1、高一数学高一数学 20211 本试卷共 4 页满分 150 分考试时间 120 分钟 注意事项： 1答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效 3考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回 一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合1,0,1A ，1,2,5B ，则AB（ ） A0,1,2,5 B1,0,1,5 C1,0,1,2,5 D1,0,2,5 2函数 3 1
2、1yx x 的定义域是（ ） A(,1 B(,0)(0,1 C(,0)(0,1) D(0,1 3 把A，B两支篮球队在一个赛季十场比赛中的得分情况绘成如图所示的茎叶图， 设A队得分的极差为x， B队得分的 25%分位数为y，则x，y的值分别为（ ） A42 66.5 B47 66.5 C42 69 D47 69 4方程ln4xx的根所在的区间是（ ） A0,1 B1,2 C2,3 D3,4 51614 年苏格兰数学家纳皮尔在研究天文学的过程中为了简化计算而发明了对数方法；1637 年法国数学 家笛卡尔开始使用指数运算； 1770 年瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系， 指出： 对数源于指
3、数， 对数的发明先于指数若25 x ，lg20.3010，则x的值约为（ ） A2.301 B2.322 C2.507 D2.699 6函数 2 ( ) 1 x f x x 的图像大致是（ ） A B C D 7城镇化是国家现代化的重要指标，根据资料显示，1978-2013 年，我国城镇常住人口从 1.7 亿增加到 7.3 亿，假设每一年城镇常住人口的增加量都相等，由此估算 2035 年我国城镇常住人口数为（ ） A10.82 亿 B10.66 亿 C10.98 亿 D9.12 亿 8已知函数( )2xf x ，且函数 g x的图像与 f x的图像关于yx对称，函数 x的图像与 g x的 图像
4、关于x轴对称，设 1 2 af ， 1 3 bg ， 1 3 c 则（ ） Aabc Bbca Ccba Dbac 二、多项选择题： 9若0ab0c ，则（ ） Aacbc Bacbc C22 ab D 11 ab 10从装有 2 个红球和 2 个黑球的口袋中任取 2 个小球，则下列结论正确的是（ ） A “至少有一个红球”和“至少有一个黑球”是互斥事件 B “恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件 C “恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件 D “至少一个黑球”和“都是红球”是对立事件 11若函数 ,0 ( ) 3(1) ,0 x aax f x ax x （0a且1a ）在R上为单调函数
5、，则a的值可以是（ ） A 1 3 B 2 3 C2 D2 12已知 f x为奇函数，且1f x为偶函数，若 10f，则（ ） A 30f B 35ff C(3)(1)f xf x D(2)(1)1f xf x 三、填空题： 13 1 2 4 9 log 2 4 _ 14若“x R， 2 20 xaxa”的否定是真命题，则实数a的取值范围是_ 15如图所示是某商家根据去年甲、乙两种产品的月销售额（单位：万元）作出的统计图（称为雷达图） ， 根 据 图 中 信 息 ， 写 出 一 个 关 于 甲 、 乙 两 种 产 品 销 售 额 比 较 的 统 计 结 论 ： _ 16若存在常数k和b，使得函
6、数 F x和 G x对其公共定义域上的任意实数x都满足：( )F xkxb和 ( )G xkxb恒成立， 则称此直线ykxb为 F x和 G x的 “隔离直线” 已知函数 2 ( )f xxxR， 1 ( )(0)g xx x ，若函数 f x和 g x之间存在隔离直线2yxb ，则实数b的取值范围是_ 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17已知全集为R， ,5Aa，(,2(6,)B （1）若 3,2AB ，求 RA ； （2）从下面所给的两个条件中选择一个，并说明它是 R AB的什么条件？（只需说明充分必要性，无需 证明） 3, 2)a ；(3,4)a 18已知函数 2 (
