1、1.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性 第一课时第一课时 函数的奇偶性函数的奇偶性 问题提出问题提出 1.1.研究函数的基本性质不仅是解决实际问题的研究函数的基本性质不仅是解决实际问题的 需要，也是数学自身发展的必然结果需要，也是数学自身发展的必然结果. . 例如事物例如事物 的变化趋势，利润最大、效率最高等，这些特性的变化趋势，利润最大、效率最高等，这些特性 反映在函数上，就是要研究函数的单调性及最值反映在函数上，就是要研究函数的单调性及最值. . 2.2.我们从函数图象的升降变化引发了函数的单我们从函数图象的升降变化引发了函数的单 调性，从函数图象的最高点最低点引发了函数的调性，从函数图象的
2、最高点最低点引发了函数的 最值，如果从函数图象的对称性出发又能得到什最值，如果从函数图象的对称性出发又能得到什 么性质？么性质？ 知识探究（一）知识探究（一） 考察下列两个函数：考察下列两个函数： (1) ; (2) .(1) ; (2) . 2 ( )f xx ( ) |f xx 思考思考1:1:这两个函数的图象分别是什么？二者这两个函数的图象分别是什么？二者 有何共同特征？有何共同特征？ x y o 图图（1） x y o 图图（2） 思考思考2:2:对于上述两个函数，对于上述两个函数，f(1)f(1)与与f(f(- -1)1)， f(2)f(2)与与f(f(- -2)2)，f(3)f(3
3、)与与f(f(- -3)3)有什么关系？有什么关系？ 思考思考3:3:一般地，若函数一般地，若函数y=f(x)y=f(x)的图象关于的图象关于y y轴轴 对称，则对称，则f(x)f(x)与与f(f(- -x)x)有什么关系？反之成立有什么关系？反之成立 吗？吗？ 思考思考4:4:我们把具有上述特征的函数叫做偶函我们把具有上述特征的函数叫做偶函 数，那么怎样定义偶函数？数，那么怎样定义偶函数？ 如果对于函数如果对于函数f(x)f(x)定义域内的任意一个定义域内的任意一个x x， 都有都有f(f(- -x)=f(x)x)=f(x)成立，则称函数成立，则称函数f(x)f(x)为偶函为偶函 数数. .
4、 f(x)=f(f(x)=f(- -x)x) 思考思考5:5:等式等式f(f(- -x)=f(x)x)=f(x)用文字语言怎样表用文字语言怎样表 述？述？ 自变量相反时对应的函数值相等自变量相反时对应的函数值相等 思考思考6:6:函数函数 是偶函数是偶函数 吗？偶函数的定义域有什么特征？吗？偶函数的定义域有什么特征？ 2 ( ), 1,2f xxx 偶函数的定义域关于原点对称偶函数的定义域关于原点对称 知识探究（二）知识探究（二） 考察下列两个函数：考察下列两个函数： (1) ; (2) .(1) ; (2) . ( )f xx 1 ( )f x x 思考思考1:1:这两个函数的图象分别是什么
5、？二者这两个函数的图象分别是什么？二者 有何共同特征？有何共同特征？ 思考思考2:2:对于上述两个函数，对于上述两个函数，f(1)f(1)与与f(f(- -1)1)， f(2)f(2)与与f(f(- -2)2)，f(3)f(3)与与f(f(- -3)3)有什么关系？有什么关系？ x y o 图图（1） x y o 图图（2） 思考思考3:3:一般地，若函数一般地，若函数y=f(x)y=f(x)的图象关于坐的图象关于坐 标原点对称，则标原点对称，则f(x)f(x)与与f(f(- -x)x)有什么关系？反有什么关系？反 之成立吗？之成立吗？ 思考思考4:4:我们把具有上述特征的函数叫做奇函我们把具
6、有上述特征的函数叫做奇函 数，那么怎样定义奇函数？数，那么怎样定义奇函数？ 如果对于函数如果对于函数f(x)f(x)定义域内的任意一个定义域内的任意一个x x， 都有都有f(f(- -x)=x)=- -f(x)f(x)成立，则称函数成立，则称函数f(x)f(x)为奇为奇 函数函数. . f(x)=f(x)=- -f(f(- -x)x) 思考思考5:5:等式等式f(f(- -x)=x)=- -f(x)f(x)用文字语言怎样表用文字语言怎样表 述？述？ 自变量相反时对应的函数值相反自变量相反时对应的函数值相反 思考思考6:6:函数函数 是奇函数吗？是奇函数吗？ 奇函数的定义域有什么特征？奇函数的定
7、义域有什么特征？ ( ), 1,2f xx x 奇函数的定义域关于原点对称奇函数的定义域关于原点对称 理论迁移理论迁移 例例1 1 判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性: : (1) ; (2) .(1) ; (2) . 1 ( )f xx x 2 ( )1f xx 例例2 2 已知定义在已知定义在R R上的函数上的函数f(x)f(x)满足：对任满足：对任 意实数，都有意实数，都有 成立成立. . （1 1）求）求f(1)f(1)和和f(f(- -1)1)的值；的值； （2 2） 确定确定f(x)f(x)的奇偶性的奇偶性. . ()( )( )f a baf bbf a 例例3 3 确定函数确定函数 的单调区间的单调区间. . 2 ( )2| 3f xxx y y x x o o 1 1 - -1 1 作业: P36练习：1，2
