1、第 1 页(共 19 页) 2020-2021 学年重庆市名校联盟高三(上)第二次联考数学试卷学年重庆市名校联盟高三(上)第二次联考数学试卷 (12 月份)月份) 一、单项选择题:本题共一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。有一项是符合题目要求的。 1 (5 分)已知集合 |02Axx剟, |1Bx x,则()( R AB ) A0,1 B(1,2 C(,2 D0,) 2 (5 分)设复数 2 3 1 zi i ,则z在复平面中对应的点为( ) A(1,4) B(2
2、,5) C(4,1) D(5,2) 3 (5 分)已知直线 1:( 2)30laxy, 2: 40lxay,其中aR,则“1a ”是 “ 12 ll”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 4 (5 分)已知在四边形ABCD中,ABAD,1CD ,20ABCD,则(AB AC ) A1 B2 C3 D4 5 (5 分)已知数列 n a对任意的*nN有 1 1 1 (1) nn aa n n 成立,若 1 1a ,则 10 a等 于( ) A101 10 B 91 10 C111 11 D 122 11 6 (5 分) 九章算术 是我国古代内容极为丰富的
3、数学名著, 书中有如下问题: “今有阳马, 广五尺,褒七尺,高八尺,问积几何?”其意思为: “今有底面为矩形,一侧棱垂直于底面 的四棱锥,它的底面长,宽分别为 7 尺和 5 尺,高为 8 尺,问它的体积是多少?”若以上条 件不变,则这个四棱锥的外接球的表面积为( ) A128平方尺 B138平方尺 C140平方尺 D142平方尺 7 (5 分)若函数 2 2 2,0 ( ) ,0 xxx f x mxxlnx x 恰有三个极值点,则m的取值范围是( ) A 1 ( 1,) 3 B 1 ( 1,) 2 C 11 (,) 23 D 1 (,0) 2 第 2 页(共 19 页) 8 (5 分)函数(
4、 )sin(2)(|) 2 f xAx 部分图象如图所示,对不同的 1 x, 2 xa,b, 若 12 ( )()f xf x,有 12 ()3f xx,则该函数的图象( ) A关于直线 4 x 对称 B关于直线 3 x 对称 C关于点(,0) 3 对称 D关于点(,0) 4 对称 二、多项选择题:本题共二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。在每小题给出的选项中,有多项分。在每小题给出的选项中,有多项 符合题目要求。全部选对的得符合题目要求。全部选对的得 5 分,有选错的得分,有选错的得 0 分,部分选对的得分,部分选对的得 3 分。分。 9 (5
5、分)已知0a ,0b ,且 22 2ab,则下列不等式中一定成立的是( ) A1ab B 11 2 ab C0lgalgb D2ab 10 (5 分)如图,正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1,E,F,G分别为BC, 1 CC, 1 BB 的中点,则( ) A直线 1 DD与直线AF垂直 B直线 1 AG与平面AEF平行 C点C与点G到平面AEF的距离相等 D平面AEF截正方体所得的截面面积为 9 8 11 (5 分)已知函数( )(2)f xf x是偶函数,且( )yf x在(0,2)上是增函数,则下列结 第 3 页(共 19 页) 论中一定正确的有( ) A函数(2)yf x是
6、偶函数 B( )yf x的图象关于直线2x 对称 C 75 ( )(1)( ) 22 fff D(2 )yfx在(1,2)上单调递减 12 (5 分)将 2 n个数排成n行n列的一个数阵如图:该数阵第一列的n个数从上到下构 成以m为公差的等差数列,每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中 0)m已知 11 2a, 1361 1aa,记这 2 n个数的和为S下列结论正确的有( ) A3m B 18 18 1 103 35 4 a kk k C(31)3j ij ai D 1 (31)(31) 4 n Snn 三、填空题:本题共三、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,