7、 )(1)4f xxkx，且关于x的不等式( )0f x 的解集为1,m （1）求实数m，k的值； （2）当(0,)x时， ( )f x b x 恒成立，求实数b的取值范围 19有甲、乙两个盒子，其中甲盒中有 3 个红球，2 个白球；乙盒中有 1 个红球，4 个白球除颜色外球的质 地大小完全相同） （1）从甲盒中按先后顺序随机取两个球，取后不放回，则至少取得一个红球的概率是多少？ （2）现在从两个盒子中任意选择一个，再从中任意摸出一球如果摸到的是红球，你认为选择的是哪个盒 子？做出你的判断，并说说你的想法，你认为能否做出完全正确的判断？ 20已知函数 2 ( ) 31 x f x R （1）若
8、 3 2 ，求函数 f x的零点； （2）探索是否存在实数，使得函数 f x为奇函数？若存在，求出实数的值并证明；若不存在，请说 明理由 21某市约有 30 万户居民，为了实现绿色发展，避免浪费资源，市政府计划对居民用电采用阶梯收费的方 法，即制定每户居民月用电量的临界值a，若居民某月用电量不超过a度则按第一阶梯电价标准收费，价格 为 0.5 元/度；若某月用电量超过a度，超出部分则按第二阶梯电价标准收费，价格为b元/度，未超出部分 按第一阶梯电价标准收费为此，相关部门在该市随机调查了 200 户居民的某月用电量，以了解这个城市 家庭用电量情况， 进行统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，
9、根据频率分布直方图解答以下问题（同 一组数据用该区间的中点值作代表） （1）若该市政府希望让全市 70%的居民在使用阶梯电价前后缴纳的电费保持不变，临界值a应定为多少？ 并估计全市居民月用电量的众数和平均数； （2）在（1）的条件下，假定使用阶梯电价之后，月用电量未超过a度的居民用电量保持不变；月用电量 超过a度的居民节省“超出部分”的 40%，试估计全市居民每月节约的电量； （3）在（1） （2）的条件下，若使用阶梯电价前后全市缴纳电费总额不变，求第二阶梯电价b （结果保留 两位有效数字） 22已知函数( )loglog () 2 aa a f xxxa （0a且1a ） （1）当2a时，解
10、不等式( )1f x ； （2）2 ,4 xaa ，( )1f x ，求实数a的取值范围； （3）在（2）的条件下，是否存在,( ,)a ，使 f x在区间, 上的值域是log,log aa ？若 存在，求实数a的取值范围；若不存在，试说明理由 高一数学参考答案及评分标准 20211 一、单项选择题 1-4 CBDC 5-8 BAAD 二、多项选择题 9BCD 10BD 11ABD 12ABC 三、填空题 132 148,0 15结论一：甲产品的月销售额的平均水平高于乙产品； 结论二：甲产品的月销售额的方差小于乙产品，比较稳定；乙产品月销售额的方差大于甲产品，波动性较 大；结论三：甲产品的月销
11、售额的极差小于乙产品的月销售额的极差 162 2, 1 四、解答题 17解： （1）由题意可得3a， 所以 R (, 3)(5,)A ， （2）当选择时，则结论是既不充分也不必要条件； 当选择时，则结论是充分不必要条件 18解： （1）由题意得m，1 是方程 2 (1)40 xkx的根， 由韦达定理得14m ， 所以4m， 又15 1mk ， 解得4k 所以4m，4k （2）由题意得， 2 54xx b x 在(0,)x上恒成立， 令 2 54 ( ) xx g x x ，只需 min ( )bg x即可， 由均值不等式得 4 ( )52 451g xx x ， 当且仅当 4 x x ，即2x
12、时等号成立 所以1b， 所以实数b的取值范围是, 1 19解（1）甲盒中的 3 个红球记为 1 a， 2 a， 3 a；2 个白球记为 1 b， 2 b； 从甲盒中按先后顺序随机取两个球，取后不放回，样本空间 12131112 21232122 31323132 11121312 21222321 , , , , , a aa aa ba b a aa aa ba b a aa aa ba b b ab ab ab b b ab ab ab b 共 20 个样本点， 记事件A：至少取得一个红球，则 121311122123 212231323132 111213212223 , , , a a
