1、高三数学寒假作业高三数学寒假作业 1717 一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 Mx|1x2，Nx|y= 1，则 MN（ ） Ax|x1 Bx|0 x2 Cx|0 x2 Dx|1x2 2已知 f（x）x3+x4，则函数 f（x）的零点位于区间（ ）内 A （1，0） B （0，1） C （1，2） D （2，3） 3已知命题 p，xR，+ 1 2，则p 为（ ） AxR，ex+ 1 2 BxR，ex+ 1 2 CxR，+ 1 2 DxR，+ 1 2 4如图，在圆柱 O1O2内有一个球
2、O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切若 O1O2 2，则圆柱 O1O2的表面积为（ ） A4 B5 C6 D7 5 “平均增长量”是指一段时间内某一数据指标增长量的平均值，其计算方法是将每一期增 长量相加后，除以期数，即 =1 (;1) ;1 国内生产总值（ GDP）被公认为是衡量国 家经济状况的最佳指标，如表是我国 20152019 年 GDP 数据： 年份 2015 2016 2017 2018 2019 国内生产总值 /万亿 68.89 74.64 83.20 91.93 99.09 根据表中数据，20152019 年我国 GDP 的平均增长量为（ ） A5.03 万亿 B6.04 万
3、亿 C7.55 万亿 D10.07 万亿 6已知双曲线 C 的方程为 2 16 2 9 = 1，则下列说法错误的是（ ） A双曲线 C 的实轴长为 8 B双曲线 C 的渐近线方程为 = 3 4 C双曲线 C 的焦点到渐近线的距离为 3 D双曲线 C 上的点到焦点距离的最小值为9 4 7 已知水平直线上的某质点， 每次等可能的向左或向右移动一个单位， 则在第 6 次移动后， 该质点恰好回到初始位置的概率是（ ） A1 4 B 5 16 C3 8 D1 2 8在ABC 中， + = 3， = 23当 sinA+sinB 取最大值时，ABC 内切圆 的半径为（ ） A23 3 B22 2 C1 3
4、D2 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多分在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求项符合题目要求.全部选对的得全部选对的得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分. 9 已知复数 z1+cos2+isin2 （ 2 2） （其中 i 为虚数单位） 下列说法正确的是 （ ） A复数 z 在复平面上对应的点可能落在第二象限 Bz 可能为实数 C|z|2cos D1 的实部为 1 2 10台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球若和光线一样，台
5、球在球 台上碰到障碍物后也遵从反射定律如图，有一张长方形球台 ABCD，AB2AD，现从 角落 A 沿角 的方向把球打出去， 球经 2 次碰撞球台内沿后进入角落 C 的球袋中， 则 tan 的值为（ ） A1 6 B1 2 C1 D3 2 11如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 为线段 BC1上的动点，下列说法 正确的是（ ） A对任意点 P，DP平面 AB1D1 B三棱锥 PA1DD1的体积为1 6 C线段 DP 长度的最小值为 6 2 D存在点 P，使得 DP 与平面 ADD1A1所成角的大小为 3 12设an是无穷数列，若存在正整数 k，使得对任意 nN+，均有
6、 an+kan，则称an是间 隔递增数列，k 是an的间隔数，下列说法正确的是（ ） A公比大于 1 的等比数列一定是间隔递增数列 B已知= + 4 ，则an是间隔递增数列 C已知= 2 + (1)，则an是间隔递增数列且最小间隔数是 2 D已知= 2 + 2020，若an是间隔递增数列且最小间隔数是 3，则 4t5 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13已知向量 =（1，1） ， =（1，k） ，若（ + ） ，则 k 的值为 14若（2+x）5a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+a5（1+x）5，则 a4的值为 15已知
