1、高三数学寒假作业高三数学寒假作业 5 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1若集合 Ax|yln（x22x3），Bx|2x|3，则 AB（ ） Ax|x1 Bx|x3 Cx|1x3 Dx|3x5 2已知复数 z 满足（13i）z（1+i） （3+i） ，则 z 的共轭复数为（ ） A1+i B1+i C1i D1i 3随着电商行业的蓬勃发展，快递行业近几年也保持着增长的态势，我国已经成为快递大 国，快递业已成为人民群众生活的“必需
2、品“如图是 2015 年2019 年，我国对快递 行业发展的统计图下面描述错误的是（ ） A从 2015 到 2019 年，我国快递业务量保持逐年增长的趋势 B2016 年，快递业务量增长速度最快 C从 2016 到 2019 年，快递业务量增长速度连续上升 D从 2016 到 2019 年，快递业务量增长速度逐年放缓 4已知 alog23，blog46，clog69，则（ ） Abca Bcba Cacb Dcab 5函数() = +1 1的部分图象大致为（ ） A B C D 62020 年湖北抗击新冠肺炎期间，全国各地医护人员主动请缨，支援湖北某地有 3 名医 生，6 名护士来到武汉，他
3、们被随机分到 3 家医院，每家医院 1 名医生、2 名护士，则医 生甲和护士乙分到同一家医院的概率为（ ） A1 6 B1 2 C1 8 D1 3 7ABC 中，M，N 分别是 BC，AC 上的点，且 BM2MC，AN2NC，AM 与 BN 交于点 P，则下列式子正确的是 （ ） A = 3 4 + 1 2 B = 1 2 + 3 4 C = 1 2 + 1 4 D = 1 4 + 1 2 8珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的这种挤压一直在进行，珠穆朗玛 峰的高度也一直在变化由于地势险峻，气候恶劣，通常采用人工攀登的方式为珠峰“量 身高” 攀登者们肩负高精度测量仪器，采用了分段测量
4、的方法，从山脚开始，直到到达 山顶，再把所有的高度差累加，就会得到珠峰的高度.2020 年 5 月，中国珠峰高程测量登 山队 8 名队员开始新一轮的珠峰测量工作在测量过程中，已知竖立在 B 点处的测量觇 标高 10 米，攀登者们在 A 处测得到觇标底点 B 和顶点 C 的仰角分别为 70，80，则 A、B 的高度差约为（ ） A10 米 B9.72 米 C9.40 米 D8.62 米 9双曲线 C 的方程为： 2 2 2 2 = 1(0，0)，过右焦点 F 作双曲线一条渐近线的平 行线，与另一条渐近线交于点 P，与双曲线右支交于点 M，点 M 恰好为 PF 的中点，则 双曲线的离心率为（ ）
5、A2 B2 C3 D3 10ABC 中，sinA+2sinBcosC0，3sinBsinC，则 cosC（ ） A1 2 B 3 2 C 1 2 D 3 2 11 已知函数 f （x） = ，0 2+ 4 + 3， 0， 若关于 x 的方程|f （x） |a 恰好有 4 个实根 x 1， x2，x3，x4，则 x1x2x3x4的取值范围是（ ） A （2，+） B2，+） C （0，2） D0，2） 12 正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 3， 点 E、 F 分别在棱 C1C， D1C1上， 且 C1E2EC， D1F2FC1，下列命题：异面直线 BE，CF 所成角的余弦值为 3 10
6、；过点 B，E，F 的平面截正方体，截面为等腰梯形；三棱锥 B1BEF 的体积为3 2；过 B1 作平面 ， 使得 AE， 则平面 截正方体所得截面面积为519 2 其中所有真命题的序号为 （ ） A B C D 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13已知实数 x、y 满足约束条件 0 + 1 0 + 1 0 ，则 z3x+y+1 的最大值为 14函数 f（x）（x2）ex在点（2，f（2） ）处的切线方程为 15过抛物线 C：x2y 的焦点 F 作两条互相垂直的弦 AC，BD，则四边形 ABCD 面积的最 小值为 16如图有标号
7、为 1，2，3 的三根柱子，在 1 号柱子上套有 n 个金属圆片，从下到上圆片依 次减小按下列规则，把金属圆片从 1 号柱子全部移到 3 号柱子，要求：每次只能移 动一个金属圆片；较大的金属圆片不能在较小的金属圆片上面 （1）若 n3 时，至少 需要移动 次； （2）将 n 个金属圆片全部移到 3 号柱子，至少需要移动 次 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共题为选考题，