13、a aa ba ba aa a Aa ba ba aa aa ba b b ab ab ab ab ab a 共 18 个样本点， 所以至少取得一个红球的概率 189 ( ) 2010 P A ； （2）参考答案一：选择的是甲盒， 理由如下： 在甲盒中摸到红球的概率为 3 5 ，在乙盒中摸到红球的概率为 1 5 ， 在甲盒中摸到红球的概率大于乙盒，故选择的应是甲盒， 但这种判断并不能保证完全正确，也存在选择乙盒的可能性 参考答案二：选择的是乙盒 理由如下： 在甲盒中摸到红球的概率为 3 5 ，在乙盒中摸到红球的概率为 1 5 ， 虽然在乙盒中摸到红球的概率较低，但是不为 0， 所以存在选择乙盒
14、的可能性，但这种判断并不能保证完全正确，也存在选择甲盒的可能性 参考答案三：无法判断， 理由如下： 在甲盒中摸到红球的概率为 3 5 ，在乙盒中摸到红球的概率为 1 5 ， 都是概率不为 0 的随机事件，都有可能发生，所以可能无法判断 20解： （1）当 3 2 时， 32 ( ) 231 x f x ， 由( )0f x 得， 23 312 x ， 所以 4 31 3 x ， 1 3 3 x ， 解得1x， 所以函数 f x的零点为1 （2）假设存在实数，使得函数 f x为奇函数， 因为 f x的定义域为R，关于原点对称， 则(0)10f ， 所以1， 此时 31 ( ) 31 x x f
15、x ， 又因为 311 3 ()( ) 3131 xx xx fxf x ， 此时 f x为奇函数，满足题意 故存在实数1，使得函数 f x为奇函数 21解： （1）由频率分布直方图可得，区间0,160的频率总和恰为 0.7，由样本估计总体，可得临界值a的 值为 160， 众数为120,160的中间值 140， 平均数为20 0.04 60 0.12 100 0.24 140 0.3 180 0.25 220 0.05 130 （2）由（1）知，月用电量在0,160内的居民在使用阶梯电价前后用电量不变，节电量为 0 度； 月用电量在160,200内的 50 户居民，平均每户用电 180 度，超
16、出部分为 20 度，根据题意，每户每月节电 20 40%8（度） ，50 户每月共节电8 50400（度） ； 月用电量在200,240内的 10 户居民，平均每户用电 220 度，超出部分为 60 度，根据题意，每户每月节 电60 40%24（度） ，10 户每月共节电24 10240（度） 故样本中 200 户居民每月共节电400240640（度） ， 用样本估计总体，得全市居民每月节电量约为 30 64096 200 （万度） （3）由题意，全市缴纳电费总额不变，由于“未超出部分”的用电量在“阶梯电价”前后不变，故“超出 部分”对应的总电费也不变，在 200 户居民组成的样本中，每月用电
17、量共超出20 50 60 10 1600度， 实行“阶梯电价”后，共节约 640 度，剩余 960 度，所以1600 0.5960 b，解得0.83b 22解： （1）2a时， 2 222 ( )log (1)log (2)log32f xxxxx 函数定义域为(2,)， ( )1f x ，即 2 22 log32log 2xx， 所以 2 322xx， 即 2 30 xx， 解得0 x或3x ， 又(2,)x， 所以不等式( )1f x 的解集为(3,) （2）2 ,4 xaa ，( )1f x ， 即 max ( )1f x成立， 又 2 22 2 33 ( )loglog 22416 a
18、a aaa f xxaxx 函数 2 2 3 416 a txa 在2 ,4 aa上为增函数， 若01a，则(2 )1fa ， 所以 2 2 3 log21 416 a aa a ， 即 2 2 3 2 416 aa aa ， 则 3 10 2 aa ， 解得 2 3 a 或0a 又01a，所以 2 1 3 a 若1a ，则(4 )1fa ， 所以 2 2 3 log41 416 a aa a ， 即 2 2 3 4 416 aa aa ， 则 21 10 2 aa ， 解得 2 0 21 a， 又1a ，所以a 综上a的取值范围为 2 ,1 3 （3） 假设存在，满足题意， 由 （2） 知 2 1 3 a， 所以 f x在( ,)a 上是减函数， 则 ( )log ( )log a a f f ， 所以 2 2 2 2 3 22 3 22 a a a a ， 即，是方程 2 2 3 22 a xaxx的大于a的两个不等实根， 设 2 2 3 ( )1 22 a h xxax ，其对称轴为 31 42 xa， 由题意得 2 2 31 , 42 3 140, 22 ( )0, a a a a h a 所以 2 4 26 0 a a a 或64 2a ， 又 2 1 3 a，所以a 综上，不存在满足题意的实数，