7、共分,共 20 分。分。 13 (5 分)若直线3x 与圆 22 20 xyxa相切,则a 14 (5 分)已知 4 sin() 25 ,是第二象限角,则tan 15 (5 分)已知( )f x是定义域为R的奇函数,( )fx是( )f x的导函数,( 1)0f ,当0 x 时,( )( )0 xfxf x,则关于x的不等式( )0 xf x 的解集为 16 (5 分)已知在ABC中,6AB ,8AC ,( 3 A , 2 ) 3 ,其外接圆圆心O满足: ( ,)AOABACR ,则68的取值范围是 四、解答题:本题共四、解答题:本题共 6 小题,共小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明
8、过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 (10 分)已知等差数列 n a的前n项和为 n S,其首项与公差均为正数且满足下列三个条 件中的两个: 349 2aaa; 2 a, 5 a,27 成等比数列; 6 36S ()求 n a, n S; 第 4 页(共 19 页) ()设 1 2 n a n n S b n ,求数列 n b的前n项和为 n T 18 (12 分)已知关于x,y的方程 22 :2440C xyxym (1)若方程C表示圆,求m的取值范围; (2)当1m 时,曲线C与直线:240l xy相交于M,N两点,求|MN的值 19 (12 分)已知函数
9、2 ( )1f xxlnx ()求( )f x在点(1,f(1))处的切线方程; ()求函数( )( )g xf xx在区间m,2(0)mm上的最小值 20 (12 分)已知函数( )4cos sin() 6 f xxx 满足( )1f m ,( )3f n ()求函数( )f x的最小正周期以及|mn的最小值; ()在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知f(A)1, 3 2 a , 0AB BC ,求bc的取值范围 21(12 分) 如图, 在四棱锥PABCD中,PC 底面ABCD,ABCD是直角梯形,ADDC, / /ABDC,222ABADCD,点E是PB的中点 ()证
10、明:平面EAC 平面PBC; ()若直线PB与平面PAC所成角的正弦值为 3 3 ()求三棱锥PACE的体积; ()求二面角PACE的余弦值 22 (12 分)已知函数( ) x f xxlnxaea,其中aR ()若( )f x是定义域内单调递减函数,求a的取值范围; ()当1a时,求证:对任意(0,)x,恒有( )cos1f xx成立 第 5 页(共 19 页) 2020-2021 学年重庆市名校联盟高三(上)第二次联考数学试卷学年重庆市名校联盟高三(上)第二次联考数学试卷 (12 月份)月份) 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单项选择题:本题共一、单项选择题:本题共 8 小题,
11、每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。有一项是符合题目要求的。 1 (5 分)已知集合 |02Axx剟, |1Bx x,则()( R AB ) A0,1 B(1,2 C(,2 D0,) 【解答】解:集合 |02Axx剟, |1Bx x, |1 RB x x, () |2( R ABx x ,2 故选:C 2 (5 分)设复数 2 3 1 zi i ,则z在复平面中对应的点为( ) A(1,4) B(2,5) C(4,1) D(5,2) 【解答】解: 22(1) 3314 1(1)(1) i ziii
12、 iii , z在复平面中对应的点为(1,4) 故选:A 3 (5 分)已知直线 1:( 2)30laxy, 2: 40lxay,其中aR,则“1a ”是 “ 12 ll”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解:由20aa,解得1a , “1a ”是“ 12 ll”的充要条件, 故选:C 4 (5 分)已知在四边形ABCD中,ABAD,1CD ,20ABCD,则(AB AC ) A1 B2 C3 D4 第 6 页(共 19 页) 【解答】解由题意可知四边形ABCD如图:1CD ,20ABCD, 可得| 2AB 1 | 1 2 AFAB, 所
