1、第 1 页（共 19 页） 2020-2021 学年天津市七校高三（上）期末数学试卷学年天津市七校高三（上）期末数学试卷 一、单选题：共一、单选题：共 9 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 45 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的 1 （5 分）设集合1M ，2， 2 |230NxZ xx，则(MN ) A1，2 B 1，3 C1 D1，2 2 （5 分）对于实数a、b， “0ba”是“ 11 ba ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 3 （5 分）函数 2 ( )
2、(2 ) x f xxx e的图象大致是( ) A B C D 4 （5 分）某学校组织部分学生参加体能测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依 次为20，40)，40，60)，60，80)，80，100若低于 60 分的人数是 18 人，则参加 体能测试的学生人数是( ) 第 2 页（共 19 页） A45 B48 C50 D60 5 （5 分） 已知三棱锥ABCD的四个顶点A、B、C、D都在半径为3的球O的表面上， AC 平面BCD，3BD ，2BC ，5CD ，则该三棱锥的体积为( ) A 15 3 B 2 15 3 C 15 6 D15 6 （5 分）已知定义在R上的函数( )f
3、x满足(6)( )f xf x，(3)yf x为偶函数，若( )f x 在(0,3)内单调递减则下面结论正确的是( ) A 1 2 (10)()(2)ff ef ln B 1 2 ()(2)(10)f ef lnf C 1 2 (2)(10)()f lnff e D 1 2 (2)()(10)f lnf ef 7 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左焦点为F，以OF为直径的圆与双曲线 C的渐近线交于不同原点O的A，B两点，若四边形AOBF的面积为 22 1 () 2 ab，则双曲线 C的渐近线方程为( ) A 2 2 yx B2yx Cyx D2yx 8
4、（5 分）已知函数( )2(|cos |cos ) sinf xxxx给出下列四个命题： ( )f x的最小正周期为； ( )f x的图象关于直线 4 x 对称； ( )f x在区间, 4 4 上单调递增； ( )f x的值域为 2，2 其中所有正确的编号是( ) A B C D 9 （5 分） 已知函数 2 (43)3 ,0 ( )(0,1) (1)1,0 a xaxa x f xaa logxx 在R上单调递减， 且关于x的 方程|( )| 2f xx恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是( ) A(0， 2 3 B 2 3， 3 4 C 1 3， 23 34 D 1 3， 23 )
5、34 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分把答案填在答题纸中相应的横线上分把答案填在答题纸中相应的横线上 10 （5 分）复数 13 12 i i 第 3 页（共 19 页） 11 （5 分） 37 1 ()x x 的展开式中的 5 x的系数是 （用数字填写答案） 12 （5 分） 已知圆 22 :2260C xyxy 直线l过点(0,3)， 且与圆C交于A、B两点， | 4AB ，则直线l的方程 13 （5 分）已知实数0a ，0b ， 12 1 ab ，则 43 12 ab ab 的最小值是 14（5 分） 一个口袋里装有大小相同的
6、 5 个小球， 其中红色两个， 其余 3 个颜色各不相同 现 从中任意取出 3 个小球，其中恰有 2 个小球颜色相同的概率是 ；若变量X为取出的 三个小球中红球的个数，则X的数学期望()E X 15 （ 5 分 ） 已 知 扇 形AOB半 径 为 1 ，60AOB， 弧AB上 的 点P满 足 (,)O PO AO BR ，则的最大值是 ；PA PB最小值是 三、 解答题： 本大题共三、 解答题： 本大题共 5 个小题， 共个小题， 共 75 分 解答题应写出文字说明、 证明过程或演算步骤分 解答题应写出文字说明、 证明过程或演算步骤 16 （14 分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b
