1、山东省滨州市 20202021 学年度第一学期高三期末考试 数学试题 20211 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符 合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1设集合 M(3)(1)0 x xx，N04xx，则 M N A(0，1) B(1，4) C(0，3) D(1，3) 2已知 i 为虚数单位，若 1 cosisin z ，则 z 的共轭复数z Acosisin Bsinicos Csinicos Dcosisin 3九章算术是我国古代的数学巨著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五 人，共出
2、百錢欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何?”意思是：“有大夫、不更、簪裹、上造、公士 （爵位依次变低）5 个人共出 100 钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成等差数列，这 5 个人各出多少 钱？”在这个问题中，若大夫出 4 钱，则上造出的钱数为 A8 B12 C20 D28 4函数 3| | ( )2()e x f xxx的图象大致是 5已知向量a，b满足a (ab)3，且2a ，1b ，则a与b的夹角为 A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 6已知角的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点 P(3，4)，则 cos2 A 7 25 B 7 25 C 24 25 D 24 25
3、 7 已知函数( )f x对任意xR都有(2)( )f xf x ， 且当x0， 2)时， 2 ( )log (1)f xx， 则(2021)( 2021)ff A2 B1 C1 D2 8已知双曲线 C： 22 22 1 xy ab (a0，b0)，P( 0 x， 0 y)是直线20bxaya上任意一点，若 22 00 ()()2xxyy与双曲线 C 的右支没有公共点，则双曲线 C 的离心率的取值范围是 A(1，2 B(1，2 C(2，) D 4 2，) 二、 多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分， 共计 20 分在每小题给出的四个选项中，至少有两个 是符合题目要求的，请把答案添涂在
4、答题卡相应位置上） 9下列命题为真命题的是 A若 ab，则 22 acbc B若 ab0，则 22 aabb C若 cab0，则 ab cacb D若 abc0，则 aac bbc 10设 m，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法正确的是 A若 m，n，则 mn B若，m，m，则 m C若，m，则 m D若 m，n，m，n，则 11二项展开式 55432 543210 (21)xa xa xa xa xa xa，则 A 0 1a B 54321 543210aaaaa C 3 80a D 12345 1aaaaa 12已知函数( )sincos (0)f xaxbx ab，且对任意
5、 xR 都有()() 33 fxfx ，则 A( )f x的最小正周期为 2 B( )f x在 2 3 ， 3 上单调递增 C 5 6 是( )f x的一个零点 D3 a b 三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置上） 13曲线exyx在点(1，e)处的切线方程为 14斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 2 4yx的焦点 F，且与该抛物线相交于 A，B 两点，则AB 15甲、乙两人从 4 门不同的课程中各随机选修 2 门课程，则甲、乙所选的课程中至少有 1 门课程不同的 概率为 16 已知侧棱长为3的正四棱锥SABCD的所有顶点都在球O的球
6、面上， 当该棱锥体积最大时， 底面ABCD 的边长为 ，此时球 O 的表面积为 （本题第一空 3 分，第二空 2 分） 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤） 17（本小题满分 10 分） 在2sinA3sinB；ABC 的面积为 3 15 4 ；b(bcosCccosB)6 这三个条件中任选一个补充在下 面的问题中，并解答 在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且1ab， 1 cosC 4 ， （1）求 c 的值； （2）求 tan2B 的值 注：如果选择多种方案分别解答，那么按第一种方案的解答记
7、分 18（本小题满分 12 分） 已知等比数列 n a 的前 n 项和为 n S，且 342 32SSS， 1 2a （1）求数列 n a 的通项公式； （2）设 2 log nn ba， 1 1 nn n n ca b b ，求 n c 的前 n 项和 n T 19（本小题满分 12 分） 2020 年春，我国武汉出现新型冠状病毒，感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼吸困难等症状，严重的 可导致肺炎甚至危及生命新型冠状病毒疫情牵动每一个中国人的心，为了遏制病毒的传播，危难时刻全 国人民众志成城、共克时艰某校为了了解学生对新型冠状病毒的防护认识，对该校学生开展网上防疫知 识有奖竞赛活动并从男生、女
