1、高三数学寒假作业高三数学寒假作业 1212 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1已知集合 Ax|ylg（x+1），By|y2x，xR，则 AB（ ） A （1，0） B （1，+） CR D （，0） 2 已知 i 是虚数单位， i1 是关于 x 的方程 x2+px+q0 （p， qR） 的一个根， 则 p+q （ ） A4 B4 C2 D2 3 “cos0”是“ 为第二或第三象限角”的（ ） A充分不必要条件 B必
2、要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 42013 年 5 月，华人数学家张益唐的论文素数间的有界距离在数学年刊上发表， 破解了困扰数学界长达一个多世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式，即发现存 在无穷多差小于 7000 万的素数对， 这是第一次有人证明存在无穷多组间距小于定值的素 数对 孪生素数猜想是希尔伯特在 1900 年提出的 23 个问题中的第 8 个， 可以这样描述： 存在无穷多个素数 p，使得 p+2 是素数，素数对（p，p+2）称为孪生素数在不超过 16 的素数中任意取出不同的两个，则可组成孪生素数的概率为（ ） A 1 10 B 4 21 C 4 15 D1 5
3、5已知函数 f（x）sin（2x 3） ，则下列结论正确的是（ ） Af（x）的最小正周期为 2 Bf（x）的图象关于点（ 3，0）对称 Cf（x）在（ 2 ， 11 12 ）上单调递增 D5 12是 f（x）的一个极值点 6已知 ab0，若 logab+logba= 5 2，a bba，则 =（ ） A2 B2 C22 D4 7函数 f（x）= 6 2的图象大致为（ ） A B C D 8 已知点 P （m， n） 是函数 y= 2 2图象上的动点， 则|4m+3n21|的最小值是 （ ） A25 B21 C20 D4 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，
4、每小题 5 分，共分，共 20 分分.在每小题给出的选项中，有多项在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 92019 年 4 月 23 日，国家统计局统计了 2019 年第一季度居民人均消费支出的情况，并绘 制了饼图（如图） ，则下列说法正确的是（ ） A第一季度居民人均每月消费支出约为 1633 元 B第一季度居民人均收入为 4900 元 C第一季度居民在食品烟酒项目的人均消费图支出最多 D第一季度居民在居住项目的人均消费支出为 1029 元 10如图，透明塑料制成的
5、长方体容器 ABCDA1B1C1D1内灌进一些水，固定容器一边 AB 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的是（ ） A没有水的部分始终呈棱柱形 B水面 EFGH 所在四边形的面积为定值 C随着容器倾斜度的不同，A1C1始终与水面所在平面平行 D当容器倾斜如图（3）所示时，AEAH 为定值 11已知 P 为双曲线 C： 2 3 y21 上的动点，过 P 作两渐近线的垂线，垂足分别为 A，B， 记线段 PA，PB 的长分别为 m，n，则（ ） A若 PA，PB 的斜率分别为 k1，k2，则 k1k23 Bmn= 1 2 C4m+n 的最小值为3 D|AB|的最小值为
6、3 2 12对xR，x表示不超过 x 的最大整数十八世纪，yx被“数学王子”高斯采用，因 此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数” ，则下列命题中的真命题是（ ） AxR，xx+1 Bx，yR，x+yx+y C函数 yxx（xR）的值域为0，1） D若tR，使得t31，t42，t53，tnn2 同时成立，则正整数 n 的最大 值是 5 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （x 1 ） 6 的展开式中二项式系数最大的项的系数为 （用数字作答） 14在平行四边形 ABCD 中，AB3，AD2，点 M 满足 =2 ，点 N 满
7、足 = 1 2 ， 则 = 15 已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1 （ab0） 的左， 右焦点分别为 F1， F2， 直线3xy+43 =0 过点 F1且与 C 在第二象限的交点为 P， 若POF160 （O 为原点） ， 则 F2的坐标为 ， C 的离心率为 16三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1平面 ABC，AA14，ABC 是边长为 23的正三角形， D1是线段 B1C1的中点， 点 D 是线段 A1D1上的动点， 则三棱锥 DABC 外接球的表面积 的取值集合为 （用区间表示） 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或
