1、第 1 页（共 18 页） 2020-2021 学年河南省九师联盟高一（上）联考数学试卷（学年河南省九师联盟高一（上）联考数学试卷（1 月月 份）份） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 |1,|2xMx yxNy y，则(MN ) A(0，1 B(，1 C0，) D0，1 2 （5 分）直线1x 倾斜角为( ) A0 B90 C45 D不存在 3 （5 分）下列命题中正确的是( ) A若三个平
2、面两两相交，则它们的交线互相平行 B若三条直线两两相交，则它们最多确定一个平面 C若不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行 D不共线的四点可以确定一个平面 4 （5 分）已知函数(1)2xfx，则 3 1 ( log27) 2 f的值为( ) A8 B16 C1 D4 5 （5 分）函数( )26 x f xex的零点所在的区间是( ) A( 1,0) B(0,1) C(1,2) D(2,3) 6 （5 分）如图，边长为 1 的正方形O A B C 是一个水平放置的平面图形OABC的直观图， 则平面图形OABC以OA为轴旋转 周所围成的几何体是( ) A一个圆柱 B一个圆柱和一个同
3、底面的圆锥的组合体 C一个圆锥和一个同底面的圆柱（内部挖去一个同底等高的圆锥）的组合体 D两个同底的圆锥的组合体 第 2 页（共 18 页） 7 （5 分）已知 1 1 ( ) 5 lg a ， 2 3 blog， 2 3lnc ，则a，b，c的大小关系为( ) Abca Bbac Cacb Dabc 8 （5 分）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是( ) A若/ /，m，n，则/ /mn B若，m，n，则mn C若点A，B到平面的距离相等，则直线/ /AB D若m，/ /m，则 9 （5 分）函数( )() | xx f xeex 的大致图象为( ) A B C
4、D 10 （5 分）若竖直放置的圆锥的正视图是一个面积为 2 的直角三角形，则该圆锥的体积为( ) A2 2 B 2 2 3 C 2 3 D 4 3 11 （5 分）在正六棱柱 111111 ABCDEFABC D E F中，设O和 1 O分别为下底面和上底面正六边 形的中心，G，H是线段 11 AD上的动点，且 11 1()GHGHAD，则下列说法中正确的是( ) DH与AB异面； 当G为 11 AO中点时，BG与平面 11 ADD A所成角取得最大值； 四面体BDGH的体积是定值； 第 3 页（共 18 页） / /DBEF A B C D 12 （5 分）当 1 (0, ) 2 x时，函
5、数 2 ( )log ( 4log) aa f xxx的图象恒在x轴下方，则实数a的 取值范围是( ) A 2 ,1) 2 B 2 (0,) 2 C 2,) D(0,1) 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）设点( 2,1)A ，(4, 2)B，(1,12 )Ca，若A，B，C三点共线，则实数a的值 为 14 （5 分）某圆柱的侧面展开图是一个长、宽分别为 4 和 3 的矩形，则该圆柱其中一个底 面的面积为 15 （5 分）函数 20211 ( ) 20211 x x f x 的值域为 16 （5 分）
6、已知四边形ABCD为矩形，2AB ，平面PAD 平面ABCD，PAPD，若四 棱锥PABCD外接球的表面积为16，则四棱锥PABCD体积的最大值为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17 （10 分）如图，正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 4，E，M分别是BC， 1 BB的中点 （1）求证： 1 A，D，M，E四点共面； （2）已知N在棱 1 CC上，求四面体 1 ABMN的体积 第 4 页（共 18 页） 18 （12 分）已知函数 2 ( )2( ,)f