8、生中各随机抽取 20 人，统计答题成绩分别制成如下频率分布直方图和频数 分布表： 规定：成绩在 80 分以上（含 80 分）的同学称为“防疫明星” （1） 根据以上数据， 完成以下 22 列联表， 并判断是否有 99%的把握认为“防疫明星”与性别有关； （2）以样本估计总体，以频率估计概率，现从该校男生中随机抽取 4 人，其中“防疫明星”的人数为 X，求随机变量 X 的分布列与数学期望 附： 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ac bdab cb ，其中 nabcd 参考数据： 20（本小题满分 12 分） 如图 1，一副标准的三角板中，BE90 ，A60 ，DEE
9、F，BCDF将三角板的边 BC 与 DF 重合，把两个三角板拼成一个空间图形，如图 2，设 M 是 AC 的中点，N 是 BC 的中点 （1）求证：平面 ABC平面 EMN； （2）若 AC2EM4，求二面角 EACB 的余弦值 21（本小题满分 12 分） 已知椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P(2，2)在椭圆 C 上，且满足 2 122 PFPFPF （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）设直线 l：ykxm 与椭圆 C 交于不同两点 M，N，且 OMON证明：总存在一个确定的圆与 直线 l 相切，并求该圆的方程 22（本小题满分 1
10、2 分） 已知函数( )ln a f xx x （1）讨论函数( )f x的单调性； （2）若 a1，证明： 1 ( )exf x 山东省滨州市 20202021 学年度第一学期高三期末考试 数学试题 20211 一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符 合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1设集合 M (3)(1)0 x xx ，N 04xx ，则 M N A(0，1) B(1，4) C(0，3) D(1，3) 答案：A 解析：因为集合 M (3)(1)0 x xx (3，1)，N 04xx (0，4)， 所以 M
11、N(0，1)，选 A 2已知 i 为虚数单位，若 1 cosisin z ，则 z 的共轭复数z Acosisin Bsinicos Csinicos Dcosisin 答案：D 解析： 1 cosisin z cosisin，则z cosisin，选 D 3九章算术是我国古代的数学巨著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪裹、上造、公士，凡五 人，共出百錢欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何?”意思是：“有大夫、不更、簪裹、上造、公士 （爵位依次变低）5 个人共出 100 钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成等差数列，这 5 个人各出多少 钱？”在这个问题中，若大夫出 4 钱，则上造出的钱数为 A
12、8 B12 C20 D28 答案：D 解析：题目可转化为数列 n a 是等差数列， 1 4a ， 5 100S ，求 4 a根据 5 100S 求得 3 20a ，又 1 4a ， 得 d8，故 4 a 3 28ad，选 D 4函数 3| | ( )2()e x f xxx的图象大致是 答案：C 解析：首先判断出该函数是奇函数，其次 1 ( )0 2 f，(1)0f，可判断出 C 符合题意 5已知向量a，b满足a (ab)3，且2a ，1b ，则a与b的夹角为 A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 答案：C 解析： 212 ()3cos342 1cos3cos 23 aabaa b 选 C
13、6已知角的顶点为坐标原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边经过点 P(3，4)，则 cos2 A 7 25 B 7 25 C 24 25 D 24 25 答案：B 解析：因为角的终边经过点 P(3，4)，所以 4 sin 5 ， 则 2 167 cos212sin12 2525 选 B 7 已知函数( )f x对任意xR都有(2)( )f xf x ， 且当x0， 2)时， 2 ( )log (1)f xx， 则(2021)( 2021)ff A2 B1 C1 D2 答案：A 解析：(2)( )4f xf xT ， 2 (2021)(1)log 21ff，( 2021)( 1)(1)1fff
