1、第 1 页（共 18 页） 2020-2021 学年天津市南开区高三（上）期末数学试卷学年天津市南开区高三（上）期末数学试卷 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）若集合 |3 0Ax x ，xN，0B ，2，4，6，则() AB AB等于( ) A1，3，4，6 B0，1，3，4，6 C0，2 D2 2 （5 分） “ 22 mn”是“lnmlnn” ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件 3 （5 分）函数 2 2 1 ( )log (2) 1
2、 f xxx x 的定义域为( ) A(1,2) B(，0)(2，) C(，1)(1，2) D(0，1)(1，2) 4 （5 分）已知等比数列 n a满足 1 2a ， 2 356 4aaa，则 3 a的值为( ) A 1 2 B1 C2 D 1 4 5 （5 分） 函数sin2yx的图象经过怎样的平移变换得到函数sin(2 ) 3 yx 的图象( ) A向左平移 2 3 个单位长度 B向左平移 3 个单位长度 C向右平移 6 个单位长度 D向右平移 3 个单位长度 6 （5 分）已知圆 22 220 xyxya截直线20 xy所得弦的长度为 4，则实数a的 值是( ) A2 B4 C6 D8
3、 7 （5 分） 已知函数 2 ( )(1)f xlnx， 且 0 . 2 ( 0 . 2 )af， 3 (log 4)bf， 1 3 (3)cf log， 则a、 b、c的大小关系为( ) Aabc Bcab Ccba Dbca 8 （5 分）已知抛物线 2 :6C yx的焦点为F，A为C上一点且在第一象限，以F为圆心， FA为半径的圆交C的准线于M，N两点，且A，F，M三点共线，则| (AF ) A12 B9 C6 D3 第 2 页（共 18 页） 9 （5 分）已知aR，若函数 2 1 ( )|2| 2 f xxxa有三个或者四个零点，则函数 2 ( )41g xaxx的零点个数为( )
4、 A1 或 2 B2 C1 或 0 D0 或 1 或 2 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分. 10 （5 分）已知复数 5 5 2 i zi i ，则| z 11 （5 分）已知双曲线的方程为 2 2 1 3 x y，则此双曲线的离心率为 ，其焦点到渐近线 的距离为 12 （5 分）曲线 11 ( )f xln xx 在点(1，f（1）)处的切线方程是 13 （5 分）已知如图所示的多面体EFABCD中，四边形ABCD是菱形，四边形BDEF是 矩形，ED 平面ABCD， 3 BAD 若2BFBD，则多面体的体积 14 （5 分
5、）如图，在边长 1 为正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，则 AMAC ，若ACAMBN，则 15 （5 分）已知正数a，b满足1ab ，则 11ab ba 的最小值为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 个题，共个题，共 75 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16 （14 分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且1bc， 1 cos 3 A ， ABC的面积为2 2 第 3 页（共 18 页） （）求a，b，c的值； （）求cos(2)CA的值 17 （14 分） 如图， 直二面角DABE中， 四边形
6、ABCD是边长为 2 的正方形，AEEB， F为CE上的点，且BF 平面ACE （）求证AE 平面BCE； （）求二面角BACE的大小； （）求点D到平面ACE的距离 18 （15 分）已知点F为椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的一个焦点，点A为椭圆的右顶点，点B 为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点F距离的最大值为 3，最小值为 1 （）求椭圆的标准方程； （）若M、N在椭圆上但不在坐标轴上，且直线/ /AM直线BN，直线AN、BM的斜 率分别为 1 k和 2 k，求证： 2 12 1(k kee为椭圆的离心率） 19 （16 分）已知等差数列 n a满足 1 21 nn aan
