山东省济南市2021届高三上学期期末考试数学试题（Word版含答案）.zip

1 高高中中三三年级年级学情诊断考试学情诊断考试 数学数学试题试题参考参考答案答案 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D D A B B C B C 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。 题号 9 10 11 12 答案 AC BD ABD ACD 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 131 3 ； 144； 15(51)(0 3)，； 16 25 16 2 ，（本小题第一空 2 分，第二空 3 分） 四、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17 【解析】 在ABC中，由余弦定理可得： 222 2cosACABBCAB BCABC=+ 42522 5 cos12039 =+ =， 所以 39AC =； 在 ACD 中，由正弦定理可得： sinsin ACAD ADCACD = ， 即 sin2sin ACAD ACDACD = ， 所以 3913 2sincossinACDACDACD = ， 所以 3 cos 2 ACD=； 因为 (0 )ACD，所以 6 ACD=； 所以 32 ADCCAD=，； 所以 113 3 22 ACD SAC AD= 2 18 【解析】 （1）因为 2 n Sn= ，所以 2 1 (1)(2) n Snn = ， 所以 1 21 (2) nnn aSSnn = ， 当 1n = 时， 11 1aS=适合上式， 所以 21 n an= （2）若选： 因为 222 1 88 ()(21) (21) n nn nn b aann + = + 22 11 (21)(21)nn = + ， 所以 2222222 1111111 1 1335(21)(21)(21) n T nnn =+= + 若选： 因为 2(21) 2 nn nn ban= ， 所以 231 1 23252(23) 2(21) 2 nn n Tnn = + + + ， 则 234+1 21 23252(23) 2(21) 2 nn n Tnn= + + + ， 两式相减可得： 231 222222 2(21) 2 nn n Tn + =+ 2 1 82 2(21) 2 12 n n n + + =+ 1 6(23) 2nn + = ， 所以 1 6(23) 2n n Tn + =+ 若选： 2 ( 1)( 1) nn nn bSn= = ， 当n为偶数时， 222222222222 1234(1)(21 )(43 )(1) n Tnnnn= +=+ 3721n=+ (321) (1) 2 22 n n n n + + =； 当n为奇数时， 3 22 1 (1)(1) 22 nn n nn n TTnn + = ； 综上： (1) ( 1) 2 n n n n T + = 19 【解析】 （1）证明：因为 2ABACD=，是BC的中点， 所以 ADBC， 又因为 平面 11 BBC C 平面ABC， 且平面 11 BBC C平面ABCBC=，AD 平面ABC， 所以 AD 平面 11 BBC C， 而 AD平面 111 ABC，且AD 平面 1 ADC， 平面 1 ADC平面 111 ABCl=， 所以 ADl， 所以 l 平面 11 BB C C； （2） 【解法一】 因为 四边形 11 BBC C为菱形，且 1 60B BC =，连接 1 B D，则 1 B DBC， 又因为 平面 11 BBC C 平面ABC，平面 11 BBC C平面ABCBC=， 故 1 B D 平面ABC. 以D为坐标原点， 1 DC DA DB，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系. 则 1 (0 0 0)(1 0 0)(03 0)(2 03)DCAC， ， ， ，. 所以 1 (233)(03 0)(13 0)ACDAAC=， ， 设平面 1 DAC的法向量 1111 ()xyz=， ，n， 则 11 1 0 0 AC DA = = n n ，即 111 1 2330 30 xyz y += = ， 令 1 3x =，则 1 2z = ，所以 1 ( 3 02)=，n； 设平面 1 CAC的法向量 2222 ()xyz=， ，n， y z x B1 D C1 AC A1 B 4 则 21 2 0 0 AC AC = = n n ，即 222 22 2330 30 xyz xy += = ， 令 2 3x =，则 22 11yz= ， 所以 2 ( 3 11)=，n； 所以 12 12 12 35 cos |7 =， nn nn nn ， 由图可知 所求二面角为锐角， 所以 二面角 1 DACC 的余弦值为 35 7 . （2） 【解法二】 因为 AD 平面 11 BBC C，AD 平面 1 ADC， 所以 平面 1 ADC 平面 11 BBC C， 在平面 11 BBC C内，过C作 1 CHDC于点H， 则 CH 平面 1 ADC 过C作 1 CGAC于点G，则G为线段 1 AC的中点； 连接HG，则 CGH即为二面角 1 DACC的平面角. 