8、考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）已知函数() = (2 6) + 2 2(0)的周期为 （1）求函数 f（x）的单调递增区间； （2）若() 1 2，求 x 的取值范围 18 （12 分）如图，ABC，ACD，ABE 均为正三角形，AB2，AB 中点为 O，将ABE 沿 AB 翻折，使得点 E 折到点 P 的位置 （1）证明：CD平面 POC； （2）当 PC= 6时，求二面角 BPCD 的余弦值 19（12 分） 在平面直角坐标系中， 已知点 A （2， 0） ， B （2， 0） ， 动点 P 满足 = 3 4 （1）求点 P 的轨迹方程 C； （2）过
9、F（1，0）的直线交曲线 C 于 M，N 两点，MN 的中点为 Q，O 为坐标原点，直 线 OQ 交直线 x4 于点 E，求 | |的最小值 高三数学寒假作业高三数学寒假作业 5（答案解析）（答案解析） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1若集合 Ax|yln（x22x3），Bx|2x|3，则 AB（ ） Ax|x1 Bx|x3 Cx|1x3 Dx|3x5 【解答】解：由 x22x30 可得 x3 或 x1， Ax|yln（x2
10、2x3）x|x3 或 x1，Bx|2x|3（1，5） ， 则 AB（3，5） 故选：D 2已知复数 z 满足（13i）z（1+i） （3+i） ，则 z 的共轭复数为（ ） A1+i B1+i C1i D1i 【解答】解：由（13i）z（1+i） （3+i）3+i+3i12+4i， 得 z= 2+4 13 = (2+4)(1+3) (13)(1+3) = 10+10 10 = 1 + ， = 1 故选：C 3随着电商行业的蓬勃发展，快递行业近几年也保持着增长的态势，我国已经成为快递大 国，快递业已成为人民群众生活的“必需品“如图是 2015 年2019 年，我国对快递 行业发展的统计图下面描述
11、错误的是（ ） A从 2015 到 2019 年，我国快递业务量保持逐年增长的趋势 B2016 年，快递业务量增长速度最快 C从 2016 到 2019 年，快递业务量增长速度连续上升 D从 2016 到 2019 年，快递业务量增长速度逐年放缓 【解答】解：对于选项 A：由图可见，从 2015 到 2019 年，我国快递业务量保持逐年增 长的趋势，故选项 A 正确； 对于选项 B：2016 年，快递业务量增长速度最快，故选项 B 正确； 对于选项 C：从 2016 到 2019 年，快递业务量逐年增长，但快递业务量增长速度逐年放 缓，故选项 C 错误； 对于选项 D：由图可见，从 2016
12、到 2019 年，快递业务量增长速度逐年放缓，故选项 D 正确， 故选：C 4已知 alog23，blog46，clog69，则（ ） Abca Bcba Cacb Dcab 【解答】解：46 = 1+23 2 ，69 = 223 1+23， 又 23 46 = 23 1+23 2 = 231 2 0 ， 69 46 = 223 1+23 1+23 2 = (123)2 2(1+23)0， log23log46，log69log46， cba 故选：B 5函数() = +1 1的部分图象大致为（ ） A B C D 【解答】 解： 根据题意， () = +1 1， 则 f （x） cos （x
13、） :1 ;1 = cosx :1 ;1 = f（x） ，即函数 f（x）为奇函数，排除 A， 在区间（0， 2）上，cosx0，则 f（x）0，函数图象在 x 轴上方，排除 D； 又由 cos 2 =0，则 f（ 2）0，排除 C， 故选：B 62020 年湖北抗击新冠肺炎期间，全国各地医护人员主动请缨，支援湖北某地有 3 名医 生，6 名护士来到武汉，他们被随机分到 3 家医院，每家医院 1 名医生、2 名护士，则医 生甲和护士乙分到同一家医院的概率为（ ） A1 6 B1 2 C1 8 D1 3 【解答】解：某地有 3 名医生，6 名护士来到武汉，他们被随机分到 3 家医院，每家医院 1
14、 名医生、2 名护士， 基本事件总数 = 3 1 2 1 1 1 6 2 4 2 2 2 3 3 3 3 =540， 医生甲和护士乙分到同一家医院包含的基本事件个数 m= 5 122 2 1 1 1 4 2 2 2 2 2 3 3 =180， 则医生甲和护士乙分到同一家医院的概率为 p= = 180 540 = 1 3 故选：D 7ABC 中，M，N 分别是 BC，AC 上的点，且 BM2MC，AN2NC，AM 与 BN 交于点 P，则下列式子正确的是 （ ） A = 3 4 + 1 2 B = 1 2 + 3 4 C = 1 2 + 1 4 D = 1 4 + 1 2 【解答】解：过 M 作