7、 ， 1 2a， 123 aaa分别是等比数列 n b 的首项和第二项 （）求 n a和 n b的通项公式； （）记 n S为 n a的前n项和，求数列 1 n S 的前n项和； （）求 * 21 1 () n ii i ab nN 20 （16 分）已知函数( )1f xxlnx， 2 ( )(2)g xaxax （1）设函数( )( )( )H xfxg x，讨论( )H x的单调性； （2）设函数( )( )(2)G xg xax，若( )f x的图象与( )G x的图象有 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y 两个不同的交点，证明： 12 ()22ln x xln 第
8、4 页（共 18 页） 第 5 页（共 18 页） 2020-2021 学年天津市南开区高三（上）期末数学试卷学年天津市南开区高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）若集合 |3 0Ax x ，xN，0B ，2，4，6，则() AB AB等于( ) A1，3，4，6 B0，1，3，4，6 C0，2 D2 【解答】解：集合 |3 0Ax x ， |3xNx x，0 xN，1，2，3， 0B ，2，4，6， 0AB，2，0AB ，1，2
9、，3，4，6， 则()1 AB AB ，3，4，6 故选：A 2 （5 分） “ 22 mn”是“lnmlnn” ( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分又不必要条件 【解答】解：lnmlnn，则0mn，故 22 mn， 反之， 22 mn，得| |mn，推不出lnmlnn， 故“ 22 mn”是“lnmlnn”的必要不充分条件 故选：B 3 （5 分）函数 2 2 1 ( )log (2) 1 f xxx x 的定义域为( ) A(1,2) B(，0)(2，) C(，1)(1，2) D(0，1)(1，2) 【解答】解：由题意得： 2 10 20 x xx ， 解
10、得：02x且1x ， 故函数的定义域是(0，1)(1，2)， 故选：D 4 （5 分）已知等比数列 n a满足 1 2a ， 2 356 4aaa，则 3 a的值为( ) 第 6 页（共 18 页） A 1 2 B1 C2 D 1 4 【解答】解：由题意可得 22 3546 4aaaa， 故可得公比 2 26 2 4 1 2 a q a ， 故 2 31 1 21 2 aaq 故选：B 5 （5 分） 函数sin2yx的图象经过怎样的平移变换得到函数sin(2 ) 3 yx 的图象( ) A向左平移 2 3 个单位长度 B向左平移 3 个单位长度 C向右平移 6 个单位长度 D向右平移 3 个
11、单位长度 【解答】解： 2 sin(2 )sin(2 )sin(2)sin2() 3333 yxxxx ， 为了得到函数sin(2 ) 3 yx 的图象，只需将sin2yx的图象向左平移 3 个单位长度即可， 故选：B 6 （5 分）已知圆 22 220 xyxya截直线20 xy所得弦的长度为 4，则实数a的 值是( ) A2 B4 C6 D8 【解答】解：圆 22 220 xyxya 即 22 (1)(1)2xya， 故弦心距 | 1 12| 2 2 d 再由弦长公式可得224a，4a ， 故选：B 7 （5 分） 已知函数 2 ( )(1)f xlnx， 且 0 . 2 ( 0 . 2
12、)af， 3 (log 4)bf， 1 3 (3)cf log， 则a、 b、c的大小关系为( ) Aabc Bcab Ccba Dbca 【解答】解：函数 2 ( )(1)f xlnx的减区间为(,0)，增区间为(0,)， 0.20 00.20.21， 3 log 41， 1 3 31log ， 第 7 页（共 18 页） 0.2 (0.2 )af， 3 (log 4)bf， 1 3 (3)cf log， bca 故选：D 8 （5 分）已知抛物线 2 :6C yx的焦点为F，A为C上一点且在第一象限，以F为圆心， FA为半径的圆交C的准线于M，N两点，且A，F，M三点共线，则| (AF )
13、 A12 B9 C6 D3 【解答】解：因为A，F，M三点共线，所以AM为圆的直径， 所以ANMN，/ /ANx轴， 又F为AM的中点，且点F到准线的距离为 3， 所以6AN ， 由抛物线的定义可得| | 6AFAN， 故选：C 9 （5 分）已知aR，若函数 2 1 ( )|2| 2 f xxxa有三个或者四个零点，则函数 2 ( )41g xaxx的零点个数为( ) A1 或 2 B2 C1 或 0 D0 或 1 或 2 【解答】解：函数 2 1 ( )|2 | 2 f xxxa有三个或者四个零点， 函数 2 1 ( ) 2 m xx与函数( ) |2 |h xxa有三个或者四个不同的交点