13、以|cos| | 2 12AB ACABACCABABAF 故选:B 5 (5 分)已知数列 n a对任意的*nN有 1 1 1 (1) nn aa n n 成立,若 1 1a ,则 10 a等 于( ) A101 10 B 91 10 C111 11 D 122 11 【解答】解: 1 1 1 (1) nn aa n n , 1 1111 ()11() 11 nn aa nnnn , 21 1 1(1) 2 aa , 32 11 1() 23 aa , 43 11 1() 34 aa , 109 11 1() 910 aa , 两边同时相加得 101 1 9(1) 10 aa, 则 101
14、1191 9(1)9 101010 aa, 故选:B 6 (5 分) 九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学名著, 书中有如下问题: “今有阳马, 广五尺,褒七尺,高八尺,问积几何?”其意思为: “今有底面为矩形,一侧棱垂直于底面 的四棱锥,它的底面长,宽分别为 7 尺和 5 尺,高为 8 尺,问它的体积是多少?”若以上条 第 7 页(共 19 页) 件不变,则这个四棱锥的外接球的表面积为( ) A128平方尺 B138平方尺 C140平方尺 D142平方尺 【解答】解:今有底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,它的底面长,宽分别为 7 尺和 5 尺,高为 8 尺, 构造一个长方体,其长、宽、
15、高分别为 7 尺、5 尺、8 尺, 则这个这个四棱锥的外接球就是这个长方体的外接球, 这个四棱锥的外接球的半径 222 758138 22 R (尺), 这个四棱锥的外接球的表面积为 2 138 44138 4 SR(平方尺) 故选:B 7 (5 分)若函数 2 2 2,0 ( ) ,0 xxx f x mxxlnx x 恰有三个极值点,则m的取值范围是( ) A 1 ( 1,) 3 B 1 ( 1,) 2 C 11 (,) 23 D 1 (,0) 2 【解答】解:当0 x 时, 2 ( )f xmxxlnx, 则( )21f xmxlnx,令( )0fx, 可化为: 1 2 lnx m x
16、, 令 1 ( ) lnx g x x ,则 2 ( ) lnx g x x , 则函数( )g x在(0,1)递增,在(1,)递减, ( )g x的图象如图所示: 第 8 页(共 19 页) 故021m 即 1 0 2 m时, ( )0fx有 2 个不同的解, 当0 x时, 2 ( )2f xxx,( )21f xx, 令( )0fx,解得: 1 2 x , 故( )f x在 1 2 x 时取极小值点, 综上: 1 ( 2 m ,0), 故选:D 8 (5 分)函数( )sin(2)(|) 2 f xAx 部分图象如图所示,对不同的 1 x, 2 xa,b, 若 12 ( )()f xf x
17、,有 12 ()3f xx,则该函数的图象( ) A关于直线 4 x 对称 B关于直线 3 x 对称 C关于点(,0) 3 对称 D关于点(,0) 4 对称 【解答】解:函数( )sin(2)(|) 2 f xAx 的周期 2 2 T ,f(a)f(b)0, 所以 2 ba , 由图知2A,由题意若 12 ( )()f xf x,可得对称轴 12 2 xx x , 所以 12 ()2 2 xx f ,即 12 sin21 2 xx ,可得 12 2 xx , 12 3 sin2 () 2 xx,所以 3 sin2() 22 ,即 3 sin 2 , 而| 2 ,所以 3 , 即( )sin(2
18、) 3 f xx , 第 9 页(共 19 页) 对称轴满足2 32 xk ,kZ,可得 122 k x ,kZ,故A,B不正确; 对称中心满足2 3 xk ,kZ,所以 62 k x ,kZ, 1k 时,可得 3 x , 所以C正确,D不正确; 故选:C 二、多项选择题:本题共二、多项选择题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。在每小题给出的选项中,有多项分。在每小题给出的选项中,有多项 符合题目要求。全部选对的得符合题目要求。全部选对的得 5 分,有选错的得分,有选错的得 0 分,部分选对的得分,部分选对的得 3 分。分。 9 (5 分)已知0a ,0b ,且
