1、1数数列列满满分分通通关关 2 23 3 讲讲专题 01 数列的概念及性质.3考点一 由数列前几项求数列通项公式.3考点二 数列的周期性.5考点三 数列的单调性.7专题 02 数列中的最值问题.9考点一 数列的最大(小)项.9考点二 等差数列中与前n项和Sn相关的最值.11考点三 等比数列中的最值.14专题 03用an与Sn的关系求通项公式.16考点一 由Snf(n)求an型.16考点二 由a1a2a3anf(n)求an型.17考点三 由f(an，Sn)0 消去Sn型.18考点四 由f(an，Sn)0 消去an型.20专题 04 用累加法与累乘法求通项公式.21考点一 由an1anf(n)求a
2、n型.21考点二 由an1anf(n)求an型.23专题 5 用构造辅助数列通项公式.25考点一 由an1AanB(A0 且A1，B0)求an型.25考点二 由an1panf(n)求an型.25考点三 由an2pan1qan求an型.26考点四 由an1AanBanC求an型.26考点五 由其他形式的递推公式求an型.27专题 06 等差数列基本量的计算.29专题 07 等差数列的性质及应用.35考点一 性质(1)的应用.35考点二 性质(2)的应用.35考点三 性质(6)的应用.38考点四 性质(7)的应用.38考点五 性质(10)的应用.39考点六 其他性质的应用.40专题 08 等差数列
3、的判定与证明.41专题 09 等比数列基本量的计算.48专题 10 等比数列的性质及应用.54考点一 性质(2)的应用.54考点二 性质(7)的应用.56考点三 其他性质的应用.56专题 11 等比数列的判定与证明.58专题 12 等差、等比数列的综合应用.67考点一 选填题.67考点二 解答题.70专题 13 裂项相消法求和.80考点一 选填题.812考点二 解答题.831an1n(nk)型.832an1(nk)(nk1)型.863an1(2n1)(2n1)型.874an1(2n1)(2n3)型.895an2n1n2n12型.906anloga11n型.917an2n2n12n11型.918
4、ann2(n2n)2n1或k2k1k1k2型.93专题 14 错位相减法求和.95专题 15 分组转化法求和.105考点一 选填题.105考点二 解答题.1061.等差(等比)等比(等差)模型.1062裂项等比模型.1123错位等差(裂项)模型.113专题 16 数列的奇偶项讨论问题.115考点一anan1f(n)或anan1f(n)类型.115考点二anf(n)，n为奇数，g(n)，n为偶数类型.117考点三 含有(1)n的类型.119考点四 已知条件明确的奇偶项或含有三角函数问题.124专题 17 数列不等式的证明.127考点一 先求和(裂项相消法)再放缩.127考点二 先求和(错位相减法
5、)再放缩.134考点三 先放缩再求和.136专题 18 用导数证明数列不等式.139专题 19 数列不等式恒成立与存在性问题小题.144考点一 由数列不等式恒成立求参数.144考点二 由数列不等式求n的最值.146专题 20 数列不等式恒成立与存在性问题大题.147考点一 由数列不等式恒成立求参数.147考点二 由数列不等式求n的最值.154考点三 数列不等式存在性问题求参数.156专题 22 数列中的结构不良问题.160专题 23 数列中的数学文化问题.168考点一 等差数列型.168考点二 等比数列型.1723专题专题 01数列的概念及数列的概念及性质性质1数列的定义数列的定义按照一定顺序
6、排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项2数列的分类数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第 2 项起，每一项都大于它的前一项的数列，即 an1an递减数列从第 2 项起，每一项都小于它的前一项的数列，即 an1an常数列各项都相等的数列，即 an1an周期数列项呈现周期性变化摆动数列从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项3数列的表示法数列的表示法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法(1)列举法：a1，a2，a3，an，；(2)图像法：数列可用一群孤立的点表示；(3)解析法(公式法
