浙江省湖州市2021届高三上学期期末调研测试数学试题（图片版含答案）.zip

2020 学年第一学期期末调研测试卷 高三数学答案 学年第一学期期末调研测试卷 高三数学答案 一、选择题一、选择题 题号12345678910 答案CADBADCBDB 二、填空题二、填空题 11.2 7； 7 4 ； 12.80 ； 2；13. 7 5 ； 37 12 ； 14.4；2 21 ； 15. 9 7 ； 16.2；17.53. 三、解答题三、解答题(本大题共 5 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18. (本小题满分 14 分） 在ABC中 ， 角A，B，C所 对 的 边 分 别 是a，b，c 已 知 3coscoscossinaBbACcC （）求角C的大小； （）求 22 coscosAB的取值范围 解： （）由正弦定理得 2 3 sincossincoscossinABBACC，2 分 所以 2 3 sincos3 sincossinABCCCC4 分 又0 C，故sin0C ，得3 cossinCC ， 即tan 3C 6 分 解得 3 C 7 分 （） 22 coscosAB 1 cos21 cos2 22 AB+ =+ 1 1cos2cos2 2 AB +9 分 12 1cos2cos2 23 AA + 14 1cos2cos2 23 AA + 1 1cos2cos2 23 AA 113 1cos2cos2sin2 222 AAA 131 1sin2cos2 222 AA 1 1sin 2 26 A 12 分 又 2 0, 3 A ，所以 7 2, 666 A 13 分 所以 1 sin 2,1 62 A 因此 22 1 5 coscos, 2 4 AB 15 分 19 (本小题满分 15 分) 如图， 三棱柱 111 ABCABC所有的棱长均为1， 且四边形BCBC 11 为正方形， 又 1 ABBC （）求证： 111 ABAC； （）求直线AB与平面 11 A ACC所成角的正弦值 【解析】【解析】传统法（）连接 11 ,AC BC ， 在正方形 11 CCBB中， 11 BCBC ，2 分 又 1 ABBC，而 1 ABBCB， 因此 1 BC 平面 1 ABC， 所以 11 BCAC，4 分 在菱形 11 A ACC中， 11 ACAC，6 分 而 11 BCACC， 因此 1 AC 平面 11 ABC， 所以 111 ACAB8 分 （）由 11/ AB AB可知直线AB和平面 11 A ACC所成的角等于直线 11 AB和平面 11 A ACC所成 的角 由 （） 可知 1 AC 平面 11 ABC， 又 111 ACA ACC平面， 所以 1111 ABCA ACC平面平面 所以CAB 11 为直线AB和平面 11 A ACC所成的角12 分 在 11 Rt ABC, 11 1AB ， 1 2BC ， 1 3AC ， 3 6 sin 1 1 11 CA CB CAB 即直线AB和平面 11 A ACC所成角的正弦值为 3 6 15 分 建系法：建立如图所示空间坐标系 0,0,0A,1,0,0B , 13 ,0 22 C ，设 1 , ,B x y z2 分 由条件可知 1 2BC , 1 1BB ,又 1 ABCB ， 故 2 2 2 2 22 13 2 22 11 13 1000 22 xyz xyz xyz ，4 分 解得 1 2 3 6 6 3 x y z ，即 1 136 , 263 B 6 分 （） 11 1,0,0ABAB ,7 分 11111 36 0, 33 ACAAACBBAC ,9 分 故 111 0AB AC ，因此 111 ACAB10 分 （ ） 设 平 面 11 A ACC的 法 向 量 为 000 ,nx y z ， 1 136 , 263 AA ， 13 ,0 22 AC , 故 1000 00 136 0 263 13 0 22 AA nxyz AC nxy ，解得 0 0 0 3 1 2 2 x y z 12 分 又1,0,0AB ，则 6 sincos, 3 AB n AB n AB n ，14 分 即直线AB和平面 11 A ACC所成角的正弦值为 3 6 15 分 20(本小题满分 14 分）设等差数列 n a的首项 1 a为0aa，其前n项和为 n S （） 若 1 S， 2 S， 4 S成等比数列，求数列 n a的通项公式； （）若对任意的n N， 恒有0 n S ， 问是否存在k（2,kk N） ， 使得ln k S、 1 ln k S 、 2 ln k S 成等比数列？ 