19、 22 2ab,则下列不等式中一定成立的是( ) A1ab B 11 2 ab C0lgalgb D2ab 【解答】解: 22 1 2 ab ab , 22222 ()22()4abababab,2ab ,A,D成立; 又当 1 2 a , 7 2 b 时, 11 2 ab ,B不成立; 0lgalgblgab,C不成立 故选:AD 10 (5 分)如图,正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 1,E,F,G分别为BC, 1 CC, 1 BB 的中点,则( ) 第 10 页(共 19 页) A直线 1 DD与直线AF垂直 B直线 1 AG与平面AEF平行 C点C与点G到平面AEF的距离相
20、等 D平面AEF截正方体所得的截面面积为 9 8 【解答】解:对于A,因为 11 / /D DC C,若 1 D DAF,则 1 C CAF, 从图中可以看出, 1 C C与AF相交,但不垂直,所以错误; 对于B,如图所示,取 11 BC的中点N,连接 1 A N、GN,则有/ /GNEF, 1 / /A NAE, 因为 1 CNANN,EFAEE,所以平面 1 / /AGN平面AEF 又因为 1 AG 平面 1 AGQ,所以 1 / /AG平面AEF,即正确; 对于C, 假设C与G到平面AEF的距离相等, 即平面AEF将CG平分, 则平面AEF必过CG 的中点, 连接CG交EF于H,而H不是
21、CG中点,则假设不成立,故C错 对于D,如图所示,连接 1 D F, 1 D A,延长 1 D F,AE交于点S, 因为E,F分别为BC, 1 C C的中点,所以 1 / /EFAD, 所以A、E、F、 1 D四点共面,所以截面即为梯形 1 AEFD 因为CFCE,所以 2222 CFCSCECS,即 22 FSES,所以FSES 又 1 D FAE,所以 1 D FFSAEES即 1 5D SAS, 1 2AD , 所以等腰 1 AD S的高 3 2 2 h ,梯形 1 AEFD的高为 3 2 24 h , 所以梯形 1 AEFD的面积为 1 1123 29 ()(2) 222248 h E
22、FAD,故D正确; 故选:BD 第 11 页(共 19 页) 11 (5 分)已知函数( )(2)f xf x是偶函数,且( )yf x在(0,2)上是增函数,则下列结 论中一定正确的有( ) A函数(2)yf x是偶函数 B( )yf x的图象关于直线2x 对称 C 75 ( )(1)( ) 22 fff D(2 )yfx在(1,2)上单调递减 【解答】解:根据题意,函数(2)yf x是偶函数,即(2)(2)f xf x,则( )f x的对称 轴为2x ,B正确,A错误, 71 ( )( ) 22 ff, 53 ( )( ) 22 ff, ( )yf x在(0,2)上是增函数,则 1 ( )
23、 2 ff(1) 3 ( ) 2 f,故有 7 ( ) 2 ff(1) 5 ( ) 2 f,C正 确, 对于(2 )yfx,( )yf x在(0,2)上是增函数, 而( )f x的对称轴为2x , 则( )yf x在(2,4) 上是减函数, 设2tx,( )yf t,在区间(1,2)上,2tx为增函数,且24t ,( )yf t在 2,4)上是 减函数, 则(2 )yfx在(1,2)上单调递减,D正确; 故选:BCD 12 (5 分)将 2 n个数排成n行n列的一个数阵如图:该数阵第一列的n个数从上到下构 成以m为公差的等差数列,每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列(其中 0)m已知
24、 11 2a, 1361 1aa,记这 2 n个数的和为S下列结论正确的有( ) 第 12 页(共 19 页) A3m B 18 18 1 103 35 4 a kk k C(31)3j ij ai D 1 (31)(31) 4 n Snn 【解答】解: 11 2a, 1361 1aa, 2 22(6 1)1mm,解得3m 或 1 2 (舍负) ,即选项A正确; 111 1 32(1) 3 3(31) 3 jjj iji aaii ,即选项C错误; 令 1 Ta k kk k ,则 0121 1122 2 35 38 3(31) 3Taaa k kk k, 1231 32 35 38 3(34
