1、广东省广东省 20212021 届高三数学届高三数学1 1 月八省联考考前热身押题卷月八省联考考前热身押题卷 一、单选题本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符 合题目要求的 1已知集合 22 ( , )1Ax y xy ， ( , )Bx y yx ，则AB中元素的个数为（ ） A3 B2 C1 D0 2若复数（1i） （a+i）在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是 A （，1） B （，1） C （1，+） D （1，+） 3ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c已知sinsin (sincos )0BACC，a=2，c=
2、 2， 则C= A 12 B 6 C 4 D 3 4(x+y)(2x-y) 5的展开式中x3y3的系数为 A-80 B-40 C40 D80 5新高考的改革方案开始实施后，某地学生需要从化学，生物，政治，地理四门学科中选课，每名 同学都要选择其中的两门课程.已知甲同学选了化学，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课相 同，丁与丙也没有相同课程.则以下说法正确的是（） A丙没有选化学 B丁没有选化学 C乙丁可以两门课都相同 D这四个人里恰有 2 个人选化学 6(本题 5 分)函数 2 ee xx f x x 的图像大致为 ( ) A B C D 7在ABC中，E为AC上一点， 3ACAE ，P为
3、BE上任一点，若(0,0)APmABnAC mn， 则 31 mn 的最小值是（ ） A9 B10 C11 D12 8设函数 (21) x f xexaxa，其中1a ，若存在唯一的整数 0 x，使得 0 ()0f x ，则a的取值 范围是（ ） A 3 ,1 2e B 33 , 2e 4 C 33 , 2e 4 D 3 ,1 2e 二、多选题本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分 9若 1ab ，0c 则下列不等式中一定成立的是（ ） A 11 ab ab B 11 ba ab
4、Cln( )0ba D( )( ) cc ab ba 10 已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的左、 右焦点分别为 1 F， 2 F且 12 2FF ， 点1 , 1P在椭圆内部， 点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（ ） A 1 QFQP的最小值为21a B椭圆C的短轴长可能为 2 C椭圆C的离心率的取值范围为 51 0, 2 D若 11 PFFQ，则椭圆C的长轴长为517 11 已知数列 n a的前n项和为S，11a ， 1 21 nnn SSa ， 数列 1 2n nn aa 的前n项和为 n T， * nN， 则下列选项正确的为（ ） A数列1 n a 是等差数列 B数列
5、1 n a 是等比数列 C数列 n a的通项公式为21 n n a D1 n T 12已知定义在 0, 2 上的函数 f x的导函数为 fx ，且 00f， ( )cos( )sin0fxxf xx ，则 下列判断中正确的是( ) A 6 624 ff B ln0 3 f C 3 63 ff D 2 43 ff 三、填空题本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13(本题 5 分)已知向量, a b夹角为45，且 1, 210aab ，则b _ 14(本题 5 分)ABC的内角 A，B，C的对边分别为a，b，c，若 cos A= 4 5 ，cos C= 5 13 ，a=1，则b=_.