8、演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）在S4是 a2与 a21的等差中项；a7是3 3 与 a22的等比中项；数列a2n的 前 5 项和为 65 这三个条件中任选一个，补充在横线中，并解答下面的问题 已知an是公差为 2 的等差数列，其前 n 项和为 Sn，_ （1）求 an； （2）设 bn（3 4） nan；是否存在 kN ，使得 bk 27 8 ？若存在，求出 k 的值；若不存在， 说明理由 18 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 abcosC= 3csinB （1）求 B； （2）若 a2，且ABC 为锐角三角形，求A
9、BC 的面积 S 的取值范围 19（12 分） 如图， 侧棱与底面垂直的四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是平行四边形， =21 ， =21 （1）求证：AN平面 MB1D1； （2）若 AB2AD2，BAD60，AA13，求 NB1与平面 MB1D1所成角的大小 高三数学寒假作业高三数学寒假作业 1212（答案解析）（答案解析） 一、单项选择题：本大题共一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1已知集合 Ax|ylg（x+1），
10、By|y2x，xR，则 AB（ ） A （1，0） B （1，+） CR D （，0） 【解答】解：Ax|x1，By|y0， ABR 故选：C 2 已知 i 是虚数单位， i1 是关于 x 的方程 x2+px+q0 （p， qR） 的一个根， 则 p+q （ ） A4 B4 C2 D2 【解答】解：i1 是关于 x 的方程 x2+px+q0（p，qR）的一个根， 根据实系数一元二次方程的虚根成对原理，可得：i1 也是原方程的一个虚根 i1+（i1）p， （i1） （i1）q， 解得：p2，q2 则 p+q4 故选：A 3 “cos0”是“ 为第二或第三象限角”的（ ） A充分不必要条件 B必要
11、不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 【解答】解：cos0 2 +2k 3 2 +2k，kZ “ 为第二或第三象限角或 x 轴的负半轴上的角” “cos0”是“ 为第二或第三象限角”的必要不充分条件 故选：B 42013 年 5 月，华人数学家张益唐的论文素数间的有界距离在数学年刊上发表， 破解了困扰数学界长达一个多世纪的难题，证明了孪生素数猜想的弱化形式，即发现存 在无穷多差小于 7000 万的素数对， 这是第一次有人证明存在无穷多组间距小于定值的素 数对 孪生素数猜想是希尔伯特在 1900 年提出的 23 个问题中的第 8 个， 可以这样描述： 存在无穷多个素数 p，使得 p+2
12、 是素数，素数对（p，p+2）称为孪生素数在不超过 16 的素数中任意取出不同的两个，则可组成孪生素数的概率为（ ） A 1 10 B 4 21 C 4 15 D1 5 【解答】解：不超过 16 的素数有 2，3，5，7，11，13，共 6 个， 在不超过 16 的素数中任意取出不同的两个， 基本事件总数 n= 6 2 =15， 可组成孪生素数包含的基本事件有： （3，5） ， （5，7） ， （11，13） ，共 3 个， 可组成孪生素数的概率 P= 3 15 = 1 5 故选：D 5已知函数 f（x）sin（2x 3） ，则下列结论正确的是（ ） Af（x）的最小正周期为 2 Bf（x）的
13、图象关于点（ 3，0）对称 Cf（x）在（ 2 ， 11 12 ）上单调递增 D5 12是 f（x）的一个极值点 【解答】解：函数 f（x）sin（2x 3） ， 所以：函数的最小正值周期为2 2 = ，故选项 A 错误 当 x= 3时 f（ 3）sin（ 2 3 3）= 3 2 0，故选项 B 错误 当 x（ 2 ， 11 12 ）时，2 3 (2 3 ， 3 2 )，满足单调递减区间，故选项 C 错误 当 x= 5 12时，f（ 5 12）= 2 = 1，函数取得最大值，在图象的两侧单调性相反，故选 项 D 正确 故选：D 6已知 ab0，若 logab+logba= 5 2，a bba，
14、则 =（ ） A2 B2 C22 D4 【解答】解：对 abba两边取以 a 为底的对数，得= ，即 balogab， 同理有：ablogba， 代入 logab+logba= 5 2，得 + = 5 2， 因为 ab0，所以 1， 所以 = 2， = 1 2， 故选：B 7函数 f（x）= 6 2的图象大致为（ ） A B C D 【解答】解：f（x）= 6() 2() = 6 2 = f（x） ，所以函数为奇函数，排除 选项 B 和 C； 函数 f（x）在右侧的第一个零点是 = 2，取 x1 2，则 cos10，0sin11， (1) = 61 21 0，排除选项 D， 故选：A 8 已知
15、点 P （m， n） 是函数 y= 2 2图象上的动点， 则|4m+3n21|的最小值是 （ ） A25 B21 C20 D4 【解答】解：由 y= 2 2，得（x+1）2+y21（y0） 令 x+1cos，ysin，0， 得 x1+cos，ysin， 点 P（m，n）是函数 y= 2 2图象上的动点， 则 4m+3n214（1+cos）+3sin213sin+4cos255sin（+）25， （tan= 4 3） 当 5sin（+）5 时，|4m+3n21|取最小值 20 故选：C 二、多项选择题：本大题共二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.