7、 xxbxc b cR的图象过点(1,0)，且(1)f x为偶函数 （1）求函数( )f x的解析式； （2）若对任意的4x，16，不等式 44 (log)logfxmx恒成立，求m的最小值 19 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，/ /CDAB，2CDAB， 90ADC，E，F分别为CD，PC的中点 （1）求证：平面/ /BEF平面PAD； （2）求证：平面BEF 平面PDC 20 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，/ /ABCD，PDCD，2PDCD，过直线AB 的平面与棱PC，PD分别交于点E，F （1）求异面直线PC与AB所成角的正切值； （2）求证：/
8、/EFCD 21 （12 分）某地区为了推进节能减排、保护环境和发展经济的需要，政府计划由当地天然 气公司在两个工业园区间A，B间修建天然气管道，已知两个工业园区相距120 mk，并且 第 5 页（共 18 页） 在两工业园区之间设立供气站点D（如图） ，为保证两个工业园区的安全，规定站点D距两 工业园区的距离均不得少于15 mk已知工业园区A一边有段10 mk长的旧管道AC，准备 改造利用，改造费用为 5 万元/ mk，其余管道都要新建，新建的费用与站点D到A，B两 工业园区方向上新修建管道的长度的平方和成正比， 并且当站点D距离工业园区40Amk时， 新建的费用为 1825 万元设站点D距
9、工业园区A为x mk，A，B为两工业园区之间天然 气管道的修建总费用为y万元 （1）求y与x之间的函数关系式，并写出其定义域； （2）如何规划站点D的位置，才能使修建总费用最小？最小总费用是多少？ 22 （12 分）图 1，平行四边形ABCD中，ACBC，1ACBC，现将ADC沿AC折 起，得到三棱锥DABC（如图2)，且DABC，点E为侧棱DC的中点 （1）求证：AE 平面DBC； （2）求三棱锥DAEB的体积； （3）在ACB的角平分线上是否存在点F，使得/ /DF平面ABE？若存在，求DF的长； 若不存在，请说明理由 第 6 页（共 18 页） 2020-2021 学年河南省九师联盟高一
10、（上）联考数学试卷（学年河南省九师联盟高一（上）联考数学试卷（1 月月 份）份） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一有一项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （5 分）已知集合 |1,|2xMx yxNy y，则(MN ) A(0，1 B(，1 C0，) D0，1 【解答】解：集合 |1,|2xMx yxNy y， 可得10 x ，20 x y ， 解得 |1Mx x， |0Ny y， |01(0MNxx，1， 故选
11、：A 2 （5 分）直线1x 倾斜角为( ) A0 B90 C45 D不存在 【解答】解：直线1x 垂直于x轴， 直线1x 的倾斜角为90 故选：B 3 （5 分）下列命题中正确的是( ) A若三个平面两两相交，则它们的交线互相平行 B若三条直线两两相交，则它们最多确定一个平面 C若不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行 D不共线的四点可以确定一个平面 【解答】解：在A中，从正方体的一个顶点出发的三个平面是两两相交，但他们的交线互 相垂直，故A错误； 在B中从正方体的一个顶点出发的三条棱可以确定三个平面，故B错误； 在C中不同的两条直线均垂直于同一个平面则由线面垂直的性质定理得这两
12、条直线平行， 故C正确； 在D中，若四点连线构成两条异面直线，这时四点不能确定一个平面，故D错误； 第 7 页（共 18 页） 故选：C 4 （5 分）已知函数(1)2xfx，则 3 1 ( log27) 2 f的值为( ) A8 B16 C1 D4 【解答】解：令1,1)xt t，则 2 (1)xt， 所以 2 (1) ( )2,1,) x f xx ， 所以 4 3 1 ( log27)(3)216 2 ff 故选：B 5 （5 分）函数( )26 x f xex的零点所在的区间是( ) A( 1,0) B(0,1) C(1,2) D(2,3) 【解答】解：函数( )26 x f xex是