7、)：通项公式或递推公式4数列的通项公式数列的通项公式如果数列an的第 n 项与它的序号 n 之间的关系可以用一个公式 anf(n)来表示，那么这个公式叫作这个数列的通项公式通项公式可以看成数列的函数解析式5数列的递推公式数列的递推公式如果已知数列an的首项(或前几项)，且任意一项 an与 an1(或其前面的项)之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫作数列的递推公式它是数列的一种表示法注：并不是所有的数列都有通项公式，即使有通项公式也未必唯一6数列的通项数列的通项 an与前与前 n 项和项和 Sn的关系的关系已知数列an的前 n 项和 Sn，则 anS1n1，SnSn1n2.这个关系式对
8、任意数列均成立7数列与函数的内在联系数列与函数的内在联系从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集 N的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式考点一考点一由数列前几项由数列前几项求求数列通项公式数列通项公式【基本方法方法】由数列前几项求数列通项公式的常用方法及具体策略4(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法 同时也可以使用添项、还原、分割等方法，转化为一个常见数列，通过常见数列的通项公式求得所给数列的通项公式(2)具体策略：分式中分子、分母的特征；相邻项
9、的变化特征，如递增时可考虑关于 n 为一次递增或以 2n，3n等形式递增；拆项后的特征；各项的符号特征和绝对值的特征；化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；对于符号交替出现的情况，可用(1)n或(1)n1，nN*来处理【基本题题型型】例例 1(1)数列 3，7，11，15，的一个通项公式 an_(2)数列112，123，134，145，的一个通项公式 an_(3)已知数列 1，2，7，10，13，则 219在这个数列中的项数是()A16B24C26D28(4)数列23，45，67，89，的第 10 项是()A1617B1819C2021D2223(5)根
10、据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式 an_(6)某少数民族的刺绣有着悠久的历史，图(1)，(2)，(3)，(4)为最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第 n 个图形包含 f(n)个小正方形，则 f(6)_【对点对点精精练练】1数列 0，23，45，67，的一个通项公式为_2已知数列an为12，14，58，1316，2932，6164，则数列an的一个通项公式是_53在数列 1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，中，x 应取()A19B20C21D224已知数列 2，5，2 2，则 2
11、5是该数列的()A第 5 项B第 6 项C第 7 项D第 8 项5传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数 1，3，6，10，记为数列an，则数列an的通项公式为_6把 1，3，6，10，15，这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的圆点可以排成一个正三角形(如图所示)则第 7 个三角形数是()A27B28C29D30考点考点二二数列的周期性数列的周期性【基本知识基本知识】周期数列：对于数列an，如果存在一个常数 T，使得对任意的正整数 i 恒有 aiaiT成立，则称数列an是周期为 T 的周期数列周期数列的常见形式：(1)an1
12、anan2(nN*)；(2)an1anan2(nN*)；(3)an111an(nN*)；(4)an11an1an(nN*)；(5)三角函数型；【基本方法方法】解决数列周期性问题的方法：根据给出的关系式求出数列的若干项，通过观察归纳出数列的周期，进而求有关项的值或者前 n 项的和【基本题题型型】例例 2(1)已知数列an，若 an1anan2(nN*)，则称数列an为“凸数列”已知数列bn为“凸数列”，且 b11，b22，则bn的前 2 022 项的和为()A0B1C5D1(2)已知数列an中，a11，a22，且 anan2an1(nN*)，则 a2 022的值为()A2B1C12D146(3)