16、在每小题给出的选项中，有多项在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求，全部选对的得符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 92019 年 4 月 23 日，国家统计局统计了 2019 年第一季度居民人均消费支出的情况，并绘 制了饼图（如图） ，则下列说法正确的是（ ） A第一季度居民人均每月消费支出约为 1633 元 B第一季度居民人均收入为 4900 元 C第一季度居民在食品烟酒项目的人均消费图支出最多 D第一季度居民在居住项目的人均消费支出为 1029 元 【解答】解：由 2019 年第一季度居民人均消费支出的情况饼图
17、，得： 对于 A，第一季度居民人均消费支出约为441 9% 31633 元，故 A 正确； 对于 B，第一季度居民人均支入为441 9% =4900 元，故 B 错误； 对于 C，第一季度居民在食品烟酒项目的人均消费图支出最多，占比 31%，故 C 正确； 对于 D， 第一季度居民在居住项目的人均消费支出为： 441 9% 21% =1029 元， 故 D 正确 故选：ACD 10如图，透明塑料制成的长方体容器 ABCDA1B1C1D1内灌进一些水，固定容器一边 AB 于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下面几个结论，其中正确的是（ ） A没有水的部分始终呈棱柱形 B水面 EFGH 所
18、在四边形的面积为定值 C随着容器倾斜度的不同，A1C1始终与水面所在平面平行 D当容器倾斜如图（3）所示时，AEAH 为定值 【解答】解：因为容器的左侧面与右侧面平行，在容器倾斜的过程中，没有水的部分始 终满足棱柱的结构特征，故没有水的部分始终呈棱柱形，A 正确； 在容器倾斜的过程中，水面成矩形面，长度 EF 不变，宽度 EH 变化，则水面 EFGH 所在 四边形的面积变化，故 B 错误； A1C1AC，在倾斜的过程中，AC 与水面相交，则 A1C1与水面所在的平面相交，故 C 错 误； 因为水的体积是不变的，而高始终是 EF 也不变，因此底面的面积也不变，即 AEAH 是 定值，故 D 正确
19、 故选：AD 11已知 P 为双曲线 C： 2 3 y21 上的动点，过 P 作两渐近线的垂线，垂足分别为 A，B， 记线段 PA，PB 的长分别为 m，n，则（ ） A若 PA，PB 的斜率分别为 k1，k2，则 k1k23 Bmn= 1 2 C4m+n 的最小值为3 D|AB|的最小值为3 2 【解答】解：如右图所示，设 P（x0，y0） ，则0 2 3 02= 1由题设条件知： 双曲线 C 的两渐近线：l1： y= 3 3 ，l2：y= 3 3 设直线 PA， PB 的斜率分别为 k1，k2， 则 k1= 3，k2= 3， 所以 k1k23，故 A 选项正确； 由点线距离公式知：|PA|
20、m= |3030| 23 ，|PB|n= |30+30| 23 ， mn= |302902| 12 = 9 12 |0 2 3 02|= 3 4，故 B 选项错误； 4m+n4 =4 3 2 =23，所以 C 不正确； 由四边形 AOBP 中，所以APB120， |AB|= 2+ 2 2 =2+ 2 2( 1 2) 3 = 3 2， 所以 D 正确， 故选：AD 12对xR，x表示不超过 x 的最大整数十八世纪，yx被“数学王子”高斯采用，因 此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数” ，则下列命题中的真命题是（ ） AxR，xx+1 Bx，yR，x+yx+y C函数 yxx（xR）的值域为