7、，c，已知45B ，10b ， 1 tan 2 C （）求边a； （）求sin(2)AB 17 （15 分）如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，FAFC，且60DABDBF （1）求证：AC 平面BDEF； （2）求二面角EAFB的余弦值； （3）若M为线段DE上的一点，满足直线AM与平面ABF所成角的正弦值为 2 30 15 ，求线 段DM的长 第 4 页（共 19 页） 18 （15 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别是 1 F和 2 F，离心率为 1 2 ， 以P在椭圆E上，且 12 PFF的面积的最大值为3 （1）求椭圆C的方程； （2）直线
8、l过椭圆C右焦点 2 F，交该椭圆于A、B两点，AB中点为Q，射线OQ交椭圆 于P，记AOQ的面积为 1 S，BPQ的面积为 2 S，若 21 3SS，求直线l的方程 19 （15 分）已知等比数列 n a的公比0q ，且满足 123 6aaa， 2 43 4aa，数列 n b的前 n项和 (1) 2 n n n S ，*nN （）求数列 n a和 n b的通项公式； （）设 2 2 38 , , n n nnn nn b an b bc a b n 为奇数 为偶数 ，求数列 n c的前2n项和 2n T 20 （16 分）已知函数( )2 x e f xlnxxa x ，aR （1）求函数(
9、 )f x的单调区间； （2）若函数( )f x有两个不同的零点 1 x， 2 x， （）求a的取值范围； （）证明： 2 21 421 | 21 aa xx a 第 5 页（共 19 页） 2020-2021 学年天津市七校高三（上）期末数学试卷学年天津市七校高三（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、单选题：共一、单选题：共 9 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 45 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的 1 （5 分）设集合1M ，2， 2 |230NxZ xx，则(MN ) A1，2
10、B 1，3 C1 D1，2 【解答】解：1M ，2，| 130NxZx ，1，2， 1MN，2 故选：D 2 （5 分）对于实数a、b， “0ba”是“ 11 ba ”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：由不等式取倒数法则知： “0ba” “ 11 ba ” ， 反之，由“ 11 ba ”推不出“0ba” ， 例如0b ，0a 时， 11 ba ，但0ba不成立 对于实数a、b， “0ba”是“ 11 ba ”的充分不必要条件 故选：A 3 （5 分）函数 2 ( )(2 ) x f xxx e的图象大致是( ) A B 第 6 页（共
11、 19 页） C D 【解答】解：因为 20 (0)(020)0fe，排除C； 因为 2 ( )(2) x fxxe，解( )0fx， 所以(,2)x 或( 2,)x时( )f x单调递增，排除B，D 故选：A 4 （5 分）某学校组织部分学生参加体能测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依 次为20，40)，40，60)，60，80)，80，100若低于 60 分的人数是 18 人，则参加 体能测试的学生人数是( ) A45 B48 C50 D60 【解答】解：低于 60 分的人数是 18 人， 由频率分布直方图得低于 60 分的频率为：(0.0050.010)200.3 参加体能测试的
12、学生人数 18 60 0.3 n 故选：D 5 （5 分） 已知三棱锥ABCD的四个顶点A、B、C、D都在半径为3的球O的表面上， AC 平面BCD，3BD ，2BC ，5CD ，则该三棱锥的体积为( ) A 15 3 B 2 15 3 C 15 6 D15 【解答】解：由题意，AC 平面BCD，BC 平面BCD， 第 7 页（共 19 页） ACBC， 3BD ，2BC ，5CD ， 222 BCCDBD， BCCD， ACCDC，AC 平面ACD，CD 平面ACD， BC平面ACD， 三棱锥SABC可以扩充为以AC，BC，DC为棱的长方体， 外接球的直径为体对角线， 22222 44512