13、在一个数列中，如果对任意 nN*，都有 anan1an2k(k 为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积已知数列an是等积数列，且 a11，a22，公积为 8，则 a1a2a3a12_(4)已知数列an满足 an111an，若 a112，则 a2 022()A1B12C1D2(5)若数列an满足 a12，an11an1an，则 a2 022的值为()A2B3C12D13(6)在数列an中，a11，an1ansin(n1)2，记 Sn为数列an的前 n 项和，则 S2 018()A0B2 018C1 010D1 009【对点对点精精练练】1已知数列an满足 an2an1an，nN
14、*，a11，a22，则 a2 021等于()A2B1C1D22已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 a22a11，an1an1an(n2)，则下列结论不正确的是()Aa2 0202Ba4a100CS372DS306S63在数列an中，若对任意的 nN*均有 anan1an2为定值，且 a12，a93，a984，则数列an的前 100 项的和 S100()A132B299C68D994已知数列 a12，an11an1(n2)则 a2 022_5(2014全国)数列an满足 an111an，a82，则 a1_6已知数列an中，a112，an111an，则下列各数是an的项的有()A2B23C32
15、D37已知数列an满足 a12，an11an1an(nN*)，则 a1a2a3a2022()A6B6C3D38在数列an中，a10，an13an1 3an，则 S2 022_9数列an满足 an12an，0an12，2an1，12an0数列an是单调递增数列；an1an0 时，an1an1数列an是单调递增数列；an1an1数列an是单调递减数列；an1an1数列an是常数列an1数列an是单调递减数列；an1an7，数列an满足 anf(n)，nN*，且数列an是递增数列，则实8数 a 的取值范围是()A94，3B94，3C(1，3)D(2，3)(6)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn(
16、nN*)，且 an2n，若数列Sn(n7，nN*)为递增数列，则实数的取值范围为_(7)若 ann2kn4 且对于 nN*，都有 an1an成立，则实数 k 的取值范围是_【对点对点精精练练】1对于数列an，“an1|an|(n1，2，)”是“an为递增数列”的()A必要不充分条件B充分不必要条件C充要条件D既不充分也不必要条件2在数列an中，ann2n1，则an()A是常数列B不是单调数列C是递增数列D是递减数列3(多选)下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是()A1，12，13，14，1n，Bsin7，sin27，sin37，sinn7，C1，12，14，18，12n1，D1，2，3
17、，n，4已知数列an满足 an(13a)n10a，n6，an7，n6(nN*)，若对任意的 nN*，均有 anan1，则实数 a的取值范围是()A13，1B13，58C13，12D13，585已知 f(x)(2a1)x4(x1)，ax(x1)，数列an(nN*)满足 anf(n)，且an是递增数列，则 a 的取值范围是()A(1，)B12，C(1，3)D(3，)6已知 ann2n，且对于任意的 nN*，数列an是递增数列，则实数的取值范围是_7在数列an中，a1a，an12an1，若an为递增数列，则 a 的取值范围为()Aa0Ba1Ca2Da38已知数列an的通项公式为 an3nk2n，若数
18、列an为递减数列，则实数 k 的取值范围为()A(3，)B(2，)C(1，)D(0，)9专题专题 02数列中的最值问题数列中的最值问题考点一考点一数列的最大数列的最大(小小)项项【基本方法方法】求数列的最大项与最小项的常用方法(1)将数列视为函数 f(x)当 xN*时所对应的一列函数值，根据 f(x)的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出 f(x)的最值，进而求出数列的最大(小)项；(2)通 过 通 项 公 式 an研 究 数 列 的 单 调 性，若 有 an1 an f(n 1)f(n)0或 an0 时，an1an1，则 an1an，则数列an是递增数列，所以数列an的最小项
