1、第 1 页（共 19 页） 2020-2021 学年河北省张家口市高三（上）期末数学试卷学年河北省张家口市高三（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 2 |23 0Mx xx ， |1Nx lgx，则(MN ) A 1，3 B0，3 C 1，3 D(0，3 2 （5 分）i是虚数单位，复数z满足(3)10zii，则(z ) A3i B3i C13i D13i 3 （5 分）已知命题:( 1,3
2、)px ， 2 2 0 xa 若p为假命题，则a的取值范围为( ) A(, 2) B(, 1) C(,7) D(,0) 4 （5 分）某班优秀学习小组有甲、乙、丙、丁、戊共 5 人，他们排成一排照相，则甲、乙 二人相邻的排法种数为( ) A24 B36 C48 D60 5 （5 分）在四棱锥PABCD中，PD 平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PDAD， M，N分别为AB，PC的中点，则BN与MC所成角的余弦值是( ) A 30 6 B 6 6 C 70 10 D 30 10 6 （5 分）圆 22 :(1)25Sxy分别交x轴、y轴的正半轴于A，B两点，则(SA SB ) A5 B10
3、C15 D25 7 （5 分）已知( )f x是R上的奇函数，且对xR，有(2)( )f xf x 当(0,1)x时， ( )21 x f x ，则 2 (log 41)(f ) A40 B 25 16 C 23 41 D 41 23 8 （5 分）太极图被称为“中华第一图” 从孔庙大成殿梁柱，到老子楼观台、三茅宫、白 云观的标记物；到中医、气功、武术及中国传统文化的书刊封面、会徽、会标，这种广为人 知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图” 已知函数 1,0 ( )0,0 1,0 x sgn xx x ，则以下图形中，阴影部分可以用不等式组 22 22 4 ( )1
4、 0 xy x xysgn x 表 第 2 页（共 19 页） 示的是( ) A B C D 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项分在每小题给出的四个选项中，有多项 是符合题目要求的全部选对的得是符合题目要求的全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分 9 （5 分）两个相关变量x，y的 5 组对应数据如表： x 8.3 8.6 9.9 11.1 12.1 y 5.9 7.8 8.1 8.4 9.8 根据如表，可得回归直线方程 ybxa，求得 0.78b
5、 据此估计，以下结论正确的是( ) A10 x B9y C0.2a D当15x 时，11.95y 10 （5 分）已知数列 n a的前n项和为 n S，下列说法正确的( ) A若 2 1 n Sn，则 n a是等差数列 B若31 n n S ，则 n a是等比数列 C若 n a是等差数列，则 95 9Sa D若 n a是等比数列，且 1 0a ，0q ，则 2 132 SSS 11 （5 分）已知函数( )2sin()(0f xx ，|)的部分图象如图所示，则( ) 第 3 页（共 19 页） A2 B 3 C若 12 3 xx ，则 12 ( )()f xf x D若 12 3 xx ，则
6、12 ()()0f xf x 12 （5 分）抛物线 2 :4C yx的焦点为F，直线l过点F，斜率0k，且交抛物线C于A， B（点A在x轴的下方）两点，抛物线的准线为m， 1 AAm于 1 A， 1 BBm于 1 B，下列结 论正确的是( ) A若3BFFA，则3k B 11 1 |FAFB C若1k，则| 12AB D 11 90AFB 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）双曲线 2 2 1 3 y x 的左、右顶点分别为A，B，右支上有一点M，且1 MA k， 则MAB的面积为 14 （5 分）若数列 n a满