13、RACBCCDAC， 3AC， 该三棱锥的体积为： 11115 325 3323 A BCDBCD VACS 故选：A 6 （5 分）已知定义在R上的函数( )f x满足(6)( )f xf x，(3)yf x为偶函数，若( )f x 在(0,3)内单调递减则下面结论正确的是( ) A 1 2 (10)()(2)ff ef ln B 1 2 ()(2)(10)f ef lnf C 1 2 (2)(10)()f lnff e D 1 2 (2)()(10)f lnf ef 【解答】解：(6)( )f xf x， ( )f x的周期为 6， 又(3)yf x为偶函数， (3)(3)f xfx ，
14、(10)(46)fff（4）(13)( 13)fff （2） ， 第 8 页（共 19 页） 又 1 2 12e，021ln， 1 2 0212lne ， 且( )f x在(0,3)内单调递减， f（2） 1 2 ()( 2)f ef ln， 即 1 2 (10)()(2)ff ef ln， 故选：A 7 （5 分）已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的左焦点为F，以OF为直径的圆与双曲线 C的渐近线交于不同原点O的A，B两点，若四边形AOBF的面积为 22 1 () 2 ab，则双曲线 C的渐近线方程为( ) A 2 2 yx B2yx Cyx D2yx 【解答】解：
15、根据题意，OAAF，双曲线C的焦点F到C的一条渐近线 b yx a 的距离 为 22 bc b ab ， 则|AFb，所以|OAa，所以 22 1 () 2 abab， 所以1 b a ， 所以双曲线C的渐近线方程为yx 故选：C 8 （5 分）已知函数( )2(|cos |cos ) sinf xxxx给出下列四个命题： ( )f x的最小正周期为； ( )f x的图象关于直线 4 x 对称； ( )f x在区间, 4 4 上单调递增； ( )f x的值域为 2，2 其中所有正确的编号是( ) A B C D 【解答】 解：()2(|cos()|cos() sin()2(|cos |cos
16、) sin( )fxxxxxxxf x ， 则( )f x的最小正周期不是，错，则排除C选项； 第 9 页（共 19 页） ()2(|cos()|cos() sin()2(|sin|sin ) cos( ) 2222 fxxxxxxxf x ，( )f x的图象 不关于直线 4 x 对称，错，排除AD选项 ( )f x在区间, 4 4 时，( )2(| cos|cos ) sin4cos sin2sin2f xxxxxxx，在, 4 4 上 单调递增，对，排除A选项； 故选：B 9 （5 分） 已知函数 2 (43)3 ,0 ( )(0,1) (1)1,0 a xaxa x f xaa log
17、xx 在R上单调递减， 且关于x的 方程|( )| 2f xx恰好有两个不相等的实数解，则a的取值范围是( ) A(0， 2 3 B 2 3， 3 4 C 1 3， 23 34 D 1 3， 23 ) 34 【解答】解：log (1)1ya x在0，)递减，则01a， 函数( )f x在R上单调递减，则： 2 34 0 2 01 0(43) 03(01)1 a a a aa log ； 解得， 13 34 a剟； 由图象可知，在0，)上，|( )| 2f xx有且仅有一个解， 故在(,0)上，|( )| 2f xx同样有且仅有一个解， 当32a 即 2 3 a 时，联立 2 |(43)3 |
18、2xaxax， 则 2 (42)4(32)0aa， 解得 3 4 a 或 1（舍去） ， 当1 32a剟时，由图象可知，符合条件， 综上：a的取值范围为 1 3， 23 34 ， 故选：C 第 10 页（共 19 页） 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分把答案填在答题纸中相应的横线上分把答案填在答题纸中相应的横线上 10 （5 分）复数 13 12 i i 1i 【解答】解： 13( 13 )(12 )55 1 12(12 )(12 )5 iiii i iii 故答案为1i 11 （5 分） 37 1 ()x x 的展开式中的 5 x