若 存在，求出所有符合条件的k值；若不存在，请说明理由 【解析】【解析】 ： （）设等差数列 n a的公差为d， 则 1 Sa， 2 2Sad， 4 46Sad-2 分 由于 124 ,S SS成等比数列，因此 2 214 SSS，-4 分 即得20dad所以，0d 或2da-6 分 n aa或21 n ana-7 分 （）不存在符合条件的k值-8 分 则因为 2 2 2 2 2 ln.lnln lnln 22 kk kk kk S SSS SS -10 分 又 2 121 .2 22 kk k kkk S Skadkad d k ad k akk 2 1 2 1 2-12 分 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 k S d k ad k a kk 故 2 211 lnln2ln kkkk SSSS ，因此 2 21 lnlnln kkk SSS 故不存在k（2,kk N） ，使得ln k S、 1 ln k S 、 2 ln k S 成等比数列-15 分 21. （本小题满分 15 分） 如图，已知点A，B，C是抛物线 2 xy上的三个点，且ABC是以点B为直角顶点 的等腰直角三角形 （）若直线BC的斜率为1，求顶点B的坐标； （）求三角形ABC的面积的最小值 解：设 2 00,x xB， 2 11,x xA， 2 22,x xC （）由题意知直线BC的方程设为 2 00 yxxx ， 直线AB的方程为 2 00 yxxx ，-2 分 由 2 00 2 yxxx yx 得 22 00 0 xxxx 20 1xx，故 20 1xx ，-4 分 所以 2 200 12 21BCkxxx 同理可得： 0 2 21ABx-6 分 因为三角形ABC为等腰直角三角形，故ABBC 00 2 212 21xx，解得 0 0 x ， 因此点B的坐标为0,0B-7 分 （）由对称性，不妨设点B在y轴的右侧（包括y轴） ，则 102 0 xxx， 不妨设直线BC的斜率为0k k ，则直线AB的斜率为 k 1 ， 由 22 10 10 10 1xx xx kxx ，得 10 1 xx k ， 由 22 20 20 20 xx kxx xx ，得 20 xkx ，-8 分 由于|BCAB ，则 2 0120 2 1 11xxkxx k ， 即 2 0120 2 1 11xxkxx k 化简得 2 00 2 11 1212xkkx kk 解得 12 1 3 0 kk k x，-10 分 故点B的坐标为) ) 1(4 ) 1( , ) 1(2 1 ( 22 233 kk k kk k B 故等腰直角三角形的直角边长为 22 22 200 11 112 1 kk BCkxxkkx kk -12 分 2 (1) 2 2 2 1 k k kk 当且仅当1k时，即点B为坐标原点时等号成立-14 分 故等腰直角三角形的面积的最小值为 1-15 分 22. （本小题满分 15 分） 已知函数 Renmnxxmxxf x ,sin 3 ，e为自然对数的底数. （）当0m 且1n时，证明： 0 xf； （）当0n时，函数 f x在区间, 0上单调递增，求实数m的取值范围. （）证明：当0m 且1n时，即证：sin0 x exx ,1 分 因为1sinxexxe xx , 令 1 x g xex，3 分 则 1 x gxe,当0 x 时，有 0gx. 当0 x 时， g x单调递增； 当0 x 时，有 0gx .当0 x 时， g x单调递减， 所以 00 gxg.5 分 因为两次取等号条件致， 所以0sinxxex. 故 0 xf.6 分 （）方法一：由题意得 2 cos1 30fxxmx 在区间, 0上恒成立， 7 分 令 2 cos1 3,00,6sinF xxmxFFxmxx ,9 分 先证明0sinxxx， 令 sin1 sin0H xxxHxx , 所以当0 x 时， H x在0,上单调递增， 00H xH, 因此sin0sinxx xxx ,0 x10 分 所以 xmxmxxmxxF166sin6， 对m进行分类讨论： 当 1 ,0 6 mx时， 0,FxF x单调递增； 00F xF,符合题意；12 分 当0m时， 2 F1 3m0 22 ,不符合题意，舍去； 13 分 当 6 1 0 m时， xmxFcos6 ， 0160 mF，06 2 mF ， 所以 2 , 0 0 x，0 0 x F， 当 0 , 0 xx时， 0 x F， 所以 x F 在 1 0,x上单调递减， 00 FxF，不符合题意舍去.15 分 综上所述， 1 6 m . （）方法二：多次求导+多次必要性先行（注意端点效应） 由题意得 2 cos1 30fxxmx 在区间, 0上恒成立，且 00 f ，8 分 sin60fxxmx ，且 00 f ， 10 分 cos6fxxm ,且 01 6 0fm ，从而可得 1 6 m，12 分 此时 2 2 cos1 3cos1 2 x fxxmxx 接下来证明， 0 2 1cos 2 x xxg在区间, 0上恒成立， 13 分 因为 0sinxxxg，所以 00 gxg，即证.15 分