1、第 1 页（共 13 页） 2020-2021 学年天津市部分区高二（上）期末数学试卷学年天津市部分区高二（上）期末数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 9 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 36 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （4 分）在空间直角坐标系中，已知点(2A，1，3)，( 4B ，1，1)，则线段AB的中 点坐标是( ) A( 1，0，2) B( 1，0，1) C(3，0，1) D( 1，1，1) 2 （4 分）准线为2x 的抛物线的标准方程是( ) A 2 4yx B 2
2、 8yx C 2 4yx D 2 8yx 3 （4 分）经过(2,1)A，(0, 3)B两点的直线方程为( ) A230 xy B230 xy C230 xy D230 xy 4 （4 分）在等比数列 n a中， 4 24a ， 6 6a ，则 5 (a ) A12 B12 C12 D15 5 （4 分）已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为 1 2 ，且它的长轴长等于 4，则椭圆的标准方 程是( ) A 22 1 43 xy B 22 1 1612 xy C 2 2 1 4 x y D 22 1 164 xy 6 （4 分）已知圆的方程为 22 220 xyxym，则实数m的取值范围是( ) A2
3、m B2m C2m D2m 7 （4 分） 莱因德纸草书是世界上最古老的数学著作只之一，书中有一道这样的题目： 把 100 个面包分给 5 个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 1 7 是较小的两 份之和，问最小一份为( ) A 5 3 B 10 3 C 5 6 D 11 6 8 （4 分） 已知F为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点，A为C的左顶点，B为C上 的点，且BF垂直于x轴若直线AB的倾斜角为 4 ，则C的离心率为( ) A3 B2 C3 D5 9 （4 分）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离 第 2 页（
4、共 13 页） 的最小值 在长方体 1111 ABCDABC D中，1AB ，2BC ， 1 3AA ， 则异面直线AC与 1 BC 之间的距离是( ) A 5 5 B 7 7 C 6 6 D 6 7 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分.试题中包含两个空的，每个空试题中包含两个空的，每个空 2 分分. 10 （4 分）已知圆 22 1: 2880Cxyxy，圆 22 2: 4420Cxyxy，则圆 1 C与圆 2 C的位置关系是 11 （4 分）记 n S为等差数列 n a的前n项和，若 2* () n Sn nN，则 9 a
5、， n a 12 （4 分）经过点(3, 1)M，且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为 13（4 分） 已知空间向量(1,0,1)a ，(2, 1,2)b ， 则向量b在向量a上的投影向量是 14 （4 分）已知数列 n a的首项 1 2a ，且满足 * 1 32() nn aanN ，则 n a的前n项和 n S 15 （4 分）已知A，B两点的坐标分别是( 2,0)，(2,0)，直线AM，BM相交于点M， 且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是 4，则点M的轨迹方程为 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 60 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解
6、答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16 （12 分）已知等比数列 n a满足 2 6a ， 13 630aa （）求 n a的通项公式； （）若 1 2a ，设 * 2 () 3 nn bn a nN，记数列 n b的前n项和为 n S，求 n S 17 （12 分）已知圆C与直线24xy相切于点(1,2)A，并且圆心在直线yx 上，求圆C 的方程 18 （12 分） 如图， 在四面体ABCD中，ABAC，AD 平面ABC， 点M为棱AB的中点， 2ABAC，3AD （）求直线BC与MD所成角的余弦值； （）求平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值 第 3 页（共 13 页） 19 （12
