1、山东省部分省重点中学第二次质量监测联考山东省部分省重点中学第二次质量监测联考 数学数学 考生注意： 1本试卷共 150 分考试时间 120 分钟 2请将各题答案填写在答题卡上 3本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语，函数与导数，三角函数，解三角形，平面向量，复数，数 列，不等式，立体几何，解析几何 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1已知集合 2 340Ax xx， 12Bx x，则 RA B（ ） A11xx B13xx C13xx D11xx 2已知复数z满足(2)55i zi，则z （ ） A3 3i B1
2、 3i C1 3i D3 3i 3已知a，b都是实数，则“ 22 11 loglog ab ”是“ 22 ab”的（ ） A充要条件 B必要不充分条件 C充分不必要条件 D既不充分也不必要条件 4函数 e ln ( ) e xx x f x 的部分图象大致为（ ） A B C D 5 点P为抛物线C： 2 2(0)ypx p的准线上一点， 直线2xp交抛物线C于M，N两点， 若PMN 的面积为 20，则p （ ） A1 B2 C2 D5 6已知 1 sin 123 ，则sin 2 3 （ ） A 2 9 B 2 9 C 7 9 D 7 9 7已知点P是边长为 2 的菱形ABCD内的一点（包含边
3、界） ，且120BAD，则AP AB的取值范围 是（ ） A2,4 B( 2,4) C2,2 D( 2,2) 8已知正方体 1111 ABCDABC D的棱长为 2，以A为球心，2 2为半径的球面与平面 1111 ABC D的交线长 为（ ） A 2 B 2 2 C2 D 二、选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全 部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分 9已知向量(1,3)a ，( 2,1)b ，(3, 5)c ，则（ ） A(2 )/abc B(2 )abc C1034ac D2acb 10已知实数x，y满足
4、322xy ，124xy ，则（ ） Ax的取值范围为( 1,2) By的取值范围为( 2,1) Cxy的取值范围为( 3,3) Dxy的取值范围为( 1,3) 11已知函数( )2sin(), 2 f xx N的图象经过点 0, 3A，且( )f x在0,2上有且 仅有 4 个零点，则下列结论正确的是（ ） A2 B 6 C( )f x在,0 3 上单调递增 D( )f x在(0,2 )上有 3 个极小值点 12经研究发现：任意一个三次多项式函数 32 ( )(0)f xaxbxcxd a的图象都只有一个对称中心点 00 ,xf x，其中 0 x是( )0fx的根，( )fx是( )f x的
5、导数，( )fx是( )fx的导数若函数 32 ( )f xxaxxb图象的对称点为( 1,2)，且不等式 e(ln 1)exmxx e32 ( )3ef xxxx 对任意(1,)x恒成立，则（ ） A3a B1b Cm的值可能是e Dm的值可能是 e 1 三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13在等差数列 n a中， 1 2a ， 24 8aa ，则数列 n a的公差为_ 14将一个斜边长为 4 的等腰直角三角形以其一直角边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的表面积 为_ 15已知双曲线C： 22 1 88 xy 的左焦点为F，点M在双曲线C的右支上，(0,4)A
6、，当MAF的周长 最小时，MAF的面积为_ 16已知函数 2 ( )1f xxx，若关于x的方程( )1f xa x恰有两个实数根，则实数a的取值范围是 _ 四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知 3 B （1）若4a，3c ，求sinA的值； （2）若ABC的面积为4 3，求ABC周长的最小值 18在 11 20(2) nnn aaan ，且 1 1a ， 5 25S ， 3 5a ， 2 n Sntn， 1 1a ， 2 3a ， 且2 n S ， 1n S ， 2n S 成等差数列这三个
7、条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答 问题：设数列 n a的前n项和为 n S，_若 1 1 n nn b a a ，求数列 n b的前n项和 n T 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分 19如图，在三棱柱 111 ABCABC中，BC 平面 11 AACC，D是 1 AA的中点，ACD是边长为 1 的等 边三角形 （1）证明： 1 CDB D （2）若3BC ，求二面角 11 BC DB的大小 20已知函数( )cos()(0,0,0)f xAxA的部分图象如图所示 （1）求( )f x的解析式； （2）设( )( )2 3cos21 6 g xf xx 若关于x的不等式 2
