北京市海淀区2021届高三上学期期末练习数学试题 Word版含答案.zip

2021 北京海淀高三（上）期末 数 学 2020.01 本试卷共 8 页，150 分。考试时常 120 分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后， 本试卷和答题纸一并交回。 第一部分（选择题第一部分（选择题 共共 40 分）分） 1、选择题共选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）抛物线的准线方程是 x 2 y （A）（B）（C）（D） 2 1 x 4 1 x 2 1 y 4 1 y （2）在复平面内，复数对应的点位于 i i 1 （A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限 （3）在的展开式中，的系数为 5 2x 4 x （A）（B）（C）（D） 551010 （4）已知直线，点和点，若，则实数的值为 02:ayxl ），（11A ）（ 2 , 2B ABl /a （A）（B）（C）（D） 1122 （5）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为 （A）（B）（C）（D） 24612 （6）已知向量，满足，且，则 ab 1a ），（12b 2ba ba （A）（B）（C）（D） 1012 （7）已知，是两个不同的平面，“”的一个充分条件是 （A）内有无数直线平行于 （B）存在平面， （C）存在平面，且 mn mn （D）存在直线 ， ll l （8）已知函数 则 2 ( )12sin () 4 f xx （A）是偶函数 ( )f x （B）函数的最小正周期为 ( )f x 2 （C）曲线关于对称 ( )yf x 4 x （D） (1)(2)ff （9）数列的通项公式为，前项和为，给出 n a 2 3 n ann nNn n S 下列三个结论： 存在正整数，使得； , ()m n mn mn SS 存在正整数，使得； , ()m n mn2 mnmn aaa a 记，则数列有最小项，其中所有正 12 (1,2,3,) nn Ta aa n T 确结论的序号是 （A） （B） （C） （D） （10）如图所示，在圆锥内放入连个球，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切），切点圆（图中 1 O 2 O 粗线所示）分别为,. 这两个球都与平面相切，切点分别为，丹德林（GDandelin）利用这个模型证 a1 F 2 F 明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，为此椭圆的两个焦点，这两个球也称为 Dandelin 双球。若圆锥 a1 F 2 F 的母线与它的轴的夹角为，, 的半径分别为 1,4，点为上的一个定点，点为椭圆上的一个动点，则从 MP 点沿圆锥表面到达的路线长与线段的长之和的最小值是 PM 1 PF （A） （B） （C） （D） 683 34 3 第二部分（非选择题第二部分（非选择题 共共 110 分）分） 2、填空题共填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分。分。 （11）在“互联网+”时代，国家积极推动信息化技术与传统教学方式的深度融合，实现线上、线下融合式教学模式 变革.某校高一、高二和高三学生人数如图所示.采用分层抽样的方法调查融合式教学模式的实施情况，在抽取 样本中，高一学生有 16 人，则该样本中的高三学生人数为 . （12）设等比数列的前项和为.若、成等差数列，则数列的公比为 . n an n S 1 S 2 S 3 a n a （13）已知双曲线的左右焦点分别为，点，则双曲线的渐近线方程为 ； 2 2 1 2 y x 12 ,F F( 3,4)M ; 12 MFMF （14）已知函数是定义域的奇函数，且时，则 ，的值域是 ( )f xR0 x ( )1 x f xaea ( )f x ； （15）已知圆，直线，点，点. 22 :(5)(2)2Pxy: l yax(5,22)M( , )A s t 给出下列 4 个结论： 当，直线 与圆相离； 0a l P 若直线 圆的一条对称轴，则；lP 2 5 a 若直线 上存在点，圆上存在点，使得，则的最大值为； l AP N90MANa 20 21 为圆上的一动点，若，则 的最大值为. N P 90MANt 5 28 4 其中所有正确结论的序号是 . 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 （16）（本小题共 15 分）在三棱柱中，侧面为矩形，,分别是 111 ABCABC 11 BCC B 11 ACBCC B 平面 ,D E 棱，的中点. 1 AA 1 BB （）求证： 11 AEBC D平面 （）求证: 1 CCABC 平面 ()若,求直线与所成角的正弦值. 