21、0，1） D若tR，使得t31，t42，t53，tnn2 同时成立，则正整数 n 的最大 值是 5 【解答】解：当 x1 时，xx+1，不成立，故 A 错误； 由“取整函数”定义可得，x，yR，xx，yy， 由不等式的性质可得x+yx+y，所以x+yx+y，B 正确； 由定义 x1xx，所以 0 xx1，所以函数 f（x）xx的值域是0，1） ，C 正确； 若tR， 使得t31， t42， t53， tnn2 同时成立， 则 1t2 3 ， 2 4 3 4 ， 3 5 4 5 ，4 6 5 6 ， 2 1 ， 因为4 6 = 2 3 ，若 n6，则不存在 t 同时满足 1t2 3 ，4 6 5
22、 6 ，只有 n5 时， 存在 t3 5 ，2 3 ）满足题意， 故选：BCD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （x 1 ） 6 的展开式中二项式系数最大的项的系数为 20 （用数字作答） 【解答】解： （x 1 ） 6 的展开式中二项式系数最大的项的系数为6 3 = 20， 故答案为：20 14在平行四边形 ABCD 中，AB3，AD2，点 M 满足 =2 ，点 N 满足 = 1 2 ， 则 = 0 【解答】解：如图， 由题可得 = + = + 2 3 ， = + = 1 3 + 1 2 = 1 3 1 2 ， 所以
23、=（ + 2 3 ） （ 1 3 1 2 ）= 1 3 1 2 2+2 9 21 3 = 1 2 2+2 9 2= 1 2 4+ 2 9 92+20， 故答案为：0 15 已知椭圆 C： 2 2 + 2 2 =1 （ab0） 的左， 右焦点分别为 F1， F2， 直线3xy+43 =0 过点 F1且与 C 在第二象限的交点为 P，若POF160（O 为原点） ，则 F2的坐标为 （4， 0） ，C 的离心率为 3 1 【解答】解：因为直线3xy+43 =0 过点 F1，令 y0，可得 x4，即 F1（4，0） ， 所以右焦点 F2（4，0） ， 因为POF160可得直线 PO 的方程为：y=
24、3x， 联立 = 3 3 + 43 = 0解得 x2，y23，即 P（2，23） ， 将 P 代入椭圆可得 4 2 + 12 2 =1，c216a2b2，可得 a216+83，b283， 所以椭圆的离心率 e= = 4 2(3+1) = 3 1 故答案分别为： （4，0） ，3 1 16三棱柱 ABCA1B1C1中，AA1平面 ABC，AA14，ABC 是边长为 23的正三角形， D1是线段 B1C1的中点， 点 D 是线段 A1D1上的动点， 则三棱锥 DABC 外接球的表面积 的取值集合为 25，32 （用区间表示） 【解答】解：由题意可得该三棱锥的外接球的球心在该三棱柱上下底面中心的连线
25、 O1O2 上，设球心为 O，球的半径为 R 则 OAODR， 过球心 O 作 DD的垂线交于 H， 则可得 DHOO2为矩形，OOHD，HODO2，由于三角形 ABC 的边长为 23，所以 BC 边的中线为 3 2 23 =3，所以底面外接圆的半径为2 3 3 =2， 所以 DO20，2，O1O24， 在ODH 中，OD2OH2+DH2DO22+（4HD）2DO22+（4OO2）2； 在AOO2中，OA2OO22+AO22OO22+4， 由可得 8OO2DO22+1212，16，所以 OO23 2，2，所以 R 2OA2（OO22+4） 25 4 ，8， 所以三棱锥 DABC 外接球的表面积
26、 S4R225，32， 且当 D 与 O1重合时 R 最小为5 2，当 D 与 A1 重合时 R 最大为 22， 故答案为：25，32 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （10 分）在S4是 a2与 a21的等差中项；a7是3 3 与 a22的等比中项；数列a2n的 前 5 项和为 65 这三个条件中任选一个，补充在横线中，并解答下面的问题 已知an是公差为 2 的等差数列，其前 n 项和为 Sn，_ （1）求 an； （2）设 bn（3 4） nan；是否存在 kN ，使得