6、15(本题 5 分)从甲、乙等 8 名志愿者中选 5 人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只 参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期 不相邻，那么不同的安排种数 为_.(用数字作答) 16(本题 5 分)如图，扇形AOB的圆心角为 90，半径为 1，点P是圆弧AB上的动点，作点P 关于弦AB的对称点Q，则OP OQ的取值范围为_ 四、解答题本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17(本题 10 分)ABC的内角、 、A BC的对边分别为abc、 、,已知ABC的面积为 2 3sin a A (1)求si
7、nsinBC; (2)若6cos cos1,3,BCa 求ABC的周长. 18(本题 12 分)设数列 n a 满足 12 3(21)2 n aanan . （1）求 n a 的通项公式； （2）求数列 21 n a n 的前n项和 19(本题 12 分)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变近年来，移动支付已成为主要支 付方式之一为了解某校学生上个月 A，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了 100 人，发现样本中 A，B 两种支付方式都不使用的有 5 人，样本中仅使用 A 和仅使用 B 的学生的支 付金额分布情况如下： 交付金额（元） 支付方式 （0,1000 （10
8、00,2000 大于 2000 仅使用 A 18 人 9 人 3 人 仅使用 B 10 人 14 人 1 人 （）从全校学生中随机抽取 1 人，估计该学生上个月 A，B 两种支付方式都使用的概率； （）从样本仅使用 A 和仅使用 B 的学生中各随机抽取 1 人，以X表示这 2 人中上个月支付金额大于 1000 元的人数，求X的分布列和数学期望； （）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用 A 的学生中，随机抽查 3 人，发现他们本月的支付金额都大于 2000 元根据抽查结果，能否认为样本仅使用 A 的学生中本月 支付金额大于 2000 元的人数有变化？说明理由 20(本题 1
9、2 分)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，且1ADPD，平面 PCD平面 ABCD，PDC120，点 E 为线段 PC 的中点，点 F 是线段 AB 上的一个动点 （）求证：平面DEF 平面 PBC； （） 设二面角CDEF的平面角为， 试判断在线段 AB 上是否存在这样的点 F， 使得tan2 3， 若存在，求出 | | AF FB 的值；若不存在，请说明理由 21(本题 12 分)已知点A(0，2)，椭圆E： 22 22 1 xy ab (ab0)的离心率为 3 2 ，F是椭圆E的右 焦点，直线AF的斜率为 2 3 3 ，O为坐标原点. (1)求E的方程； (2)
10、设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当OPQ的面积最大时，求l的方程. 22(本题 12 分)已知函数f（x）=2sinxxcosxx，f（x）为f（x）的导数 （1）证明：f（x）在区间（0，）存在唯一零点； （2）若x0，时，f（x）ax，求a的取值范围 参考答案 1B 集合中的元素为点集，由题意，可知集合A表示以0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集 合， 集合B表示直线y x 上所有的点组成的集合， 又圆 22 1xy与直线y x 相交于两点 22 , 22 ， 22 , 22 ，则AB中有 2 个元素.故选 B. 2B 设 1 ii11izaaa，因为复数对应的点在第二象
11、限，所以 10 10 a a ，解得： 1a ， 故选 B. 3B 解：sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC， sinB+sinA（sinCcosC）=0， sinAcosC+cosAsinC+sinAsinCsinAcosC=0， cosAsinC+sinAsinC=0， sinC0， cosA=sinA， tanA=1， 2 A， A= 3 4 ， 由正弦定理可得 c sinsin a CA ， a=2，c= 2， sinC= sincA a = 2 2 1 2 = 22 ， ac， C= 6 ， 4C 555 222xyxyxxyyxy， 由 5 2xy展开式的
