1、高三数学寒假作业高三数学寒假作业 1 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1设 i 是虚数单位，则复数 12i+3i24i3等于（ ） A26i B2+2i C4+2i D46i 2已知集合 Ax|x240，Bx|x20，则（RA）B 等于（ ） A （，2） B2，2 C （2，2） D2，2） 3 “m3”是“函数 f（x）xm为实数集 R 上的奇函数”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分
2、又不必要条件 4在区间0，上随机取一个实数 x，使得 sinx0，1 2的概率为（ ） A1 B2 C1 3 D2 3 5将函数() = (2 + 3)的图象向右平移 个单位，得到的图象关于原点对称，则 的最小正值为（ ） A 6 B 3 C5 12 D7 12 6已知某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ） A12 B24 C36 D48 7直线 x+my+10 与不等式组 + 3 0 2 0 2 0 表示的平面区域有公共点，则实数 m 的取值 范围是（ ） A1 3， 4 3 B 4 3， 1 3 C3 4，3 D3， 3 4 8 （理）已知圆心为 O，半径为 1 的圆上有不同的三个点
3、A、B、C，其中 = 0，存 在实数 ， 满足 + + = 0 ，则实数 ， 的关系为（ ） A2+21 B1 + 1 = 1 C1 D+1 9已知抛物线 y28x 的准线与双曲线 2 2 2 2 =1（a0，b0）相交于 A、B 两点，双曲 线的一条渐近线方程是 y= 43 3 x，点 F 是抛物线的焦点，且FAB 是等边三角形，则该 双曲线的标准方程是（ ） A 2 36 2 6 =1 B 2 16 2 3 =1 C 2 6 2 32 =1 D 2 3 2 16 =1 10对于函数 f（x）aexx，若存在实数 m、n，使得 f（x）0 的解集为m，n（mn） ， 则实数 a 的取值范围是
4、（ ） A （，0）（0，1 ） B （，0）（0，1 C （0，1 ） D （0，1 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分，把答案填在题中横线上分，把答案填在题中横线上 11为了解某校教师使用多媒体辅助教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校 200 名授课教师中抽取 20 名教师，调查了解他们上学期使用多媒体辅助教学的次数，结果用 茎叶图表示（如图） ，据此可估计该校上学期 200 名教师中，使用多媒体辅助教学不少于 30 次的教师人数为 12执行如图所示的程序，则输出的结果为 13等差数列an中，a46，则 2a1a5+a1
5、1 14已知 a，b 为正实数，直线 x+y+a0 与圆（xb）2+（y1）22 相切，则 2 的取值 范围是 15对于函数 f（x）= 1+|，给出下列结论： 等式 f（x）+f（x）0 在 xR 时恒成立； 函数 f（x）的值域为（1，1） 函数 g（x）f（x）x 在 R 上有三个零点； 若 x1x2，则(1);(2) 1;2 0 若 x1x2，则(1):(2) 2 (1:2 2 ) 其中所有正确结论的序号为 三、解答题：三、解答题： 16（12分） 在ABC中， 角A， B， C所对的边分别为a， b， c， f （x） sin2xcosB2cos2xsinB+sinB， xR，函数
6、f（x）的图象关于直线 = 5 12对称 （）当 ,0， 2-时，求函数 f（x）的最大值并求相应的 x 的值； （）若 b3 且 + = 23 3 ，求ABC 的面积 17 （12 分）PM2.5 是指空气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物） 为 了探究车流量与 PM2.5 的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量 与 PM2.5 的数据如下表： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 车流量 x（万辆） 50 51 54 57 58 PM2.5 的浓度 y（微克/立方米） 69 70 74 78 79 （）根据上表数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线