19、为 a1f(1)；若有 an1anf(n1)f(n)0或 an0 时，an1an1，则 an1an，则数列an是递减数列，所以数列an的最大项为 a1f(1)若不单调利用anan1，anan1(n2)确定最大项，利用anan1，anan1(n2)确定最小项；【基本题题型型】例例 1(1)数列an中，ann211n(nN*)，则此数列最大项的值是_(2)数列an的通项 annn290，则数列an中的最大项是()A3 10B19C119D1060(3)若数列an中，ann212n2，nN*，则数列an中的项的最小值为_(4)已知数列an的通项公式为 ann23n，则数列an中的最大项为()A89B
20、23C6481D125243(5)若数列n(n4)(23)n中的最大项是第 k 项，则 k_(6)数列an的通项为 an2n1，n4，n2(a1)n，n5(nN*)，若 a5是an中的最大值，则a 的取值范围是_(7)已知数列an满足 a128，an1ann2，则ann的最小值为()A293B4 71C485D27410例例 2已知数列an中，an11a2(n1)(nN*，aR，且 a0)(1)若 a7，求数列an中的最大项和最小项的值；(2)若对任意的 nN*，都有 ana6成立，求 a 的取值范围例例 3Sn是数列an的前 n 项和，且 anSn12n12n2(1)求数列an的通项公式；(
21、2)若 bn2na5an，求数列bn中最小的项【对点对点精精练练】1若数列an的前 n 项和 Snn210n(nN)，则数列nan中数值最小的项是()A第 2 项B第 3 项C第 4 项D第 5 项2若数列an的通项公式为 annn2196(nN*)，则这个数列中的最大项是()A第 12 项B第 13 项C第 14 项D第 15项3已知数列的通项为 ann13n16(nN*)，则数列an的最小项是第_项4已知数列an满足 a10，且 an1nn1an，则数列an的最大项是()Aa1Ba9Ca10D不存在5数列an的通项公式是 an(n2)910n，那么在此数列中()Aa7a8最大Ba8a9最大
22、C有唯一项 a8最大D有唯一项 a7最大6在数列an中，an(n1)78n，则数列an的最大项是第_项7已知数列an的通项公式为 ann211nan，a5是数列an的最小项，则实数 a 的取值范围是()A40，25B40，0C25，25D25，08已知数列an的通项公式是 ann2kn4(1)若 k5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，an有最小值？并求出最小值；(2)对于 nN*，都有 an1an，求实数 k 的取值范围11考点考点二二等差数列中与前 n 项和 Sn相关的最值【基本方法方法】等差数列前 n 项和 Sn的最值的常用方法在等差数列an中，a10，d0，则 Sn存在最大值；若
23、a10，则 Sn存在最小值(1)函数法：利用等差数列前 n 项和的函数表达式 Snan2bn(a0)，通过配方或借助图象求二次函数的最值(2)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，进而求 Sn的最值当 a10，d0 时，满足am0，am10的项数 m 使得 Sn取得最大值为 Sm(当 am10 时，Sm1也为最大值)；当 a10 时，满足am0，am10的项数 m 使得 Sn取得最小值为 Sm(当 am10 时，Sm1也为最小值)【基本题题型型】例例 4(1)记 Sn为等差数列an的前 n 项和，已知 a17，S315，求 Sn取得最小值时 n 的值为_(2)已知等差数列an的前 n 项和为
24、 Sn，若 a111，a4a66，则当 Sn取最小值时，n 等于()A6B7C8D9(3)已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，满足 S7S11，且 a10，则 Sn中最大的是()AS7BS8CS9DS10(4)等差数列an中，已知|a6|a11|，且公差 d0，则其前 n 项和取最小值时 n 的值为()A6B7C8D9(5)(2014北京)若等差数列an满足 a7a8a90，a7a100，且a1anS1Sn对一切正整数n 都成立(1)求数列an的通项公式；(2)设 a10，100，当 n 为何值时，数列lg1an的前 n 项和最大？【对点对点精精练练】1已知等差数列an的首项 a120，公
25、差 d2，则前 n 项和 Sn的最大值为_2已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a19，S99S554，则 Sn取最大值时的 n 为()A4B5C6D4 或 53(2019北京)设等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 a23，S510，则 a5_，Sn的最小值为_4在等差数列an中，若 a10，Sn为其前 n 项之和，且 S7S17，则 Sn为最小时 n 的值为_5等差数列an中，a10，S5S12，则当 Sn有最大值时，n 的值为_6等差数列an的公差 d0 且 a21a213，则数列an的前 n 项和 Sn有最大值，当 Sn取得最大值时的项数13n 是()A6B7C5 或 6D6 或