13、连续增函数， f（1）40e，f（2） 2 20e， 可得f（1）f（2）0， 函数( )f x的其中一个零点所在的区间是(1,2)， 故选：C 6 （5 分）如图，边长为 1 的正方形O A B C 是一个水平放置的平面图形OABC的直观图， 则平面图形OABC以OA为轴旋转 周所围成的几何体是( ) A一个圆柱 B一个圆柱和一个同底面的圆锥的组合体 C一个圆锥和一个同底面的圆柱（内部挖去一个同底等高的圆锥）的组合体 D两个同底的圆锥的组合体 【解答】解：由直观图O A B C 画出原图OABC，如下图所示； 第 8 页（共 18 页） 因为2O B ， 所以2 2,1OBOA， 所以平面图
14、形OABC以OA为轴旋转一周所围成的几何体为一个圆锥和一个圆柱（里面挖去 一个圆锥） 故选：C 7 （5 分）已知 1 1 ( ) 5 lg a ， 2 3 blog， 2 3lnc ，则a，b，c的大小关系为( ) Abca Bbac Cacb Dabc 【解答】解：由 1 1 ( ) 5 lg a ， 2 3 blog， 2 3lnc ， 得 10 3 11 ( )( )1,21,1 55 ln ablogc， 所以bac 故选：B 8 （5 分）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是( ) A若/ /，m，n，则/ /mn B若，m，n，则mn C若点A，B到平面
15、的距离相等，则直线/ /AB D若m，/ /m，则 【解答】解：由/ /，m，n，得/ /mn或m与n异面，故A错误； 若，m，n，则/ /mn或m与n相交或m与n异面，相交或异面时也不一定 垂直，故B错误； 若点A，B到平面的距离相等，AB可能与平行，也可能与平面a相交，故C错误； 若/ /m，过m作平面与相交，交线为n，则/ /mn，又m，所以n，得， 故D正确 第 9 页（共 18 页） 故选：D 9 （5 分）函数( )() | xx f xeex 的大致图象为( ) A B C D 【解答】解：因为()() |() |( ) xxxx fxeexeexf x ， 所以( )f x为奇
16、函数，其图象关于原点对称，只有选项A符合题意 故选：A 10 （5 分）若竖直放置的圆锥的正视图是一个面积为 2 的直角三角形，则该圆锥的体积为( ) A2 2 B 2 2 3 C 2 3 D 4 3 【解答】解：由题意，得该圆锥的母线长为 2，母线与底面所成角为45， 易得圆锥高和底面半径均为2， 则所求圆锥的体积为 2 12 2 ( 2)2 33 V 故选：B 11 （5 分）在正六棱柱 111111 ABCDEFABC D E F中，设O和 1 O分别为下底面和上底面正六边 形的中心，G，H是线段 11 AD上的动点，且 11 1()GHGHAD，则下列说法中正确的是( 第 10 页（共
17、 18 页） ) DH与AB异面； 当G为 11 AO中点时，BG与平面 11 ADD A所成角取得最大值； 四面体BDGH的体积是定值； / /DBEF A B C D 【解答】解：结合题意，对于因为AB平面 11 ADD AA，B平面 11 ADD A， 所以DH与AB异面正确； 对于，当G为 11 AO中点时，可证 11 BGAD，点G到点B的距离取得最小值， 此时，BG与平面 11 ADD A所成角取得最大值，正确； 对于，因为DGH的面积为定值，而点B到平面DGH的距离也是定值， 因而其体积为定值，故正确； 对于，显然/ /DBEA，错误 故选：C 12 （5 分）当 1 (0, )
18、 2 x时，函数 2 ( )log ( 4log) aa f xxx的图象恒在x轴下方，则实数a的 取值范围是( ) A 2 ,1) 2 B 2 (0,) 2 C 2,) D(0,1) 【解答】解：根据题意知 2 ( )log ( 4log)0 aa f xxx对任意 1 (0, ) 2 x恒成立， 当1a 时，对任意 2 1 (0, ), 4log0 2 a xxx不满足题意； 当01a时，可得 2 4log1 a xx对任意 1 (0, ) 2 x恒成立， 第 11 页（共 18 页） 即 2 41 a log xx， 1 (0, ) 2 x 结合单调性可知，只需 12 log2, 22
19、a a厖， 又01a， 2 1 2 a ，即a的取值范围是 2 ,1) 2 故选：A 二、填空题（每题二、填空题（每题 5 分，满分分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）设点( 2,1)A ，(4, 2)B，(1,12 )Ca，若A，B，C三点共线，则实数a的值 为 3 4 【解答】解：点( 2,1)A ，(4, 2)B，(1,12 )Ca，且点A，B，C三点共线， 21121 4( 2)1( 2) a ， 解得 3 4 a ， 故答案为： 3 4 14 （5 分）某圆柱的侧面展开图是一个长、宽分别为 4 和 3 的矩形，则该圆柱其中一个底 面的面积