7、性回归方程 = + ； （）若周六同一时间段车流量是 25 万辆，试根据（）求出的线性回归方程预测，此 时 PM2.5 的浓度为多少（保留整数）？ （参考公式： = 5 =1 ()() 5 =1 ()2 ， = + ，参考数据： 5 1 = 270， 5 1 = 370） 18 （12 分）已知数列an和bn对任意的 nN*满足12= 3;，若数列an是等比 数列，且 a11，b2b1+2 （）求数列an和bn的通项公式； （）设 cn= 1 1 ( )，求数列cn的前 n 项和 Sn 19 （13 分）如图，在多面体 ABCA1B1C1中，四边形 ABB1A1是正方形，A1CB 是等边 三角
8、形，ACAB1，B1C1BC，BC2B1C1 （）求证：AB1平面 A1C1C （）求多面体 ABCA1B1C1的体积 高三数学寒假作业高三数学寒假作业 1（答案解析）（答案解析） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 50 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的. 1设 i 是虚数单位，则复数 12i+3i24i3等于（ ） A26i B2+2i C4+2i D46i 【解答】解：复数 12i+3i24i3复数 12i3+4i2+2i 故选：B 2已知集合 Ax|x240
9、，Bx|x20，则（RA）B 等于（ ） A （，2） B2，2 C （2，2） D2，2） 【解答】解：由 A 中的不等式得：x240，得到 x2 或 x2， A（，2）（2，+） ， 由 x20，解得 x2， B（，2） ， 全集 UR， UA2，2， （UA）B2，2） 故选：D 3 “m3”是“函数 f（x）xm为实数集 R 上的奇函数”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 【解答】解：当 m3 时，函数 f（x）x3为奇函数，满足条件 当 m1 时，函数 f（x）x 为奇函数，但 m3 不成立， 故“m3”是“函数 f（x）xm为实数集 R
10、 上的奇函数”的充分不必要条件， 故选：A 4在区间0，上随机取一个实数 x，使得 sinx0，1 2的概率为（ ） A1 B2 C1 3 D2 3 【解答】解：在区间0，上，当 ,0， 6- , 5 6 ，-时， ,0， 1 2-，由几何概型 知，符合条件的概率为 6: 6 = 1 3 故选：C 5将函数() = (2 + 3)的图象向右平移 个单位，得到的图象关于原点对称，则 的最小正值为（ ） A 6 B 3 C5 12 D7 12 【解答】解：将函数() = (2 + 3)的图象向右平移 个单位，得到的图象对应的函 数解析式为 ysin2（x）+ 3sin（2x+ 3 2） ， 再根据
11、所得函数的图象关于原点对称，可得 3 2k，kz，即 = 6 2 ，则 的最 小正值为 6， 故选：A 6已知某几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ） A12 B24 C36 D48 【解答】解：三视图复原的几何体是底面为边长 4、3 的矩形，高为 3 的棱锥，高所在棱 垂直底面矩形的一个得到， 所以棱锥的体积为：1 3 4 3 3 =12 故选：A 7直线 x+my+10 与不等式组 + 3 0 2 0 2 0 表示的平面区域有公共点，则实数 m 的取值 范围是（ ） A1 3， 4 3 B 4 3， 1 3 C3 4，3 D3， 3 4 【解答】解：即直线 x+my+10 过定点 D（1
12、，0） 作出不等式组对应的平面区域如图： 当 m0 时，直线为 x1，此时直线和平面区域没有公共点， 故 m0，x+my+10 的斜截式方程为 y= 1 x 1 ， 斜率 k= 1 ， 要使直线和平面区域有公共点，则直线 x+my+10 的斜率 k0， 即 k= 1 0，即 m0，满足 kCDkkAB， 此时 AB 的斜率 kAB2， 由 + 3 = 0 2 = 0 解得 = 2 = 1，即 C（2，1） ， CD 的斜率 kCD= 01 12 = 1 3， 由2 = 0 2 = 0 ，解得 = 2 = 4，即 A（2，4） ， AD 的斜率 kAD= 40 2(1) = 4 3， 即4 3
13、k 1 3， 则4 3 1 1 3， 解得3m 3 4， 故选：D 8 （理）已知圆心为 O，半径为 1 的圆上有不同的三个点 A、B、C，其中 = 0，存 在实数 ， 满足 + + = 0 ，则实数 ， 的关系为（ ） A2+21 B1 + 1 = 1 C1 D+1 【解答】解：由题意可得| | | |1，且 = 0 + + = 0 ，即 = ，平方可得 12+2， 故选：A 9已知抛物线 y28x 的准线与双曲线 2 2 2 2 =1（a0，b0）相交于 A、B 两点，双曲 线的一条渐近线方程是 y= 43 3 x，点 F 是抛物线的焦点，且FAB 是等边三角形，则该 双曲线的标准方程是（
