广东省2021届高三上学期1月八省联考考前热身数学押题卷(含解析).docx

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1、广东省广东省 20212021 届高三数学届高三数学1 1 月八省联考考前热身押题卷月八省联考考前热身押题卷 一、单选题本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符 合题目要求的 1已知集合 22 ( , )1Ax y xy , ( , )Bx y yx ,则AB中元素的个数为( ) A3 B2 C1 D0 2若复数(1i) (a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是 A (,1) B (,1) C (1,+) D (1,+) 3ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c已知sinsin (sincos )0BACC,a=2,c=

2、 2, 则C= A 12 B 6 C 4 D 3 4(x+y)(2x-y) 5的展开式中x3y3的系数为 A-80 B-40 C40 D80 5新高考的改革方案开始实施后,某地学生需要从化学,生物,政治,地理四门学科中选课,每名 同学都要选择其中的两门课程.已知甲同学选了化学,乙与甲没有相同的课程,丙与甲恰有一门课相 同,丁与丙也没有相同课程.则以下说法正确的是() A丙没有选化学 B丁没有选化学 C乙丁可以两门课都相同 D这四个人里恰有 2 个人选化学 6(本题 5 分)函数 2 ee xx f x x 的图像大致为 ( ) A B C D 7在ABC中,E为AC上一点, 3ACAE ,P为

3、BE上任一点,若(0,0)APmABnAC mn, 则 31 mn 的最小值是( ) A9 B10 C11 D12 8设函数 (21) x f xexaxa,其中1a ,若存在唯一的整数 0 x,使得 0 ()0f x ,则a的取值 范围是( ) A 3 ,1 2e B 33 , 2e 4 C 33 , 2e 4 D 3 ,1 2e 二、多选题本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求, 全部选对的得 5 分,部分选对的得 3 分,有选错的得 0 分 9若 1ab ,0c 则下列不等式中一定成立的是( ) A 11 ab ab B 11 ba ab

4、Cln( )0ba D( )( ) cc ab ba 10 已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的左、 右焦点分别为 1 F, 2 F且 12 2FF , 点1 , 1P在椭圆内部, 点Q在椭圆上,则以下说法正确的是( ) A 1 QFQP的最小值为21a B椭圆C的短轴长可能为 2 C椭圆C的离心率的取值范围为 51 0, 2 D若 11 PFFQ,则椭圆C的长轴长为517 11 已知数列 n a的前n项和为S,11a , 1 21 nnn SSa , 数列 1 2n nn aa 的前n项和为 n T, * nN, 则下列选项正确的为( ) A数列1 n a 是等差数列 B数列

5、1 n a 是等比数列 C数列 n a的通项公式为21 n n a D1 n T 12已知定义在 0, 2 上的函数 f x的导函数为 fx ,且 00f, ( )cos( )sin0fxxf xx ,则 下列判断中正确的是( ) A 6 624 ff B ln0 3 f C 3 63 ff D 2 43 ff 三、填空题本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 13(本题 5 分)已知向量, a b夹角为45,且 1, 210aab ,则b _ 14(本题 5 分)ABC的内角 A,B,C的对边分别为a,b,c,若 cos A= 4 5 ,cos C= 5 13 ,a=1,则b=_.

6、15(本题 5 分)从甲、乙等 8 名志愿者中选 5 人参加周一到周五的社区服务,每天安排一人,每人只 参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加,且当甲、乙两人都参加时,他们参加社区服务的日期 不相邻,那么不同的安排种数 为_.(用数字作答) 16(本题 5 分)如图,扇形AOB的圆心角为 90,半径为 1,点P是圆弧AB上的动点,作点P 关于弦AB的对称点Q,则OP OQ的取值范围为_ 四、解答题本题共 6 小题,共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17(本题 10 分)ABC的内角、 、A BC的对边分别为abc、 、,已知ABC的面积为 2 3sin a A (1)求si