7、足： 1 5 nn aan ， 1 1a ，则 2020 a 15 （5 分）莱昂哈德欧拉是科学史上一位杰出的数学家，他的研究论著几乎涉及到所有数 学分支，有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的欧拉发现， 不论什么形状的凸多面体， 其顶点数V、 棱数E， 面数F之间总满足数量关系2VFE， 此式称为欧拉公式已知某凸八面体，4 个面是三角形，3 个面是四边形，1 个面是六边形， 则该八面体的棱数为 ，顶点的个数为 16（5 分） 随机变量X的概率分布满足 10 ()(0 C P X M k kk， 1， 2， 3，10)， 则()E X 四、解答题：本题共四、解答题：本题共
8、 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 第 4 页（共 19 页） 17 （10 分） 在2 sin3bAa， 222 sinsinsinsinsinACBAC， coscosaAcC这 三个条件中任选一个，补充到下面的问题中若问题中的三角形存在，请求出cosC；若问 题中的三角形不存在，请说明理由 问题：是否存在ABC，满足abc且23acb，_？ 18 （12 分）数列 n a是等比数列，前n项和为 n S， 1 1a ， 1nn aSm （1）求m， （2）若 12 12 n n n T aaa ，求 n T 19
9、（12 分）如图，在三棱台 111 ABCABC中， 1 AA 平面ABC，90BAC，4AB ， 1111 2ABAC， 11 ABBC （1）求 1 AA的长； （2）求二面角 11 BACC的正弦值 20 （12 分）甲、乙两队举行围棋擂台赛，规则如下：两队各出 3 人，排定 1，2，3 号第 一局，双方 1 号队员出场比赛，负的一方淘汰，该队下一号队员上场比赛当某队 3 名队员 都被淘汰完，比赛结束，未淘汰完的一方获胜，如图表格中，第m行、第n列的数据是甲队 第m号队员能战胜乙队第n号队员的概率 0.5 0.3 0.2 0.6 0.5 0.3 0.8 0.7 0.6 （1）求甲队 2
10、号队员把乙队 3 名队员都淘汰的概率； （2）比较第三局比赛，甲队队员和乙队队员哪个获胜的概率更大一些？ 21 （12 分）已知函数( )1 x f xeax 第 5 页（共 19 页） （1）当2a 时，求曲线在(1，f（1）)处的切线方程； （2）若 2 ( )( )g xf xx，且( )g x在0，)上的最小值为 0，求a的取值范围 22 （12 分）椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 过点(2,3)M，其上，下顶点分别为点A，B，且 直线AM，MB的斜率之积为 3 4 AMBM kk （1）求椭圆C的方程； （2） 过椭圆C的左顶点(,0)Qa作两条直线， 分别交椭圆C
11、于另一点S，T 若2 Q SQ T kk， 求证：直线ST过定点 第 6 页（共 19 页） 2020-2021 学年河北省张家口市高三（上）期末数学试卷学年河北省张家口市高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 1 （5 分）已知集合 2 |23 0Mx xx ， |1Nx lgx，则(MN ) A 1，3 B0，3 C 1，3 D(0，3 【解答】解： | 13Mxx 剟，
12、 |010Nxx ， (0MN，3 故选：D 2 （5 分）i是虚数单位，复数z满足(3)10zii，则(z ) A3i B3i C13i D13i 【解答】解：因为(3)10zii， 所以 1010 (3)3010 31 3(3)(3)10 iiii zi iii ， 故13zi 故选：D 3 （5 分）已知命题:( 1,3)px ， 2 2 0 xa 若p为假命题，则a的取值范围为( ) A(, 2) B(, 1) C(,7) D(,0) 【解答】 解： 命题:( 1,3)px ， 2 2 0 xa 则:( 1 ,3 )px ， 2 20 xa为真命题， 所以 2 2ax恒成立，即 2 (
13、2)2 min ax 故选：A 4 （5 分）某班优秀学习小组有甲、乙、丙、丁、戊共 5 人，他们排成一排照相，则甲、乙 二人相邻的排法种数为( ) A24 B36 C48 D60 【解答】解：根据题意，先将甲乙看成一个整体，有 2 2 A种顺序， 再将这个整体与剩下 3 人全排列，有 4 4 A种情况， 第 7 页（共 19 页） 则有 24 24 48A A 种排法， 故选：C 5 （5 分）在四棱锥PABCD中，PD 平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PDAD， M，N分别为AB，PC的中点，则BN与MC所成角的余弦值是( ) A 30 6 B 6 6 C 70 10 D 30 10
