1、第 1 页（共 14 页） 2020-2021 学年上海市杨浦区控江中学高一（上）期末数学试卷学年上海市杨浦区控江中学高一（上）期末数学试卷 一一.填空题（本大题共填空题（本大题共 12 小题，小题，1-6 题每题题每题 4 分，分，7-12 题每题题每题 5 分，满分分，满分 54 分）分） 1 （4 分）已知全集 |210Uxx ， |27Axx，则A 2 （4 分）设实数a满足 2 log4a ，则a 3 （4 分）已知幂函数 2 35 ( )(1) mm f xmx 的图象不经过原点，则实数m 4 （4 分）函数 2 ( )21f xxax在区间1，3上为严格减函数的充要条件是 5 （
2、4 分）函数 2 2 ( )log (1)f xx的定义域为 6 （4 分）设函数 2 ,0 ( ) ,0 xx f x xx ，若( )9f，则 7 （5 分）若函数( )(1) x f xa a在 1，2上的最大值为 4，则其最小值为 8 （5 分）在同一平面直角坐标系中，函数( )yg x的图象与3xy 的图象关于直线yx对 称， 而函数( )yf x的图象与( )yg x的图象关于y轴对称， 若f（a）1 ， 则a的值是 9 （5 分）如果关于x的方程|5|3|xxa有解，则实数a的取值范围是 10（5 分） 若定义在R上的奇函数( )f x在(0,)上是增函数， 且( 4)0f ，
3、则使得( )0 xf x 成立的x的取值范围是 11 （5 分）函数( )(221) xx f xlga 的值域是R，则实数a的取值范围是 12 （5 分）若直角坐标平面内两点P、Q满足条件：P、Q都在函数( )f x的图象上； P、Q关于原点对称，则对称点( ,)P Q是函数( )f x的一个“友好点对” （点对( ,)P Q与( , )Q P 看作同一个“友好点对” )已知函数 2 241,0 ( ) 2 ,0 x xxx f x x e 则( )f x的“友好点对”有 个 二二.选择题（本大题共选择题（本大题共 4 小题，每题小题，每题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 13 （5
4、分）函数 1 1 1 y x 的值域是( ) A(,1) B(1,) C(，1)(1，) D(,) 第 2 页（共 14 页） 14 （5 分）若abc，0abc，则下列各是正确的是( ) Aabac Bacbc C| |a bb c Dabbc 15 （5 分）已知函数 1,0 ( )0,0 1,0 x f xx x ，设 2 ( )( )F xxf x，则( )F x是( ) A奇函数，在(,) 上单调递减 B奇函数，在(,) 上单调递增 C偶函数，在(,0)上递减，在(0,)上递增 D偶函数，在(,0)上递增，在(0,)上递减 16 （5 分）设0abc，则 22 11 21025 ()
5、 aacc aba ab 取得最小值时，a的值为( ) A2 B2 C4 D2 5 三三.解答题（解答题（14+14+14+16+1876 分）分） 17 （14 分）已知函数 2 ( )21f xaxax （1）若实数1a ，请写出函数 ( ) 3f xy 的单调区间（不需要过程） ； （2）已知函数( )yf x在区间 3，2上的最大值为 2，求实数a的值 18 （14 分）设函数( ) |2|f xxa，( )2g xx （1）当1a 时，求不等式( )()( )f xfxg x 的解集； （2）求证： 1 ( ),(),( ) 222 bb fff中至少有一个不小于 1 2 19 （1
6、4 分）研究表明：在一节 40 分钟的网课中，学生的注意力指数y与听课时间x（单 位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当0 x，16时，曲线是二次函数图象的一部分； 当16x，40时，曲线是函数 0.8 80log()yxa图象的一部分，当学生的注意力指数不 高于 68 时，称学生处于“欠佳听课状态” （1）求函数( )yf x的解析式； （2） 在一节 40 分钟的网课中， 学生处于 “欠佳听课状态” 的时间有多长？ （精确到 1 分钟） 第 3 页（共 14 页） 20 （16 分）已知函数 1 ( )log(0,1) 1 a mx f xaa x 是奇函数 （1）求实数m的值 （2）判断函