15、 MDBN 交 AC 于 D； BM2MC，AN2NC， 则 CD：DNCM：MB1：2； ND：ANMP：AP= 2 3：21：3； 故 AP= 3 4AM； = 3 4 = 3 4（ + 2 3 ）= 3 4 + 1 2 = 3 4 + 1 2（ ）= 1 4 + 1 2 ； 故选：D 8珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的这种挤压一直在进行，珠穆朗玛 峰的高度也一直在变化由于地势险峻，气候恶劣，通常采用人工攀登的方式为珠峰“量 身高” 攀登者们肩负高精度测量仪器，采用了分段测量的方法，从山脚开始，直到到达 山顶，再把所有的高度差累加，就会得到珠峰的高度.2020 年 5 月，中
16、国珠峰高程测量登 山队 8 名队员开始新一轮的珠峰测量工作在测量过程中，已知竖立在 B 点处的测量觇 标高 10 米，攀登者们在 A 处测得到觇标底点 B 和顶点 C 的仰角分别为 70，80，则 A、B 的高度差约为（ ） A10 米 B9.72 米 C9.40 米 D8.62 米 【解答】解：根据题意画出如图的模型，则 CB10，OAB70， OAC80，所以CAB10，ACB10， 所以 AB10，所以在 RtAOB 中，BO10sin709.4（米） 故选：C 9双曲线 C 的方程为： 2 2 2 2 = 1(0，0)，过右焦点 F 作双曲线一条渐近线的平 行线，与另一条渐近线交于点
17、P，与双曲线右支交于点 M，点 M 恰好为 PF 的中点，则 双曲线的离心率为（ ） A2 B2 C3 D3 【解答】解：双曲线 C 的方程为： 2 2 2 2 = 1(0，0)，渐近线方程为：bxay 0， F（c，0） ，如图：FA 的方程为： = ( )与 OP 方程的交点 P（ 2， 2） ， 点 M 恰好为 PF 的中点，M（3 4 ， 4） ，代入双曲线方程可得： 92 162 22 1622 = 1， 9 16 2 1 16 2= 1，可得 e22，e1， 得 e= 2 故选：A 10ABC 中，sinA+2sinBcosC0，3sinBsinC，则 cosC（ ） A1 2 B
18、 3 2 C 1 2 D 3 2 【解答】解：因为 sinA+2sinBcosC0， 由正弦定理及余弦定理可得，a+2b 2+22 2 =0， 整理可得，2a2+b2c20， 由3sinBsinC 结合正弦定理可得，3 = ， 联立可得，ab，c= 3， 则 cosC= 2+22 2 = 1 2， 故选：C 11 已知函数 f （x） = ，0 2+ 4 + 3， 0， 若关于 x 的方程|f （x） |a 恰好有 4 个实根 x 1， x2，x3，x4，则 x1x2x3x4的取值范围是（ ） A （2，+） B2，+） C （0，2） D0，2） 【解答】解：作函数 y|f（x）|的图象，如
19、图 函数 y|f（x）|与 ya 有 4 个交点，可知 1a3； 不妨设实根 x1x2x3x4， 当 a3 时，可得 x14，x20， 若 a1 时，可得 x1= 2 2，x2= 2 2， 可知 x1、x2关于 x2 对称，且 x1+x24，x1x23； 4 1 2 2；2 22 0； 根据图象，有1 3= 4， 结合对数的性质，可得 x3x41； 则 x1x2x3x4x1（4x1）= 12 41， 令 h（x）2 4，(4 2 2)， 其对称轴 x2，根据二次函数的图象性质：x 在（4，22）上是单调递增函数， h（4）h（x）h（22） ， 即 0h（x）2； 即 x1x2x3x4的取值范
20、围0，2） ； 故选：D 12 正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 3， 点 E、 F 分别在棱 C1C， D1C1上， 且 C1E2EC， D1F2FC1，下列命题：异面直线 BE，CF 所成角的余弦值为 3 10；过点 B，E，F 的平面截正方体，截面为等腰梯形；三棱锥 B1BEF 的体积为3 2；过 B1 作平面 ， 使得 AE， 则平面 截正方体所得截面面积为519 2 其中所有真命题的序号为 （ ） A B C D 【解答】解：对于：取 A1B1 的三等分点为 F1，使 A1F12F1B1，又 D1F2FC1， F1B1FC1 且 F1B1FC1， 四边形 FC1B1F1 为平