在直角 11 DBC中， 1111 237BCB DDC=， ； 在 1 DCC中， 21 7 CH = ，在 1 ACC中， 6 2 CG = ； 在直角 CGH 中， 210 14 GH = ， 所以 35 cos 7 GH CGH CG = ， 所以 二面角 1 DACC的余弦值为 35 7 . 20 【解析】 （1）从红枣中任意取出一个，则该红枣为优质品的概率是 1 2 ， 记“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为 A 类”为事件A，则 413 4 11113 ()()() (1) 222216 P AC=+=； G B1 D C1 A C A1 B H 5 （2）记“如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为 B 类”为事件B， “如果该农户采用方案一装箱，一箱红枣被定为 C 类”为事件C，则 433 4 1115 ()(1)(1) 22216 P CC=+=， 1 ()1()() 2 P BP AP C= =， 所以 如果该农户采用方案一装箱，每箱红枣收入的数学期望为： 315 200160120155 16216 +=元； 由题意可知，如果该农户采用方案二装箱， 则一箱红枣被定为 A 类的概率为 1 2 ，被定为 C 类的概率也为 1 2 ， 所以 如果该农户采用方案二装箱，每箱红枣收入的数学期望为： 11 2001201159 22 + =元； 所以 该农户采用方案二装箱更合适 21 【解析】 （1）由题可知 2 6 3 22 3 3 c a b a = = ，又因为 222 abc=+， 所以 3a =，1b =， 所以 椭圆C的标准方程为 2 2 1 3 x y+=； （2）因为 折线 |2 |(0)yk xk= 与椭圆C相交于A B，两点， 设点B关于x轴的对称点为 B 则 直线(2)(0)yk xk=与椭圆C相交于A B ，两点 设 1122 ()()A xyB xy，则 22 ()B xy， 由 2 2 1 3 (2) x y yk x += = 得 2222 (13)6 2630kxk xk+=， 所以 22 1212 22 6 263 1313 kk xxxx kk += + ， 6 所以 122112 21 122112 (2)(2) ()2 ()2 yyk xk xxx kkkk xxxxx x + = += += 3 2 12 22 63 k k k = ， 整理得 2 210kk =， 解得 1 2 k = 或1k = 22 【解析】 （1） 11 ( ) 11 axa fxa xx + = + ，其中1x ， 若0a，( )0fx，此时( )f x在( 1)+，上单调递减； 若0a ，由( )0fx得 1 1x a ， 此时( )f x在 1 ( 11) a ，上单调递减，在 1 (1) a +，上单调递增； 综上所述，0a，( )f x在( 1)+，上单调递减； 0a ，( )f x在 1 ( 11) a ，上单调递减，在 1 (1) a +，上单调递增. （2） 【解法一】 由题意 1 eln(1)0 1 x axx x + + 在(0)x+，恒成立， 记 1 ( )eln(1) 1 x g xaxx x =+ + ，(0)x+，其中(0)0g=； ( ) 2 11 e 1(1) x gxa xx =+ + ，其中(0)1ga=； 3 233 12(1)e(1) ( )e (1)(1)e (1) x x x xx gx xxx + =+= + ， 记( )h x = 3 (1)e(1) x xx+， 因为 ( )h x= 2 e3(1)0 x xx+，(0)x+， 所以 ( )h x在(0)+，上单调递增， 所以 ( )(0)0h xh=，所以 ( )0gx， 所以 ( )g x在(0)+，上单调递增； 若0a， 1 1 (1)eln20 2 ga =+，不合题意； 若01a， 因为 2 11 ( )ee 1(1) xx g xaa xx =+ + ， 所以 ln (ln )e0 a gaa =， 7 又因为 (0)10ga= ，( )g x在(0)+，上单调递增， 所以 当(0ln )xa，时，( )0g x， 所以 ( )g x在(0ln )a，上单调递减， 所以 当(0ln )xa，时，( )(0)0g xg=，不合题意； 若1a，因为 ( )g x在(0)+，上单调递增， 所以 ( )(0)10g xga=， 所以 ( )g x在(0)+，上单调递增， 所以 ( )(0)0g xg=，符合题意； 综上 实数a的取值范围是1)+， 【解法二】 因为 1e(1) e 1e (1) x x x x xx + = + ， 记( )e(1) x g xx=+，(0)x+，( )e10 x gx= ， 所以 ( )g x在(0)+，上单调递增，所以 ( )(0)0g xg=， 所以 1 e0 1 x x + 恒成立； 若0a，(1)ln20fa=，不合题意； 若01a，由（1）知，( )f x在 1 (01) a ，上单调递减， 所以 1 (1)(0)0ff a =，不合题意； 若1a，记 1 ( )eln(1) 1 x h xaxx x =+ + ，(0)x+， 1 ( )eln(1) 1 x h xxx x + + ， 记 1 ( )eln(1) 1 x xxx x =+ + ， 22 111111 ( )11 1(1)e1(1)1 x x xxxxx = + + + 22 22 (1)2(1)1 0 (1)(1) xxx xx + = + ， 所以 ( )x在(0)+，上单调递增，所以 ( )(0)0 x=， 所以 ( )0h x ，符合题意； 综上 实数a的取值范围是1)+，数学试题 第 1 页 （共 6 页） 绝密启用并使用完毕前 2021 年高中三年级学情诊断考试 数学试题数学试题 本试卷共 6 页，22 题，全卷满分 150 分考试用时 120 分钟 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写 在答题卡上写在本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 参考公式：锥体的体积公式：（其中为锥体的底面积，为锥体的高） 1 3 VShSh 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的 1设集合，则 2 |60Ax xx |10Bx x AB AB |3x x | 31 xx CD | 21 xx | 21 xx 2已知复数（其中 为虚数单位） ，则的共轭复数为 i 1i z iz ABCD 11 i 22 11 i 22 11 i 22 11 i 22 3已知直线 过点，则“直线 的方程为”是“直线 与圆相切”l(2 2)，l2y l 22 4xy 的 A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 4十二生肖是中国特有的文化符号，有着丰富的内涵，它们是成对出现的，分别为鼠和牛、 虎和兔、龙和蛇、马和羊、猴和鸡、狗和猪六对每对生肖相辅相成，构成一种完美人 格现有十二生肖的吉祥物各一个，按照上面的配对分成六份甲、乙、丙三位同学依 次选一份作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物 都喜欢如果甲、乙、丙三位同学选取的礼物中均包含自己喜欢的生肖，则不同的选法 数学试题 第 2 页 （共 6 页） 种数共有 A12 种B16 种 C20 种D24 种 5已知菱形的边长为，点分别在边上，且满足ABCD2120BAD E F，BC CD， ，则BEEC 2CDCF |AEAF AB3CD4 32 3 6把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么 1 C 0 C 后物体的温度（单位：）满足公式（其中为常数） 现mintC 010 ()e kt k 有的物体放在的空气中冷却，后物体的温度是则再经过52 C 12 C 2 min32 C 该物体的温度可冷却到4 min ABCD 12 C 14.5 C 17 C 22 C 7已知双曲线的左、右顶点分别为，其中一条渐近线与 22 22 :1(00) xy Cab ab ，A B， 以线段为直径的圆在第一象限内的交点为 P，另一条渐近线与直线垂直，则 CABPA 的离心率为 A3B2CD32 8已知函数，若存在唯一的正整数，使得，则实数的取( )(1)exf xa xx 0 x 0 ()0f xa 值范围是 ABCD 3 13 ) 2e4e ， 32 32 ) 4e3e ， 2 21 ) 3e2e ， 11 ) 2e2 ， 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分 9为落实山东省学生体质健康促进条例的要求，促进学生增强体质，健全人格，锤炼 意志，某学校随机抽取了甲、乙两个班级，对两个班级某一周内每天的人均体育锻炼时 间（单位：分钟）进行了调研根据统计数据制成折线图如下： 数学试题 第 3 页 （共 6 页） 下列说法正确的是 A班级乙该周每天的人均体育锻炼时间的众数为 30 B班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的中位数为 72 C班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的极差比班级乙的小 D班级甲该周每天的人均体育锻炼时间的平均值比班级乙的大 10已知函数（不恒为 0） ，若，则下列 12 ( )sin(2)cos(2)f xaxbx( )f x()0 6 f 说法一定正确的是 A为奇函数 () 12 f x B的最小正周期为( )f x C在区间上单调递增( )f x 12 12 ， D在区间上有 4042 个零点( )f x0 2021 ， 11如图，在正四棱柱中，点为线段上一动点， 1111 ABCDABC D 1 22AAABP 1 AD 则下列说法正确的是 A直线平面 1 PBA 1 BC D B三棱锥的体积为 1 PBC D 1 3 C三棱锥外接球的表面积为 11 DBC D 3 2 