7、F1，F2分别是椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)的左、右焦点，A，B 是椭圆上关于 x 轴对称的两点，AF2的中点 P 恰好落在 y 轴上，若 2 = 0，则椭圆 C 的离心率的值 为 16已知函数() = 2，() = 2 1 2 (0)，若直线 y2xb 与函数 yf（x） ， yg（x）的图象均相切，则 a 的值为 ；若总存在直线与函数 yf（x） ，yg（x） 图象均相切，则 a 的取值范围是 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17 （10 分）已知直角梯形 A
8、BCD 中，ADBC，ABBC， = = 1 2 ，将直角梯形 ABCD（及其内部）以 AB 所在直线为轴顺时针旋转 90，形成如图所示的几何体，其中 M 为 的中点 （1）求证：BMDF； （2）求异面直线 BM 与 EF 所成角的大小 18 （12 分）已知数列an的前 n 项和为 Sn，且= 1 2 2+ 1 2 （1）求an的通项公式； （2）设= ，为奇数， 2，为偶数，求数列b n的前 2n 项和 T2n 19 （12 分）已知函数() = ( + 6)(0，0)只能同时满足下列三个条件中的 两个： 函数 f （x） 的最大值为 2； 函数 f （x） 的图象可由 = 2( 4)的
9、图象平移得到； 函数 f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为 2 （1）请写出这两个条件序号，并求出 f（x）的解析式； （2）求方程 f（x）+10 在区间，上所有解的和 高三数学寒假作业高三数学寒假作业 1717（答案解析）（答案解析） 一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知集合 Mx|1x2，Nx|y= 1，则 MN（ ） Ax|x1 Bx|0 x2 Cx|0 x2 Dx|1x2 【解答】解：Mx|1x2，Nx|x1， MNx|1x2 故选：D 2已知 f（x）x3+x4，则函数 f（
10、x）的零点位于区间（ ）内 A （1，0） B （0，1） C （1，2） D （2，3） 【解答】解：由函数 f（x）x3+x4，可得 f（1）1+1420， f（2）8+2460， 再根据函数零点的判定定理可得（1，2） ， 故选：C 3已知命题 p，xR，+ 1 2，则p 为（ ） AxR，ex+ 1 2 BxR，ex+ 1 2 CxR，+ 1 2 DxR，+ 1 2 【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题， 所以：命题 p，xR，+ 1 2，则p 为xR，ex+ 1 2 故选：B 4如图，在圆柱 O1O2内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切若 O1O2 2，则圆柱 O1
11、O2的表面积为（ ） A4 B5 C6 D7 【解答】解：由题意可得：h2r2r1； Sr22+2rh6r26； 故选：C 5 “平均增长量”是指一段时间内某一数据指标增长量的平均值，其计算方法是将每一期增 长量相加后，除以期数，即 =1 (;1) ;1 国内生产总值（ GDP）被公认为是衡量国 家经济状况的最佳指标，如表是我国 20152019 年 GDP 数据： 年份 2015 2016 2017 2018 2019 国内生产总值 /万亿 68.89 74.64 83.20 91.93 99.09 根据表中数据，20152019 年我国 GDP 的平均增长量为（ ） A5.03 万亿 B6