21、行四边形， FF1B1C1BC 且 FF1B1C1BC， 四边形 F1FCB 为平行四边形， BF1CF， 则F1BE 为异面直线 BE，CF 所成的角， 连接 EF1，由题意得：BF1= 10， = 10，1= 14， 所以 cosF1BE= 1 2+2 1 2 21 = 6 20 = 3 10， 故正确； 对于：取 B1B 的三等分点为 E1，使 B1E12E1B，又 C1E2EC， BE1CE 且 BE1CE， 四边形 BE1EC 为平行四边形， 则 E1EBC 且 E1EBC， 又由得：FF1BC 且 FF1BC， 于是 FF1EE1 且 FF1EE1， 四边形 EE1F1F 为平行四
22、边形， EE1F1F， 取 A1B1 的中点为 G，连接 BG， 又1 1 1 = 11 1 = 2 1， E1F1BGEF， 则四边形 BEFG 即为所求截面， 由题意知：BEFG， 则不正确； 对于：SB1BE= 1 2 3 3 = 9 2， 又 C1F面 B1BE，C1F1， 所以1;= ;1= 1 31 1 = 1 3 9 2 1 = 3 2， 故正确； 对于：取 CD 的三等分点为 H1，使 CH12DH1，取 BC 的三等分点为 H，使 CH 2BH， HH1BDB1D1， 则面 B1D1H1H 即为所求的截面 ， 建立如图所示的空间坐标系， 则 A（3，0，0） ，E（0，3，1
23、） ，B1（3，3，3） ，D1（0，0，3） ，H1（0，1，0） ， = (3，3，1)，11 = (3， 3，0)，11 =（3，2，3） ， 11 = 0， 11 =0 所以 AE面 B1D1H1H， 由已知条件得： B1D132，1= 2 3 11= 22，1 = 11= 10， 等腰梯形 B1D1H1H 的高为： h=(10)2 (3 222 2 )2= 38 2 ， 所以截面面积为：S= (22+32) 2 38 2 = 519 2 ， 故正确 故选：C 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13已知实数 x、y 满足约
24、束条件 0 + 1 0 + 1 0 ，则 z3x+y+1 的最大值为 6 【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由 z3x+y+1 得 y3x+z1， 平移直线 y3x+z1，由图象可知当直线 y3x+z1，经过点 A 时， 直线的截距最大，此时 z 最大 由 = 1 + 1 = 0，解得 A（2，1） ，此时 zmax321+16， 故答案为：6 14函数 f（x）（x2）ex在点（2，f（2） ）处的切线方程为 e2xy2e20 【解答】解：由 f（x）（x2）ex， 得 f（x）ex+（x2）ex（x1）ex f（2）e2，又 f（2）0， 函数 f（x）（x2）ex在点（2，f
25、（2） ）处的切线方程为 ye2（x2） ， 即 e2xy2e20 故答案为：e2xy2e20 15过抛物线 C：x2y 的焦点 F 作两条互相垂直的弦 AC，BD，则四边形 ABCD 面积的最 小值为 2 【解答】解：设直线 AC 的斜率为 k（k0） ，则直线 BD 的斜率为 1 由 F（0，1 4） ，可得直线 AC 的方程为 y 1 4 =kx， 联立 2= = + 1 4 ，消去 y 得 x2kx 1 4 =0， 设 A（x1，y1） ，C（x2，y2） ，则 x1+x2k，x1x2= 1 4， y1+y2k（x1+x2）+ 1 2 =k2+ 1 2 |AC|y1+y2+ 1 2 =
26、k2+1， 以 1 替换 k 得|BD|= 1 2 +1， 故所求面积为 S= 1 2|AC|BD|= 1 2 （k 2+1） （1 2 +1）= 1 2（k 2+1 2 +2）2（当 k21 时取等 号） ， 四边形 ABCD 面积的最小值为 2 故答案为：2 16如图有标号为 1，2，3 的三根柱子，在 1 号柱子上套有 n 个金属圆片，从下到上圆片依 次减小按下列规则，把金属圆片从 1 号柱子全部移到 3 号柱子，要求：每次只能移 动一个金属圆片；较大的金属圆片不能在较小的金属圆片上面 （1）若 n3 时，至少 需要移动 7 次； （2）将 n 个金属圆片全部移到 3 号柱子，至少需要移