14、 ） A 2 36 2 6 =1 B 2 16 2 3 =1 C 2 6 2 32 =1 D 2 3 2 16 =1 【解答】解：由题意可得抛物线 y28x 的准线为 x2，焦点坐标是（2，0） ， 又抛物线 y28x 的准线与双曲线 2 2 2 2 =1 相交于 A， B 两点， 又FAB 是等边三角形， 则有 A，B 两点关于 x 轴对称，横坐标是2，纵坐标是 4tan30与4tan30， 将坐标（2，43 3 ）代入双曲线方程得 4 2 16 32 =1， 又双曲线的一条渐近线方程是 y= 43 3 x，得 = 43 3 ， 由解得 a= 3，b4 所以双曲线的方程是 2 3 2 16
15、=1 故选：D 10对于函数 f（x）aexx，若存在实数 m、n，使得 f（x）0 的解集为m，n（mn） ， 则实数 a 的取值范围是（ ） A （，0）（0，1 ） B （，0）（0，1 C （0，1 ） D （0，1 【解答】解：aexx（e 是自然对数的底数） ，转化为 a ， 令 y= ， 则 y= 2 ，令 y0，可得 x1， 当 x1 时，y0，函数 y 递减；当 x1 时，y0，函数 y 递增 则当 x1 时函数 y 取得最大值1 ， 由于存在实数 m、n，使得 f（x）0 的解集为m，n， 则由右边函数 y= 的图象可得 a 的取值范围为（0， 1 ） 故选：C 二、填空题
16、：本大题共二、填空题：本大题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分，把答案填在题中横线上分，把答案填在题中横线上 11为了解某校教师使用多媒体辅助教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校 200 名授课教师中抽取 20 名教师，调查了解他们上学期使用多媒体辅助教学的次数，结果用 茎叶图表示（如图） ，据此可估计该校上学期 200 名教师中，使用多媒体辅助教学不少于 30 次的教师人数为 90 【解答】解：根据题意，得； 样本容量为 20 时，使用多媒体辅助教学不少于 30 次的教师人数为 9，频率为 9 20； 由此估计该校上学期 200 名教师中，使用多媒体辅助教学不
17、少于 30 次的教师人数为 200 9 20 =90 故答案为：90 12执行如图所示的程序，则输出的结果为 24 【解答】解：第一次执行循环体后，z2，满足继续循环的条件，x2，y4； 再次执行循环体后，z6，满足继续循环的条件，x5，y7； 再次执行循环体后，z12，满足继续循环的条件，x8，y10； 再次执行循环体后，z18，满足继续循环的条件，x11，y13； 再次执行循环体后，z24，不满足继续循环的条件， 故输出的结果为：24， 故答案为：24 13等差数列an中，a46，则 2a1a5+a11 12 【解答】解：等差数列an中，a46， a1+3d6， 则 2a1a5+a112a
18、1（a1+4d）+a1+10d2（a1+3d）12 故填 12 14已知 a，b 为正实数，直线 x+y+a0 与圆（xb）2+（y1）22 相切，则 2 的取值 范围是 （0，+） 【解答】解：直线 x+y+a0 与圆（xb）2+（y1）22 相切， 圆心到直线的距离 d= |+1+| 2 = 2， 即|a+b+1|2， a+b1，或 a+b3 a，b 为正实数 a+b3（舍去） ， 即 b1a， 0a1，0b1， 2 = 2 1;， 构造函数 f（a）= 2 1， （0a1） ， 则 f（a）= 2(1)+2 (1)2 = 22 (1)2， 当 0a1 时，2aa20，即 f（a）0， f
19、（a）在（0，1）上是增函数， 0f（a）1， 则 2 的取值范围是（0，+） 故答案为： （0，+） 15对于函数 f（x）= 1+|，给出下列结论： 等式 f（x）+f（x）0 在 xR 时恒成立； 函数 f（x）的值域为（1，1） 函数 g（x）f（x）x 在 R 上有三个零点； 若 x1x2，则(1);(2) 1;2 0 若 x1x2，则(1):(2) 2 (1:2 2 ) 其中所有正确结论的序号为 【解答】解：f（x）= 1+|，f（x）= 1+|； 故等式 f（x）+f（x）0 在 xR 时恒成立，故成立； f（x）= 1+| = 1 1 1+， 0 1 + 1 1，0 ， 故1f