7、nsinBC; (2)若6cos cos1,3,BCa 求ABC的周长. 18(本题 12 分)设数列 n a 满足 12 3(21)2 n aanan . (1)求 n a 的通项公式; (2)求数列 21 n a n 的前n项和 19(本题 12 分)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变近年来,移动支付已成为主要支 付方式之一为了解某校学生上个月 A,B 两种移动支付方式的使用情况,从全校学生中随机抽取了 100 人,发现样本中 A,B 两种支付方式都不使用的有 5 人,样本中仅使用 A 和仅使用 B 的学生的支 付金额分布情况如下: 交付金额(元) 支付方式 (0,1000 (10

8、00,2000 大于 2000 仅使用 A 18 人 9 人 3 人 仅使用 B 10 人 14 人 1 人 ()从全校学生中随机抽取 1 人,估计该学生上个月 A,B 两种支付方式都使用的概率; ()从样本仅使用 A 和仅使用 B 的学生中各随机抽取 1 人,以X表示这 2 人中上个月支付金额大于 1000 元的人数,求X的分布列和数学期望; ()已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用 A 的学生中,随机抽查 3 人,发现他们本月的支付金额都大于 2000 元根据抽查结果,能否认为样本仅使用 A 的学生中本月 支付金额大于 2000 元的人数有变化?说明理由 20(本题 1

9、2 分)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,且1ADPD,平面 PCD平面 ABCD,PDC120,点 E 为线段 PC 的中点,点 F 是线段 AB 上的一个动点 ()求证:平面DEF 平面 PBC; () 设二面角CDEF的平面角为, 试判断在线段 AB 上是否存在这样的点 F, 使得tan2 3, 若存在,求出 | | AF FB 的值;若不存在,请说明理由 21(本题 12 分)已知点A(0,2),椭圆E: 22 22 1 xy ab (ab0)的离心率为 3 2 ,F是椭圆E的右 焦点,直线AF的斜率为 2 3 3 ,O为坐标原点. (1)求E的方程; (2)

10、设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点.当OPQ的面积最大时,求l的方程. 22(本题 12 分)已知函数f(x)=2sinxxcosxx,f(x)为f(x)的导数 (1)证明:f(x)在区间(0,)存在唯一零点; (2)若x0,时,f(x)ax,求a的取值范围 参考答案 1B 集合中的元素为点集,由题意,可知集合A表示以0,0为圆心,1为半径的单位圆上所有点组成的集 合, 集合B表示直线y x 上所有的点组成的集合, 又圆 22 1xy与直线y x 相交于两点 22 , 22 , 22 , 22 ,则AB中有 2 个元素.故选 B. 2B 设 1 ii11izaaa,因为复数对应的点在第二象

11、限,所以 10 10 a a ,解得: 1a , 故选 B. 3B 解:sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC, sinB+sinA(sinCcosC)=0, sinAcosC+cosAsinC+sinAsinCsinAcosC=0, cosAsinC+sinAsinC=0, sinC0, cosA=sinA, tanA=1, 2 A, A= 3 4 , 由正弦定理可得 c sinsin a CA , a=2,c= 2, sinC= sincA a = 2 2 1 2 = 22 , ac, C= 6 , 4C 555 222xyxyxxyyxy, 由 5 2xy展开式的

12、通项公式 5 15 C2 rr r r Txy 可得: 当3r 时, 5 2xxy展开式中 33 x y的系数为 3 32 5 C2140 ; 当2r =时, 5 2yxy展开式中 33 x y的系数为 2 23 5 C2180 , 则 33 x y的系数为80 4040. 5D 根据题意可得,甲选择了化学,乙与甲没有相同课程,乙必定没选化学; 又丙与甲有一门课相同,假设丙选择了化学,而丁与丙无相同课程,则丁一定没选化学; 若丙没选化学,又丁与丙无相同课程,则丁必定选择了化学 综上,必定有甲,丙或甲,丁这两种情况下选择化学,故可判断 A,B 不正确,D 正确 假设乙丁可以两门课都相同, 由上面