20、为 4 或 9 4 【解答】解：设底面半径为r， 当底面圆周长为 4 时，24r，解得 2 r ， 所以底面圆的面积为 22 24 ()r ； 当底面圆周长为 3 时，23r，解得 3 2 r ， 所以底面圆的面积为 22 39 () 24 r ； 所以底面圆的面积为 4 或 9 4 故答案为： 4 或 9 4 15 （5 分）函数 20211 ( ) 20211 x x f x 的值域为 ( 1,1) 【解答】解： 202112021122 ( )1 202112021120211 xx xxx f x ， 2 20210,02 20211 x x ， 第 12 页（共 18 页） 2 1
21、11 20211 x ， ( )f x的值域为：( 1,1) 故答案为：( 1,1) 16 （5 分）已知四边形ABCD为矩形，2AB ，平面PAD 平面ABCD，PAPD，若四 棱锥PABCD外接球的表面积为16，则四棱锥PABCD体积的最大值为 4 【解答】解：如图，连接AC，BD，取AD的中点E， 设ACBDO， 分别过E作平面PAD的垂线，过O作平面ABCD的垂线，两垂线的交点即为外接球球心， 得球心为O， 由四棱锥PABCD外接球的表面积为16，得到其半径为 2， 则4AC ，设BCx， 则 2 416,2 3xx 在Rt PAD中， 1 3 2 PEAD 当PEAD时 ， 四 棱
22、锥PA B C D的 高 最 大 ， 体 积 取 得 最 大 值 ， 且 最 大 值 为 1 22 334 3 故答案为：4 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17 （10 分）如图，正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 4，E，M分别是BC， 1 BB的中点 （1）求证： 1 A，D，M，E四点共面； （2）已知N在棱 1 CC上，求四面体 1 ABMN的体积 第 13 页（共 18 页） 【解答】解： （1）证明：连接 1 A D， 1 B C， 11/ /
23、 ABDC且 11 ABDC，四边形 11 ABCD是平行四边形， 11 / /ADBC， 又E，M分别为BC， 1 BB中点， 1 / /MEBC， 1 / /MEAD， 1 A，D，M，E四点共面 （2）由题意，得BMN的面积 11 244 22 BMN SBMBC ， 由题意得 11 A B 平面BMN，且 11 4A B ， 四面体 1 ABMN的体积 116 44 33 V 18 （12 分）已知函数 2 ( )2( ,)f xxbxc b cR的图象过点(1,0)，且(1)f x为偶函数 （1）求函数( )f x的解析式； （2）若对任意的4x，16，不等式 44 (log)log
24、fxmx恒成立，求m的最小值 【解答】解： （1）因为 2 ( )2f xxbxc为二次函数，且(1)f x为偶函数， 可得(1)(1)fxf x ， 所以( )f x的图象的对称轴方程为1x ， 第 14 页（共 18 页） 又( )f x的图象过点(1,0)， 故 1 4 20 b bc ， 解得 4 6 b c ， 所以 2 ( )246f xxx； （2）令 4 logtx， 由4x，16，则1t，2， 不等式 44 (log)logfxmx，即 2 444 2(log)4log6logxxmx ， 可得 6 24mt t 在1，2上恒成立， 因为函数 6 24yt t 在1，2上单调
25、递增， 易得当2t 时， 6 245yt t ，即为最大值， 故m的取值范围是5，)， 所以实数m的最小值为 5 19 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，/ /CDAB，2CDAB， 90ADC，E，F分别为CD，PC的中点 （1）求证：平面/ /BEF平面PAD； （2）求证：平面BEF 平面PDC 【解答】证明： （1）/ /ABCD，2CDAB，E是CD的中点， / /ABDE，且ABDE， 四边形ABED是平行四边形， / /ADBE， 第 15 页（共 18 页） BE 平面PAD，AD 平面PAD，/ /BE平面PAD， E和F分别是CD，PC的中点，/ /