7、 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的焦距为2 3，且离心率为 3 2 （）求E的方程； （） 若直线 1 1() 2 yxkk与E相交于A，B两点，M为E的左顶点， 且满足MAMB， 求k 20 （12 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S， 42 4SS， * 2 21() nn aanN （）求 n a的通项公式； （）设数列 n b满足 * 12 3(21)() n bbnbn nN，记数列 1 4 ( 1)n n n n b a 的前n项和 为 n T，求 n T 第 4 页（共 13 页） 2020-2021 学年天津市部分区高二（上）期末数学试卷学
8、年天津市部分区高二（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 9 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 36 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的. 1 （4 分）在空间直角坐标系中，已知点(2A，1，3)，( 4B ，1，1)，则线段AB的中 点坐标是( ) A( 1，0，2) B( 1，0，1) C(3，0，1) D( 1，1，1) 【解答】解：因为点(2A，1，3)，( 4B ，1，1)， 所以线段AB的中点坐标是( 1，0，1) 故选：B 2 （4 分）
9、准线为2x 的抛物线的标准方程是( ) A 2 4yx B 2 8yx C 2 4yx D 2 8yx 【解答】解：准线方程为2x 2 2 p 4p 抛物线方程为 2 8yx 故选：B 3 （4 分）经过(2,1)A，(0, 3)B两点的直线方程为( ) A230 xy B230 xy C230 xy D230 xy 【解答】解：由题意得，直线AB的斜率 13 2 20 k， 故直线AB的方程为32yx，即230 xy 故选：A 4 （4 分）在等比数列 n a中， 4 24a ， 6 6a ，则 5 (a ) A12 B12 C12 D15 【解答】解：等比数列 n a中， 4 24a ，
10、6 6a ，则 546 24612aa a ， 故选：C 5 （4 分）已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为 1 2 ，且它的长轴长等于 4，则椭圆的标准方 第 5 页（共 13 页） 程是( ) A 22 1 43 xy B 22 1 1612 xy C 2 2 1 4 x y D 22 1 164 xy 【解答】解：由题意可设椭圆方程为 22 22 1(0) xy ab ab 且24a ，2a，又 1 2 c e a ， 1c ，则 222 3bac 椭圆的标准方程是 22 1 43 xy 故选：A 6 （4 分）已知圆的方程为 22 220 xyxym，则实数m的取值范围是( ) A2m B
11、2m C2m D2m 【解答】解：圆的方程为 22 220 xyxym，整理得 22 (1)(1)2xym， 所以20m，解得2m 故选：C 7 （4 分） 莱因德纸草书是世界上最古老的数学著作只之一，书中有一道这样的题目： 把 100 个面包分给 5 个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 1 7 是较小的两 份之和，问最小一份为( ) A 5 3 B 10 3 C 5 6 D 11 6 【解答】解：设五个人所分得的面包为2ad，ad，a，ad，2ad， （其中0)d ； 则，(2 )()()(2 )5100adadaadada，20a； 由 1 (2 )2 7 aadadadad
12、， 得337 ( 23 )adad；2411da，55/ 6d； 所以，最小的 1 分为 1105 220 63 ad 故选：A 8 （4 分） 已知F为双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点，A为C的左顶点，B为C上 的点，且BF垂直于x轴若直线AB的倾斜角为 4 ，则C的离心率为( ) A3 B2 C3 D5 第 6 页（共 13 页） 【解答】解：设点( ,0)F c， BF垂直于x轴， 把xc代入双曲线的方程中，可得 2 b y a ， 不妨取 2 ( ,) b B c a ，则 2 | b BF a ， 直线AB的倾斜角为 4 ， | |AFBF，即 2 b