D直线与平面所成角的正弦值的最大值为 1 PB 11 BCC B 5 3 12已知红箱内有 5 个红球、3 个白球，白箱内有 3 个红球、5 个白球，所有小球大小、形 状完全相同第一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色 相同的箱子内取出一球，然后再放回去，依次类推，第次从与第次取出的球颜 1k k B1 A1 C1 D1 C A B D P 数学试题 第 4 页 （共 6 页） 色相同的箱子内取出一球，然后再放回去记第次取出的球是红球的概率为，则nn P 下列说法正确的是 A 2 17 32 P B 1 17 232 nn PP C 2 1122 1 () 2 nnnnnn PPP PPP D对任意的且， ij N，1 ij n 1 1 111 ()()(14)(14) 22180 nn ij ij n PP 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13已知，则的值为 _______ 1 sin() 63 5 sin() 6 14若实数满足，则的最小值为_______ x y，lglglg()xyxyxy 15已知奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集为 ( )f x(0) ，(4)0f(1)0 xf x _______ 16已知直线 与抛物线相切于点，且与的准线相交于点，为的焦点，l 2 8C yx：PCTFC 连接交于另一点，则面积的最小值为_______；若，则的PFCQPTQ|5TF |PQ 值为_______ （本小题第一空 2 分，第二空 3 分） 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分） 在平面四边形中，ABCD ，求的面积25120ABBCABC ，13AD 2ADCACD ACD 18 （12 分） 已知数列的前项和 n a n 2 n Sn （1）求数列的通项公式； n a （2）在，这三个条件中任选一个，补 2 1 8 () n nn n b aa 2n nn ba( 1)n nn bS 充在下面的问题中，并求解该问题 若 ，求数列的前项和 n b n n T 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. B1 D C1 A C A1 B 数学试题 第 5 页 （共 6 页） 19 （12 分） 如图，在三棱柱中，为的中点，平面 111 ABCABC2ABACDBC 平面，设直线 为平面与平面的交线 11 BBC C ABCl 1 AC D 111 ABC （1）证明：平面；l 11 BBC C （2）已知四边形为边长为的菱形，且，求二面角的 11 BBC C2 1 60B BC 1 DACC 余弦值 20 （12 分） 习近平同志在十九大报告中指出，要坚决打赢脱贫攻坚战确保到 2020 年在我国现行 标准下农村贫困人口实现脱贫，贫困县全部摘帽某县在实施脱贫工作中因地制宜， 着力发展枣树种植项目该县种植的枣树在 2020 年获得大丰收，依据扶贫政策，所有 红枣由经销商统一收购为了更好的实现效益，县扶贫办从今年收获的红枣中随机选 取 100 千克，进行质量检测，根据检测结果制成如图所示的频率分布直方图右表是 红枣的分级标准，其中一级品、二级品统称为优质品 经销商与某农户签订了红枣收购协议，规定如下：从一箱红枣中任取 4 个进行检测， 若 4 个均为优质品，则该箱红枣定为 A 类；若 4 个中仅有 3 个优质品，则再从该箱中 任意取出 1 个，若这一个为优质品，则该箱红枣也定为 A 类；若 4 个中至多有一个优 质品，则该箱红枣定为 C 类；其它情况均定为 B 类已知每箱红枣重量为 10 千克， A 类、B 类、C 类的红枣价格分别为每千克 20 元、16 元、12 元现有两种装箱方案： 等级四级品三级品二级品一级品 红枣纵径/mm 30 35)，35 40)，40 45)，45 50， 径 径 径 径 径 径 径 径 /mm 0.08 0.06 0.04 504540 O 30 35 0.02 数学试题 第 6 页 （共 6 页） 方案一：将红枣采用随机混装的方式装箱； 方案二：将红枣按一、二、三、四等级分别装箱，每箱的分拣成本为 1 元 以频率代替概率解决下面的问题 （1）如果该农户采用方案一装箱，求一箱红枣被定为 A 类的概率； （2）根据所学知识判断，该农户采用哪种方案装箱更合适，并说明理由 21 （12 分） 已知椭圆的离心率为，过椭圆焦点的最短弦长为 22 22 :1(0) xy Cab ab 6 3 2 3 3 （1）求椭圆的标准方程；C （2）若折线与相交于两点(点在直线的右侧)，设|2 |(0)yk xkCA B，A2x 直线的斜率分别为，且，求的值OA OB， 12 kk， 21 2kkk 22 （12 分） 已知函数 ( )ln(1)f xaxx （1）讨论的单调性； ( )f x （2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围 1 ( )e 1 x f x x (0 +)x， a