7、数( )f x在(1,)上的单调性，并给出证明 （3）当( ,2)xn a时，函数( )f x的值域是(1,)，求实数a与n的值 21 （18 分）若函数( )f x的定义域为D，集合MD，若存在非零实数t使得任意xM都 有xtD ，且()( )f xtf x，则称( )f x为M上的t 增长函数 （1）已知函数( )g xx，函数 2 ( )h xx，判断( )g x和( )h x是否为区间 1，0上的 3 2 增 长函数，并说明理由； （2）已知函数( ) |f xx，且( )f x是区间 4，2上的n 增长函数，求正整数n的最小 值； （3）请在以下两个问题中任选一个作答： （如果两问都
8、做，按得分计入总分） 如果对任意正有理数q，( )f x都是R上的q 增长函数，判断( )f x是否一定为R上的单 调递增函数，并说明理由； 如果( )f x是定义域为R的奇函数， 当0 x时， 22 ( ) |f xxaa， 且( )f x为R上的4增 长函数，求实数a的取值范围 第 4 页（共 14 页） 2020-2021 学年上海市杨浦区控江中学高一（上）期末数学试卷学年上海市杨浦区控江中学高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.填空题（本大题共填空题（本大题共 12 小题，小题，1-6 题每题题每题 4 分，分，7-12 题每题题每题 5 分，满分分，满分
9、 54 分）分） 1 （4 分）已知全集 |210Uxx ， |27Axx，则A 7，10 【解答】解： |210Uxx ， |27Axx， 7A，10， 故答案为：7，10 2 （4 分）设实数a满足 2 log4a ，则a 16 【解答】解： 2 log4a ， 4 2a， 即16a ， 故答案为：16 3 （4 分）已知幂函数 2 35 ( )(1) mm f xmx 的图象不经过原点，则实数m 2 【解答】 解： 幂函数 2 35 ( )(1) mm f xmx 的图象不经过原点，11m 且 2 350mm， 则实数2m ， 故答案为：2 4 （4 分）函数 2 ( )21f xxax
10、在区间1，3上为严格减函数的充要条件是 3a 【解答】解：函数 2 ( )21f xxax是开口向上的抛物线，对称轴方程为xa， 所以( )f x在(, )a上单调递减， 若函数 2 ( )21f xxax在区间1，3上为严格减函数， 则3a 所以函数 2 ( )21f xxax在区间1，3上为严格减函数的充要条件是3a 故答案为：3a 5 （4 分）函数 2 2 ( )log (1)f xx的定义域为 ( 1,1) 【解答】解：要使函数有意义，必须 2 10 x，解得11x 故答案为：( 1,1) 第 5 页（共 14 页） 6 （4 分）设函数 2 ,0 ( ) ,0 xx f x xx
11、，若( )9f，则 9或 3 【解答】解：由题意可得 0 9 或 2 0 9 9 或3 故答案为：9或 3 7 （5 分）若函数( )(1) x f xa a在 1，2上的最大值为 4，则其最小值为 1 2 【解答】解：函数( )(1) x f xa a在 1，2上单调递增， 最大值为f（2） 2 4a，解得2a ； 所以( )2xf x 在 1，2上的最小值为 1 1 ( 1)2 2 f 故答案为： 1 2 8 （5 分）在同一平面直角坐标系中，函数( )yg x的图象与3xy 的图象关于直线yx对 称，而函数( )yf x的图象与( )yg x的图象关于y轴对称，若f（a）1 ，则a的值是