13、 ac a ， 2222 aacbca，即 22 20aacc， 解得2ca或ca （舍)， 离心率2 c e a 故选：B 9 （4 分）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离 的最小值 在长方体 1111 ABCDABC D中，1AB ，2BC ， 1 3AA ， 则异面直线AC与 1 BC 之间的距离是( ) A 5 5 B 7 7 C 6 6 D 6 7 【解答】解：以O为原点建立空间直角坐标系如图所示， 则(0A，0，0)，(0C，1，0)，(2B，1，0)， 1(0 C，1，3)， 所以 1 (2, 1,0),( 2,0,3)CABC ， 设CA和
14、1 BC的公垂线的方向向量为( , , )nx y z， 则有 0 0 n CA n BC ，即 20 230 xy xz ， 第 7 页（共 13 页） 所以(3,6,2)n ， 又(0,1,0)AB ， 所以异面直线AC与 1 BC之间的距离 222 66 | |7 362 AB n d n 故选：D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分分.试题中包含两个空的，每个空试题中包含两个空的，每个空 2 分分. 10 （4 分）已知圆 22 1: 2880Cxyxy，圆 22 2: 4420Cxyxy，则圆 1 C与圆 2 C的位置关
15、系是 相交 【解答】解：圆 22 1: 2880Cxyxy，即 22 (1)(4)25xy， 其圆心 1 C为( 1, 4) ，半径 1 5r ， 圆 22 2: 4420Cxyxy，即 22 (2)(2)10 xy， 其圆心 1 C为(2,2)，半径 2 10r ， 则圆心距 22 12 |363 5C C ，5103 5510， 即 121212 |rrC Crr， 故圆 1 C与圆 2 C的位置关系是相交 故答案为：相交 11（4 分） 记 n S为等差数列 n a的前n项和， 若 2* () n Sn nN， 则 9 a 17 ， n a 第 8 页（共 13 页） 【解答】解： 2
16、n Sn， 22 998 9817aSS， 当1n 时， 1 1a ， 2 221 213aSS ， 等差数列 n a的的公差312d ， 1 (1)12(1)21 n aandnn ， 故答案为：17，21n 12（4 分） 经过点(3, 1)M， 且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程为 22 1 88 xy 【解答】解：设对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的方程为 22 (0)xy ， 将点(3,)Ml，代入可得91 ， 8， 方程为 22 8xy，即 22 1 88 xy 故答案为： 22 1 88 xy 13（4 分） 已知空间向量(1,0,1)a ，(2, 1,2)b ， 则向量b在向
17、量a上的投影向量是 (2， 0，2) 【解答】解：向量(1,0,1)a ，(2, 1,2)b ， 则|2a ，| 3b ，4a b， 所以向量b在向量a上的投影向量为 |cosba， 41 |3(1 |3 22 aa ba bb aaa b ，0，1)(2，0，2)， 故答案为：(2，0，2) 14（4 分） 已知数列 n a的首项 1 2a ， 且满足 * 1 32() nn aanN ， 则 n a的前n项和 n S 1 1 (33) 2 n n 【解答】解： 1 32 nn aa ， 第 9 页（共 13 页） 1 13(1) nn aa ， 1 1 3 1 n n a a ， 1 13
18、a ， 1 n a是以 3 为首项，以 3 为公比的等比数列， 13n n a ， 31 n n a， 1 3(13 )1 (33) 132 n n n Snn 故答案为： 1 1 (33) 2 n n 15 （4 分）已知A，B两点的坐标分别是( 2,0)，(2,0)，直线AM，BM相交于点M， 且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是 4， 则点M的轨迹方程为 2 4(2)yxx 【解答】解：设( , )M x y， 则4 22 BMAM yy xx kk， 整理得 2 4(2)yxx ， 动点P的轨迹方程是 2 4(2)yxx 故答案为： 2 4(2)yxx 三、解答题：本大题共三、解答题
19、：本大题共 5 小题，共小题，共 60 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16 （12 分）已知等比数列 n a满足 2 6a ， 13 630aa （）求 n a的通项公式； （）若 1 2a ，设 * 2 () 3 nn bn a nN，记数列 n b的前n项和为 n S，求 n S 【解答】解： （）设等比数列 n a的公比为q，由 2 6a ，可得 1 6a q ，记为， 又因为 13 630aa，可得 12 630aa q， 即 1 5aq记为， 第 10 页（共 13 页） 由可得 1 2& 3& a q 或 1 3& 2& a