20、（x）1， 故函数 f（x）的值域为（1，1） ，故成立； g（x）f（x）x= 2 1+， 0 2 1，0 ， 故函数 g（x）f（x）x 在 R 上有一个零点，故不成立； f（x）= 1+| = 1 1 1+， 0 1 + 1 1，0 ， 故可判断 f（x）在 R 上是增函数， 故若 x1x2，则(1);(2) 1;2 0， 故成立； 作函数 f（x）= 1+| = 1 1 1+， 0 1 + 1 1，0 的图象如下， 若 0 x1x2，则(1):(2) 2 (1:2 2 )， 若 x1x20，则(1):(2) 2 f（1:2 2 ） 故不成立 故答案为： 三、解答题：本大题共三、解答题：
21、本大题共 6 小题，共小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16（12分） 在ABC中， 角A， B， C所对的边分别为a， b， c， f （x） sin2xcosB2cos2xsinB+sinB， xR，函数 f（x）的图象关于直线 = 5 12对称 （）当 ,0， 2-时，求函数 f（x）的最大值并求相应的 x 的值； （）若 b3 且 + = 23 3 ，求ABC 的面积 【解答】解：f（x）sin2xcosB2cos2xsinB+sinBsin2xcosB（1+cos2x）sinB+sinB sin（2xB） （） 由函
22、数 f （x） 的图象关于直线 = 5 12对称， 知2 5 12 = + 2， 解得 Bk+ 3 （kZ） ， 又 B（0，） ，当 k0 时，B= 3； 当 ,0， 2-时， 3 2 3 2 3 ， 于是当2 3 = 2，即 x= 5 12时，函数 f（x）的最大值为 1； （）由正弦定理得 = = = : : = 3 3 2 = 23， 又 + = 23 3 ，得 + = 23 23 3 = 4， 由余弦定理得 b2a2+c22accosBa2+c2ac（a+c）23ac， 解得 ac= 7 3， 于是ABC 的面积为1 2 = 1 2 7 3 3 2 = 73 12 17 （12 分）
23、PM2.5 是指空气中直径小于或等于 2.5 微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物） 为 了探究车流量与 PM2.5 的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量 与 PM2.5 的数据如下表： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 车流量 x（万辆） 50 51 54 57 58 PM2.5 的浓度 y（微克/立方米） 69 70 74 78 79 （）根据上表数据，用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 = + ； （）若周六同一时间段车流量是 25 万辆，试根据（）求出的线性回归方程预测，此 时 PM2.5 的浓度为多少（保留整数）？ （参考公式： = 5 =1 ()() 5
24、 =1 ()2 ， = + ，参考数据： 5 1 = 270， 5 1 = 370） 【解答】 解： （） 由条件可知 = 1 5 （50+51+54+57+58） 54， = 1 5 （69+70+74+78+79） 74 5 1 ( )( ) =45+34+34+4564， 5 1 ( )2=50， = 64 50 =1.28， =741.28544.88， 故 y 关于 x 的线性回归方程是： =1.28x+4.88； （）当 x25 时， =1.2825+4.8836.8837， 可以预测此时 PM2.5 的浓度约为 37 18 （12 分）已知数列an和bn对任意的 nN*满足12=
25、 3;，若数列an是等比 数列，且 a11，b2b1+2 （）求数列an和bn的通项公式； （）设 cn= 1 1 ( )，求数列cn的前 n 项和 Sn 【解答】解： （）由条件可知1= 31;1=1，解得 b11， b2b1+23 a1a2= 32;2=3，解得 a23， 又数列an是等比数列，则公比为2 1 =3， 于是 an3n 1， 又12= 3;=30+1+2+ +（n1）= 3(1) 2 ， bnn= (1) 2 ， 解得 bn= (+1) 2 （）由题意得 cn= 1 1 = 1 31 2 (+1) = 1 31 2(1 1 +1)， Sn= 1 1 31 11 3 2,(1