25、) 3(31) 3T kk kk, 得, 1 1231 3(13)55 2233333333(31)323(31)3(3)3 1322 T k kkkk kkk , 553 () 3 442 T k k , 当18k时, 18 18 18 1 553 18103 35 () 3 4424 a kk k ,即选项B正确; 111212122212 ()()() nnnnnn Saaaaaaaaa 11121 (13 )(13 )(13 ) 131313 nnn n aaa 11211 1 (31) () 2 n n aaa 1(1) (31) (23) 22 n n n n 1 (31)(31)
26、 4 n nn,即选项D正确 故选:ABD 三、填空题:本题共三、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分。分。 第 13 页(共 19 页) 13 (5 分)若直线3x 与圆 22 20 xyxa相切,则a 3 【解答】解:由 22 20 xyxa,得 22 (1)1xya, 则10a ,即1a 直线3x 与圆 22 20 xyxa相切, 圆心(1,0)到直线3x 的距离21dra,即3a 故答案为:3 14 (5 分)已知 4 sin() 25 ,是第二象限角,则tan 3 4 【解答】解:已知 4 sin()cos 25 ,是第二象限角, 2 3 sin1
27、cos 5 , 则 sin3 tan cos4 , 故答案为: 3 4 15 (5 分)已知( )f x是定义域为R的奇函数,( )fx是( )f x的导函数,( 1)0f ,当0 x 时,( )( )0 xfxf x,则关于x的不等式( )0 xf x 的解集为 ( 1,0)(0,1) 【解答】解:设 ( ) ( ) f x g x x ,则( )g x的导数为 2 ( )( ) ( ) xfxf x g x x , 当0 x 时,总有( )( )0 xfxf x成立, 即当0 x 时,( )g x恒小于 0, 当0 x 时,函数 ( ) ( ) f x g x x 为减函数, 又( )f
28、x是定义在R上的奇函数, ()( )gxg x, 函数( )g x为定义域上的偶函数, 又( 1)0g , 函数( )g x的图象性质类似如图:数形结合可得 不等式 2 ( )0( )0 xf xx g x,可得不等式( )0g x 的解集是( 1,0)(0,1), 故答案为:( 1,0)(0,1) 第 14 页(共 19 页) 16 (5 分)已知在ABC中,6AB ,8AC ,( 3 A , 2 ) 3 ,其外接圆圆心O满足: ( ,)AOABACR ,则68的取值范围是 14 (,14) 3 【解答】解:由题意,O是三角形外接圆的圆心,且外心是三边中垂线的交点,由向量的 定义可得 11
29、|6618 22 11 |8 832 22 AO ABABAB AO ACACAC , 又可设,( ,)AOABACR , 所以 ()18 ()32 ABACAB ABACAC , 化简得 68 cos3 6 cos84 A A , 解得 2 2 34cos 6 1cos 43cos 8 1cos A A A A , 故 222 34cos43cos77cos7 68 1cos1cos1cos1cos AAA AAAA , 又( 3 A , 2 ) 3 ,可得 714 (,14) 1cos3A ,即68的取值范围是 14 (,14) 3 , 故答案为: 14 (,14) 3 四、解答题:本题共
30、四、解答题:本题共 6 小题,共小题,共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 (10 分)已知等差数列 n a的前n项和为 n S,其首项与公差均为正数且满足下列三个条 件中的两个: 349 2aaa; 2 a, 5 a,27 成等比数列; 6 36S ()求 n a, n S; ()设 1 2 n a n n S b n ,求数列 n b的前n项和为 n T 第 15 页(共 19 页) 【解答】解: ()设数列 n a的公差为d, 若选择: 由题设知: 349 2 52 2 27 aaa aa ,即 11 2 11 378