14、 【解答】解：如图，不妨设2AD ，取PD的中点为Q，连接QN，QM，QC， 则/ / /QNCDMB，且 1 2 QNCDMB， 故四边形MBNQ为平行四边形， 所以/ /BNMQ， 则QMC即为所求异面直线BN与MC所成角 在QMC中，145MCCQ，1 146QM ， 则 56530 cos 10256 QMC 故选：D 6 （5 分）圆 22 :(1)25Sxy分别交x轴、y轴的正半轴于A，B两点，则(SA SB ) A5 B10 C15 D25 【解答】解：如图， 第 8 页（共 19 页） 1 cos 5 SO BSO SB ， 1 | |cos5 55 5 SA SBSASBBS
15、O 故选：A 7 （5 分）已知( )f x是R上的奇函数，且对xR，有(2)( )f xf x 当(0,1)x时， ( )21 x f x ，则 2 (log 41)(f ) A40 B 25 16 C 23 41 D 41 23 【解答】解：根据题意，函数( )f x满足(2)( )f xf x ，则(4)(2)( )f xf xf x ， 即( )f x是周期为 4 的周期函数， 又由 222 log325log41log646，且( )f x为奇函数，则 2222 (log 41)(log 414)(log 416)(6log 41)ffff ， 而 2 6log 41(0,1)，则
16、2 641 2 6423 (6log 41)21 4141 log f ， 故选：C 8 （5 分）太极图被称为“中华第一图” 从孔庙大成殿梁柱，到老子楼观台、三茅宫、白 云观的标记物；到中医、气功、武术及中国传统文化的书刊封面、会徽、会标，这种广为人 知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图” 已知函数 1,0 ( )0,0 1,0 x sgn xx x ，则以下图形中，阴影部分可以用不等式组 22 22 4 ( )1 0 xy x xysgn x 表 示的是( ) 第 9 页（共 19 页） A B C D 【解答】解：不等式组表示的平面区域为 22 22 222
17、222 004 ,|,|,|4 (1)1(1)11 0 xxxy x yx yx yxy xyxyx xysgn x 或 剠 故选：B 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项分在每小题给出的四个选项中，有多项 是符合题目要求的全部选对的得是符合题目要求的全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分 9 （5 分）两个相关变量x，y的 5 组对应数据如表： x 8.3 8.6 9.9 11.1 12.1 y 5.9 7.8 8.1 8.4 9.8 根据如表，可
18、得回归直线方程 ybxa，求得 0.78b 据此估计，以下结论正确的是( ) A10 x B9y C0.2a D当15x 时，11.95y 【解答】解：由题意可知 1 (8.38.69.911.1 12.1)10 5 x ，所以A正确； 1 (5.97.88.18.49.8)8 5 y ，所以B不正确； 可得 80.78 100.2aybx所以C正确； 当15x 时，0.78 150.211.90y 所以D不正确， 故选：AC 10 （5 分）已知数列 n a的前n项和为 n S，下列说法正确的( ) 第 10 页（共 19 页） A若 2 1 n Sn，则 n a是等差数列 B若31 n n
19、 S ，则 n a是等比数列 C若 n a是等差数列，则 95 9Sa D若 n a是等比数列，且 1 0a ，0q ，则 2 132 SSS 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，若 2 1 n Sn，则 11 2as， 221 3ass， 332 5ass，则 n a不是等差数 列，A错误， 对于B，若31 n n S ，则 11 2as，当2n时， 11 1 332 3 nnn nnn ass ，综合可 得 1 2 3n n a ，则 n a是等比数列，B正确， 对于C， n a是等差数列，则 19 95 9() 9 2 aa Sa ，C正确， 对于D，若 n a是等比数列，当1