26、1 2) + ( 1 2 1 3) + + ( 1 1 +1)- = 3 2 (1 1 3) 2(1 1 +1) = 2 +1 1 231 1 2 19 （13 分）如图，在多面体 ABCA1B1C1中，四边形 ABB1A1是正方形，A1CB 是等边 三角形，ACAB1，B1C1BC，BC2B1C1 （）求证：AB1平面 A1C1C （）求多面体 ABCA1B1C1的体积 【解答】 （）证明：取 BC 的中点 E，连接 AE，C1E，B1E B1C1BC，B1C1= 1 2BC，B1C1EC，B1C1EC 四边形 CEB1C1为平行四边形，B1EC1C C1C面 A1C1C，B1E面 A1C1
27、C，B1E面 A1C1C B1C1BC，B1C1= 1 2BC，B1C1BE，B1C1BE 四边形 BB1C1E 为平行四边形，B1BC1E，且 B1BC1E 又ABB1A1是正方形，A1AC1E，且 A1AC1E AEC1A1为平行四边形，AEA1C1， A1C1面 A1C1C，AE面 A1C1C，AE面 A1C1C AEB1EE，面 B1AE面 A1C1C AB1面 B1AE，AB1面 A1C1C； （）在正方形 ABB1A1中，AB1= 2，又A1BC 是等边三角形， A1CBC= 2， AC2+AA12A1C2，AB2+AC2BC2， 于是 AA1AC，ACAB， 又 AA1AB，AA
28、1平面 ABC， AA1CE， 又 CEAE，AEAA1A， CE平面 AEC1A1， 于是多面体 ABCA1B1C1是由直三棱柱 ABEA1B1C1和四棱锥 CAEC1A1组成的 又直三棱柱 ABEA1B1C1的体积为1 2 (1 2 1 1) 1 = 1 4， 四棱锥 CAEC1A1的体积为1 3 2 2 1 2 2 = 1 6， 故多面体 ABCA1B1C1的体积为1 4 + 1 6 = 5 12 高三数学寒假作业高三数学寒假作业 2 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选
29、项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1已知全集 U1，2，3，4，5，集合 M3，4，5，N1，2，5，则集合1，2可 以表示为（ ） AMN B （UM）N CM（UN） D （UM）（UN） 2若复数:3 1:2（R，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数 的值为（ ） A6 B4 C4 D6 3若等比数列an的前 n 项和= 3 2，则 a2（ ） A4 B12 C24 D36 4已知命题 p：xR，x20，命题 q：xR，2xx2，则下列说法中正确的是（ ） A命题 pq 是假命题 B命题 pq 是真命题 C命题 p（q）是真命题 D命题 p（q）是假命题 5设 a0.3
30、6，blog36，clog510，则（ ） Acba Bbca Cacb Dabc 6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A4 3 B5 2 C7 3 D5 3 7已知 1 + 1 0 2 2 0 若 + 的最小值是 2，则 a（ ） A1 B2 C3 D4 8若 f（x）2cos（x+）+m，对任意实数 t 都有 f（t+ 4）f（t） ，且 f（ 8）1 则实数 m 的值等于（ ） A1 B3 或 1 C3 D1 或 3 9执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ） A14 B15 C16 D17 10 ABC中， BAC120， AB2， AC1， D是边BC上的一点
31、（包括端点） ， 则 的取 值范围是（ ） A1，2 B0，1 C0，2 D5，2 11如图过拋物线 y22px（p0）的焦点 F 的直线依次交拋物线及准线于点 A，B，C，若 |BC|2|BF|，且|AF|3，则拋物线的方程为（ ） Ay2= 3 2x By23x Cy2= 9 2x Dy29x 12已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，f（1）1，且当 x0 时，有 xf（x）f（x） ， 则不等式 f（x）x 的解集是（ ） A （1，0） B （1，+） C （1，0）（1，+） D （，1）（1，+） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分
