 13 2 ， 23 0, 4 ； 141， 1 , 3 ； 15150； 16 3 ,1 2 ； 171 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题小题，共共 74 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18解： （1）由 1 cossin 5 AA ，且 A 为锐角，
10、求得 3 cos 5 A ， 4 sin 5 A （2）根据面积公式 1 sin 2 SbcA可求得50bc ， 所以10c ，5b， 又由余弦定理求得 2 3 100252 5065 5 a ， 所以65a 19解： （）证：取 BC 中点 E，连接 AE 和 1 C E 设 1 222ACABAC ABAC，1ABAC且 E 是 BC 中点 12 22 AEBC且AEBC， 又 1 ACBC， 1 ACAEA，BC 面 1 AEC 1 BCC E， 又 E 是 BC 中点，所以 11 C BCC 又 11 12060CBBCCB 1 CCB是等边三角形， 1 6 2 C E 即 222 1
11、1 C EAEAC，所以 1 C EAE 又 1 BCC E，且BCAEE 1 C E 面 ABC 又 1 C E 面 11 BBCC，平面ABC 平面 11 BBCC （）如图，以 E 为原点，射线 EA 为 x 轴，射线 EC 为 y 轴，建立空间直角坐标系， 设 1 222ACABAC 则(1,0,0)A，(0, 1,0)B，(0,1,0)C， 1(0,0, 3) C， 1(0, 2, 3) B 11 (0,2,0)BC ， 1 (0,1, 3)BC ，(1,1,0)BA 设面 1 ABC的一个法向量( , , )nx y z 则 1 0 0 n BC n BA 得( 3,3,1)n 设
12、所求角为 则 11 21 sincos, 7 n BC 故直线 11 BC与平面 1 ABC所成角的正弦值为 21 7 20解： （1）由 1 1 121 22 nn n n aan N知 1 1 2221 nn nn aann N 令2n nn ba，则 1 1b 且 1 21 nn bbnn N 由 2 112211 (21)3 1 nnnnn bbbbbbbbnn （2）易知 2 2 n n n a ，于是 12341 1234(1) 222222 n nn nn S 所以 234511 11234(1) 2222222 n nn nn S 两式相减得 23451 1111111 1 2
13、2222222 n nn n S ，即2 n S 得证 21解： （）当AFx轴时，, 2 p Ap ，, 2 p Bp 故圆的方程为 2 22 2 p xyp 即| | 24MNABp，得2p 故抛物线 C 的方程为 2 4yx； （）设点 11 ,A x y， 22 ,B x y， 3,0 M x， 4,0 N x 直线:1AB xmy，联立 2 4 1 yx xmy 得： 2 440ymy， 2 161m 12 4yym， 12 4yy 2 2 1 441 221 2 mm ymm 2 1212 242xxm yym 故圆心 2 21,2mm 半径 2 22 161 11 |121 22
14、1 m rABmm 即圆的方程为 22 222 21(2 )41xmymm 令0y ，则 22 222 21441xmmm 化简得： 22 4230 xmx 2 34 42xxm， 34 3xx 若 B，H，P，M 四点共圆，则90BPHBMH 即 B，H，P，M 四点共圆等价于HGAB 下证：存在唯一直线 AB 满足HGAB 设 55 ,H x y， 66 ,B x y 直线 111 :AM xxtyy和直线 121 :AN xxtyy 联立 2 111 4yx xxtyy ，得： 2 1111 4440yt yt yx 151511 44yytyty，同理， 162621 44yytyty
15、 6565 22 656565121 44 42 4 HG yyyy k yyxxyytty 又 13 1 1 xx t y ， 14 2 1 xx t y 2 1 2 134 34 1 1 41 2 21 42 HG ymm k xxx xxm y y 又 2 32 2 11 21 21 ABHG mm kkmmmmm mm 3262 21410mmmm 设 3 ( )41f xxx，(0,)x， 2 ( )121fxx 故 f x在 3 0, 6 单调减， 3 , 6 单调增 又(0)10f ， 3 0 6 f ，且(1)20f， 故存在唯一(0,)x满足 0f x 即存在唯一(0,)m，
16、满足 62 410mm 综上结论得证 22解： （1）( )1 lnfxx ，所以 min 11 ( )f xf ee （2）( )(1)lng xkx， 所以( )g x在 1 0, k e 递减，在 1,k e 递增， 所以 () 0 g M N ， 要证 12 12 ln2 2 xx xx g ，不妨设 12 0 xx 由 111 ln0 xxkxb， 222 ln0 xkxxb可知 112212 lnln 0 22 xxxxxx kb ， 即证 1212112221 lnln ()lnln2 2222 xxxxxxxxxx g M 即证 121212112212 lnln2lnlnln2xxxxxxxxxxxx 即证 1212 1212 12 lnlnln2 22 xxxx xxxx xx 又由于 2 1212 4xxx x， 122 112 2 lnln 2 xxx xxx ， 所以只需证 212 1212 122 2 lnlnln2 2 xxx xxxx xxx 即证明 2 1212 12 2 lnln2 x xxxx xx ， 即证 212 222xxx， 该式显然成立，于是原命题得证
