1、高三数学寒假作业高三数学寒假作业 8 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 1已知集合 Ax|0 x19，B1，2，6，10，则 AB（ ） A1，2 B2，6 C1，2，6 D2，6，10 2若复数 z 满足 iz2i，则|z|（ ） A2 B3 C2 D5 3已知 a0 且 a1，函数() = + ，0 3+1 1， 0 ，若 f（a）3，则 f（a）（ ） A2 B2 3 C 2 3 D 8 9 4已知向量 =（3，1） ，
2、=（3，1） ，则 与 的夹角为（ ） A 6 B 3 C2 3 D5 6 5函数 f（x）= 2+2的部分图象大致为（ ） A B C D 6已知双曲线 2 2 2 2 = 1(0，0)的焦距是虚轴长的 2 倍，则双曲线的渐近线方程 为（ ） A = 3 3 B = 3 C = 1 2 Dy2x 7 “sin2= 4 5”是“tan2”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 8 “完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等 于它本身古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6 和 28， 进一步研究
3、发现后续三个完全数”分别为 496，8128，33550336，现将这五个“完全数” 随机分为两组，一组 2 个，另一组 3 个，则 6 和 28 不在同一组的概率为（ ） A1 5 B2 5 C3 5 D4 5 9曲线 = 1 3 3 + 2上任意一点处的切线斜率的最小值为（ ） A3 B2 C3 2 D1 10正三棱柱 ABCA1B1C1中，1= 2，D 是 BC 的中点，则异面直线 AD 与 A1C 所 成的角为（ ） A 6 B 4 C 3 D 2 11已知直线 l：3 + + 2 = 0与圆 O：x2+y24 交于 A，B 两点，与 l 平行的直线 l1与 圆 O 交于 M，N 两点
4、，且OAB 与OMN 的面积相等，给出下列直线 l1：3 + 23 = 0，3 + 2 = 0， 3 + 2 = 0，3 + + 23 = 0其中满足 条件的所有直线 l1的编号有（ ） A B C D 12已知函数() = ( + 6) (0)在区间,0， 7 3-有三个零点 x1，x2，x3，且 x1x2x3，若1+ 22+ 3= 5 3 ，则 f（x）的最小正周期为（ ） A 2 B2 3 C D4 3 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13已知圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，圆柱的高和球半径均为 2，则该圆柱 的底
5、面半径为 14已知 x，y 满足约束条件 0， + 1， 2 + 2， 则 zxy 的最大值为 15已知 a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边，a= 2，sinA= 3 3 ，b= 6，则ABC 的面积为 16已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1(0)的左，右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，若ABF290，且ABF2的三边长|BF2|，|AB|，|AF2|成等差数列， 则 C 的离心率为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题
6、，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）已知数列an的各项均为正数，且满足 an2（n+1）an2n2n0 （1）求 a1，a2及an的通项公式； （2）求数列*2+的前 n 项和 Sn 18 （12 分）语音交互是人工智能的方向之一，现在市场上流行多种可实现语音交互的智能 音箱主要代表有小米公司的“小爱同学”智能音箱和阿里巴巴的“天猫精灵”智能音 箱，它们可以通过语音交互满足人们的部分需求某经销商为了了解不同智能音箱与其 购买者性别之间的关
7、联程度，从某地区随机抽取了 100 名购买“小爱同学”和 100 名购 买“天猫精灵”的人，具体数据如表： “小爱同学”智能音 箱 “天猫精灵”智能音 箱 合计 男 45 60 105 女 55 40 95 合计 100 100 200 （1）若该地区共有 13000 人购买了“小爱同学” ，有 12000 人购买了“天猫精灵” ，试估 计该地区购买“小爱同学”的女性比购买“天猫精灵”的女性多多少人？ （2）根据列联表，能否有 95%的把握认为购买“小爱同学” 、 “天猫精灵”与性别有关？ 附：2= ()2 (+)(+)(+)(+) P（K2k） 0.10 0.05 0.025 0.01 0.