26、 77设 Sn为等差数列an的前 n 项和，(n1)SnnSn1(nN*)若a8a71，则()ASn的最大值是 S8BSn的最小值是 S8CSn的最大值是 S7DSn的最小值是 S78在等差数列an中，首项 a10，公差 d0，前 n 项和为 Sn(nN*)，有以下命题：若 S3S11，则必有 S140；若 S3S11，则必有 S7是 Sn中的最大项；若 S7S8，则必有 S8S9；若 S7S8，则必有 S6S9其中正确命题的个数是()A1B2C3D49 设等差数列an满足a3a736，a4a6275，且anan1有最小值，则这个最小值为_10等差数列an的公差 d0，且 a3，a5，a15成
27、等比数列，若 a55，Sn为数列an的前 n项和，则数列Snn的前 n 项和取最小值时的 n 为()A3B3 或 4C4 或 5D511在等差数列an中，已知 a3a80，且 S90，a2 020a2 0210，a2 020a2 0210 成立的最大正整数n 是()A2 038B2 039C4 040D404113 若等差数列an的前 n 项和为 Sn，若 S6S7S5，则满足 SnSn10，S10S20，则()A公差 d0Ba160CSnS15D当且仅当 Sn0，数列log2an32 的前 n 项和为 Tn，试问当 n 为何值时，Tn最小？并求出最小值考点考点三三等比数列中的最值等比数列中的
28、最值【基本题题型型】例例 7(1)各项均为正数且公比 q1 的等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 a1a54，a2a45，则Sn5222an的最小值为_(2)等比数列an的首项为32，公比为12，前 n 项和为 Sn，则当 nN*时，Sn1Sn的最大值与最小值之和为()A23B712C14D56(3)(2016全国)设等比数列an满足 a1a310，a2a45，则 a1a2an的最大值为_【对点对点精精练练】1正项等比数列an中，存在两项 am，an，使得 aman4a1，且 a6a52a4，则1m4n的最小值是()A32B2C73D2562已知等比数列an的各项均为正数且公比大于 1，前
29、 n 项积为 Tn，且 a2a4a3，则使得T11 的 n 的最小值为()A4B5C6D73设 Tn为等比数列an的前 n 项之积，且 a16，a434，则当 Tn最大时，n 的值为()A4B6C8D10已知数列an满足递推公式 an12an1，a11设 Sn为数列an的前 n 项和，则154n7nSnan1的最小值是_16专题专题 03用用 an与与 Sn的关系求通项公式的关系求通项公式【基本知识基本知识】Sn与 an的关系已知数列an的前 n 项和为 Sn，则 anS1，n1，SnSn1，n2，这个关系式对任意数列均成立注意：Sn与 an关系的二重性，即用 Sn与 an关系可消去 an，也
30、可消去 Sn(1)正用 anSnSn1(n2)消去 an转化为只含 Sn，Sn1的关系式(2)逆用 SnSn1an(n2)消去 Sn转化为只含 an，an1的关系式，再求解提醒：利用 anSnSn1求通项时，应注意 n2 这一前提条件，易忽视验证 n1 致误考点考点一一由由 Snf(n)求求 an型型【基本方法基本方法】已知 Snf(n)求 an的方法已知 Snf(n)求 an的常用方法是利用 anS1，n1，SnSn1，n2主要分三个步骤完成：(1)当 n1 时，在 Snf(n)中，令 n1，求得 a1f(1)；(2)当 n2 时，再利用 anSnSn1f(n)f(n1)(n2)，求出 an
31、f(n)f(n1)即当n2，nN*时的通项公式；(3)检查 a1是否符合 n2 时 an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写成 anf(n)f(n1)；否则应写成分段的形式，即 anf(1)，n1，f(n)f(n1)，n2【基本【基本题题型型】例例 1(1)已知数列an的前 n 项和 Snn22n，则 an_(2)已知数列an的前 n 项和 Snn22n1(nN*)，则 an_；(3)已知数列an的前 n 项和 Sn3n1，则 an_【对点对点精精练练】1已知数列an的前 n 项和 Sn2n23n，则 an_2若数列an的前 n 项和 Sn3n22n1，则数列an的通项公式 an_3