19、的系数是 35 （用数字填写答案） 【解答】解：根据所给的二项式写出展开式的通项， 3 721 4 177 1 ()( ) rrrrr r TCxC x x ； 要求展开式中含 5 x的项的系数， 2145r， 4r ，可得： 4 7 35C 故答案为：35 12 （5 分） 已知圆 22 :2260C xyxy 直线l过点(0,3)， 且与圆C交于A、B两点， | 4AB ，则直线l的方程 3y 或 4 3 3 yx 【解答】解：根据题意，圆 22 :2260C xyxy即 22 (1)(1)8xy，圆心(1,1)C， 半径2 2r ， 又由直线l与圆C交于A、B两点，| 4AB ， 则点C
20、到直线l的距离 22 | ()2 2 AB dr， 若直线l的斜率不存在，直线l的方程为0 x ，点C到直线l的距离1d ，不符合题意； 若直线l的斜率存在，设直线l的方程为3yxk，即30 xyk， 则有 2 |2| 2 1 d k k ，解可得0k或 4 3 ； 第 11 页（共 19 页） 故直线l的方程为3y 或 4 3 3 yx； 故答案为：3y 或 4 3 3 yx 13 （5 分）已知实数0a ，0b ， 12 1 ab ，则 43 12 ab ab 的最小值是 74 3 【解答】解： 12 1 ab ， 2 1,2 ab ab ba ，且0a ，0b ， 434626 4377
21、2 1274 3 1212 abba ababab ，当且仅当 26ba ab ， 即 2 3 1,32 3 ab 时取等号， 43 12 ab ab 的最小值是74 3 故答案为：74 3 14（5 分） 一个口袋里装有大小相同的 5 个小球， 其中红色两个， 其余 3 个颜色各不相同 现 从中任意取出 3 个小球， 其中恰有 2 个小球颜色相同的概率是 3 10 ； 若变量X为取出 的三个小球中红球的个数，则X的数学期望()E X 【解答】 解： 一个口袋里装有大小相同的 5 个小球， 其中红色两个， 其余 3 个颜色各不相同 现从中任意取出 3 个小球， 基本事件总数 3 5 10nC，
22、 其中恰有 2 个小球颜色相同包含的基本事件个数 21 23 3mC C， 其中恰有 2 个小球颜色相同的概率是 3 10 m p n ； 若变量X为取出的三个小球中红球的个数，则X的可能取值为 0，1，2， 3 3 3 10 1 (0) 10 C P X C ， 12 23 3 10 6 (1) 10 C C P X C ， 21 23 3 10 3 (2) 10 C C P X C ， 数学期望 1636 ()012 1010105 E X 第 12 页（共 19 页） 故答案为： 3 10 ， 6 5 15 （ 5 分 ） 已 知 扇 形AOB半 径 为 1 ，60AOB， 弧AB上 的
23、 点P满 足 (,)O PO AO BR ，则的最大值是 2 3 3 ；PA PB最小值是 【解答】解：以O为原点，以OB为x轴建立平面直角坐标系， 设BOP，则(cos ,sin )P，(1,0)B， 1 (2A， 3) 2 ， OPOAOB， 1 cos 2 3 sin 2 ，即 2 3sin 3 3 cossin 3 32 3 cossinsin() 333 ， P在AB上，0 3 剟， 当 6 时，取得最大值 2 3 3 1 (cos 2 PA， 3 sin ) 2 ，(1cos , sin )PB， 133333 (cos )(1cos )(sin )( sin )cossin3si
24、n() 2222223 PA PB 0 3 剟， 2 333 剟 当 32 时，PA PB取得最小值 3 3 2 故答案为： 2 3 3 ， 3 3 2 第 13 页（共 19 页） 三、 解答题： 本大题共三、 解答题： 本大题共 5 个小题， 共个小题， 共 75 分 解答题应写出文分 解答题应写出文字说明、 证明过程或演算步骤字说明、 证明过程或演算步骤 16 （14 分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知45B ，10b ， 1 tan 2 C （）求边a； （）求sin(2)AB 【解答】解： （）由 1 tan 2 C ，且(0, )C， 22 sincos1CC