8、( ) (32) ( )230gxmg xm恒成 立，求m的取值范围 21已知 1 F， 2 F分别是椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点，过点 1 F的直线l与椭圆C交于A， B两点，点 2,1M在椭圆C上，且当直线l垂直于x轴时，2AB （1）求椭圆C的标准方程； （2）是否存在实数t，使得 1111 AFBFt AF BF恒成立若存在，求出t的值；若不存在，说明理由 22已知函数 12 1 ( )(1)e(0) 2 x f xxaxax x （1）讨论( )f x的单调性； （2）当2a时，若( )f x无最小值，求实数a的取值范围 第二次质量监测联考第二次质量
9、监测联考 数学参考答案数学参考答案 1A 因为 2 34014Ax xxx xx 或，所以41 RA xx 因为 1213Bx xxx ，所以A11 R Bxx 2B 因为(2)55i zi ，所以 55(55 )(2) (1)(2)1 3 2(2)(2) iii ziii iii 3 C 由 22 11 loglog ab ， 得 11 0 ba ， 则0ab， 从而 22 ab， 反之不成立， 故 “ 22 11 log log ab ” 是“ 22 ab”的充分不必要条件 4B 因为 lnln| ()( ) eeee xxxx xx fxf x ，所以( )f x是偶函数，所以( )f
10、x的图象关于y轴对称， 排除 A，C；因为(1)0f，排除 D 5C 由题意不妨设(2 ,2 )Mpp，(2 , 2 )Npp，则PMN的面积为 15 420 22 p p，解得2p 6D 设 12 ，则 12 ， 1 sin 3 ，从而sin 2sin 2 3123 2 7 sin 2cos21 2sin 29 7 A 如图， 建立平面直角坐标系， 则(0,0)A，(2,0)B， 1, 3C， 1, 3D 设(, )Pxy， 则12x ， 故( , ) (2,0)2 2,4AP ABx yx ，即AP AB的取值范围是2,4 8D 由题意知 22 11 222 2ABAD如图，在平面 111
11、1 ABC D内任取一点P，使 1 2AP ，则 22 11 2 2APAAAP，故以A为球心，2 2为半径的球面与平面 1111 ABC D的交线是以 1 A为圆心， 以 2 为半径的圆弧 11 B PD，故该交线长为2 2 9AD 由题意可得2( 3,5)ab ，(4, 2)ac因为2abc，所以(2 )/abc，则 A 正确， B 错误；对于 C，D，因为 22 4( 2)2 5ac ， 2 ( 2)15b ，所以2acb，则 C 错误，D 正确 10ABD 因为124xy ，所以2428xy 因为322xy ，所以5510 x ，则 12x ，故 A 正确；因为322xy ，所以624
12、4xy 因为124xy ，所以 421xy ， 所以1055y， 所以21y ， 故B正确； 因为322xy ，124xy ， 所以 936 (2 ) 555 xy， 114 (2) 555 xy，则22xy ，故 C 错误；因为322xy ， 124xy ，所以 213 (2 ) 555 xy ， 3312 (2) 555 xy，则13xy ，故 D 正确 11AC 因为点 0, 3A在( )f x的图象上，所以2sin3，所以 3 sin 2 因为 2 ，所以 3 ，则( )2sin 3 f xx N由02x，得2 333 x 因为( )f x在 0,2 上有且仅有 4 个零点，所以425
13、 3 ，所以11 7 63 因为 N，所以2， 则( )2sin 2 3 f xx ，故 A 正确，B 错误令222() 232 kxkk Z，解得 5 () 1212 kxkk Z，当0k 时， 5 1212 x 因为 5 ,0, 312 12 ，所以( )f x 在,0 3 上单调递增，故 C 正确由( )f x的图象（图略）易知( )f x在(0,2 )上有 2 个极小值点，故 D 错误 12ABC 由题意可得( 1)112fab ，因为 2 ( )321fxxax，所以( )62fxxa，所 以( 1)620fa ，解得3a ，1b，故 32 ( )31f xxxx因为1x ，所以 e
14、2e3 (ln1)( )ee3 x mxxf xxxx 等价于 ee (1 e) ln1 x xx m x 设( )e1(0) x g xxx，则( )e10 x g x ，从而( )g x在(0,)上单调递增因为(0)0g，所以 ( )0g x ，即e1 x x，则 eeln eeeln1 xxx xxx （当且仅当ex时，等号成立） ，从而 ee (1 e)elne e ln1ln1 x xxx xx ，故em 133 设数列 n a的公差为d因为 24 8aa ，所以 3 4a ，则 31 42 3 3 12 aa d 14 8 8 2 由题意可知所得几何体是圆锥，其底面圆的半径2 2r