1 2ACBCAA AB 11 BC D平面 （17）（本小题共 14 分）若存在同时满足条件、条件、条件、条件中的三个，请选择一组这样的 ABC 三个条件并解答下列问题： （）求的大小； A （）求和的值. cosBa 条件：； 3 3 sin 14 C 条件：； 7 3 ac 条件：； 1ba 条件： 5 cos 2 bA （18）（本小题共 14 分） 某公司在 20132021 年生产经营某种产品的相关数据如下表所示： 年份201320142015201620172018201920202021 年生产台数（单位：万台）3456691010 a 年返修台数（单位：台）3238545852718075b 年利润（单位：百万元）3.854.504.205.506.109.6510.0011.50 c 注：. = 年返修台数 年返修率 年生产台数 （）从 20132020 年中随机抽取一年，求该年生产的产品的平均利润不小于 100 元/台的概率； （）公司规定：若年返修率不超过千分之一，则该公司生产部门当年考核优秀.现从 20132020 年中随机选 出 3 年，记表示这 3 年中生产部门获得考核优秀的次数.求的分布列和数学期望； （）记公司在 20132015 年，20162018 年，20192021 年的年生产台数的方差分别为.若 222 123 ,s s s ，其中表示，这两个数中最大的数.请写出的最大值和最小值.（只需写 222 312 max ,ss s 22 12 max ,s s 22 12 ,s s a 出结论） （注：，其中为数据的平均数） 2222 12 1 ()()() n sxxxxxx n x12 , n x xx （19）（本小题共 14 分）已知椭圆的离心率为，且经过点. ）（01: 2 2 2 2 ba b y a x W 2 3 ），（32C （）求椭圆的方程及其长轴长； W （），分别为椭圆的左、右顶点，点在椭圆上，且位于轴下方，直线交轴于点，若 ABWDWxCDx Q 的面积比的面积大，求点的坐标. ACQBDQ32 D （20）（本小题共 14 分） 已知函数. ln ( ) x f x x （）求函数的单调区间； )(xf （）设，求证：； xxfxg)()(1)(xg （）设.若存在使得，求的最大值. 142)()( 22 aaxxxfxh 0 x0)( 0 xh a （21）（本小题共 14 分）设是由个实数组成的行列的数表，满足：每个数的绝对值是 ，且所 A )2( nnn nn 1 有数的和是非负数，则称数表是“阶非负数表”. An （）判断如下数表，是否是“阶非负数表”； 1 A 2 A 4 （）对于任意“阶非负数表”，记为的第行各数之和，证明：存在 5A )(sR As）（51 s ，使得； 5, 4 , 3 , 2 , 1,kji3)()()(kRjRiR （）当时，证明：对与任意“阶非负数表”，均存在行列，使得这行列交叉处的 )N(2 * kkn n Akkkk 个数之和不小于. 2 kk数学答案 第 1 页（共 8 页） 海淀区高三年级第海淀区高三年级第一一学期学期期期末末练习练习 数学数学参考答案参考答案 2021.1 一、一、选择题共选择题共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4040 分分。 题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 答案 B A D B A C D C C A 二、填空题共二、填空题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2525 分分。 题号 （11） （12） （13） （14） （15） 答案 12 3或1 20 xy 2 1 ( 1,1) 三、解答题共 6 小题，共 85 分。 （16） （本小题共 15 分） 解： （）在三棱柱 111 ABCABC中， 1 AA/ 1 BB，且 11 AABB. 因为 点,D E分别是棱 11 ,AA BB的中点， 所以 AD/ 1 B E，且 1 ADB E. 所以 四边形 1 AEB D是平行四边形. 所以 AE/ 1 DB. 又因为 AE 平面 11 BC D， 1 DB 平面 11 BC D， 所以 AE/平面 11 BC D. （）因为 AC 平面 11 BCC B， 1 CC 平面 11 BCC B， 所以 1 ACCC. 因为 侧面 11 BCC B为矩形， 所以 1 CCBC. 又因为 ACBCC，AC 平面ABC，BC 平面ABC， 所以 1 CC 平面ABC. （）分别以CA，CB， 1 CC所在的直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间 直角坐标系Cxyz，由题意得(2,0,0)A，(0,2,0)B， 1(0,2,2) B， 1(0,0,2) C， (2,0,1)D. 所以 ( 2,2,0)AB ， 11 (0,2,0)C B ， 1 (2,0, 1)C D . 