20、q 时，则 2222 132111 340SSSaaa，D错误， 故选：BC 11 （5 分）已知函数( )2sin()(0f xx ，|)的部分图象如图所示，则( ) A2 B 3 C若 12 3 xx ，则 12 ( )()f xf x D若 12 3 xx ，则 12 ()()0f xf x 【解答】解：根据函数( )2sin()(0f xx ，|)的部分图象， 125 21212 ， 2，( )2sin(2)f xx，故A正确 第 11 页（共 19 页） 5 () 1212 26 x 为其图象的一条对称轴，故有2 62 k，Zk， 6 ， 故B错误 6 x 为其图象的一条对称轴，故若
21、 12 3 xx ，则有 12 ( )()f xf x，故C正确，D错误， 故选：AC 12 （5 分）抛物线 2 :4C yx的焦点为F，直线l过点F，斜率0k，且交抛物线C于A， B（点A在x轴的下方）两点，抛物线的准线为m， 1 AAm于 1 A， 1 BBm于 1 B，下列结 论正确的是( ) A若3BFFA，则3k B 11 1 |FAFB C若1k，则| 12AB D 11 90AFB 【解答】解：如图所示： 延长BA，交准线m于Q， 设 1 | |FAAAt， 1 | | 3FBBBt，|AQx， 则 11 QAAQBB，所以 1 1 | | AAQA QBBB ， 则 43 x
22、t xtt ，解得2xt， 故 1 60A AQ，故3 AB k，A正确， 且 112 |FAFBp ，B正确， 2 2 |8 p AB sin ，C错误， 11 BB FB FB ， 11 AAFAFA ， 则 11 11 180180 90 22 B BFA AF B FBAFA ， 故D正确， 故选：ABD 第 12 页（共 19 页） 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13 （5 分）双曲线 2 2 1 3 y x 的左、右顶点分别为A，B，右支上有一点M，且1 MA k， 则MAB的面积为 3 【解答】解：由双曲线 2
23、2 1 3 y x ，得( 1,0)A ， 又1 MA k，:1MA yx， 把MA的方程代入 2 2 1 3 y x ，解得(2,3)M， 1 |3 2 MABM SABy 故答案为：3 14 （5 分）若数列 n a满足： 1 5 nn aan ， 1 1a ，则 2020 a 5049 【解答】解：由 1 5 nn aan 可得： 1 5(1) nn aan ，2n， 两式相减得： 11 5 nn aa ，2n， 又由 1 1a ， 12 5aa可得： 2 4a ， 2020 a是首项为 4，公差为 5 的等差数列的第 1010 项， 2020 4(10101)55049a， 故答案为：
24、5049 15 （5 分）莱昂哈德欧拉是科学史上一位杰出的数学家，他的研究论著几乎涉及到所有数 学分支，有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的欧拉发现， 不论什么形状的凸多面体， 其顶点数V、 棱数E， 面数F之间总满足数量关系2VFE， 此式称为欧拉公式已知某凸八面体，4 个面是三角形，3 个面是四边形，1 个面是六边形， 则该八面体的棱数为 15 ，顶点的个数为 【解答】解：由题意可得，棱数： 43346 15 2 ； 设顶点的个数为x，则8152x ，解得9x ， 故答案为：15；9 16 （5 分） 随机变量X的概率分布满足 10 ()(0 C P X M k k
25、k， 1， 2， 3，10)， 则()E X 5 第 13 页（共 19 页） 【解答】解：由 10 10 0 1 C M k k 可得： 10 2M ，则 0121 0 1 01 01 01 0 ( )01210 CCCC E X MMMM 且 10980 10101010 ()10980 CCCC E X MMMM 又因为 01019 10101010 ,CCCC， 28 1010, CC， 故 0110 101010 10 2 ()()10E XCCC M ， 则()5E X ， 故答案为：5 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过