32、若 Sn3n2n1，则数列an的通项公式为_4已知 Sn为数列an的前 n 项和，且 log2(Sn1)n1，则数列an的通项公式为_5已知数列an的前 n 项和 Sn2n22n，数列bn的前 n 项和 Tn2bn(1)求数列an与bn的通项公式；17(2)设 cna2nbn，证明：当且仅当 n3 时，cn1cn考点考点二二由由 a1a2a3anf(n)求求 an型型【基本方法基本方法】已知 Sn求 an的方法已知a1a2a3anf(n)求an的常用方法是利用anS1，n1，SnSn1，n2主要分三个步骤完成：(1)当 n1 时，求得 a1f(1)；(2)当 n2 时，在 a1a2a3anf(
33、n)中用 n1 替换 n 得到一个新的关系式 a1a2a3an1f(n1)，两式相减得到 anf(n)f(n1)(n2)，便可求出当 n2，nN*时的通项公式；(3)检查 a1是否符合 n2 时 an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写成 anf(n)f(n1)；否则应写成分段的形式，即 anf(1)，n1，f(n)f(n1)，n2【基本【基本题题型型】例例 2(1)已知正项数列an中，a1 a2 ann(n1)2，则数列an的通项公式为()AannBann2Cann2Dann22(2)已知数列an满足 a12a23a3nan2n，则 an_例例 3记 md1a1d2a2dnann，
34、若dn是等差数列，则称 m 为数列an的“dn等差均值”；若dn是等比数列，则称 m 为数列an的“dn等比均值”已知数列an的“2n1 等差均值”为 2，数列bn的“3n1等比均值”为 3记 cn2anklog3bn，数列cn的前 n 项和为Sn，若对任意的正整数 n 都有 SnS6，求实数 k 的取值范围【对点对点精精练练】1已知数列an满足 a12a23a3nann1(nN*)，则数列an的通项公式为18_2设数列an满足 a13a2(2n1)an2n，则 an_3已知数列an满足 2a122a223a32nan4n1，则an的通项公式是_考点考点三三由由 f(an，Sn)0 消去消去
35、Sn型型【基本方法基本方法】已知 Sn求 an的方法已知 f(an，Sn)0 求 an，如果能消去 Sn，则利用 anS1，n1，SnSn1，n2.消去 Sn，主要分四个步骤完成：(1)当 n1 时，先利用 a1S1，求得 a1；(2)当 n2 时，用 n1 替换 f(an，Sn)0 中的 n 得到一个新的关系式 f(an1，Sn1)0，两式相减，再逆用 anSnSn1(n2)便可得到当 n2，nN*时数列an的一个递推公式；(3)借助各类递推公式求通项公式的方法求出当 n2，nN*时的通项公式；(4)看 a1是否符合 n2 时 an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；否则应写成分
36、段的形式【基本【基本题题型型】例例 4(1)已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 anSn1(nN*)，则通项 an_(2)(2013全国)若数列an的前 n 项和 Sn23an13，则an的通项公式是 an_(3)设数列an的前n项和为Sn，若a11，an1Sn(nN*)，则通项公式an_(4)已知数列an的首项 a11，前 n 项和为 Sn，且 Sn14an2(nN*)，则数列an的通项公式是 an_(5)若 Sn为数列an的前 n 项和，且 2Snan1an，a14，则数列an的通项公式为 an_例例 5设数列an的前 n 项和为 Sn，数列Sn的前 n 项和为 Tn，满足 Tn2
37、Snn2，nN*(1)求 a1的值；(2)求数列an的通项公式【对点对点精精练练】1记 Sn为数列an的前 n 项和若 Sn2an1，则 an_2已知数列an的前 n 项和为 Sn，若 Sn2an4，(nN*)，则 an_3已知数列an的前 n 项和为 Sn，a11，an12Sn1，nN*，则数列an的通项公式是an_194已知数列an的前 n 项和为 Sn，且 a11，2Snanan1(nN*)，则 an_5(1)已知数列an满足 a12a23a34a4nann，求 an；(2)已知数列an的前 n 项和为 Sn，若 an0，Sn1，且 6Sn(an1)(an2)，求 an6已知 Sn为正项