13、分析可知, 乙丁都没有选择化学, 只能从其它三科中选两科 不 妨假设选的是生物、政治,则甲选的是化学和地理,而丙和甲共同选择了化学,另一门课丙只能 从生物、政治中选一科,这样与“丁与丙也没有相同课程”矛盾,故假设不成立,因此 C 不正确 6B 解: 2 0,()( )( ) xx ee xfxf xf x x 为奇函数,舍去 A, 1 (1)0fee 舍去 D; 2 43 ()()2(2)(2) ( )2,( )0 xxxxxx eexeexxexe fxxfx xx , 7D 由题意可知: 3APmABnACmABnAE , , ,P B E三点共线,则: 31mn,据此有: 313199

14、366212 nmnm mn mnmnmnmn , 当且仅当 11 , 26 mn时等号成立. 综上可得: 31 mn 的最小值是 12. 8D 设 21 x g xex,1ya x, 由题意知,函数 yg x在直线y axa 下方的图象中只有一个点的横坐标为整数, 21 x g xex,当 1 2 x 时, 0gx;当 1 2 x 时, 0g x. 所以,函数 yg x的最小值为 1 2 1 2 2 ge . 又 01g, 10ge. 直线y axa 恒过定点1,0且斜率为a, 故 01ag 且 3 1gaa e ,解得 3 1 2 a e ,故选 D. 9BD 由函数 1 yx x 在(,

15、 1) 上为增函数可知,当1ab 时, 11 ab ab ,故选项A错误; 由函数 1 yx x 在(, 1) 上为增函数可知,当1ab 时, 11 ab ab ,即 11 ba ab,故选项B 正确; 由于ab,则0ba,但不确定ba与 1 的大小关系,故ln( )ba 与 0 的大小关系不确定,故选项 C错误; 由 1ab 可知,1 a b ,01 b a ,而0c ,则10 cc ab ba ,故选项D正确 10ACD A. 因为 12 2FF ,所以 22 1,0 ,1FPF,所以 122 2221QFQPaQFQPaPFa,当 2 ,Q F P,三点共线时,取等号,故正确; B.若椭

16、圆C的短轴长为 2,则 1,2ba ,所以椭圆方程为 22 1 21 xy , 11 1 21 ,则点P在椭圆外, 故错误; C. 因为点1,1P在椭圆内部,所以 11 1 ab ,又1a b ,所以1ba,所以 11 1 1 aa ,即 2 310aa ,解得 2 15 3562 5 244 a ,所以 15 2 a,所以 151 2 e a ,所以 椭圆C的离心率的取值范围为 51 0, 2 ,故正确; D. 若 11 PFFQ, 则 1 F为线段PQ的中点, 所以3, 1Q , 所以 91 1 ab , 又1a b , 即 2 1 19 0 aa, 解得 2 517 1185222 85

17、 244 a , 所以 517 2 a, 所以椭圆C的长轴长为517, 11BCD 解:由 1 21 nnn SSa 即为 11 21 nnnn aSSa , 可化为 1 12(1) nn aa ,由 11 1Sa ,可得数列 1 n a 是首项为 2,公比为 2 的等比数列, 则12 n n a ,即21 n n a , 又 11 1 2211 (21)(21)2121 nn nnnn nn a a ,可得 22311 111111 111 212121212121 n nnn T , 12CD 令 ( ) ( ) cos f x g x x ,0, 2 x , 则 2 ( )cos( )s

18、in ( ) cos fxxf xx g x x , 因为 ( )cos( )sin0fxxf xx , 所以 2 ( )cos( )sin ( )0 cos fxxf xx g x x 在0, 2 上恒成立, 因此函数 ( ) ( ) cos f x g x x 在0, 2 上单调递减, 因此 64 gg ,即 64 coscos 64 ff ,即 6 624 ff ,故 A 错; 又 00f,所以 (0) (0)0 cos0 f g,所以 ( ) ( )0 cos f x g x x 在0, 2 上恒成立, 因为ln 0, 32 ,所以 ln0 3 f ,故 B 错; 又 63 gg ,所