15、 ，母线长4l ，则其表面积为 2 88 2rrl 1512 如图，设双曲线C的右焦点为 F 由题意可得2 2a ，( 4,0)F ，(4,0) F 因为 24 2MFMFa，所以4 2MF MF ，则MAF的周长为MAMFAF 8 2MAMFMA8 28 212 2MFAF ，即当M在 M 处时，MAF的周长 最小，此时直线 AF 的方程为4yx 联立 22 4, 1, 88 yx xy 整理得10y ，则1 M y ，故MAF的 面积为 111 8 (4 1)12 222 M FF OAFFy 16(1,5)0由题意可得 2 11xxa x，显然1x不是方程的实数根，则 2 1 1 (1)
16、3 11 xx ax xx 故关于x的方程( )1f xa x恰有两个实数根等价于ya与 1 (1)3 1 yx x 的图象恰有两个不同的交点画出 1 (1)3 1 yx x 的大致图象，如图所示，由 图象可得(1,5)0a 17解： （1）由余弦定理可得 222 1 2cos1692 4 313 2 bacacB ，则13b 由正弦定理可得 sinsin ab AB ，则 3 4 sin2 39 2 sin 1313 aB A b （2）因为ABC的面积为4 3，所以 13 sin4 3, 24 acBac，则16ac 由余弦定理可得 22222 2cosbacacBacac， 则 2 16
17、bac（当且仅当ac时，等号成立） ，即4b 因为 2222 ()3bacacacac，所以 22 ()3464acbacac， 所以8ac （当且仅当ac时，等号成立） ， 故12abc ，即ABC周长的最小值为 12 18解：若选， 因为 11 20 nnn aaa ，所以 11nnnn aaaa ，即数列 n a是等差数列 因为 a 1 1a ， 5 25S ，所以 1 51 1, 5 4 525, 2 a Sad 解得 1 1a ，2d ， 故 1 (1)21 n aandn 因为 1 1 n nn b a a ，所以 1111 (21)(21)2 2121 n b nnnn ， 则
18、123 11111111 1 2335572121 nn Tabbb nn 11 1 22121 n nn 若选， 因为 2 n Sntn，所以 2 3 3339Stt， 2 2 2224Stt， 所以 332 55aSSt ，解得0t ， 则 22 1 (1)21(2) nnn aSSnnnn 因为 11 1aS满足上式，所以21 n an 以下步骤同 若选， 因为2 n S ， 1n S ， 2n S 成等差数列，所以 12 22 nnn SSS ， 所以 211 2 nnnn SSSS ，即 21 2 nn aa 因为 1 1a ， 2 3a ，所以 21 2aa，则数列 n a是首项为
19、 1，公差为 2 的等差数列， 故 1 (1)21 n aandn 以下步骤同 19 （1）证明：因为ACD是边长为 1 的等边三角形，所以60ADC， 11 120DAC 因为D是 1 AA的中点，所以 111 1ADADAC，即 11 AC D是等腰三角形， 则 11 30ADC，故 1 90CDC，即 1 CDC D 因为BC 平面 11 AACC， 11 /BC BC，所以 11 BC 平面 11 AACC 因为CD平面 11 AACC，所以 11 BCCD 因为 1111 BCC DC， 11 BC 平面 11 BC D， 1 C D 平面 11 BC D，所以CD平面 11 BC
20、D 因为 1 B D 平面 11 BC D，所以 1 CDB D （2）解：连接 1 CA，则 1 ACCA，以C为原点，CA， 1 CA，CB的方向分别为x轴，y轴，z轴的正 方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz 则(0,0,0)C， 0,0, 3B， 1 1, 3,0C ， 13 ,0 22 D ， 1 1, 3, 3B ， 故 13 ,0 22 CD ， 1= 1, 3,3BC， 1 33 ,0 22 C D 设平面 1 BDC的法向量为 111 ,nx y z， 则 111 1111 33 0, 22 330,B C D nxy nxzCy 令 1 3y ，得 2 3 1, 3,
21、 3 n 由（1）可得平面 11 BC D的一个法向量为 13 ,0 22 mCD 故 13 3 22 cos, 24 3 1 3 n m n m n m 设二面角 11 BC DB为，由图可知为锐角，则 3 coscos, 2 n m ，故30 20解： （1）由图可知2A ， 353 46124 T ， 则T，从而2，故( )2cos(2)f xx 因为( )f x的图象过点 5 ,2 6 ，所以 5 2cos 22 6 ，所以 5 2() 3 kk Z 因为0，所以 3 故( )2cos 2 3 f xx （2）由（1）可得( )2cos 22 3cos212cos 22 3sin 2