31、(4 )27() adad adad ,解得: 1 1 2 a d , 21 n an, 2 (121) 2 n nn Sn ; 若选: 由题设知: 349 1 2 65 636 2 aaa d a ,即 11 1 378 5 6 2 adad ad ,解得: 1 1 2 a d , 21 n an, 2 (121) 2 n nn Sn ; 若选: 由题设知: 2 52 1 27 6 5 636 2 aa d a ,即 2 11 1 (4 )27() 5 6 2 adad ad ,解得: 1 1 2 a d , 21 n an, 2 (121) 2 n nn Sn ; ()由()可得: 12
32、224 n ann n n S bnn n , 1 12 44(1) (444 )(12) 32 n n n n n Tn 18 (12 分)已知关于x,y的方程 22 :2440C xyxym (1)若方程C表示圆,求m的取值范围; (2)当1m 时,曲线C与直线:240l xy相交于M,N两点,求|MN的值 【解答】解: (1)方程C可化为 22 (1)(2)54xym , 显然, 5 540, 4 mm时 即时,方程C表示圆 (2)圆C的圆心(1,2),圆心到直线:240l xy的距离为 22 |1224|1 5 12 d , 圆C的半径1r , 又 222 1 (|) 2 rdMN,
33、22 14 5 | 22 1 55 MNrd 19 (12 分)已知函数 2 ( )1f xxlnx ()求( )f x在点(1,f(1))处的切线方程; 第 16 页(共 19 页) ()求函数( )( )g xf xx在区间m,2(0)mm上的最小值 【解答】解: ()因为 1 ( )2fxx x ,所以k f (1)1, 又f(1)2,所以切点为(1,2), 所以( )f x在点(1,f(1))处的切线方程为:10 xy ; () 2 ( )1g xxlnxx , 1(21)(1) ( )21 xx g xx xx , 由( )0g x得1x ,得( )g x在(0,1)上单调递减,在(
34、1,)上单调递增, 当01m时,21m ,所以( )g x在m,1上单调递减,在1,2m上单调递增, 所以( )g x的最小值为g(1)1; 当1m时,( )g x在m,2m上单调递增, 所以( )g x的最小值为 2 ( )1g mmmlnm 综上:当01m时,( )g x的最小值为g(1)1, 当1m时,( )g x的最小值为 2 ( )1g mmmlnm 20 (12 分)已知函数( )4cos sin() 6 f xxx 满足( )1f m ,( )3f n ()求函数( )f x的最小正周期以及|mn的最小值; ()在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知f(A)1,
35、 3 2 a , 0AB BC ,求bc的取值范围 【解答】解: ()因为( )4cos sin()3sin2cos212sin(2)1 66 f xxxxxx , 所( )f x的最小正周期为: 2 |2| T 因为( )f x的最大值为 1,最小值为3,且( )1f m ,( )3f n 所以m,n分别为函数( )f x的最大值点与最小值点, | (21) 2 mnk , * kN,所以|mn的最小值为 2 ()因为| | cos()| |cos0AB BCABBCBABBCB ,所以cos0B , 所以,B为钝角,A为锐角, 因为( )2sin(2)11 6 f AA ,可得sin(2)
36、1 6 A , 因为0 2 A , 5 2 666 A ,则2 62 A ,解得 3 A , 第 17 页(共 19 页) 由正弦定理得 3 2 1 sinsinsin3 2 bca BCA ,则sinbB,sincC, 由题意得 0 2 2 C B ,即 0 2 2 23 C C ,解得0 6 C , 所以3sin() 6 bcC , 因为0 6 C ,所以 663 C , 则 13 sin() 262 C ,所以 33 22 bc 因此,bc的取值范围是 3 3 (, ) 22 21(12 分) 如图, 在四棱锥PABCD中,PC 底面ABCD,ABCD是直角梯形,ADDC, / /ABD