38、数列an的前 n 项和，且满足 Sn12a2n12an(nN*)(1)求 a1，a2，a3，a4的值；(2)求数列an的通项公式7若数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 an2SnSn10(n2)，a112(1)求证：1Sn成等差数列；(2)求数列an的通项公式8设数列an的首项 a132，前 n 项和为 Sn，且满足 2an1Sn3(nN*)(1)求 a2及 an；(2)求证：anSn的最大值为9420考点考点四四由由 f(an，Sn)0 消去消去 an型型【基本方法基本方法】已知 Sn求 an的方法已知 f(an，Sn)0 求 an，如果不能消去 Sn，则利用 anS1，n1，SnSn1
39、，n2.消去 an，先求出 Sn，再求 an，主要分五个步骤完成：(1)当 n1 时，先利用 a1S1，求得 a1；(2)当 n2 时，用 anS1，n1，SnSn1，n2.消去 an，便可得到当 n2，nN*时数列Sn的一个递推公式；(3)借助各类递推公式求通项公式的方法求出当 n2，nN*时数列Sn的通项公式；(4)此时问题转化为由 Snf(n)求 an型，求出当 n2，nN*时数列an的通项公式；(5)看 a1是否符合 n2 时 an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；否则应写成分段的形式【基本【基本题题型型】例例 6(1)设数列an的前 n 项和为 Sn，若 a13 且当
40、n2 时，2anSnSn1(nN*)，则数列an的通项公式 an_(2)设Sn是数列an的前n项和，且a11，an1SnSn1，则下列结论正确的是_an1nn1an1，n1，1nn1，n2Sn1n数列1Sn是等差数列【对点对点精精练练】1已知各项均为正数的数列an的前 n 项和为 Sn，若 S12，3S2n2an1Sna2n1，则 an_2已知数列an中，a11，Sn为数列an的前 n 项和，且当 n2 时，有2ananSnS2n1 成立，则 an_21专题专题 04用用累加法累加法与与累乘法求通项公式累乘法求通项公式考点考点一一由由 an1anf(n)求求 an型型【基本方法基本方法】已知
41、an1anf(n)求 an的方法累加法：已知 a1且 anan1f(n)(n2)，则 anan1f(n)，an1an2f(n1)，a3a2f(3)，a2a1f(2)所有等式左右两边分别相加，即 an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a1(n2)代入 a1得 an【基本【基本题题型型】例例 1(1)设数列an满足 a11，且 an1ann1(nN*)，则数列an的通项公式为_(2)若数列an满足：a11，an1an2n，则数列的通项公式为 an_(3)在数列an中，a11，an1an1n1n1，则 an等于()A1nB2n1nCn1nD12n(4)在数列an中，a12，an1
42、anln11n，则 an等于()A2ln nB2(n1)ln nC2nln nD1nlnn(5)在数列an中，a11，(n22n)(an1an)1(nN*)，则通项公式 an_例例 2(2018浙江)已知等比数列an的公比 q1，且 a3a4a528，a42 是 a3，a5的等差中项数列bn满足 b11，数列(bn1bn)an的前 n 项和为 2n2n(1)求 q 的值；(2)求数列bn的通项公式【对点对点精精练练】1设数列an中，a12，an1ann1，则通项 an_2已知数列an满足 an1an3n2，且 a12，则 an_3若数列an满足 a11，an1an12n，则 an等于()A2n
43、n2B2n1n1C2n1n4D2n12n24在数列an中，a13，an1an1n(n1)，则通项公式 an_5已知数列an满足 a11，anan1 n1 n(n2)，则 an_6在数列an中，a12，an1n1annln11n，则 an_227已知数列an中，a11，且 an1an(1nan1)，则数列an的通项公式为_8已知数列an满足 a11，an3n1an1(n2，nN*)(1)求 a2，a3的值；(2)证明：an3n129已知 a12，a24，数列bn满足：bn12bn2 且 an1anbn(1)求证：数列bn2是等比数列；(2)求数列an的通项公式23考点考点二二由由an1anf(n