14、， 作函数 2 1 ( ) 2 m xx与函数( ) |2 |h xxa的图象如下， 第 8 页（共 18 页） ， 结合图象可知，0.5 20.5a剟， 故 11 44 a剟， 当0a 时，函数 2 ( )41g xaxx有一个零点， 当0a 时，1640a， 故函数 2 ( )41g xaxx有两个零点， 故选：A 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分. 10 （5 分）已知复数 5 5 2 i zi i ，则| z 5 2 【解答】解：复数 5 5 2 i zi i 5 (2) 5 (2)(2) ii i ii 2 105
15、5 5 ii i 17i ， 22 | |( 1)75 2z 故答案为：5 2 11 （5 分）已知双曲线的方程为 2 2 1 3 x y，则此双曲线的离心率为 2 3 3 ，其焦点到 渐近线的距离为 第 9 页（共 18 页） 【解答】解：由双曲线的方程为 2 2 1 3 x y，可得3a ，1b ，2c ，则此双曲线的离 心率为 22 3 33 c a 故渐近线方程为 1 3 yx ，即30 xy，焦点为( 2,0)， 故一个焦点(2,0)到渐近线30 xy 的距离等于 |20| 1 13 ， 故答案为 2 3 3 ，1 12 （5 分）曲线 11 ( )f xln xx 在点(1，f（1
16、）)处的切线方程是 230 xy 【解答】解： 2 11 ( )fx xx ， 故f（1）1，f（1）2 ， 所以切线为：12(1)yx ， 即230 xy 故答案为：230 xy 13 （5 分）已知如图所示的多面体EFABCD中，四边形ABCD是菱形，四边形BDEF是 矩形，ED 平面ABCD， 3 BAD 若2BFBD，则多面体的体积 8 3 3 【解答】解：如图，连接AC，ACBDO 因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD， 又因为ED 平面ABCD，AC 平面ABCD， 所以EDAC 因为ED，BD平面BDEF，且EDBDD， 所以AC 平面BDEF，所以AO为四棱锥ABDEF的高
17、又因为四边形ABCD是菱形， 3 BAD ， 所以ABD为等边三角形 第 10 页（共 18 页） 又因为2BFBD，所以2AD ，3AO ，4 BDEF S 四边形 ， 所以 4 3 3 ABDEF V 四棱锥 ，即多面体的体积为 8 3 3 故答案为： 8 3 3 14（5 分） 如图， 在边长 1 为正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点， 则AMAC 3 2 ，若ACAMBN，则 【解答】解：以点A为原点，边AB所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则： 11 (0,0), (1,0),(1,1),(1, ),( ,1) 22 ABCMN， 11 (1, ),(1,
18、1),(,1) 22 AMACBN ， 13 1 22 AM AC ， 11 (1, )(,1)(,)(1,1) 2222 ACAMBN ， 第 11 页（共 18 页） 1 2 1 2 ，解得 6 5 2 5 ， 8 5 故答案为： 3 8 , 2 5 15 （5 分）已知正数a，b满足1ab ，则 11ab ba 的最小值为 4 【解答】解：正数a，b满足1ab ， 所以2ab ，当且仅当1ab时取等号， 令tab，则2t， 则 222 11 ()()2 ab abababab ba ， 22 2 2224tt ， 则 11ab ba 的最小值为 4 故答案为：4 三、解答题：本大题共三、
19、解答题：本大题共 5 个题，共个题，共 75 分分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16 （14 分）在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且1bc， 1 cos 3 A ， ABC的面积为2 2 （）求a，b，c的值； （）求cos(2)CA的值 【解答】解： （） 1 cos 3 A ，且(0, )A， 2 2 2 sin1 3 Acos A， ABC的面积为2 2， 112 2 sin2 2 223 SbcAbc， 6bc， 又1bc，3b，2c ， 由余弦定理知， 222 1 2cos942329 3 abcbcA ， 3a，
20、 综上，3a ，3b ，2c 第 12 页（共 18 页） （）由（）及正弦定理 sinsin ac AC ，知 32 sin2 2 3 C ， 解得 4 2 sin 9 C ， cb， 2 7 cos1 9 Csin C， 4 2756 2 sin22sincos2 9981 CCC， 2 17 cos22cos1 81 CC ， 17156 22 223 cos(2)cos2cossin2 sin 81381327 CACACA 17 （14 分） 如图， 直二面角DABE中， 四边形ABCD是边长为 2 的正方形，AEEB， F为CE上的点，且BF 平面ACE （）求证AE 平面BCE；