数学答案 第 2 页（共 8 页） 设平面 11 BC D的法向量为( , , )x y zn，则 11 1 0, 0, C B C D n n 即 20, 20. y xz 令1x ，则0y ，2z . 于是(1,0,2)n. 所以 210 cos, 10|52 2 AB AB AB n n n . 所以 直线AB与平面 11 BC D所成角的正弦值为 10 10 . （17） （本小题共 14 分） 选择 解： （）因为 7 3 ac， 3 3 sin 14 C ， 由正弦定理得 3 sinsin. 2 a AC c 因为 1ba， 所以 ab. 所以 0 2 A . 所以 3 A. （）在ABC中， 7 3 ac， 所以 ac. 所以 0 2 C . 因为 3 3 sin 14 C ， 所以 2 13 cos1sin 14 CC. 所以 coscos()cos()BACAC sinsincoscosACAC 33 31131 2142147 . 所以 2 4 3 sin1cos. 7 BB 由正弦定理得 4 33 72 ba ，即78ba. 数学答案 第 3 页（共 8 页） 因为 1ba， 所以 7a . 选择 解： （）因为 7 3 ac， 3 3 sin 14 C ， 由正弦定理得 3 sinsin. 2 a AC c 在ABC中， 5 cos 2 bA ， 所以 2 A . 所以 2 3 A. （）在ABC中， 7 3 ac， 所以 ac. 所以 0 2 C . 因为 3 3 sin 14 C ， 所以 2 13 cos1sin 14 CC. 所以 coscos()cos()BACAC sinsincoscosACAC 33 311311 21421414 . 所以 2 5 3 sin1cos. 14 BB 因为 5 cos 2 bA ， 所以 5 2 5 1 2 b . 由正弦定理得 3 sin 2 57 sin5 3 14 A ab B . 数学答案 第 4 页（共 8 页） （18） （本小题共 14 分） 解： （）由图表知，20132020 年中，产品的平均利润小于 100 元/台的年份只有 2015 年，2016 年. 所以 从 20132020 年中随机抽取一年，该年生产的产品的平均利润不小于 100 元/台的概率为 6 0.75 8 （）由图表知，20132020 年中，返修率超过千分之一的年份只有 2013，2015 年， 所以的所有可能取值为1, 2,3 12 62 3 8 3 (1) 28 C C P C ， 21 62 3 8 15 (2) 28 C C P C ， 30 62 3 8 5 (3) 14 C C P C 所以的分布列为 1 2 3 P 3 28 15 28 5 14 故的数学期望 31559 ( )123 2828144 E （）a的最大值为13，最小值为7 （19） （本小题共 14 分） 解： （）因为 椭圆W经过点(2, 3)C， 所以 22 43 1 ab . 因为 椭圆W的离心率为 3 2 ， 所以 3 2 c a ，其中 222 abc. 所以 4, 2. a b 所以 椭圆W的方程为 22 1 164 xy ，长轴长28a . （）当直线CD的斜率不存在时，由题意可知(2,3)D，(2,0)Q. 由（）可知( 4,0)A ,(4,0)B. 所以 ACQ的面积为 1 633 3 2 ，BDQ的面积为 1 233 2 . 显然ACQ的面积比BDQ的面积大2 3 . 数学答案 第 5 页（共 8 页） 当直线CD的斜率存在时，由题意可设直线CD的方程为3(2)yk x， 且0k . 令0y ，得 3 2x k ，所以 3 (2,0)Q k . 由 22 3(2), 1 164 yk x xy 得 2 222 142 334 3 (4)()120yy kkkkk . 依题意可得点D的纵坐标 2 2 34 3 14 D k y k 2 2 4 343 14 kk k . 因为 点D在x轴下方，所以0 D y，即 3 424 k . 所以 ACQ的面积为 1 | | 2 C AQy 13 (24)3 2k 33 (6) 2k ， BDQ的面积为 1 | | 2 D BQy 13 |42| 2 D y k 13 |2| 2 D y k 2 2 134 343 (2)() 214 kk kk 2 2 134 343 (2)() 214 kk kk . 因为 ACQ的面积比BDQ的面积大2 3， 所以 2 2 33134 343 (6)(2)()2 3 2214 kk kkk . 此原方程无解. 综上所述，点D的坐标为(2,3). 方法二方法二 因为 点D在x轴下方，所以 点Q在线段AB（不包括端点）上. 由（）可知( 4,0)A ,(4,0)B. 所以 AOC的面积为 1 432 3 2 . 因为 ACQ的面积比BDQ的面积大2 3， 所以 点Q在线段OB（不包括端点）上，且OCQ的面积等于BDQ的面 积. 所以 OCB的面积等于BCD的面积. 所以 ODBC. 