19、以 63 coscos 63 ff ,即 3 63 ff ,故 C 正确; 又 43 gg ,所以 43 coscos 43 ff ,即 2 43 ff ,故 D 正确; 133 2:的夹角, . 14 21 13 因为 45 cos,cos 513 AC,且,A C为三角形的内角,所以 312 sin,sin 513 AC, 63 sinsin()sin()sincoscossin 65 BACACACAC,又因为 sinsin ab AB ,所以 sin21 sin13 aB b A . 155040. 分两类, 一类是甲乙都参加, 另一类是甲乙中选一人, 方法数为 32145 64265

20、 144036005040NA AC C A。 填 5040. 16 211 ,. 详解:以点 O 为坐标原点,以 OA 所在直线作 x 轴,以 OB 所在直线作 y 轴,建立直角坐标系.则 A(1, 0),B(0,1),直线 AB 的方程为 x+y-1=0,设 P( ,sin)cos(0) 2 , 00 (,)Q xy ,所以 PQ 的中点 00 cossin (,) 22 xy , 由题得 0 0 00 00 sin 1 cos ,1 sin1 cos cossin 10 22 PQ y k x xy xy 所以OP OQ =cos (1 sin)sin(1 cos)sincos2sinc

21、os 设 sincos2sin(),1,2 4 tt , 所以 2 1 sincos 2 t , 所以OP OQ= 2 1 tt,1, 2t所 以当 t=1 时函数取最大值 1,当 t= 2时函数取最小值2 1. 17(1) 2 sinsin 3 BC (2) 3 33. (1)由题设得 2 1 sin 23sin a acB A ,即 1 sin 23sin a cB A . 由正弦定理得 1sin sin sin 23sin A CB A . 故 2 sin sin 3 BC . (2)由题设及(1)得 1 cos cossin sin, 2 BCBC ,即 1 cos 2 BC . 所以

22、 2 3 BC ,故 3 A . 由题设得 2 1 sin 23sin a bcA A ,即8bc . 由余弦定理得 22 9bcbc,即 2 39bcbc,得 33bc. 故ABC的周长为333. 18(1) 2 21 n a n ;(2) 2 21 n n . (1)数列 n a满足 12 3212= n aanan 2n时, 121 32321 n aanan 212 n na 2 21 n a n 当1n 时, 1 2a ,上式也成立 2 21 n a n (2) 211 21(21)(21)2121 n a nnnnn 数列 21 n a n 的前n项和 11111 1 335212

23、1nn 12 1 2121 n nn 19 ()由题意可知,两种支付方式都是用的人数为:100 30 25 540 人,则: 该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率 402 1005 p . ()由题意可知, 仅使用A支付方法的学生中,金额不大于 1000 的人数占 3 5 ,金额大于 1000 的人数占 2 5 , 仅使用B支付方法的学生中,金额不大于 1000 的人数占 2 5 ,金额大于 1000 的人数占 3 5 , 且X可能的取值为 0,1,2. 326 0 5525 p X , 22 3213 1 5525 p X , 326 2 5525 p X , X的分布列为: X 0

24、1 2 p X 6 25 13 25 6 25 其数学期望: 6136 0121 252525 E X . ()我们不认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化.理由如下: 随机事件在一次随机实验中是否发生是随机的,是不能预知的,随着试验次数的增多,频率越来越稳 定于概率 学校是一个相对消费稳定的地方,每个学生根据自己的实际情况每个月的消费应该相对固 定,出现题中这种现象可能是发生了“小概率事件”. 20 解: () 四边形ABCD是正方形,BCDC. 平面PCD 平面 ,ABCD平面PCD平面ABCD CD,BC 平面PCD. DE 平面PDC,BCDE. ADPDD

25、C,点E为线段PC的中点,PCDE. 又PCCBC,DE 平面PBC. 又DE 平面DEF,平面DEF 平面PBC. ()由()知BC 平面PCD,/ADBC,AD 平面PCD. 在平面PCD内过D作DGDC交PC于点G, ADDG,故DA,DC,DG两两垂直,以D为原点, 以DA,DC,DG所在直线分别为 , ,x y z轴,建立如图所示空间直角坐标系D xyz . 因为1ADPD,120PCD,3PC . AD 平面PCD, 则0,0,0D,0,1,0C, 13 0, 22 P 又E为PC的中点, 13 0, 44 E , 假设在线段AB上存在这样的点F,使得tan2 3,设1, ,0 (