25、， 解得 5 sin 5 C ， 2 5 cos 5 C ， 3 10 sinsin()sincoscossin 10 ABCBCBC sinsin ab AB ，45B ，10b ， 3 10 10 sin 10 3 2 sin2 2 bA a B ； ()II由正弦定理 sinsin cb CB ，得： 5 10 sin 5 2 sin2 2 bC c B 222 1041810 cos 2104 10 bca A bc ， 又 3 10 sin 10 A ， 22 4 cos2 5 Acos Asin A ， 3 sin22sincos 5 AAA ， 32422 sin(2)sin2
26、coscos2 sin 525210 ABABAB 17 （15 分）如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，FAFC，且60DABDBF （1）求证：AC 平面BDEF； （2）求二面角EAFB的余弦值； 第 14 页（共 19 页） （3）若M为线段DE上的一点，满足直线AM与平面ABF所成角的正弦值为 2 30 15 ，求线 段DM的长 【解答】证明： （1）设AC与BD交于点O，连结FO， 四边形ABCD是菱形，ACBD，且O为AC的中点， FAFC，ACFO， 又FOBDO，BD 平面BDEF，FO 平面BDEF， AC平面BDEF 解： （2）连结DF，四边形BDEF是菱形，且60
27、DBF， DBF是等边三角形， O为BD的中点，FOBD， 又ACFO，BD 平面ABCD，AC 平面ABCD，FO平面ABCD， OA、OB、OF两两垂直，建立空间直角坐标系Oxyz，如图， 设2AB ，四边形ABCD为菱形，60DAB， 2BD，2 3AC ， DBF为等边三角形，3OF， ( 3A，0，0)，(0B，1，0)，(0D，1，0)，(0F，0，3)， (3AD ，1，0)，(3AF ，0，3)，(3AB ，1，0)， (0EFDB，2，0)， 设平面AEF的法向量(mx，y，) z， 则 330 30 n AFxz n ABxy ，取1x ，得(1n ，3，1)， |10 c
28、os, | |5 m n m n mn ， 第 15 页（共 19 页） 二面角EAFB的余弦值为 10 5 （3）设(0, 3 )DMDEBF，(01)剟 则(3AMADDM ，1，0)(0，, 3 )(0，1, 3 ) ， 2 |2 32 30 |cos,| 15| | 5424 AM n AM n AMn ， 化简，得 2 8410 ， 解得 31 4 或 13 4 （舍)， 线段DM的长为 31 2 18 （15 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别是 1 F和 2 F，离心率为 1 2 ， 以P在椭圆E上，且 12 PFF的面积的最大值为3 （1
29、）求椭圆C的方程； （2）直线l过椭圆C右焦点 2 F，交该椭圆于A、B两点，AB中点为Q，射线OQ交椭圆 于P，记AOQ的面积为 1 S，BPQ的面积为 2 S，若 21 3SS，求直线l的方程 【解答】解： （1）依题意，显然当P在短轴端点时， 12 PFF的面积最大为 1 23 2 cb， 即3bc ，又由离心率为 1 2 c e a ， 222 abc， 解得 2 4a ， 2 3b ， 2 1c ， 所以椭圆C的方程为 22 1 43 xy （2）因为 21 3SS， 所以 11 |sin3|sin 22 QP QBBQPQA QOAQO ， 所以| 3|QPQO，所以| 4|OPO
30、Q， 第 16 页（共 19 页） 当AB斜率不存在时， 21 SS，不合题意， 当AB斜率存在时，设直线方程为(1)yxk， 设点 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y， 则 22 11 22 22 1 43 1 43 xy xy ，两式作差得： 1212 1212 3 4 yyyy xxxx ， 即 3 4 ABOP kk， 故直线OP的方程为： 3 4 yx k ， 联立 22 3 4 1 43 yx xy k ，解得 2 2 2 16 34 P x k k ， 联立 3 4 (1) yx yx k k ，解得 2 2 4 34 Q x k k ， 因为4 PQ xx，所