20、q 故 n a的通项公式为 1 23n n a 或 1 3 2n n a （）由（）及 1 2a 可知 1 3 2n n a ， * 2 2 () 3 n nn bn annN， 所以 12 1 2222n n Sn ， 231 21 2222n n Sn ， 得 121111 2222222(1)22 nnnnn n Snnn 所以 1 (1)22 n n Sn 17 （12 分）已知圆C与直线24xy相切于点(1,2)A，并且圆心在直线yx 上，求圆C 的方程 【解答】解：依题意，过圆心和点(1,2)A的直线与直线24xy垂直， 故这条直线的斜率为 1 2 所以这条直线的方程230 xy
21、由已知，所求圆的圆心C在直线yx 上 解方程组 230& & xy yx ， 可得1x ，1y 所以圆心C的坐标为( 1,1) 半径为|5AC ， 所求圆C的方程为 22 (1)(1)5xy 18 （12 分） 如图， 在四面体ABCD中，ABAC，AD 平面ABC， 点M为棱AB的中点， 2ABAC，3AD （）求直线BC与MD所成角的余弦值； （）求平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值 第 11 页（共 13 页） 【解答】解：依题意，可以建立以A为原点，分别以AB，AC，AD的方向为x轴，y轴， z轴的正方向的空间直角坐标系（如图） ，可得(0A，0，0)，(1M，0，0)，(2B，0，
22、0)， (0C，2，0)，(0,0, 3)D， （）依题意( 2,2,0)BC ，( 1,0, 3)MD |2 cos, 4| BC MD BC MD BCMD ， 所以直线BC与MD所成角的余弦值为 2 4 （）易知，(0,2,0)AC 为平面ABD的一个法向量， 依题意，可得( 2,2,0)BC ，( 2,0, 3)BD 设( , , )mx y z为平面BCD的法向量， 则 220 230 m BCxy m BDxz ， 不妨令2z ，可得( 3, 3,2)m 因此有 30 cos, 10| m AC m AC mAC ， 所以，平面ABD和平面BDC的夹角的余弦值为 30 10 第 1
23、2 页（共 13 页） 19 （12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab 的焦距为2 3，且离心率为 3 2 （）求E的方程； （） 若直线 1 1() 2 yxkk与E相交于A，B两点，M为E的左顶点， 且满足MAMB， 求k 【解答】解： （）由题意知22 3c ， 3 2 c a ，（2 分） 又因为 222 abc解得2a ，1b ，3c （4 分） 故E的标准方程为 2 2 1 4 x y （5 分） （）由 2 2 1 4 1 x y yx k ，得 22 (14)80 xxkk， 得0 x 或 2 8 14 x k k （7 分） 不妨设(0,1)A，( B
24、 B x，) B y，则 2 8 14 B x k k ， 2 2 14 14 B y k k （8 分） 由（）知( 2,0)M ，故(2,1)MA， 22 22 882 14 (,) 1414 MB kkk kk ，（9 分） 由MAMB， 知0M AM B （ 10分 ） 222 2222 2( 882 )141 285( 21 ) ( 65 ) 0 14141414 M AM B kkkkkkk kkkk （11 分） 又因为 1 2 k，故 5 6 k（12 分） 20 （12 分）已知等差数列 n a的前n项和为 n S， 42 4SS， * 2 21() nn aanN （）求
25、n a的通项公式； （）设数列 n b满足 * 12 3(21)() n bbnbn nN，记数列 1 4 ( 1)n n n n b a 的前n项和 为 n T，求 n T 【解答】解： （）设等差数列 n a的公差为d，由 42 4SS， 可得 11 464(2)adad， 即 1 2ad记为 第 13 页（共 13 页） 又因为 * 2 21() nn aanN， 取1n ， 所以 21 21aa， 即 1 1ad 记为， 由可得 1 1a ， 2d 故 n a的通项公式为21 n an （）由 12 3(21) n bbnbn， 可得 1 1b 且 121 3(23)1(2) n bbnbnn 上述两式作差可得 1 (2) 21 n bn n ， 由 1 1b 可知 * 1 () 21 n bnN n 所以 1 4411 ( 1)( 1)( 1) () (21)(21)2121 nnnn n n bn annnn 当n为偶数时 111111111 (1)()()()() 3355723212121 n T nnnn ， 12 1 2121 n n T nn 当n为奇数时， 1111111 (1)()()() 335572121 n T nn 122 1 2121 n n T nn 故 2 21 22 21 n n n n T n n n 为偶数 为奇数