8、005 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 是矩形， = 3，AD2，PAD 为正三角形，且平面 PAD平面 ABCD，E、F 分别为 PC、PB 的中点 （1）证明：EF平面 PAD； （2）求几何体 ABCDEF 的体积 高三数学寒假作业高三数学寒假作业 8（答案解析）（答案解析） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的一项是符合题
9、目要求的 1已知集合 Ax|0 x19，B1，2，6，10，则 AB（ ） A1，2 B2，6 C1，2，6 D2，6，10 【解答】解：Ax|1x10，B1，2，6，10， AB2，6 故选：B 2若复数 z 满足 iz2i，则|z|（ ） A2 B3 C2 D5 【解答】解：iz2i，iz2+i， | = | = |2 + | = 5， 故选：D 3已知 a0 且 a1，函数() = + ，0 3+1 1， 0 ，若 f（a）3，则 f（a）（ ） A2 B2 3 C 2 3 D 8 9 【解答】解：f（a）logaa+a3， a2， f（a）= (2) = 31 1 = 2 3 故选：C
10、 4已知向量 =（3，1） ， =（3，1） ，则 与 的夹角为（ ） A 6 B 3 C2 3 D5 6 【解答】解：根据题意，设 与 的夹角为 ， 向量 =（3，1） ， =（3，1） ， 则| |2，| |2， =312， 则 = | | |= 31 22 = 1 2， 又由 0，则 = 3； 故选：B 5函数 f（x）= 2+2的部分图象大致为（ ） A B C D 【解答】解：f（x）= () 2+2 = 2+2 =f（x） ，f（x）为偶函数，排除选项 C 和 D， 而当 ,0， 2-时，f（x）0，排除选项 B， 故选：A 6已知双曲线 2 2 2 2 = 1(0，0)的焦距是虚
11、轴长的 2 倍，则双曲线的渐近线方程 为（ ） A = 3 3 B = 3 C = 1 2 Dy2x 【解答】解：由已知可得 c2b，c24b2a2+b2，a23b2， = 3 3 ， 所以双曲线的渐近线方程为： = 3 3 故选：A 7 “sin2= 4 5”是“tan2”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：2 = 4 5 2 2+2 = 4 5 2 2+1 = 4 5 = 2或1 2， 即由 sin2= 4 5不一定得到 tan2，反之，由 tan2 一定得到 sin2 = 4 5 “sin2= 4 5”是“tan2”的必要不充分条
12、件 故选：B 8 “完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等 于它本身古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6 和 28， 进一步研究发现后续三个完全数”分别为 496，8128，33550336，现将这五个“完全数” 随机分为两组，一组 2 个，另一组 3 个，则 6 和 28 不在同一组的概率为（ ） A1 5 B2 5 C3 5 D4 5 【解答】解：基本事件总数 n10， 6 和 28 恰好在同一组包含的基本事件个数 m4， 6 和 28 不在同一组的概率 = 104 10 = 3 5 故选：C 9曲线 = 1 3 3 + 2上
13、任意一点处的切线斜率的最小值为（ ） A3 B2 C3 2 D1 【解答】 解： 由 x0， f （x） = 1 3x 3+2lnx 的导数() = 2 + 2 = 2+ 1 + 1 32 1 1 3 = 3(0)， 当且仅当 x1 时等号成立， 可得曲线 = 1 3 3+ 2上任意一点处的切线斜率的最小值为 3 故选：A 10正三棱柱 ABCA1B1C1中，1= 2，D 是 BC 的中点，则异面直线 AD 与 A1C 所 成的角为（ ） A 6 B 4 C 3 D 2 【解答】解：如图，取 B1C1中点 E，连接 A1E，CE，则 A1EAD，A1EC90， CA1E 即为异面直线 AD 与
14、 A1C 所成角， 设 AB2，则1= 22，1 = 3，CE3， 1 = 3 3 = 3， 1 = 3 故选：C 11已知直线 l：3 + + 2 = 0与圆 O：x2+y24 交于 A，B 两点，与 l 平行的直线 l1与 圆 O 交于 M，N 两点，且OAB 与OMN 的面积相等，给出下列直线 l1：3 + 23 = 0，3 + 2 = 0， 3 + 2 = 0，3 + + 23 = 0其中满足 条件的所有直线 l1的编号有（ ） A B C D 【解答】解：由已知圆 O：x2+y24，圆心（0，0）到直线3 + + 2 = 0的距离 d= |0+0+2| (3)2+12 = 1 可求得
15、圆心 O 到直线 l 的距离 = 1 = 1 2 ， 所以 = 1 2 23 1 = 3 圆心（0，0）到直线3 + 23 = 0的距离 d= |0+023| (3)2+12 = 3 所以弦长为 l=22 (3)2= 2， 所以 = 1 2 2 3 = 3，故正确 ：圆心（0，0）到直线3 + 2 = 0的距离 d= |0+02| (3)2+12 = 1， 所以 = 1 2 23 1 = 3，故正确 直线 3 + 2 = 0与3 + + 2 = 0不平行，故错误 圆心（0，0）到直线3 + + 23 = 0的距离 d= |0+0+23| (3)2+12 = 3， 所以弦长为 l=22 (3)2
16、= 2， 所以 = 1 2 2 3 = 3，故正确 故选：D 12已知函数() = ( + 6) (0)在区间,0， 7 3-有三个零点 x1，x2，x3，且 x1x2x3，若1+ 22+ 3= 5 3 ，则 f（x）的最小正周期为（ ） A 2 B2 3 C D4 3 【解答】解：当 = 7 3时， + 6 = 5 2 ， 由对称轴可知 x1，x2满足1+ 6 + 2+ 6 = 2 2， 即1+ 2= 2 3 同理 x2，x3满足2+ 6 + 3+ 6 = 3 2 2， 即2+ 3= 8 3， 1+ 22+ 3= 10 3 = 5 3 ， 2， 最小正周期为2 2 = ， 故选：C 二、填空