12、 1 3 【解答】解：函数( )yg x的图象与3xy 的图象关于直线yx对称 函数( )yg x与3xy 互为反函数 则 3 ( )logg xx， 又由( )yf x的图象与( )yg x的图象关于y轴对称 3 ( )log ()f xx， 又f（a）1 3 log ()1a ， 1 3 a 故答案为： 1 3 9 （5 分） 如果关于x的方程|5|3|xxa有解， 则实数a的取值范围是 8，) 【解答】解：由于|5|3|xx表示数轴上的x对应点到 5 和3对应点的距离之和，其最 第 6 页（共 14 页） 小值为 8， 再由关于实数x的不等式|5|3|xxa有解，可得8a， 实数a的取值
13、范围是8，) 故答案为：8，) 10（5 分） 若定义在R上的奇函数( )f x在(0,)上是增函数， 且( 4)0f ， 则使得( )0 xf x 成立的x的取值范围是 (，4)(4，) 【解答】解：定义在R上的奇函数( )f x在(0,)上是增函数， 函数( )f x是在(,0)上是增函数， 又( 4)0f ，f（4）0， 由( )0 xf x ，得 0 ( )0 x f x 或 0 ( )0 x f x ， 解得4x 或4x x的取值范围是(，4)(4，) 故答案为：(，4)(4，) 11（5分） 函数( )(221) xx f xlga 的值域是R， 则实数a的取值范围是 (，1 【解
14、答】解：函数( )(221) xx f xlga 的值域是R， 必须满足：2210 xx a ， 即1 (22 ) xx a ， 由于函数( )1 (22 ) xx g x 的最大值为1 所以实数a的取值范围是(，1 故答案为：(，1 12 （5 分）若直角坐标平面内两点P、Q满足条件：P、Q都在函数( )f x的图象上； P、Q关于原点对称，则对称点( ,)P Q是函数( )f x的一个“友好点对” （点对( ,)P Q与( , )Q P 看作同一个“友好点对” )已知函数 2 241,0 ( ) 2 ,0 x xxx f x x e 则( )f x的“友好点对”有 2 个 【解答】解：根据
15、题意： “友好点对” ，可知， 第 7 页（共 14 页） 只须作出函数 2 241(0)yxxx的图象关于原点对称的图象， 看它与函数 2 (0) x yx e 交点个数即可 如图， 观察图象可得：它们的交点个数是：2 即( )f x的“友好点对”有：2 个 故答案为：2 二二.选择题（本大题共选择题（本大题共 4 小题，每题小题，每题 5 分，满分分，满分 20 分）分） 13 （5 分）函数 1 1 1 y x 的值域是( ) A(,1) B(1,) C(，1)(1，) D(,) 【解答】解：因为 1 0 1x ， 故 1 11 1x ， 故函数 1 1 1 y x 的值域 |1y y
16、故选：C 14 （5 分）若abc，0abc，则下列各是正确的是( ) Aabac Bacbc C| |a bb c Dabbc 【解答】解：abc，0abc，0ac abac 故选：A 第 8 页（共 14 页） 15 （5 分）已知函数 1,0 ( )0,0 1,0 x f xx x ，设 2 ( )( )F xxf x，则( )F x是( ) A奇函数，在(,) 上单调递减 B奇函数，在(,) 上单调递增 C偶函数，在(,0)上递减，在(0,)上递增 D偶函数，在(,0)上递增，在(0,)上递减 【解答】解： 1,01,0 ()0,00,0( ) 1,01,0 xx fxxxf x xx
17、 ， ( )f x为奇函数， 又 2 ( )( )F xxf x， 22 ()()()( )( )Fxxfxxf xF x ， ( )F x是奇函数，可排除C，D 又 2 2 2 ,0 ( )( )0,0 ,0 xx F xxf xx xx ， ( )F x在(,) 上单调递增，可排除A， 故选：B 16 （5 分）设0abc，则 22 11 21025 () aacc aba ab 取得最小值时，a的值为( ) A2 B2 C4 D2 5 【解答】解： 222222 111111 21025(5)()(5) ()() aaccacaaca abaabababbab ， 2 2 () () 2