27、动 2n1 次 【解答】解：当 n2 时，小盘2 号柱，大盘3 号柱，小盘再由 2 号柱到 3 号柱，完 成，即 n2 时，移动 2213 次； 当 n3 时， 小盘3 号柱， 中盘2 号柱， 再将小盘由 3 号柱移到 2 号柱， 接下来把大盘3 号柱， 将小盘由 2 号柱移到 1 号柱， 将中盘由 2 号柱移到 3 号柱， 最后把小盘由 1 号柱移到 3 号柱， 完成，即当 n3 时，移动 2317 次 （1）由上述过程可知，当 n3 时，移动 7 次； （2）由以上类比推理可得：当有 n 个金属片时，需要移动 2n1 次 因此答案为： （1）7； （2）2n1 三、解答题：共三、解答题：共
28、 70 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分分 17 （12 分）已知函数() = (2 6) + 2 2(0)的周期为 （1）求函数 f（x）的单调递增区间； （2）若() 1 2，求 x 的取值范围 【解答】解： （1）因为() = (2 6) + 2 2(0)， 所以 f （x） sin2xcos 6 cos2xsin 6 +cos2x+1= 3
29、 2 sin2x+ 1 2cos2x+1sin （2x+ 6） +1， 所以 f（x）的最小正周期 T= 2 2， 解得 1，f（x）sin（2x+ 6）+1， 令 2k 2 2x+ 6 2k+ 2，kZ，解得 k 3 xk+ 6，kZ， 可得函数 f（x）的单调递增区间为k 3，k+ 6，kZ （2）由（1）得 f（x）sin（2x+ 6）+1 1 2， 可得 sin（2x+ 6） 1 2， 可得 2x+ 62k 6，2k+ 7 6 ，kZ， 可得 xk 6，k+ 2，kZ 18 （12 分）如图，ABC，ACD，ABE 均为正三角形，AB2，AB 中点为 O，将ABE 沿 AB 翻折，使得
30、点 E 折到点 P 的位置 （1）证明：CD平面 POC； （2）当 PC= 6时，求二面角 BPCD 的余弦值 【解答】 （1）证明：O 为 AB 的中点，PAPB，ACBC， POAB，COAB， 又 POCOO， AB平面 POC， 由已知ABC，ACD 均为等边三角形，可得ACBCAD，则 ABCD， CD平面 POC； （2）解：在等边三角形 PAB 与等边三角形 ABC 中， O 为 AB 的中点，且 AB2， POCO= 3， 又 PC= 6， PO2+CO2PC2，得 POOC 以 O 为坐标原点，分别以 OB，OC，OP 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系， 则 B
31、（1，0，0） ，C（0，3，0） ，P（0，0，3） ，D（2，3，0） ， = (0， 3 ， 3)， = (1， 3 ，0)， = (2，0，0) 设平面 PBC 的一个法向量为 = (，)， 由 = 3 3 = 0 = + 3 = 0 ，取 z1，得 = (3，1，1)； 设平面 PCD 的一个法向量为 = (1，1，1)， 由 = 31 31= 0 = 21= 0 ，取 z11，得 = (0，1，1) cos ， = | |= 2 52 = 10 5 由图可知，二面角 BPCD 为钝角， 二面角 BPCD 的余弦值为 10 5 19（12 分） 在平面直角坐标系中， 已知点 A （2
32、， 0） ， B （2， 0） ， 动点 P 满足 = 3 4 （1）求点 P 的轨迹方程 C； （2）过 F（1，0）的直线交曲线 C 于 M，N 两点，MN 的中点为 Q，O 为坐标原点，直 线 OQ 交直线 x4 于点 E，求 | |的最小值 【解答】解： （1）设 P（x，y） ，根据题意有 :2 ;2 = 3 4， 化简得： 2 4 + 2 3 = 1( 0)， 所以点 P 的轨迹方程 C 为： 2 4 + 2 3 = 1( 0)； （2）设直线方程为 xmy+1， 联立方程 = + 1 32+ 42= 12，消去 x 得： （3m 2+4）y2+6my90， 设 M（x1，y1 ）
33、 ，N（x2，y2 ） ， 所以36m2+36（3m2+4）0，1+ 2= 6 32+4，1 2= 9 32+4， 所以 x1+x2m（y1+y2）+2= 8 32+4， 故点 Q（ 4 32:4， ;3 32:4） ， 则|MN|= 1 + 2 |1 2| = 1 + 2(1+ 2)2 412= 12(2+1) 32+4 ， 因为点 Q（ 4 32:4， ;3 32:4） ，所以直线 OQ 的方程为：y= 3 4 x， 所以点 E 的坐标为（4，3m） ， 得到|EF|= 32+ 92=31 + 2， 所以 | | =31 + 2 32+4 12(2+1) = 32+4 42+1 ， 令1 + 2= ，则 t1， 所以 | | = 1 4 (3 + 1 )在1，+）上单调递增， 故 m0 时， | |的值最小最小值为 1