26、程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分） 在2 sin3bAa， 222 sinsinsinsinsinACBAC， coscosaAcC这 三个条件中任选一个，补充到下面的问题中若问题中的三角形存在，请求出cosC；若问 题中的三角形不存在，请说明理由 问题：是否存在ABC，满足abc且23acb，_？ 【解答】解：若选：2 sin3bAa， 由正弦定理得，2sinsin3sinBAA， 因为sin0A， 所以2sin3B ，即 3 sin 2 B ， 因为B为三角形的内角，且bc， 所以BC，B为锐角， 所以 3 B ， 因为23acb， 所以 2222 (
27、2 )99()acbacac， 整理得， 22 85130acac，即(85 )()0ac ac， 因为ac，23acb， 解得， 5 8 ac， 7 8 bc， 第 14 页（共 19 页） 由余弦定理得， 22 2 222 2549 1 6464 cos 57 27 2 88 cc c abc C cc ab ， 若选： 222 sinsinsinsinsinACBAC， 由正弦定理得， 222 acbac， 由余弦定理得， 222 1 cos 22 acb B ac ， 故 3 B ， 因为23acb， 所以 2222 (2 )99()acbacac， 整理得， 22 85130acac
28、，即(85 )()0ac ac， 因为ac，23acb， 解得， 5 8 ac， 7 8 bc， 由余弦定理得， 22 2 222 2549 1 6464 cos 57 27 2 88 cc c abc C cc ab ， 若选coscosaAcC， 由正弦定理得，sincossincosAACC， 即sin2sin2AC， 所以22AC或22180AC， 所以AC或90AC， 因为ac，所以AC， 故90AC，90B ， 所以 222 acb， 因为23acb， 所以 222 (32 )bccb， 所以 22 51280cbcb，可看着关于c的一元二次方程， 所以 2 160b ， 故ABC
29、不存在 第 15 页（共 19 页） 18 （12 分）数列 n a是等比数列，前n项和为 n S， 1 1a ， 1nn aSm （1）求m， （2）若 12 12 n n n T aaa ，求 n T 【解答】解： （1）设等比数列 n a的公比为q， 1 1a ， 由 1nn aSm ，可得 21 1aSmm ， 32 1 122aSmmmm ， 可得 2 (1)22mm，解得1( 1m 舍去） ； （2）由（1）可得公比2q ， 则 1 2n n a ， 1 12 1223 1 242 n n n nn T aaa ， 1123 22482 n n n T ， 两式相减可得 1 111
30、1 1 22422 n nn n T 1 1( ) 2 1 2 1 2 n n n ， 化简可得 1 2 4 2 n n n T 19 （12 分）如图，在三棱台 111 ABCABC中， 1 AA 平面ABC，90BAC，4AB ， 1111 2ABAC， 11 ABBC （1）求 1 AA的长； （2）求二面角 11 BACC的正弦值 第 16 页（共 19 页） 【解答】解： （1）如图，连接 1 A B， 在三棱台 111 ABCABC中， 1 AA 平面ABC，90BAC， 11 ABBC 1111 ACAB， 111 ACA A， 1111 ABA AA， 11 A B 平面 11
31、 ABB A， 1 A A平面 11 ABB A， 11 AC平面 11 ABB A， 1 AB 平面 11 ABB A， 111 ACAB， 1111 ACBCC， 11 AC 平面 11 A BC， 1 AB 平面 11 A BC， 1 AB平面 11 A BC， 1 A B 平面 11 A BC， 11 ABAB， 111 ABAA AB ， 111 tantanABAA AB， 1 1 2 4 AA AA ， 解得 1 2 2AA （2）如图，以A为原点，AB，AC， 1 AA所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐 标系， 则 1(2 B，0，2 2)， 1(0 C，2，2 2)，