27、 bk 27 8 ？若存在，求出 k 的值；若不存在， 说明理由 【解答】解： （1）an是公差 d 为 2 的等差数列， 若选S4是 a2与 a21的等差中项，可得 2S4a2+a21， 即有 2（4a1+6d）2a1+21d，即为 6a19d18，解得 a13； 若a7是3 3 与 a22的等比中项， 可得 a72= 1 3S3a22， 即 （a1+62） 2=1 3 （3a1+32） （a1+21 2） ， 即（a1+12）2（a1+2） （a1+42） ， 解得 a13； 若选数列a2n的前 5 项和为 65，可得 a2+a4+a1065， 即 5a1+（1+3+5+7+9）d5a1+
28、25d5a1+5065， 解得 a13； 综上可得 an3+2（n1）2n+1，nN*； （2）bn（3 4） nan（2n+1） （3 4） n， 由 bn+1bn（2n+3） （3 4） n+1（2n+1） （3 4） n=52 4 （3 4） n， 当 n1，2 时，可得 bn+1bn0，即 b3b2b1； 当 n3，nN*时，可得 bn+1bn0，即 b3b4b5， 则 bn的最大项为 b3= 189 64 ， 由189 64 27 8 ， 可得不存在 kN ，使得 bk 27 8 18 （12 分）在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 abcosC= 3csin
29、B （1）求 B； （2）若 a2，且ABC 为锐角三角形，求ABC 的面积 S 的取值范围 【解答】解： （1）abcosC= 3csinB， 由正弦定理可得：sinA= 3sinCsinB+sinBcosC， 又sinAsin（B+C）sinBcosC+cosBsinC， 3sinCsinB+sinBcosCsinBcosC+cosBsinC，可得：3sinCsinBsinCcosB， B，C（0，） ，sinC0， 可得 tanB= 3 3 ，可得 B= 6 （2）ABC 为锐角三角形，所以 = 6 0 2 0 5 6 2 ，解得 3 2， 因为 a2，由正弦定理得 2 = = ，即 2
30、 (5 6;) = 1 2 = ， = 1 (5 6 ) ， = 2 (5 6 )， 所以 S= 1 2 = 1 2 (5 6 ) = (5 6 ) = 1 2+ 3 2 = 1 2+ 3 2 = 1 1 2+ 3 2 ， 3 = 3， 1 2 + 3 2 ( 3 2 ， 2 3 )， 1 1 2: 3 2 ( 3 2 ， 23 3 ) ABC 的面积 S 的取值范围为( 3 2 ， 23 3 ) 19（12 分） 如图， 侧棱与底面垂直的四棱柱 ABCDA1B1C1D1的底面 ABCD 是平行四边形， =21 ， =21 （1）求证：AN平面 MB1D1； （2）若 AB2AD2，BAD60
31、，AA13，求 NB1与平面 MB1D1所成角的大小 【解答】 （1）证明：取 AM 的中点 F，连接 C1F， 连接 A1C1交 B1D1于 E，则 E 为 A1C1 的中点， 又 M 为 A1F 的中点，MEC1F， 再由 AFC1N，且 AFC1N，可得四边形 ANC1F 为平行四边形， 得 ANC1F，则 ANME， 又 ME平面 MB1D1，AN平面 MB1D1， AN平面 MB1D1； （2）解：以 D 为坐标原点，分别以 DC、DD1所在直线为 y、z 轴建立空间直角坐标系 由 AB2AD2，BAD60，AA13，得 M（ 3 2 ， 1 2，2） ，B1（ 3 2 ，3 2，3） ，D1（0，0，3） ，N（0，2，2） ， 1 = (0，2，1)，1 = ( 3 2 ， 1 2，1)，1 = ( 3 2 ， 1 2 ， 1) 设平面 MB1D1 的一个法向量为 = (，) 由 1 = 2 + = 0 1 = 3 2 + 1 2 + = 0 ，取 y1，得 = (3， 1，2) 设 NB1与平面 MB1D1所成角的大小为 ， 则 sin|cos ， 1 |= | 1 | | | 1 | = 4 3 4+ 1 4+13+1+4 = 1 NB1与平面 MB1D1所成角的大小为 2