26、0)Fmm, 13 0, 44 DE , 1,0DFm, 设平面DEF的法向量为 1 , ,nx y z, 则 1 1 0, 0, n DE n DF 0 13 0 44 xmy yz ,令3y ,则1,3zxm ,则 1 3 , 3, 1nm AD 平面PCD,平面PCD的一个法向量 2 1,0,0n ,tan 2 3,则 13 cos 13 12 2 3 13 coscos, 13 33 1 m n n m . 0m,解得 1 3 m , 1 2 AF FB 21 (1) 2 2 1 4 x y (2) 7 2 2 yx (1)设,0F c,因为直线AF的斜率为 2 3 3 ,0, 2A

27、所以 22 3 3c ,3c . 又 222 3 , 2 c bac a 解得 2,1ab , 所以椭圆E的方程为 2 2 1 4 x y. (2)解:设 1122 ,P x yQ x y 由题意可设直线l的方程为: 2ykx , 联立 2 2 1 4 2, x y ykx , 消去y得 22 1416120kxkx , 当 2 16 430k ,所以 2 3 4 k ,即 3 2 k 或 3 2 k 时 1212 22 1612 , 1414 k xxx x kk . 所以 2 2 121 2 14PQkxxx x 2 2 22 1648 1 1414 k k kk 22 2 4 143 1

28、 4 kk k 点O到直线l的距离 2 2 1 d k 所以 2 2 14 43 21 4 OPQ k Sd PQ k , 设 2 430kt ,则 22 43kt, 2 444 1 4 42 4 OPQ t S t t t , 当且仅当2t ,即 2 432k , 解得 7 2 k 时取等号, 满足 2 3 4 k 所以 OPQ 的面积最大时直线l的方程为: 7 2 2 yx或 7 2 2 yx . 22 (1) 2coscossin1cossin1fxxxxxxxx 令 cossin1g xxxx,则 sinsincoscosg xxxxxxx 当0,x时,令 0g x ,解得: 2 x

29、当0, 2 x 时, 0g x ;当 , 2 x 时, 0gx g x在0, 2 上单调递增;在 , 2 上单调递减 又 01 10g , 10 22 g , 1 12g 即当 0, 2 x 时, 0g x ,此时 g x无零点,即 fx 无零点 0 2 gg 0 , 2 x ,使得 0 0g x 又 g x在 , 2 上单调递减 0 xx 为 g x,即 fx 在 , 2 上的唯一零点 综上所述: fx 在区间0,存在唯一零点 (2)若0,x时, f xax,即 0f xax恒成立 令 2sincos1h xf xaxxxxax 则 cossin1h xxxxa , coshxxxg x 由

30、(1)可知, h x 在 0, 2 上单调递增;在 , 2 上单调递减 且 0ha , 2 22 ha , 2ha min 2h xha , max 2 22 h xha 当2a时, min 20h xha ,即 0h x在0,上恒成立 h x在0,上单调递增 00h xh,即 0f xax,此时 f xax恒成立 当20a 时, 00 h ,0 2 h , 0h 1 , 2 x ,使得 1 0h x h x在 1 0,x上单调递增,在 1, x上单调递减 又 00h, 2sincos10haa 0h x在0,上恒成立,即 f xax恒成立 当 2 0 2 a 时, 00 h , 2 0 22 ha 2 0, 2 x ,使得 2 0h x h x在 2 0,x上单调递减,在 2, 2 x 上单调递增 2 0,xx 时, 00h xh,可知 f xax不恒成立 当 2 2 a 时, max 2 0 22 h xha h x在0, 2 上单调递减 ( )( )00h xh=,可知 f xax不恒成立综上所述:,0a

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