37、C,222ABADCD,点E是PB的中点 ()证明:平面EAC 平面PBC; ()若直线PB与平面PAC所成角的正弦值为 3 3 ()求三棱锥PACE的体积; ()求二面角PACE的余弦值 【解答】 ()证明:PC 平面ABCD,AC 平面ABCD,PCAC 2AB ,1ADCD,2ACBC, 222 ACBCAB,ACBC PCBCC,PC 平面PBC,BC 平面PBC, AC平面PBCAC 平面EAC, 平面EAC 平面PBC 第 18 页(共 19 页) () ()解:由()易知BC 平面PAC,BPC即为直线PB与平面PAC所成角 23 sin 3 BC BPC PBPB ,6PB ,
38、2PC 三棱锥PACE的体积 11 1 11111 ( (1 2) 2)1 22 22 3 22323 P ACEP ACB VV ()解:取AB的中点G,连结CG,以点C为坐标原点, 分别以CG、CD、CP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则(0C,0,0),(0P,0,2),(1A,1,0),(1B,1,0), 11 ( ,1) 22 E, (1,1,0)CA,(0,0,2)CP , 11 ( ,1) 22 CE 设 111 (,)mx y z为平面PAC的法向量, 则 11 0m CAxy, 1 20m CPz,得 1 0z ,取 1 1x , 1 1y ,得(1
39、, 1,0)m, 设 222 (,)nxyz平面ACE的法向量, 则 22 0n CAxy, 222 11 0 22 n CExyz, 取 2 1x , 2 1y ,21z , 得( 1 ,1 ,1 )n 1 1( 1)( 1)0 ( 1)6 cos, 323 m n 又所求二面角为锐角,二面角PACE的余弦值为 6 3 22 (12 分)已知函数( ) x f xxlnxaea,其中aR ()若( )f x是定义域内单调递减函数,求a的取值范围; ()当1a时,求证:对任意(0,)x,恒有( )cos1f xx成立 【解答】解: ()因为( ) x f xxlnxaea, 所以( )1 x
40、fxlnxae , 第 19 页(共 19 页) 因为( )f x在定义域内是单调递减函数, 则( ) 0fx在(0,)上恒成立, 若( ) 0fx,则 1 x lnx a e , 令 1 ( )(0) x lnx G xx e ,得 1 1 ( ) x lnx x G x e , 易知 G (1)0,且函数 1 1ylnx x 在(0,)上单调递减, 当0 x 时,1 x e ,所以在区间(0,1)上,( )0G x;在(1,)上( )0G x, 所以 1 ( ) x lnx G x e 在(0,1)上单调递增,在(1,)上单调递减, 此时( )G x的最大值为 1 (1)G e , 所以当
41、 1 a e 时,( )f x在定义域上单调递减; ()证明:当1a时,( )(1)1 xxx f xxlnxaeaxlnxa exlnxe, 要证( )cos1f xx,即可证1cos1 x xlnxex , 当01x时,欲证明1cos1 x xlnxex ,即证明cos2 x xlnxex, 令( )cos2 x g xex,( )sin0(01) x g xexx 所以( )g x在(0,1)上单调递增,( )(0)0g xg,即cos20 x ex 又因为01x,0 xlnx ,所以cos2 x xlnxex在(0,1)上成立; 当1x时,欲证明1cos1 x xlnxex ,即证明cos20 x xlnxex, 令( )cos2(1) x h xxlnxexx,则( )1sin x h xlnxex , 1 ( )cos x h xex x , 当1x时, 1 cos2 x xe x ,所以 1 cos0 x xe x , 即( )0h x在1,)上成立,所以( )h x在1,)上单调递减, 又因为 h (1)1sin10e ,所以( )0h x在1,)上成立, 所以( )h x在1,)上单调递减,( )h xh(1)cos120e , 即1x时,cos20 x xlnxex成立, 综合可得,对任意(0,)x,恒有( )cos1f xx成立