设 ( , )D m n，0n ， 则 033 422 n m . 因为 点D在椭圆W上， 所以 22 1 164 mn . 数学答案 第 6 页（共 8 页） 所以 2, 3. m n 所以 点D的坐标为(2,3) . （20） （本小题共 14 分） 解： （）因为 ln ( ) x f x x ， 所以 2 1ln ( ) x fx x 令 ( )0fx ，得 ex ( )f x与( )fx在区间(0,)上的情况如下： x (0,e) e (e,) ( )fx 0 ( )f x 极大 所以 ( )f x的单调递增区间为(0,e)，单调递减区间为(e, ) （）因为 ln ( ) x f x x ，所以 ln ( ) x g xx x . 所以 2 22 1ln1ln ( )1 xxx g x xx 当 (0 1)x，时， 2 10 ln0 xx，所以 ( )0g x ； 当 (1 )x， 时， 2 10 ln0 xx，所以 ( )0g x 所以 ( )g x在(0 1)，内单调递增，在(1 )， 内单调递减 所以 ( )(1)1g xg （）因为 ln ( ) x f x x ，所以 22 ln ( )241 x h xxaxa x 当 1 0 2 a 时， 2 (1)242 (12 )0haaaa，即存在1，使得(1)0h ； 当 1 2 a 时，由（）可知， ln 1 x x x ，即 ln 1 x x x . 所以 22 ( )24h xxxaxa 2 22 21(21) ()4 24 aa xa 数学答案 第 7 页（共 8 页） 2 1 3 4 aa (21)(61) 4 aa 0. 所以 对任意0 x ，( ) 0h x ，即不存在 0 x使得 0 ( )0h x 综上所述，a的最大值为 1 2 （21） （本小题共 14 分） 解：记 ( , )a i j为数表A中第i行第j列的数， 11 ( , ) nn ij a i j 为数表A中所有数的和， 11 ( , ) kk ij a i j 为数表A中前k行k列交叉处各数之和. （） 1 A是“4 阶非负数表” ； 2 A不是“4阶非负数表” （）由题意知 ( , )1, 1a i j ，1,2,3,4,5i ， 1,2,3,4,5j ，且数表A是“5阶非 负数表” ， 所以 ( )R s（1 2 3 4 5s ，） 为奇数， 且(1)(2)(3)(4)(5)0RRRRR 不妨设 (1)(2)(3)(4)(5)RRRRR 当 (3)0R 时，因为 (3)R 为奇数，所以 (3)1R . 所以 (1)(2)(3)3 (3)3RRRR 当 (3)0R 时，因为 (3)R 为奇数，所以 (3)1R . 所以 (4)(5)2 (3)2RRR . 所以 (1)(2)(3)(4)(5)2RRRRR 又因为 (1)(2)(3)RRR， 均为奇数， 所以 (1)(2)(3)3RRR （） （1）先证明数表A中存在1n行n列（2nk） ，其所有数的和大于等于0 设 1 ( )() n j R ia ij ， （1 2 in ， ，） ，由题意知 1 ( )0 n i R i 不妨设 (1)(2)( )RRR n 由于 111 1111 ( )(1)( )( )(1) ( ) ( )( )0 nnnn iiii nR inR iR inR nR iR n ， 所以 1 11 1 ( )( )0 nn ii n R iR i n （2）由（1）及题意不妨设数表A前1n行n列（2nk） ，其所有数的和大 数学答案 第 8 页（共 8 页） 于等于0 下面考虑前21k 行， 证明存在21k 行k列， 其所有数的和大于等于k 设 21 1 ( )() k i T ja ij ， （ 1 2 2jk ， ， ） ，则 221 11 ( )( )0 kk ji T jR i 不妨设 (1)(2)(2 )TTTk 因为 ( )T j为21k 个奇数的和，所以 ( )T j为奇数（1 2 2jk ， ， ） 当 ( )0T k 时，因为 ( )T k为奇数，所以 ( )1T k . 所以 1 ( )( ) k j T jkT kk 当 ( )0T k 时，因为 ( )T k为奇数，所以 ( )1T k . 所以 2 1 ( )( ) k j k T jkT kk . 所以 2 11 ( )( ) kk jj k T jT jk （3）在（2）所设数表A下，证明前21k 行前k列中存在k行k列，其所有 数的和k 设 1 ( )() k j R ia ij ， （1 2 21ik， ，） ，则 21 11 ( )( ) kk ij R iT jk 不妨设 (1)(2)(21)RRRk 当 ( )1R k时， 1 ( )( ) k i R ikR kk ； 当 ( )0R k 时， (21)(22)( )0RkRkR k . 所以 21 11 ( )( ) kk ii k R ikR ik ，所以 111 ()( ) kkk iji a ijR ik ， 综上所述，对于任何“n阶非负数表”A，均存在k行k列，使得这k行k 列交叉处的所有数之和不小于k.