32、 13已知 2 = 2 3，则 cos（） 14甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时， 甲说：丙没有考满分； 乙说：是我考的； 丙说：甲说真话 事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是 15在边长为 4 的正方形 ABCD 内部任取一点 M，则满足AMB 为锐角的概率为 16A、B、C、D 是同一球面上的四个点，其中ABC 是正三角形，AD平面 ABC，AD 4，AB23，则该球的表面积为 三、解答题：解答应写出文字说明证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 17 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Snn2，
33、nN* （1）证明：数列an是等差数列； （2）设 bn= 2+（1）nan，求数列bn的前 2n 项和 18 （12 分）在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”三个 等级进行学生互评某校高一年级有男生 500 人，女生 400 人，为了了解性别对该维度 测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了 45 名学生的测评结果，并作出频 数统计表如下： 表 1：男生 等级 优秀 合格 尚待改进 频数 15 x 5 表 2：女生 等级 优秀 合格 尚待改进 频数 15 3 y （1）从表二的非优秀学生中随机选取 2 人交谈，求所选 2 人中恰有 1 人测评等级为合格 的
34、概率； （2）从表二中统计数据填写下边 22 列联表，并判断是否有 90%的把握认为“测评结 果优秀与性别有关” 男生 女生 总计 优秀 非优秀 总计 参考数据与公式：K2= ()2 (+)(+)(+)(+)，其中 na+b+c+d 临界值表： P（K2k0） 0.10 0.05 0.01 k0 2.706 3.841 6.635 19 （12 分）如图，已知 AF平面 ABCD，四边形 ABEF 为矩形，四边形 ABCD 为直角梯 形，DAB90，ABCD，ADAFCD2，AB4 （）求证：AC平面 BCE； （）求三棱锥 EBCF 的体积 高三数学寒假作业高三数学寒假作业 2（答案解析）（
35、答案解析） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1已知全集 U1，2，3，4，5，集合 M3，4，5，N1，2，5，则集合1，2可 以表示为（ ） AMN B （UM）N CM（UN） D （UM）（UN） 【解答】解：M3，4，5，N1，2，5， MN5， （UM）N1，2， M（UN）3，4， （UM）（UN）， 故选：B 2若复数:3 1:2（R，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数 的值为（ ） A6 B4 C4 D6
36、 【解答】解：:3 1:2 = (:3)(1;2) (1:2)(1;2) = (:6):(3;2) 5 为纯虚数， + 6 = 0 3 2 0，解得：a6 故选：A 3若等比数列an的前 n 项和= 3 2，则 a2（ ） A4 B12 C24 D36 【解答】解：= 3 2， 1= 1= 31 2 = 3 2， a2S2S1（9a2）（3a2）6a， a3S3S2（27a2）（9a2）18a， an为等比数列， （6a）2（3a2）18a， 解得 a2，或 a0（舍） ， a2， a2S2S16a12， 故选：B 4已知命题 p：xR，x20，命题 q：xR，2xx2，则下列说法中正确的是（
37、 ） A命题 pq 是假命题 B命题 pq 是真命题 C命题 p（q）是真命题 D命题 p（q）是假命题 【解答】解：因为命题 p：xR，x20 是真命题，例如 x3， 而命题 q：xR，2xx2，是假命题，例如 x1， 由复合命题的真值表可知命题 p（q）是真命题 故选：C 5设 a0.36，blog36，clog510，则（ ） Acba Bbca Cacb Dabc 【解答】解：a0.361，b= 6 3 =1+ 2 3，c= 10 5 =1+ 2 5， lg 5lg 3lg20， 0 2 5 2 3， acb 故选：B 6某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A4 3 B