17、题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13已知圆柱的两个底面的圆周在同一个球的球面上，圆柱的高和球半径均为 2，则该圆柱 的底面半径为 3 【解答】解：在圆柱底面圆周上任取一点 A，设球心为 O，圆柱的底面圆心为 O， 则 OA2，OO1， OA= 2 2= 3， 即圆柱底面半径为3 故答案为：3 14已知 x，y 满足约束条件 0， + 1， 2 + 2， 则 zxy 的最大值为 1 【解答】解：不等式对应的平面区域如图： （阴影部分） 由 zxy 得 yxz，平移直线 yxz， 由平移可知当直线 yxz，经过点 A（1，0）时， 直线 y
18、xz 的截距最小，此时 z 取得最大值， 代入 zxy 得 z101， 即 zxy 的最大值是 1， 故答案为：1 15已知 a，b，c 分别为ABC 内角 A，B，C 的对边，a= 2，sinA= 3 3 ，b= 6，则ABC 的面积为 2 【解答】解：ab，AB， = 6 3 ， 由余弦定理得 6 3 = 2+22 2 ，代入 a= 2，b= 6， 解得 c2， ABC 的面积 = 1 2 2 6 3 3 = 2 故答案为：2 16已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1(0)的左，右焦点分别为 F1，F2，过 F1的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，若ABF290，且ABF2的三边长|
19、BF2|，|AB|，|AF2|成等差数列， 则 C 的离心率为 2 2 【解答】解：由已知，ABF2的三边长|BF2|，|AB|，|AF2|成等差数列，设|BF2|x，|AB| x+d，|AF2|x+2d，ABF290，据勾股定理：x2+（x+d）2（x+2d）2， 可得：x22dx+3d2， 解得 x3d； 由椭圆定义知ABF2的周长为 4a， |BF2|x3d，|AB|x+4d，|AF2|x+2d5d，所以 3d+4d+5d4a， 所以 a3d，|BF2|a|BF1|； 在直角BF2F1中，由勾股定理，a2+a2（2c）2，即 2a24c2， 离心率 e= = 2 2 故答案为： 2 2
20、三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题为必考 题，每个试题考生都必须作答第题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题： 共共 60 分分 17 （12 分）已知数列an的各项均为正数，且满足 an2（n+1）an2n2n0 （1）求 a1，a2及an的通项公式； （2）求数列*2+的前 n 项和 Sn 【解答】解： （1）当 n1 时，1 2 21 3 = 0， a13； 当 n2 时，2 2 32 10
21、= 0， a25； 由已知可得（an+n）an（2n+1）0，且 an0， an2n+1 （2）设= 2， = 22+1， bn是公比为 4 的等比数列， = 23+ 25+ + 22+1= 8(14) 14 = 8 3 (4 1) 18 （12 分）语音交互是人工智能的方向之一，现在市场上流行多种可实现语音交互的智能 音箱主要代表有小米公司的“小爱同学”智能音箱和阿里巴巴的“天猫精灵”智能音 箱，它们可以通过语音交互满足人们的部分需求某经销商为了了解不同智能音箱与其 购买者性别之间的关联程度，从某地区随机抽取了 100 名购买“小爱同学”和 100 名购 买“天猫精灵”的人，具体数据如表：
22、“小爱同学”智能音 箱 “天猫精灵”智能音 箱 合计 男 45 60 105 女 55 40 95 合计 100 100 200 （1）若该地区共有 13000 人购买了“小爱同学” ，有 12000 人购买了“天猫精灵” ，试估 计该地区购买“小爱同学”的女性比购买“天猫精灵”的女性多多少人？ （2）根据列联表，能否有 95%的把握认为购买“小爱同学” 、 “天猫精灵”与性别有关？ 附：2= ()2 (+)(+)(+)(+) P（K2k） 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【解答】解
23、： （1）根据题意，估计购买“小爱同学”的女性有13000 100 55 = 7150（人） ， 估计购买“天猫精灵”的女性有12000 100 40 = 4800（人） ， 由 715048002350， 所以估计该地区购买“小爱同学”的女性比购买“天猫精灵”的女性多 2350 人； （2）根据列联表，计算 K2= 200(45405560)2 10010010595 4.5113.841， 所以有 95%的把握认为购买“小爱同学” 、 “天猫精灵”与性别有关 19 （12 分）如图，四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 是矩形， = 3，AD2，PAD 为正三角形，且平面 PAD平面
24、ABCD，E、F 分别为 PC、PB 的中点 （1）证明：EF平面 PAD； （2）求几何体 ABCDEF 的体积 【解答】 （1）证明：E，F 分别为 PC，PB 的中点，EFBC ABCD 是矩形，ADBC，则 EFAD， AD平面 PAD，EF平面 PAD， EF平面 PAD； （2）解：分别取 AD，BC 的中点 O，M，连接 PO，OE，OM，ME， 则 OMAB， EFBC，EF= 1 2BCBM， 四边形 BMEF 为平行四边形，则 MEBF， 又 MEOMM，平面 OME平面 ABF， 又 BMEFAO，ABFOME 为三棱柱， PAPD，POAD， 平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，PO平面 ABCD， 由PAD 为边长为 2 的正三角形，可求得 = 3，E 到平面 ABCD 的距离为 3 2 ， 几何体 ABCDEF 的体积 VVABFOME+VEOMCD = 3 2 + = 5 2 = 5 2 1 3 1 3 3 2 = 5 4