12、.04 万亿 C7.55 万亿 D10.07 万亿 【解答】解：设 2015 年国内生产总值为 a168.89 万亿，则依次 a274.64 万亿， a383.20 万亿，a491.93 万亿，a599.09 万亿 20152019 年我国 GDP 的平均增长量为： (74.64;68.89):(83.20;74.64):(91.93;83.20):(99.09;91.93) 4 = 5.75+8.56+8.73+7.16 4 = 30.2 4 = 7.55万亿 答：20152019 年我国 GDP 的平均增长量为 7.55 万亿 故选：C 6已知双曲线 C 的方程为 2 16 2 9 = 1
13、，则下列说法错误的是（ ） A双曲线 C 的实轴长为 8 B双曲线 C 的渐近线方程为 = 3 4 C双曲线 C 的焦点到渐近线的距离为 3 D双曲线 C 上的点到焦点距离的最小值为9 4 【解答】解：双曲线 C 的方程为 2 16 2 9 = 1，a4，b3， = 2+ 2= 5， 实轴长为 2a248，即 A 正确； 渐近线方程为 = = 3 4 ，即 B 正确； 焦点（5，0）到渐近线 = 3 4 的距离为 |3 45| (3 4) 2:1 = 3，即 C 正确； 对于选项 D，设点 P（x，y）为双曲线右支上的一点，点 F 为双曲线的右焦点， 由双曲线的第二定义可知， ; 2 = =
14、，即 = 5 4 ( 16 5 )， 当 x4 时，PF 最小，为 1，即 D 错误 故选：D 7 已知水平直线上的某质点， 每次等可能的向左或向右移动一个单位， 则在第 6 次移动后， 该质点恰好回到初始位置的概率是（ ） A1 4 B 5 16 C3 8 D1 2 【解答】解：质点每次移动有两种情况，则 6 次移动共有 2664 种； 若 6 次移动后回到原位置，说明 6 次移动有 3 次向左，3 次向右共有 C 6 3 =20 种， 则质点恰好回到初始位置的概率 P= 20 64 = 5 16 故选：B 8在ABC 中， + = 3， = 23当 sinA+sinB 取最大值时，ABC
15、内切圆 的半径为（ ） A23 3 B22 2 C1 3 D2 【解答】解：设 sinA+sinBz，cosA+cosB= 3 把两式平方相加得：z2+31+1+2（cosAcosB+sinAsinB）2+2cos（AB） ， 即 z= 2( ) 1，则 AB 时，sinA+sinB 取最大值， 所以有 cosA+cosB= 3 =2cosA 得 cosA= 3 2 ，A（0，） ，则 AB= 6， 又 AB23，所以 CACB2， 由 S= 1 2r（a+b+c） ，所以 r= 2 + = 21 222 2 3 2+2+23 =23 3 故选：A 二、多项选择题：二、多项选择题： 9 已知复
16、数 z1+cos2+isin2 （ 2 2） （其中 i 为虚数单位） 下列说法正确的是 （ ） A复数 z 在复平面上对应的点可能落在第二象限 Bz 可能为实数 C|z|2cos D1 的实部为 1 2 【解答】解：z1+cos2+isin22cos（cos+isin） ， 2 2 cos0，sin（1，1） 则复数 z 在复平面上对应的点不可能落在第二象限； z 可能为实数； |z|2cos； 1 = 1 2(:) = ; 2 = 1 2 2 ，1 的实部为 1 2 故选：BCD 10台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球若和光线一样，台球在球 台上碰到障碍物后也遵从反射定律
17、如图，有一张长方形球台 ABCD，AB2AD，现从 角落 A 沿角 的方向把球打出去， 球经 2 次碰撞球台内沿后进入角落 C 的球袋中， 则 tan 的值为（ ） A1 6 B1 2 C1 D3 2 【解答】解：因为 AB2AD，现从角落 A 沿角 的方向把球打出去，球经 2 次碰撞球台 内沿后进入角落 C 的球袋中； 当是图一时，如图： A 关于 DC 的对称点为 E，C 关于 AB 的对称点为 F； 如图；根据直线的对称性可得：tan= = 3 2 = 3 2； 当是图 2 时，如图： A 关于 BC 的对称点为 G，C 关于 AD 的对称点为 E， 如图：根据直线的对称性可得：tan=