21、 （）求二面角BACE的大小； （）求点D到平面ACE的距离 【解答】解：( ) IBF 平面ACE， BFAE， 二面角DABE为直二面角， 平面ABCD 平面ABE，又BCAB，BC平面ABE，BCAE， 又BF 平面BCE，BFBCB，AE平面BCE ()II连接AC、BD交于G，连接FG， ABCD为正方形，BDAC， BF 平面ACE，BGAC，AC平面BFG， FGAC，FGB为二面角BACE的平面角，由( ) I可知，AE 平面BCE， AEEB， 又AEEB，2AB ，2AEBE， 第 13 页（共 18 页） 在直角三角形BCE中， 22 6CEBCBE， 2 22 63 B
22、C BE BF CE 在正方形中，2BG ，在直角三角形BFG中， 2 6 3 sin 32 BF FGB BG 二面角BACE为 6 arcsin 3 ()III由()II可知， 在正方形ABCD中，BGDG，D到平面ACE的距离等于B到平面ACE 的距离，BF 平面ACE， 线段BF的长度就是点B到平面ACE的距离， 即为D到平面ACE 的距离所以D到平面的距离为 22 3 33 另法：过点E作EOAB交AB于点O1OE 二面角DABE为直二面角，EO平面ABCD 设D到平面ACE的距离为h， D ACEEACD VV ， 11 33 ACBACD ShSEO AE 平面BCE，AEEC
23、11 22 1 2 3 22 11 3 26 22 AD DC EO h AE EC 点D到平面ACE的距离为 2 3 3 解法二： （）同解法一 （）以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴， 过O点平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，如图 AE 面BCE，BE 面BCE，AEBE， 在Rt AEB中，2AB ，O为AB的中点， 1OE(0A，1，0)，(1E，0，0)，(0C，1，2)，(1AE ，1，0)，(0AC ，2， 2) 设平面AEC的一个法向量为(nx，y，) z， 第 14 页（共 18 页） 则 0 0 AE n AC n ，即 0
24、220. xy yz ， 解得 yx zx ， 令1x ，得(1n ，1，1)是平面AEC的一个法向量 又平面BAC的一个法向量为(1m ，0，0)， cos(m， ,13 ) | |33 m n n mn 二面角BACE的大小为 3 arccos 3 ()/ /IIIADz轴，2AD ，(0AD ，0，2)， 点D到平面ACE的距离| |cosdADAD， |22 3 |33 AD n n n 18 （15 分）已知点F为椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的一个焦点，点A为椭圆的右顶点，点B 为椭圆的下顶点，椭圆上任意一点到点F距离的最大值为 3，最小值为 1 （）求椭圆的标准方
25、程； （）若M、N在椭圆上但不在坐标轴上，且直线/ /AM直线BN，直线AN、BM的斜 率分别为 1 k和 2 k，求证： 2 12 1(k kee为椭圆的离心率） 第 15 页（共 18 页） 【解答】解： （）由题意可知， 3 1 ac ac ，解得 2 1 a c ， 222 3bac， 椭圆的标准方程为： 22 1 43 xy ； （）由（）可知，(2,0)A，(0,3)B， 设直线AM的斜率为k，则直线BN的斜率也为k， 故直线AM的方程为(2)yk x，直线BN的方程为3ykx， 由 22 3412 (2) xy yk x 得： 2222 (34)1616120kxk xk， 2
26、2 1612 2 34 M k x k ， 2 2 86 34 M k x k ， 2 12 34 M k y k ， 2 22 8612 (,) 3434 k M kk ， 由 22 3412 3 xy ykx 得： 22 (34)8 30kxkx， 2 8 3 34 N k x k ， 2 2 4 33 3 34 N k y k ， 2 22 8 34 33 3 (,) 3434 kk N kk ， 2 2 2 1 2 2 4 33 3 3(43) 34 8 32(44 33) 2 34 k k k k kkk k ， 2 2 2 22 2 12 3 3(44 33) 34 862(43)