22、3633 g xxxxx 14sin 214cos21 2 xx 设( )tg x，因为1 cos21x ，所以3( )5g x 因为 2( ) (32) ( )230gxmg xm，即 2 ( )(32)230h ttmtm在 3,5上恒成立， 则 ( 3)0, (5)0, h h ，即 2 2 ( 3)3(32)230, 55(32)230, mm mm 解得 1 1 2 m 故m的取值范围为 1 ,1 2 21解： （1）由题意可得 2 2 22 2 2, 2 1 1, b AB a ab 解得 2 4a ， 2 2b 故椭圆C的标准方程为 22 1 42 xy （2）如图，由（1）可知
23、 1 2,0F ， 2 2,0F 当直线l的斜率不存在时， 2 11 1 b AFBF a ，则 1 1 11 2 AFBF t AF BF 当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则直线l的方程为 2yk x， 11 ,A x y， 22 ,B x y 联立 22 2 , 1, 42 yk x xy 整理得 2222 214 2440kxk xk， 则 2 22 2 4 2 21 k xx k ， 2 12 2 44 21 k x x k ，从而 2 2 121212 2 41 4 21 k xxxxx x k ， 故 2 2 1112 2 44 1 21 k AFBFABkxx k 由题意可得
24、 2 12 12AFkx， 2 12 12BFkx， 则 2 2 111212 2 21 122 21 k AF BFkx xxx k 因为 1111 AFBFt AF BF，所以 2 2 11 2 11 2 44 21 2 21 21 k AFBF k t AF BFk k 综上，存在实数2t ，使得 1111 AFBFt AF BF恒成立 22解： （1）因为 12 1 ( )(1)e(0) 2 x f xxaxax x ，所以 1 e( )()1 (0) x fxxax 令( )0fx，得xa或1x 当a 0 时，由( )0fx，得1x ；由( )0fx，得01x， 则( )f x在(0
25、,1)上单调递减，在(1,)上单调递增 当01a时，由( )0fx，得0 xa或1x ；由( )0fx，得1ax， 则( )f x在( ,1)a上单调递减，在(0, )a和1,上单调递增 当1a 时，( )0fx恒成立，则( )f x在(0,)上单调递增 当1a 时，由( )0fx，得01x或xa；由( )0fx，得1xa， 则( )f x在(1, )a上单调递减，在(0,1)，( ,)a 上单调递增 综上，当0a时，( )f x在(0,1)上单调递减，在(1,)上单调递增；当01a时，( )f x在( ,1)a上单 调递减， 在(0, )a和(1,)上单调递增； 当1a 时，( )f x在(
26、0,)上单调递增； 当1a 时，( )f x在(1, )a 上单调递减，在(0,1)，( ,)a 上单调递增 （2）当0a时，由（1）可知( )f x在(0,1)上单调递减，在1,上单调递增， 则( )f x有最小值 1 (1) 2 f ，故0a不符合题意； 当01a时，由（1）可知( )f x在,1a上单调递减，在(0, )a和1,上单调递增， 因为( )f x无最小值，所以(0)(1)ff，即 11 2e a ，解得 e 11 2 a ； 当1a 时，由（1）可知( )f x在(0,)上单调递增， 所以( )f x无最小值，所以1a 符合题意； 当12a时，由（1）可知( )f x在(1,
27、 )a上单调递减，在(0,1)，( ,)a 上单调递增 因为( )f x无最小值，所以(0)( )ff a，即 21 11 e 2e a a a ，即 12 e 11 0 2e a a a 设 12 11 ( )e(12) 2e x x g xxx ，则 1 1 ( )e(12) e x g xxx 设 1 1 ( )( )e12 e x h xg xxx ，则 1 ( )e10 x h x 在 1,2上恒成立 故( )h x在1,2上单调递增，即( )g x在1,2上单调递增 因为 e 1 (1)0 g ， e 1 (2)e20 g ，所以存在唯一的 0 1,2x ，使得 0 0gx 故( )g x在 0 1,x上单调递减，在 0,2 x上单调递增 因为 12e4 (1)0 2e2e g ， 3 (2)e20 e g，所以( )0g x 在1,2上恒成立， 即 12 e 11 0 2e a a a 在1,2恒成立，即12a符合题意 综上，实数a的取值范围为2 2 e 1,