18、4 baba b ab ，当且仅当2ab时取等号， 222 22 144 24 () aaa b abaa 厖，当且仅当2a 时取等号， 2222 111 21025(5 )044 ()() aaccaca aba abb ab ， 第 9 页（共 14 页） 故选：A 三三.解答题（解答题（14+14+14+16+1876 分）分） 17 （14 分）已知函数 2 ( )21f xaxax （1）若实数1a ，请写出函数 ( ) 3f xy 的单调区间（不需要过程） ； （2）已知函数( )yf x在区间 3，2上的最大值为 2，求实数a的值 【解答】解： （1）当1a 时， 2 ( )21
19、f xxx， 该函数在( 1,) 上为增函数，在(, 1) 上为减函数， 又3xy 是增函数，由复合函数的单调性可得， 函数 ( ) 3f xy 的增区间是( 1,) ，减区间是(, 1) ； （2）当0a 时，函数( )yf x为常数函数，在区间 3，2上无最值； 当0a 时，函数 2 ( )21f xaxax的对称轴方程为1x ，在 3，2上先减后增， 当2x 时，函数取得最大值为812a ，则 1 8 a ； 当0a 时，函数 2 ( )21f xaxax的对称轴方程为1x ，在 3，2上先增后减， 当1x 时，函数取得最大值为12a ，则1a 故 1 8 a 或1a 18 （14 分）
20、设函数( ) |2|f xxa，( )2g xx （1）当1a 时，求不等式( )()( )f xfxg x 的解集； （2）求证： 1 ( ),(),( ) 222 bb fff中至少有一个不小于 1 2 【解答】 （1）解：当1a 时，|21|21|2xxx， 1 2 42 x x x 无解； 11 22 22 x x ，解得 1 0 2 x ； 1 2 42 x x x ，解得 12 23 x剟 综上，不等式的解集为 2 |0 3 xx 剟 （2）证明：若 1 ( ),(),( ) 222 bb fff都小于 1 2 ， 第 10 页（共 14 页） 则 11 22 11 22 11 1
21、 22 ab ab a ，前两式相加得 11 22 a与第三式 13 22 a矛盾故 1 ( ),(),( ) 222 bb fff 中至少有一个不小于 1 2 19 （14 分）研究表明：在一节 40 分钟的网课中，学生的注意力指数y与听课时间x（单 位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当0 x，16时，曲线是二次函数图象的一部分； 当16x，40时，曲线是函数 0.8 80log()yxa图象的一部分，当学生的注意力指数不 高于 68 时，称学生处于“欠佳听课状态” （1）求函数( )yf x的解析式； （2） 在一节 40 分钟的网课中， 学生处于 “欠佳听课状态” 的时间有多长？ （精确
22、到 1 分钟） 【解答】解： （1）当(0 x，16时，设 2 ( )(12)84(0)f xb xb， 2 (16)(16 12)8480fb， 1 4 b ， 2 1 ( )(12)84 4 f xx 当(16x，40时， 0.8 ( )log()80f xxa， 由 0.8 (16)log(16)8080fa，解得15a ， 0.8 ( )log(15)80f xx 综上， 2 0.8 1 (12)84,(0,16 ( )4 log(15)80,(16,40 xx f x xx ； （2）当(0 x，16时，令 2 1 ( )(12)8468 4 f xx ，得0 x，4， 第 11 页
23、（共 14 页） 当(16x，40时，令 0.8 ( )log(15)8068f xx，得 12 150.829.6x ， 30 x ，40， 故学生处于“欠佳听课状态”的时间长为40403014分钟 20 （16 分）已知函数 1 ( )log(0,1) 1 a mx f xaa x 是奇函数 （1）求实数m的值 （2）判断函数( )f x在(1,)上的单调性，并给出证明 （3）当( ,2)xn a时，函数( )f x的值域是(1,)，求实数a与n的值 【解答】解： （1）函数 1 ( )log(0,1) 1 a mx f xaa x 是奇函数， 对定义域任意x，恒有()( )0fxf x，