12、通项公式 5 15 C2 rr r r Txy 可得： 当3r 时， 5 2xxy展开式中 33 x y的系数为 3 32 5 C2140 ； 当2r =时， 5 2yxy展开式中 33 x y的系数为 2 23 5 C2180 ， 则 33 x y的系数为80 4040. 5D 根据题意可得，甲选择了化学，乙与甲没有相同课程，乙必定没选化学； 又丙与甲有一门课相同，假设丙选择了化学，而丁与丙无相同课程，则丁一定没选化学； 若丙没选化学，又丁与丙无相同课程，则丁必定选择了化学 综上，必定有甲，丙或甲，丁这两种情况下选择化学，故可判断 A，B 不正确，D 正确 假设乙丁可以两门课都相同， 由上面
13、分析可知， 乙丁都没有选择化学， 只能从其它三科中选两科 不 妨假设选的是生物、政治，则甲选的是化学和地理，而丙和甲共同选择了化学，另一门课丙只能 从生物、政治中选一科，这样与“丁与丙也没有相同课程”矛盾，故假设不成立，因此 C 不正确 6B 解： 2 0,()( )( ) xx ee xfxf xf x x 为奇函数，舍去 A, 1 (1)0fee 舍去 D; 2 43 ()()2(2)(2) ( )2,( )0 xxxxxx eexeexxexe fxxfx xx ， 7D 由题意可知： 3APmABnACmABnAE ， , ,P B E三点共线，则： 31mn，据此有： 313199
14、366212 nmnm mn mnmnmnmn ， 当且仅当 11 , 26 mn时等号成立. 综上可得： 31 mn 的最小值是 12. 8D 设 21 x g xex，1ya x， 由题意知，函数 yg x在直线y axa 下方的图象中只有一个点的横坐标为整数， 21 x g xex，当 1 2 x 时， 0gx；当 1 2 x 时， 0g x. 所以，函数 yg x的最小值为 1 2 1 2 2 ge . 又 01g， 10ge. 直线y axa 恒过定点1,0且斜率为a， 故 01ag 且 3 1gaa e ，解得 3 1 2 a e ，故选 D. 9BD 由函数 1 yx x 在(,
15、 1) 上为增函数可知，当1ab 时， 11 ab ab ，故选项A错误； 由函数 1 yx x 在(, 1) 上为增函数可知，当1ab 时， 11 ab ab ，即 11 ba ab，故选项B 正确； 由于ab，则0ba，但不确定ba与 1 的大小关系，故ln( )ba 与 0 的大小关系不确定，故选项 C错误； 由 1ab 可知，1 a b ，01 b a ，而0c ，则10 cc ab ba ，故选项D正确 10ACD A. 因为 12 2FF ，所以 22 1,0 ,1FPF，所以 122 2221QFQPaQFQPaPFa，当 2 ,Q F P，三点共线时，取等号，故正确； B.若椭
16、圆C的短轴长为 2，则 1,2ba ，所以椭圆方程为 22 1 21 xy ， 11 1 21 ，则点P在椭圆外， 故错误； C. 因为点1,1P在椭圆内部，所以 11 1 ab ，又1a b ，所以1ba，所以 11 1 1 aa ，即 2 310aa ，解得 2 15 3562 5 244 a ，所以 15 2 a，所以 151 2 e a ，所以 椭圆C的离心率的取值范围为 51 0, 2 ，故正确； D. 若 11 PFFQ， 则 1 F为线段PQ的中点， 所以3, 1Q ， 所以 91 1 ab ， 又1a b ， 即 2 1 19 0 aa， 解得 2 517 1185222 85
17、 244 a ， 所以 517 2 a， 所以椭圆C的长轴长为517， 11BCD 解：由 1 21 nnn SSa 即为 11 21 nnnn aSSa ， 可化为 1 12(1) nn aa ，由 11 1Sa ，可得数列 1 n a 是首项为 2，公比为 2 的等比数列， 则12 n n a ，即21 n n a ， 又 11 1 2211 (21)(21)2121 nn nnnn nn a a ，可得 22311 111111 111 212121212121 n nnn T ， 12CD 令 ( ) ( ) cos f x g x x ，0, 2 x ， 则 2 ( )cos( )s