14、 ， 所以(2021)( 2021)ff2，选 A 8已知双曲线 C： 22 22 1 xy ab (a0，b0)，P( 0 x， 0 y)是直线20bxaya上任意一点，若 22 00 ()()2xxyy与双曲线 C 的右支没有公共点，则双曲线 C 的离心率的取值范围是 A(1，2 B(1，2 C(2，) D 4 2，) 答案：B 解析：首先直线20bxaya与双曲线渐近线0bxay平行，两平行线之间的距离为： 2a d c ，要使 22 00 ()()2xxyy与双曲线 C 的右支没有公共点，则 2 2 a c ， 解得 1e2，故选 B 二、 多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5
15、分， 共计 20 分在每小题给出的四个选项中，至少有两个 是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9下列命题为真命题的是 A若 ab，则 22 acbc B若 ab0，则 22 aabb C若 cab0，则 ab cacb D若 abc0，则 aac bbc 答案：CD 解析：当 c0 时，A 不成立；不等式两边同时乘以一个负数，不等号方向要改变，故 B 错误；易得 abb cacacb ，故 C 正确；因为acbc，则abacabbc， 即()()a bcb ac，所以 aac bbc ，D 正确综上，选 CD 10设 m，n 是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法正确的是
16、 A若 m，n，则 mn B若，m，m，则 m C若，m，则 m D若 m，n，m，n，则 答案：AB 解析：垂直于同一平面的两直线平行，故 A 正确；若，m，m，则 m，故 B 正确；若 m 不 垂直与两平面的交线，则无法得到 m，故 C 错误；若直线 m，n 平行，则无法得到，故 D 错误综上，选 AB 11二项展开式 55432 543210 (21)xa xa xa xa xa xa，则 A 0 1a B 54321 543210aaaaa C 3 80a D 12345 1aaaaa 答案：ABC 解析：当 x0 时，可得 0 1a ，A 正确；当 x1 时， 012345 1aaa
17、aaa，又 0 1a ，所以 12345 2aaaaa，故 D 错误； 2 3 32 52 ( 1) 80aC，故 C 正确；对原式两边同时求导，得 4432 54321 10(21)5432xa xa xa xa xa， 当 x1 时， 54 54aa 321 3210aaa， 故 B 正确 综 上，选 ABC 12已知函数( )sincos (0)f xaxbx ab，且对任意 xR 都有()() 33 fxfx ，则 A( )f x的最小正周期为 2 B( )f x在 2 3 ， 3 上单调递增 C 5 6 是( )f x的一个零点 D3 a b 答案：ACD 解析：A 选项明显正确；(
18、 )f x在 2 3 ， 3 上单调递增，不一定正确，B 错误；因为 5 6 324 T ，故 C 正确； 22 sincos 33 abab ，两边平方，并化简得： 2 (3 )0ab，则 3ab，即3 a b ，D 正确综上，选 ACD 三、填空题（本大题共 4 小题， 每小题 5 分，共计 20 分请把答案填写在答题卡相应位置上） 13曲线exyx在点(1，e)处的切线方程为 答案：2eeyx 解析：(1)exyx ，k2e， e2e(1)yx，故切线方程为2eeyx 14斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 2 4yx的焦点 F，且与该抛物线相交于 A，B 两点，则AB 答案：8 解析：
19、 2 24 AB8 1 sin 2 p 15甲、乙两人从 4 门不同的课程中各随机选修 2 门课程，则甲、乙所选的课程中至少有 1 门课程不同的 概率为 答案： 5 6 解析： 2 4 22 44 5 1 6 C P C C 16 已知侧棱长为3的正四棱锥SABCD的所有顶点都在球O的球面上， 当该棱锥体积最大时， 底面ABCD 的边长为 ，此时球 O 的表面积为 （本题第一空 3 分，第二空 2 分） 答案：2，9 解析：设四棱锥的高为 h， 2 22 112 (3) (2 3) 323 hh Vhh ， 2 (1) (1)Vhh ，当 h1 时，V 最大，此时底面 ABCD 的边长为 2；
20、 设球 O 的半径为 R，则 22 2(1)RR，求得 R 3 2 ， 故 S 2 49R 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过 程或演算步骤） 17（本小题满分 10 分） 在2sinA3sinB；ABC 的面积为 3 15 4 ；b(bcosCccosB)6 这三个条件中任选一个补充在下 面的问题中，并解答 在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且1ab， 1 cosC 4 ， （1）求 c 的值； （2）求 tan2B 的值 注：如果选择多种方案分别解答，那么按第一种方案的解答记分 解：（1）选：因为 2s