31、以 2 2 2 4|4 4 34 34 kk k k ， 即 2 1 4 k，解得： 1 2 k， 所以直线AB的方程为 1 (1) 2 yx 19 （15 分）已知等比数列 n a的公比0q ，且满足 123 6aaa， 2 43 4aa，数列 n b的前 n项和 (1) 2 n n n S ，*nN （）求数列 n a和 n b的通项公式； （）设 2 2 38 , , n n nnn nn b an b bc a b n 为奇数 为偶数 ，求数列 n c的前2n项和 2n T 【解答】解： （）依题意，由 123 6aaa， 2 43 4aa，可得 2 111 322 11 6 4()
32、aa qa q a qa q ， 解得 1 2 q ， 1 1 2 a ， 第 17 页（共 19 页） 1 111 ( )( ) 222 nn n a ，*nN， 对于数列 n b：当1n 时， 11 1bS， 当2n时， 1 (1)(1) 22 nnn n nn n bSSn ， 当1n 时， 1 1b 也满足上式， n bn，*nN （）由题意及（） ，可知 当n为奇数时， 2 2 2 2 3838111 ( ) (2)22(2) 2 nn nn nn nn bn ca b bn nnn ， 当n为偶数时， 1 ( ) 2 n nnn ca bn， 令 1321n Accc ， 242n
33、 Bccc，则 1321n Accc 13352121 111111 1 23 23 25 2(21) 2(21) 2 nn nn 121 11 1 2(21) 2 n n 21 11 2(21) 2 n n ， 2462 2462 1111 2 ( )4 ( )6 ( )2( ) 2222 n n Bccccn， 246222 11111 ( )2 ( )4 ( )(22) ( )2( ) 22222 nn Bnn ， 两式相减，可得 246222 311111 2 ( )2 ( )2 ( )2 ( )2( ) 422222 nn Bn ， 1352122 11111 ( )( )( )(
34、)2( ) 22222 nn n ， 21 22 2 11 ( ) 1 22 2( ) 1 2 1( ) 2 n n n ， 21 412 () ( ) 323 n n ， 21 34 18 ( ) 929 n n B ， 2122nn Tccc 第 18 页（共 19 页） 13212462 ()() nn ccccccc AB 21 21 113418 ( ) 2(21) 2929 n n n n 21 251341 () ( ) 184(21)92 n n n 20 （16 分）已知函数( )2 x e f xlnxxa x ，aR （1）求函数( )f x的单调区间； （2）若函数(
35、)f x有两个不同的零点 1 x， 2 x， （）求a的取值范围； （）证明： 2 21 421 | 21 aa xx a 【解答】解： （1） 22 (1)1(1)() ( )1 xx exxex fx xxx ，0 x （3 分） 当1x 时，( )0fx，( )f x单调递增；当01x时，( )0fx，( )f x单调递减 所以( )f x的单调递增区间为(1,)，单调递减区间为(0,1)（5 分） （2）() i由（1）( )minf xf（1）12ea ， 若函数( )f x有两个不同的零点 1 x， 2 x， 则f（1）120ea ，解得： 1 2 e a ，（8 分） ()ii不
36、妨设 12 xx， 因为 22 (2 )2222 22 aa ee faln aaaln a aa 令21, ( ) t e taeg tlnt t ， 2 (1) ( ) t e tt g t t 令( )(1) t h te tt，则( )1 t h te t，( )(1)0 t h tet， 所以( )h t单调递增， 又因为(1)0h e，所以( )h t单调递增 因为 2 (1)10 e h ee ，所以( )0g t，故( )g t单调递增 又因为(1)g eg（e） 1 10 e e ，所以(2 )0fa ， 2 2xa（12 分） 第 19 页（共 19 页） 由1lnx x 可知 11 2121 111 ()()()212 11 212121 2121 aa ee flnaa aaa aa 令 111 (0, ),( )0 21 m e mf m aemm ， 所以 2 121 1421 ,| 2121 aa xxx aa （15 分）