18、in ( ) cos fxxf xx g x x ， 因为 ( )cos( )sin0fxxf xx ， 所以 2 ( )cos( )sin ( )0 cos fxxf xx g x x 在0, 2 上恒成立， 因此函数 ( ) ( ) cos f x g x x 在0, 2 上单调递减， 因此 64 gg ，即 64 coscos 64 ff ，即 6 624 ff ，故 A 错； 又 00f，所以 (0) (0)0 cos0 f g，所以 ( ) ( )0 cos f x g x x 在0, 2 上恒成立， 因为ln 0, 32 ，所以 ln0 3 f ，故 B 错； 又 63 gg ，所
19、以 63 coscos 63 ff ，即 3 63 ff ，故 C 正确； 又 43 gg ，所以 43 coscos 43 ff ，即 2 43 ff ，故 D 正确； 133 2：的夹角， . 14 21 13 因为 45 cos,cos 513 AC，且,A C为三角形的内角，所以 312 sin,sin 513 AC， 63 sinsin()sin()sincoscossin 65 BACACACAC，又因为 sinsin ab AB ，所以 sin21 sin13 aB b A . 155040. 分两类， 一类是甲乙都参加， 另一类是甲乙中选一人， 方法数为 32145 64265
20、 144036005040NA AC C A。 填 5040. 16 211 ，. 详解:以点 O 为坐标原点,以 OA 所在直线作 x 轴，以 OB 所在直线作 y 轴，建立直角坐标系.则 A(1， 0),B(0，1),直线 AB 的方程为 x+y-1=0,设 P( ,sin)cos(0) 2 ， 00 (,)Q xy ，所以 PQ 的中点 00 cossin (,) 22 xy ， 由题得 0 0 00 00 sin 1 cos ,1 sin1 cos cossin 10 22 PQ y k x xy xy 所以OP OQ =cos (1 sin)sin(1 cos)sincos2sinc
21、os 设 sincos2sin(),1,2 4 tt ， 所以 2 1 sincos 2 t ， 所以OP OQ= 2 1 tt，1, 2t所 以当 t=1 时函数取最大值 1，当 t= 2时函数取最小值2 1. 17(1) 2 sinsin 3 BC (2) 3 33. （1）由题设得 2 1 sin 23sin a acB A ，即 1 sin 23sin a cB A . 由正弦定理得 1sin sin sin 23sin A CB A . 故 2 sin sin 3 BC . （2）由题设及（1）得 1 cos cossin sin, 2 BCBC ，即 1 cos 2 BC . 所以
22、 2 3 BC ，故 3 A . 由题设得 2 1 sin 23sin a bcA A ，即8bc . 由余弦定理得 22 9bcbc，即 2 39bcbc，得 33bc. 故ABC的周长为333. 18(1) 2 21 n a n ；(2) 2 21 n n . （1）数列 n a满足 12 3212= n aanan 2n时, 121 32321 n aanan 212 n na 2 21 n a n 当1n 时, 1 2a ,上式也成立 2 21 n a n （2） 211 21(21)(21)2121 n a nnnnn 数列 21 n a n 的前n项和 11111 1 335212
23、1nn 12 1 2121 n nn 19 ()由题意可知，两种支付方式都是用的人数为：100 30 25 540 人，则： 该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率 402 1005 p . ()由题意可知， 仅使用A支付方法的学生中，金额不大于 1000 的人数占 3 5 ，金额大于 1000 的人数占 2 5 ， 仅使用B支付方法的学生中，金额不大于 1000 的人数占 2 5 ，金额大于 1000 的人数占 3 5 ， 且X可能的取值为 0,1,2. 326 0 5525 p X ， 22 3213 1 5525 p X ， 326 2 5525 p X ， X的分布列为： X 0
24、1 2 p X 6 25 13 25 6 25 其数学期望： 6136 0121 252525 E X . ()我们不认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于 2000 元的人数有变化.理由如下： 随机事件在一次随机实验中是否发生是随机的，是不能预知的，随着试验次数的增多，频率越来越稳 定于概率 学校是一个相对消费稳定的地方，每个学生根据自己的实际情况每个月的消费应该相对固 定，出现题中这种现象可能是发生了“小概率事件”. 20 解： （） 四边形ABCD是正方形，BCDC. 平面PCD 平面 ,ABCD平面PCD平面ABCD CD，BC 平面PCD. DE 平面PDC，BCDE. ADPDD