32、(0A，0，0)， 1 (2AB ，0，2 2)， 1 (0AC ，2，2 2)， 设平面 11 ABC的法向量(nx，y，) z， 则 1 1 22 20 22 20 n ABxz n ACyz ，取1z ，得(2,2n ，1)， 平面 1 AC C的法向量(1m ，0，0)， 设二面角 11 BACC的平面角为， 第 17 页（共 19 页） 则 |2 |cos| | |5 m n mn ， 二面角 11 BACC的正弦值为 2 215 sin1() 55 20 （12 分）甲、乙两队举行围棋擂台赛，规则如下：两队各出 3 人，排定 1，2，3 号第 一局，双方 1 号队员出场比赛，负的一
33、方淘汰，该队下一号队员上场比赛当某队 3 名队员 都被淘汰完，比赛结束，未淘汰完的一方获胜，如图表格中，第m行、第n列的数据是甲队 第m号队员能战胜乙队第n号队员的概率 0.5 0.3 0.2 0.6 0.5 0.3 0.8 0.7 0.6 （1）求甲队 2 号队员把乙队 3 名队员都淘汰的概率； （2）比较第三局比赛，甲队队员和乙队队员哪个获胜的概率更大一些？ 【解答】解： （1）甲队 2 号队员把乙队 3 名队员都淘汰的概率为： 0.50.60.50.30.045P （2）第 3 局比赛甲队队员获胜可分为 3 个互斥事件， ( ) i甲队 1 号胜乙队 3 号，概率为：0.50.3 0.2
34、0.03， ( )ii甲队 2 号胜乙队 2 号 ，概率为：0.50.70.50.50.60.50.325， ()iii甲队 3 号胜乙队 1 号，概率为：0.50.40.80.16， 第 3 局甲队队员获胜的概率为0.030.3250.160.515P ， 第 3 局乙队队员获胜的概率为：10.5150.485， 第 18 页（共 19 页） 0.5150.485， 甲队队员获胜的概率更大一些 21 （12 分）已知函数( )1 x f xeax （1）当2a 时，求曲线在(1，f（1）)处的切线方程； （2）若 2 ( )( )g xf xx，且( )g x在0，)上的最小值为 0，求a的
35、取值范围 【解答】解： （1）当2a 时，( )21 x f xex，f（1）3e， ( )2 x f xe ，f（1）2e， 故切线方程是：(2)10exy ； （2）(0)(0)00gf， 故原条件等价于：在(0,)上， 2 ( )1 0 x g xexax 恒成立， 化为 2 1 x ex a x ，令 2 1 ( ) x ex h x x ， 则 2 (1)(1) ( ) x xex h x x ， 令( )1 x m xex，则( )1 x m xe， 令( )0m x，解得：0 x ，故( )m x在(0,)递增， 而(0)0m，故10 x ex 在(0,)恒成立， 令( )0h
36、x，解得：1x ，令( )0h x，解得：01x， 故( )h x在(0,1)递减，在(1,)递增， 故( )minh xh（1）2e， 故2a e 22 （12 分）椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 过点(2,3)M，其上，下顶点分别为点A，B，且 直线AM，MB的斜率之积为 3 4 AMBM kk （1）求椭圆C的方程； （2） 过椭圆C的左顶点(,0)Qa作两条直线， 分别交椭圆C于另一点S，T 若2 Q SQ T kk， 求证：直线ST过定点 【解答】解： （1）由题意可得(0, )Ab，(0,)Bb， 第 19 页（共 19 页） 所以 333 224 AMBM bb
37、 kk可得： 2 12b ， 将M点的坐标代入可得： 2 49 1 12a ，解得 2 16a ， 所以椭圆的方程为： 22 1 1612 xy ； （2）证明：由（1）可得( 4,0)Q ， 设 1 (S x， 1) y， 2 (T x， 2) y，直线ST的方程为：yxtk， 联立直线与椭圆的方程 22 1 1612 yxt xy k ，整理可得： 222 (34)84480 xtxtkk， 12 2 8 34 t xx k k ， 2 12 2 448 34 t x x k ， 可得： 12 12 2 44 QSQT yy xx kk，即 12 12 2 44 xtxt xx kk ， 整理可得 1212 (22)(48)()8320 x xtxxt kk， 即 2 22 4488 (22)(48)8320 3434 tt tt k kk kk ， 化简可得： 22 (83)16120ttkkk， 即(4 )(43)0ttkk， 当4t k，直线ST的方程为：4(4)yxxkkk， 恒过左顶点，不合题意， 当43t k，直线ST的方程为：43(4)3yxxkkk， 所以可证得直线恒过定点( 4,3)