26、EFPD， EF 平面PAD，PD平面PAD，/ /EF平面PAD， EFBEE，BE，EF 平面BEF， 平面/ /BEF平面PAD， （2）90ADC，ADCD， 又/ /BEAD，BECD 由PA底面ABCD，CD 平面ABCD， 得到PACD， 又PAADA，PA，AD 平面PAD， CD平面PAD， PD平面PAD，CDPD， / /PDEF，CDEF， BEEFE，CD平面BEF， CD 平面PDC， 平面BEF 平面PDC 20 （12 分）如图，在四棱锥PABCD中，/ /ABCD，PDCD，2PDCD，过直线AB 的平面与棱PC，PD分别交于点E，F （1）求异面直线PC与A
27、B所成角的正切值； （2）求证：/ /EFCD 【解答】 （1）解：/ /ABCD，PCD即为异面直线PC与AB所成的角或其补角 PDCD，2PDCD，tan2 PD PCD CD ， 又(0PCD，90 ，异面直线PC与AB所成角的正切值为 2 （2）证明：/ /ABCD， 第 16 页（共 18 页） 又CD 平面PCD，AB平面PCD，/ /AB平面PCD 又由题意，得平面ABEF平面PCDEF，AB平面ABEF， / /ABEF，/ /EFCD 21 （12 分）某地区为了推进节能减排、保护环境和发展经济的需要，政府计划由当地天然 气公司在两个工业园区间A，B间修建天然气管道，已知两个
28、工业园区相距120 mk，并且 在两工业园区之间设立供气站点D（如图） ，为保证两个工业园区的安全，规定站点D距两 工业园区的距离均不得少于15 mk已知工业园区A一边有段10 mk长的旧管道AC，准备 改造利用，改造费用为 5 万元/ mk，其余管道都要新建，新建的费用与站点D到A，B两 工业园区方向上新修建管道的长度的平方和成正比， 并且当站点D距离工业园区40Amk时， 新建的费用为 1825 万元设站点D距工业园区A为x mk，A，B为两工业园区之间天然 气管道的修建总费用为y万元 （1）求y与x之间的函数关系式，并写出其定义域； （2）如何规划站点D的位置，才能使修建总费用最小？最小
29、总费用是多少？ 【解答】解： （1）站点D距两工业园区的距离均不得少于15 mk， 15 12015 x x ，解得15105x剟， 设 22 (10)(120) 5 10yxx k，15105x剟， 当40 x 时，1825501875y ， 22 (3080 )501875k，解得 1 4 k 222 1 (10)(120)5 10(1307350) 2 yxxxx ， 函数的定义域为15，105； （2） 22 11 (1307350)(65)1562.5 22 yxxx， 当65x 时，1562.5 min y万元 故当天然气站点D距工业园区A为65 mk时， 修建总费用最小， 最小总
30、费用为 1562.5 万元 22 （12 分）图 1，平行四边形ABCD中，ACBC，1ACBC，现将ADC沿AC折 起，得到三棱锥DABC（如图2)，且DABC，点E为侧棱DC的中点 第 17 页（共 18 页） （1）求证：AE 平面DBC； （2）求三棱锥DAEB的体积； （3）在ACB的角平分线上是否存在点F，使得/ /DF平面ABE？若存在，求DF的长； 若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）证明：在平行四边形ABCD中，ADBCAC， E是侧棱DC的中点，AECD， ACBC，ADBC，且ACADA，BC平面ACD， AE 平面ACD，AEBC， BCCDC，AE平面BCD，
31、AE 平面ABE，平面ABE 平面BCD （2） EABCB ACE VV ，BC 平面ACD，BC是三棱锥CABD的高， 1BC ，2CD ， 2 2 AE ， 111211 2 222224 ACE SAECD ， 三棱锥DAEB的体积为： 1111 1 33412 B ACEACE VBCS （3）取AB中点O，连接CO并延长至点F，使COOF， 连接AF，DF，BF， BCAC，射线CO是ACB的角平分线， 点E是CD中点，/ /OEDF， OE 平面ABE，DF 平面ABE，/ /DF平面ABE， AB，FC互相平行，四边形ACBF是平行四边形，/ /BCAF， DABC，AFAD， 第 18 页（共 18 页） 1AFAD，2DF