25、C，点E为线段PC的中点，PCDE. 又PCCBC，DE 平面PBC. 又DE 平面DEF，平面DEF 平面PBC. （）由（）知BC 平面PCD，/ADBC，AD 平面PCD. 在平面PCD内过D作DGDC交PC于点G， ADDG，故DA，DC，DG两两垂直，以D为原点， 以DA，DC，DG所在直线分别为 , ,x y z轴，建立如图所示空间直角坐标系D xyz . 因为1ADPD，120PCD，3PC . AD 平面PCD， 则0,0,0D，0,1,0C， 13 0, 22 P 又E为PC的中点， 13 0, 44 E ， 假设在线段AB上存在这样的点F，使得tan2 3,设1, ,0 (
26、0)Fmm， 13 0, 44 DE ， 1,0DFm， 设平面DEF的法向量为 1 , ,nx y z， 则 1 1 0, 0, n DE n DF 0 13 0 44 xmy yz ，令3y ，则1,3zxm ，则 1 3 , 3, 1nm AD 平面PCD，平面PCD的一个法向量 2 1,0,0n ,tan 2 3,则 13 cos 13 12 2 3 13 coscos, 13 33 1 m n n m . 0m，解得 1 3 m ， 1 2 AF FB 21 （1） 2 2 1 4 x y （2） 7 2 2 yx （1）设,0F c，因为直线AF的斜率为 2 3 3 ，0, 2A
27、所以 22 3 3c ，3c . 又 222 3 , 2 c bac a 解得 2,1ab ， 所以椭圆E的方程为 2 2 1 4 x y. （2）解：设 1122 ,P x yQ x y 由题意可设直线l的方程为： 2ykx ， 联立 2 2 1 4 2, x y ykx ， 消去y得 22 1416120kxkx ， 当 2 16 430k ，所以 2 3 4 k ，即 3 2 k 或 3 2 k 时 1212 22 1612 , 1414 k xxx x kk . 所以 2 2 121 2 14PQkxxx x 2 2 22 1648 1 1414 k k kk 22 2 4 143 1
28、 4 kk k 点O到直线l的距离 2 2 1 d k 所以 2 2 14 43 21 4 OPQ k Sd PQ k ， 设 2 430kt ，则 22 43kt， 2 444 1 4 42 4 OPQ t S t t t ， 当且仅当2t ，即 2 432k ， 解得 7 2 k 时取等号， 满足 2 3 4 k 所以 OPQ 的面积最大时直线l的方程为： 7 2 2 yx或 7 2 2 yx . 22 （1） 2coscossin1cossin1fxxxxxxxx 令 cossin1g xxxx，则 sinsincoscosg xxxxxxx 当0,x时，令 0g x ，解得： 2 x
29、当0, 2 x 时， 0g x ；当 , 2 x 时， 0gx g x在0, 2 上单调递增；在 , 2 上单调递减 又 01 10g ， 10 22 g ， 1 12g 即当 0, 2 x 时， 0g x ，此时 g x无零点，即 fx 无零点 0 2 gg 0 , 2 x ，使得 0 0g x 又 g x在 , 2 上单调递减 0 xx 为 g x，即 fx 在 , 2 上的唯一零点 综上所述： fx 在区间0,存在唯一零点 （2）若0,x时， f xax，即 0f xax恒成立 令 2sincos1h xf xaxxxxax 则 cossin1h xxxxa ， coshxxxg x 由
30、（1）可知， h x 在 0, 2 上单调递增；在 , 2 上单调递减 且 0ha ， 2 22 ha ， 2ha min 2h xha ， max 2 22 h xha 当2a时， min 20h xha ，即 0h x在0,上恒成立 h x在0,上单调递增 00h xh，即 0f xax，此时 f xax恒成立 当20a 时， 00 h ，0 2 h ， 0h 1 , 2 x ，使得 1 0h x h x在 1 0,x上单调递增，在 1, x上单调递减 又 00h， 2sincos10haa 0h x在0,上恒成立，即 f xax恒成立 当 2 0 2 a 时， 00 h ， 2 0 22 ha 2 0, 2 x ，使得 2 0h x h x在 2 0,x上单调递减，在 2, 2 x 上单调递增 2 0,xx 时， 00h xh，可知 f xax不恒成立 当 2 2 a 时， max 2 0 22 h xha h x在0, 2 上单调递减 ( )( )00h xh=，可知 f xax不恒成立综上所述：,0a