44、)求求 an型型【基本方法基本方法】已知an1anf(n)求 an的方法累乘法：已知 a1且anan1f(n)(n2)，则anan1f(n)，an1an2f(n1)，a3a2f(3)，a2a1f(2)，所有等式左右两边分别相乘，即 ananan1an1an2a3a2a2a1a1(n2)代入 a1得 an【基本【基本题题型型】例例 3(1)已知数列an满足 a11，an1nn1an(nN*)，则 an等于()An1BnC1n1D1n(2)在数列an中，a14，nan1(n2)an，则数列的通项公式为 an_(3)已知 a12，an12nan，则数列an的通项公式 an_(4)设an是首项为 1
45、的正项数列，且(n1)a2n1na2nan1an0(nN*)，则它的通项公式 an_(5)已知数列an的前 n 项和为 Sn，且满足 4(n1)(Sn1)(n2)2an，则数列an的通项公式为()A(2n1)21B(2n1)2C8n2D(n1)3【对点精练对点精练】1 已知在数列an中，an1nn2an(nN*)，且 a14，则数列an的通项公式 an_2若 a11，nan1(n1)an(n2)，则数列an的通项公式 an_3在数列an中，a12，an1211n an，则通项公式 an为_4在数列an中，a11，前 n 项和 Snn23an，则an的通项公式为_5 已知正项数列an中，a11，
46、且(n2)a2n1(n1)a2nanan10，则它的通项公式为()Aan1n1Ban2n1Cann22Dann6 若an满足 2(n1)a2n(n2)anan1na2n10，且 an0，a11，则 an_7在数列an中，a11，a1a222a332ann2an(nN*)，则数列an的通项公式为 an_8已知在数列an中，a11，前 n 项和 Snn23an(1)求 a2，a3；24(2)求an的通项公式25专题专题 5用构造辅助数列通项公式用构造辅助数列通项公式考点考点一一由由 an1AanB(A0 且且 A1，B0)求求 an型型【基本方法基本方法】已知 an1AanB 求 an的方法 1递
47、推关系形如 an1AanB(A0 且 A1，B0，A，B 为常数)可化为 an1BA1AanBA1(p1)的形式，利用anBA1 是以 A 为公比的等比数列求解已知 an1AanB 求 an的方法 2对于一个函数 f(x)，我们把满足 f(m)m 的值 xm 称为函数 f(x)的“不动点”利用“不动点法”可以构造新数列，求数列的通项公式若 f(x)AxB(A0，1)，p 是 f(x)的不动点数列an满足 an1f(an)，则 an1pA(anp)，即anp是公比为 A 的等比数列【基本【基本题题型型】例例 1(1)已知数列an满足 a11，an13an2(nN*)，则数列an的通项公式为_(2
48、)已知数列an中，a13，且点 Pn(an，an1)(nN*)在直线 3xy10 上，则数列an的通项公式为_例例 2(1)在数列an中，a11，an112an1，则数列an的通项公式为_(2)已知数列an满足 an113an2，a14，则数列an的通项公式为_【对点对点精精练练】1在数列an中，若 a11，an12an3，则通项公式 an_2在数列an中，已知 a11，an12an1，则其通项公式 an_3已知数列an中，a13，且点 Pn(an，an1)(nN*)在直线 4xy10 上，则数列an的通项公式为_考点考点二二由由 an1panf(n)求求 an型型【基本方法基本方法】已知 a
49、n1panf(n)求 an的方法递推关系形如 an1panf(n)(p 是非零常数)的数列an的通项公式，可先在两边同除以f(n)后再用累加法求得【基本【基本题题型型】26例例 3(1)在数列an中，若 a12，an12an2n1，则通项公式 an_(2)在数列an中，a11，an113an13n1(nN*)，则通项公式 an_(3)已知数列an的前 n 项和为 Sn，满足 2Snan12n11，nN*，且 a1，a25，a3成等差数列，则 an_【对点对点精精练练】1 已知数列an满足 a11，an12an2n(nN*)，则数列an的通项公式为 an_2在数列an中，已知 a11，an112
50、an12n，则其通项公式 an_3已知各项均不为 0 的数列an满足 a112，anan1an1an(n2，nN*)，则数列an的通项公式 an_考点考点三三由由 an2pan1qan求求 an型型【基本方法基本方法】已知 an2pan1qan求 an的方法递推关系形如an2pan1qan型，可化为an2xan1(px)an1qpxan，令xqpx，求得 x 来解决【基本【基本题题型型】例例 4 已知数列an满足 a11，a24，an22an3an1(nN)，则数列an的通项公式 an_【对点对点精精练练】1若 a15，a22，an22an13an，则 an_考点考点四四由由 an1AanBa