38、5 2 C7 3 D5 3 【解答】解：该几何体为三棱柱与三棱锥的组合体，如右图， 三棱柱的底面是等腰直角三角形， 其面积 S= 1 2 121，高为 1； 故其体积 V1111； 三棱锥的底面是等腰直角三角形， 其面积 S= 1 2 121，高为 1； 故其体积 V2= 1 3 11= 1 3； 故该几何体的体积 VV1+V2= 4 3； 故选：A 7已知 1 + 1 0 2 2 0 若 + 的最小值是 2，则 a（ ） A1 B2 C3 D4 【解答】解：由已知得线性可行域如图所示，则 zax+y 的最小值为 2 若 a2，则（1，0）为最小值最优解， a2， 若 a2，则（3，4）为最小
39、值最优解，不合题意， 故选：B 8若 f（x）2cos（x+）+m，对任意实数 t 都有 f（t+ 4）f（t） ，且 f（ 8）1 则实数 m 的值等于（ ） A1 B3 或 1 C3 D1 或 3 【解答】解：因为 f（x）2cos（x+）+m，对任意实数 t 都有 f（t+ 4）f（t） ， 所以函数的对称轴是 x= 4 2 = 8，就是函数取得最值，又 f（ 8）1， 所以12+m，所以 m1 或3 故选：B 9执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ） A14 B15 C16 D17 【解答】解：第一次循环： = 2 2 3，n2； 第二次循环： = 2 2 3 + 2 3 4，n
40、3； 第三次循环： = 2 2 3 + 2 3 4 + 2 4 5，n4； 第 n 次循环： = 2 2 3 + 2 3 4 + 2 4 5 + + 2 +1 = 2 2 +1，nn+1 令2 2 +1 3解得 n15 输出的结果是 n+116 故选：C 10 ABC中， BAC120， AB2， AC1， D是边BC上的一点 （包括端点） ， 则 的取 值范围是（ ） A1，2 B0，1 C0，2 D5，2 【解答】解：D 是边 BC 上的一点（包括端点） ，可设 = + (1 ) （0 1） BAC120，AB2，AC1， =21cos1201 = + (1 ) ( ) = (2 1) 2
41、 + (1 ) 2 （21）4+1 7+2 01， （7+2）5，2 的取值范围是5，2 故选：D 11如图过拋物线 y22px（p0）的焦点 F 的直线依次交拋物线及准线于点 A，B，C，若 |BC|2|BF|，且|AF|3，则拋物线的方程为（ ） Ay2= 3 2x By23x Cy2= 9 2x Dy29x 【解答】解：如图分别过点 A，B 作准线的垂线，分别交准线于点 E，D， 设|BF|a，则由已知得：|BC|2a， 由定义得：|BD|a， 故BCD30， 在直角三角形 ACE 中， |AF|3，|AC|3+3a， 2|AE|AC| 3+3a6，从而得 a1， BDFG， 1 = 2
42、 3， 求得 p= 3 2， 因此抛物线方程为 y23x， 故选：B 12已知 f（x）是定义在 R 上的奇函数，f（1）1，且当 x0 时，有 xf（x）f（x） ， 则不等式 f（x）x 的解集是（ ） A （1，0） B （1，+） C （1，0）（1，+） D （，1）（1，+） 【解答】解：f（x）是定义在 R 上的奇函数， 令 g（x）= () ，g（x）为偶函数， 又当 x0 时，xf（x）f（x） ， g（x）= ()() 2 0； g（x）在（0，+）上是增函数，在（，0）上是减函数； 又 f（1）1，f（1）1，g（1）1； 当 x0 时，不等式 f（x）x， () 1，即
43、 g（x）g（1） ， 有 x1； 当 x0 时，不等式 f（x）x， () 1，即 g（x）g（1） ， 有1x0； 当 x0 时，f（0）0，不等式 f（x）x 不成立； 综上，不等式 f（x）x 的解集是（1，0）（1，+） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13已知 2 = 2 3，则 cos（） 1 9 【解答】解： 2 = 2 3， cos（）cos（12sin2 2）= 1 9 故答案为： 1 9 14甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时， 甲说：丙没有考满分； 乙说：是我考的； 丙说：甲说真话 事实证明：
44、在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是 甲 【解答】解：假设甲说的是假话，即丙考满分，则乙也是假话，不成立； 假设乙说的是假话，即乙没有考满分，又丙没有考满分，故甲考满分； 故答案为：甲 15 在边长为 4 的正方形 ABCD 内部任取一点 M， 则满足AMB 为锐角的概率为 1 8 【解答】解：如果AEB 为直角，动点 E 位于以 AB 为直径的圆上（如图所示） 要使AMB 为锐角，则点 M 位于正方形内且半圆外（如图所示的阴影部分） ； 因为半圆的面积为1 2 22= 2，正方形的面积为 4416， 所以满足AMB 为锐角的概率 = 1 2 16 = 1 8 故答案为：1