24、即 11 0 11 aa mxmx loglog xx ， 解得1m 或1m （舍去） ， 实数m的值为1（3 分） （2）由（1）得 12 ( )(1) 11 aa x f xloglog xx ， 当1a 时，( )f x在(1,)上递减，当01a时，( )f x在(1,)上递增 现证明如下： 设 12 1 11 x t xx ， 12 1xx， 21 12 1212 2()22 0 11(1)(1) xx tt xxxx ， 12 tt， 当1a 时， 12 loglog aa tt，即 12 ( )()f xf x，即( )f x在(1,)上单调递减； 第 12 页（共 14 页） 当
25、01a时， 12 loglog aa tt，即 12 ( )()f xf x，即( )f x在(1,)上单调递增 （8 分） （3）由题意知( )f x是定义域为(，1)(1，)的奇函数 当(n，2)(a ，1)，即21a，即01a时， 由（2）知( )f x在( ,2)n a 上为增函数， 由值域为(1,)，得 1 1 21 a n log n a ，无解 当(n，2)(1a ，)，即12n a剟，有3a ， 由（2）知在( ,2)n a 上( )f x为减函数， 由值域为(1,)，得 1 1 1 3 a n a log a ，解得2 3a ，1n （12 分） 21 （18 分）若函数(
26、)f x的定义域为D，集合MD，若存在非零实数t使得任意xM都 有xtD ，且()( )f xtf x，则称( )f x为M上的t 增长函数 （1）已知函数( )g xx，函数 2 ( )h xx，判断( )g x和( )h x是否为区间 1，0上的 3 2 增 长函数，并说明理由； （2）已知函数( ) |f xx，且( )f x是区间 4，2上的n 增长函数，求正整数n的最小 值； （3）请在以下两个问题中任选一个作答： （如果两问都做，按得分计入总分） 如果对任意正有理数q，( )f x都是R上的q 增长函数，判断( )f x是否一定为R上的单 调递增函数，并说明理由； 如果( )f x
27、是定义域为R的奇函数， 当0 x时， 22 ( ) |f xxaa， 且( )f x为R上的4增 长函数，求实数a的取值范围 【解答】解： （1）( )g xx是：因为 1x ，0， 333 ()( )()0 222 g xg xxx； 2 ( )h xx不是，反例：当1x 时， 311 ( 1)( )( 1)1 224 hhh （2）由题意得，| |xnx对于 4x ，2恒成立， 等价于 222 2xnxnx，即 2 20nxn对 4x ，2恒成立， 因为0n ，所以 2 2nxn是关于x的一次函数且单调递增，于是只需 2 80nn， 解得8n ，所以满足题意的最小正整数n为 9 第 13
28、页（共 14 页） （3）不是 构造 , ( ) 1, R x xQ f x xxC Q ，则对任意的正有理数q， 若xQ，则xqQ，因此()( )f xqxqxf x； 若 R xC Q，则 R xqC Q，因此()11( )f xqxqxf x 因此( )f x是R上的q 增函数，但( )f x不是增函数 根据题意，当0 x时， 22 ( ) |f xxaa， 则当 2 x a时， 2 ( )2f xxa，当 2 0 x a剟时，( )f xx ，由奇函数的对称性可知： 当 2 xa时， 2 ( )2f xxa，当 2 0ax剟时，( )f xx ， 则可得函数图象如图： 易知图象与x轴交点为 2 ( 2Ma，0)， 2 (2Na，0)， 因此函数( )f x在 2 a， 2 a上是减函数，其余区间上是增函数， ( )f x是R上的4增长函数，则对任意的x，都有(4)( )f xf x， 易知当 2 20ax剟时，( ) 0f x ， 为保证(4)( )f xf x，必有(4)0f x，即 2 42xa， 故 2 20ax剟且 2 42xa， 所以 2 44a，解得11a ， 第 14 页（共 14 页） 故答案为( 1,1)a