27、 34 k kk k k kk k ， 22 12 2 2 3(43)3(44 33)3 2(43)42(44 33) kkk k k kkk ， 又 1 2 c e a ， 2 12 1k ke 19 （16 分）已知等差数列 n a满足 1 21 nn aan ， 1 2a， 123 aaa分别是等比数列 n b 的首项和第二项 第 16 页（共 18 页） （）求 n a和 n b的通项公式； （）记 n S为 n a的前n项和，求数列 1 n S 的前n项和； （）求 * 21 1 () n ii i ab nN 【解答】解： （）设等差数列 n a的公差为d， 由 1 21 nn a
28、an ，可得 211 21 12aaa ， 即 11 22adad，即有 1 ad， 又 32 21aa，即 11 2221adad， 解得 1 1ad，所以 n an； 由 1 2a， 123 aaa分别是等比数列 n b的首项和第二项， 可得 1 2b ， 2 1236b ， 则等比数列 n b的公比为 3， 所以 1 2 3n n b ； （） 1 (1) 2 n Sn n， 1211 2() (1)1 n Sn nnn ， 所以数列 1 n S 的前n项和 111111112 2(1)2(1) 22334111 n n T nnnn ； （）设 211 1325 321 1 n nii
29、nn i Maba ba ba bab 0121 2 36 310 32(21) 3nn ， 123 32 36 310 32(21) 3n n Mn ， 上面两式相减可得 1231 224(3333)2(21) 3 nn n Mn 1 3(1 3) 242(21) 3 1 3 n n n ， 化简可得 21 1 2(22) 3 n n ii i abn 20 （16 分）已知函数( )1f xxlnx， 2 ( )(2)g xaxax 第 17 页（共 18 页） （1）设函数( )( )( )H xfxg x，讨论( )H x的单调性； （2）设函数( )( )(2)G xg xax，若(
30、 )f x的图象与( )G x的图象有 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y 两个不同的交点，证明： 12 ()22ln x xln 【解答】解： （1） 2 ( )( )( )(2)1H xf xg xlnxaxax，则 ( 21)(1) ( ) xax H x x ， 当0a时，( )H x在 1 (0, ) 2 上单调递增，在 1 ( ,) 2 上单调递减； 当20a 时，令( )0H x，得 1 0 2 x或 1 x a ，令( )0H x，得 11 2 x a ， ( )H x在 11 (0, ),(,) 2a 上单调递增，在 11 ( ,) 2a 上单调递减； 当2
31、a 时，( ) 0H x，( )H x在(0,)上单调递增； 当2a 时，令( )0H x，得 1 0 x a 或 1 2 x ，令( )0H x，得 11 2 x a ， ( )H x在 11 (0,),( ,) 2a 上单调递增，在 1 1 (, ) 2a 上单调递减； （2）证明： 2 ( )( )(2)G xg xaxax， 依题意，关于x的方程 2 1axxlnx，即 1 axlnx x 有两个不同的根， 由题知， 11 1 1 lnxax x ， 22 2 1 lnxax x ， 得， 12 1212 12 ()() xx ln x xa xx x x ， 得， 221 21 11
32、2 () xxx lna xx xx x ， 由得， 12122 12 12211 2() () xxxxx ln x xln x xxxx ，不妨设 12 0 xx，记 2 1 1 x t x ， 令 2(1) ( )(1) 1 t F tlntt t ，则 2 (1) ( )0 (1) t F t t t ， ( )F t在(1,)上单调递增，故( )F tF（1）0， 2(1) 1 t lnt t ，即 2 2121 2 112 1 2(1) 2() 1 x xxxx ln x xxx x ， 12122 12 12211 2() ()2 xxxxx ln x xln x xxxx ，
33、12 12 12121212 1212 1212 42()44 ()()()2 x xxx ln x xln x xln x xln x x x xx xx xx x ， 第 18 页（共 18 页） 12 12 4 22ln x x x x ，即 12 12 2 1ln x x x x ， 令 2 ( )xlnx x ，易知( )x在(0,)上单调递增， 又 212 ( 2 )211 22 lneln ee ， 12 12 22 1( 2 ) 2 ln x xlne x xe ， 即 12 ()( 2 )x xe， 12 2x xe，即 2 1 2 2x xe， 12 ()22ln x xln，即得证