45、8 16A、B、C、D 是同一球面上的四个点，其中ABC 是正三角形，AD平面 ABC，AD 4，AB23，则该球的表面积为 32 【解答】解：由题意画出几何体的图形如图， 把 A、B、C、D 扩展为三棱柱，上下底面中心连线的中点与 A 的距离 为球的半径， AD4，AB23，ABC 是正三角形，所以 AE2，AO22 所求球的表面积为：4（22）232 故答案为：32 三、解答题：解答应写出文字说明证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明证明过程或演算步骤 17 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Snn2，nN* （1）证明：数列an是等差数列； （2）设 bn= 2+（1）
46、nan，求数列bn的前 2n 项和 【解答】 （1）证明：当 n1 时，a1S11，当 n2 时，anSnSn1n2（n1）2 2n1 当 n1 时，上式也成立，an2n1 当 n2 时，anan1（2n1）（2（n1）1）2， 数列an是等差数列，以 1 为首项，2 为公差 （2）解：bn= 2+（1）nan22n 1+（1）n（2n1） ， 数列bn的前 2n 项和（21+23+22n 1）+（1+3）+（5+7）+（4n3） +（4n1） ） = 2(421) 41 +2n = 242 3 +2n 2 3 18 （12 分）在中学生综合素质评价某个维度的测评中，分“优秀、合格、尚待改进”
47、三个 等级进行学生互评某校高一年级有男生 500 人，女生 400 人，为了了解性别对该维度 测评结果的影响，采用分层抽样方法从高一年级抽取了 45 名学生的测评结果，并作出频 数统计表如下： 表 1：男生 等级 优秀 合格 尚待改进 频数 15 x 5 表 2：女生 等级 优秀 合格 尚待改进 频数 15 3 y （1）从表二的非优秀学生中随机选取 2 人交谈，求所选 2 人中恰有 1 人测评等级为合格 的概率； （2）从表二中统计数据填写下边 22 列联表，并判断是否有 90%的把握认为“测评结 果优秀与性别有关” 男生 女生 总计 优秀 非优秀 总计 参考数据与公式：K2= ()2 (+
48、)(+)(+)(+)，其中 na+b+c+d 临界值表： P（K2k0） 0.10 0.05 0.01 k0 2.706 3.841 6.635 【解答】解： （1）设从高一年级男生中抽出 m 人，则 500 = 45 500:400，m25 x251555，y20182 表 2 中非优秀学生共 5 人，记测评等级为合格的 3 人为 a，b，c，尚待改进的 2 人为 A， B， 则从这 5 人中任选 2 人的所有可能结果为 （a，b） ， （a，c） ， （a，A） ， （a，B） ， （b，c） ， （b，A） ， （b，B） ， （c，A） ， （c，B） ， （A， B）共 10 种，
49、记事件 C 表示“从表二的非优秀学生 5 人中随机选取 2 人，恰有 1 人测评等级为合格” 则 C 的结果为： （a，A） ， （a，B） ， （b，A） ， （b，B） ， （c，A） ， （c，B） ，共 6 种， P（C）= 6 10 = 3 5，故所求概率为 3 5； （2） 男生 女生 总计 优秀 15 15 30 非优秀 10 5 15 总计 25 20 45 10.90.1，P（K22.706）= 45(1551510)2 30152520 = 9 8 =1.1252.706 没有 90%的把握认为“测评结果优秀与性别有关” 19 （12 分）如图，已知 AF平面 ABCD，四
50、边形 ABEF 为矩形，四边形 ABCD 为直角梯 形，DAB90，ABCD，ADAFCD2，AB4 （）求证：AC平面 BCE； （）求三棱锥 EBCF 的体积 【解答】 （I）证明：过 C 作 CMAB，垂足为 M， ADDC，四边形 ADCM 为矩形， AMMB2， AD2，AB4， AC22，CM2，BC22 AB2AC2+BC2，即 ACBC， AF平面 ABCD，AFBE， EB平面 ABCD， AC平面 ABCD，ACEB， EBBCB， AC平面 BCE； （II）解：AF平面 ABCD， AFCM， CMAB，ABAFA， CM平面 ABEF， VEBCFVCBEF= 1 3