21、inA3sinB，由正弦定理得， 又因为 ab1，解得 a3，b2， 由余弦定理，得，所以 c4， 选：因为 所以 又因为ABC 的面积为， 所以所以 ab6，又因为 ab1， 所以，解得，或（舍去），所以 a3， 由余弦定理，得所以 选：因为 由余弦定理，得 整理得（或由射影定理，得）ab6， 又因为 ab1，所以，解得，或（舍去），所以 a3， 由余弦定理，得所以 （2）由余弦定理得 又因为，所以 所以 所以 18（本小题满分 12 分） 已知等比数列 n a 的前 n 项和为 n S，且 342 32SSS， 1 2a （1）求数列 n a 的通项公式； （2）设 2 log nn ba
22、， 1 1 nn n n ca b b ，求 n c 的前 n 项和 n T 解：（1）因为， 所以， 化简，得， 所以， 所以等比数列的公比 因为， 所以 （2）由（1）知 所以 所以 19（本小题满分 12 分） 2020 年春，我国武汉出现新型冠状病毒，感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼吸困难等症状，严重的 可导致肺炎甚至危及生命新型冠状病毒疫情牵动每一个中国人的心，为了遏制病毒的传播，危难时刻全 国人民众志成城、共克时艰某校为了了解学生对新型冠状病毒的防护认识，对该校学生开展网上防疫知 识有奖竞赛活动并从男生、女生中各随机抽取 20 人，统计答题成绩分别制成如下频率分布直方图和频数 分布
23、表： 规定：成绩在 80 分以上（含 80 分）的同学称为“防疫明星” （1） 根据以上数据， 完成以下 22 列联表， 并判断是否有 99%的把握认为“防疫明星”与性别有关； （2）以样本估计总体，以频率估计概率，现从该校男生中随机抽取 4 人，其中“防疫明星”的人数为 X，求随机变量 X 的分布列与数学期望 附： 参考公式： 2 2 () ()()()() n adbc K ac bdab cb ，其中 nabcd 参考数据： 解：（1）由频率分布直方图得，男生中成绩大于等于 80 的频率为0.6 则男生中“防疫明星”的人数为人，“非防疫明星”人数为 8 人； 由频数分布表得，女生中“防疫
24、明星”的人数为 6 人，“非防疫明星”人数为 14 人，所以 22 列联表为 因为 K2的观测值 所以有 99%的把握认为“防疫明星”与性别有关 （2） 以样本估计总体， 以频率估计概率， 从 20 名男生中随机抽取 1 人， 是“防疫明星”的概率为 从该校男生中随机抽取 4 人，其中“防疫明星”的人数 X 服从二项分布，即 XB(4， 3 5 ) X 的可能取值为 0，1，2，3，4， 则 所以随机变量 X 的分布列为： 所以 X 的数学期望为 20（本小题满分 12 分） 如图 1，一副标准的三角板中，BE90 ，A60 ，DEEF，BCDF将三角板的边 BC 与 DF 重合，把两个三角板
25、拼成一个空间图形，如图 2，设 M 是 AC 的中点，N 是 BC 的中点 （1）求证：平面 ABC平面 EMN； （2）若 AC2EM4，求二面角 EACB 的余弦值 解：（1）证明：因为 M，N 分别为 AC，BC 的中点， 所以 MNAB， 又因为 ABBC， 所以 MNBC， 因为 DEEF， 所以 ENBC，因为 MN ENN， 所以 BC平面 EMN，因为 BC平面 ABC， 所以平面 ABC平面 EMN， （2）在 RtABC 中BAC60，AC4，所以 AB2，BC2 3， MN1，EN3，又因为 EM2，所以 EM2EN2MN2，ENNM 又因为 ENBC，MN平面 ABC，
26、BC平面 ABC，MN BCN， EN平面 ABC，ENAC， 过点 N 作 NGAC 于点 G，连接 EG， 则 AC平面 EGN，EGAC，EGN 为二面角 EACB 的平面角， 在 RtMNC 中，MN1，NC3，MC2，NG 3 2 ， 在 RtENG 中，EN3，EG， 所以 二面角 EACB 的余弦值为 21（本小题满分 12 分） 已知椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P(2，2)在椭圆 C 上，且满足 2 122 PFPFPF （1）求椭圆 C 的标准方程； （2）设直线 l：ykxm 与椭圆 C 交于不同两点 M，N，且
27、OMON证明：总存在一个确定的圆与 直线 l 相切，并求该圆的方程 解：（1）设 则 因为 所以 解得，或（舍去）， 所以 又因为点在椭圆 C 上， 所以 即， 解得，或（舍去）， 所以， 所以，椭圆 C 的标准方程为 （2）联立消去 y，得 因为直线与椭圆 C 交于不同两点 M，N， 所以 设，则 所以 又因为 OMON，所以 即 所以 所以，原点 O 到直线 l 的距离 所以，存在定圆与直线 l 相切 22（本小题满分 12 分） 已知函数( )ln a f xx x （1）讨论函数( )f x的单调性； （2）若 a1，证明： 1 ( )exf x 解：（1）的定义域为， 当 a0 时，在上恒成立， 所以在上单调递增， 当 a0 时，时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 综上所述，当 a0 时，在上单调递增；当 a0 时，在上单调递减， 在上单调递增 （2）当 a1 时， 令 则 令 恒成立， 所以在上单调递增， 因为 所以存在唯一的，使得，即， 当时，即，所以在上单调递减； 当时，即，所以在上单调递增， 所以， 设则 所以在上单调递增， 所以，所以 因为，所以， 所以，所以 a1 时， 1 ( )exf x