18、 = 6 = 1 6； 故选：AD 11如图，在棱长为 1 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 为线段 BC1上的动点，下列说法 正确的是（ ） A对任意点 P，DP平面 AB1D1 B三棱锥 PA1DD1的体积为1 6 C线段 DP 长度的最小值为 6 2 D存在点 P，使得 DP 与平面 ADD1A1所成角的大小为 3 【解答】解：连接 DB，由 BB1DD1，且 BB1DD1， 得四边形 DD1B1B 为平行四边形， DBD1B1，由 DB平面 AB1D1，D1B1平面 AB1D1， 得 BD平面 AB1D1， 同理 DC1平面 AB1D1，又 BDDC1D，可得平面 DBC1平面
19、 AB1D1， 对任意点 P，DP平面 AB1D1，故 A 正确； ;11= 1;11= 1 3 1 2 1 1 1 = 1 6，故 B 正确； 当 P 为 BC1中点时，DPBC1，此时线段 DP 长度的最小值为12+ ( 2 2 )2= 6 2 ，故 C 正确； 当 P 在线段 BC1上运动时，DP 长度的最小值为 6 2 ，最大值为2， 则 PC 长度的范围为 2 2 ，1，而 P 到平面 ADD1A1的距离为定值 1， 则 DP 与平面 ADD1A1所成角的正切值 2 2 ，1 最大值小于3，则不存在点 P，使得 DP 与平面 ADD1A1所成角的大小为 3，故 D 错误 故选：ABC
20、 12设an是无穷数列，若存在正整数 k，使得对任意 nN+，均有 an+kan，则称an是间 隔递增数列，k 是an的间隔数，下列说法正确的是（ ） A公比大于 1 的等比数列一定是间隔递增数列 B已知= + 4 ，则an是间隔递增数列 C已知= 2 + (1)，则an是间隔递增数列且最小间隔数是 2 D已知= 2 + 2020，若an是间隔递增数列且最小间隔数是 3，则 4t5 【解答】解：: = 1:;1 1;1= 1;1( 1)， 因为 q1，所以当 a10 时，an+kan，故错误； B.: = + + 4 + ( + 4 ) = (1 4 (+) = ( 2+4 (+) )， 令
21、tn2+kn4，t 在 nN*单调递增，则 t（1）1+k40，解得 k3，故正确； C.: = 2( + ) + (1): 2 + (1) = 2 + (1)(1) 1)， 当 n 为奇数时，2k（1）k+10，存在 k1 成立， 当 n 为偶数时，2 k+（1）k10，存在 k2 成立， 综上：an 是间隔递增数列且最小间隔数是 2，故正确； D若 an 是间隔递增数列且最小间隔数是 3，则 : = ( + )2 ( + ) + 2020 (2 + 2020) = 2 + 2 0，nN* 成立， 则 k2+（2t）k0，对于 k3 成立，且 k2+（2t）k0 对于 k2 成立， 即 k+
22、（2t）0，对于 k3 成立，且 k+（2t）0，对于 k2 成立， 所以 t23，且 t22， 解得 4t5，故正确 故选：BCD 三、填空题：三、填空题： 13已知向量 =（1，1） ， =（1，k） ，若（ + ） ，则 k 的值为 3 【解答】解：向量 =（1，1） ， =（1，k） ，若（ + ） ， （ + ） = 2 + =2+（1+k）0， 则 k3， 故答案为：3 14若（2+x）5a0+a1（1+x）+a2（1+x）2+a5（1+x）5，则 a4的值为 5 【解答】解： （2+x）51+（1+x）5， 则1+（1+x）5展开式的通项为 Tr+1= 5 （1+x）r， 令 r
23、4 得 a4= 5 4=5， 故答案为：5 15已知 F1，F2分别是椭圆： 2 2 + 2 2 = 1(0)的左、右焦点，A，B 是椭圆上关于 x 轴对称的两点，AF2的中点 P 恰好落在 y 轴上，若 2 = 0，则椭圆 C 的离心率的值 为 3 3 【解答】解：由 AF2的中点 P 恰好落在 y 轴上可得 AF1x 轴，将 xc 代入椭圆的方 程可得：可得 A（c， 2 ） 由题意可得 B（c， 2 ） ，P（0， 2 2） ，F2（c，0） ， 由 2 = 0，而 =（c，3 2 2 ） ，2 =（2c， 2 ） ，所以 2c2 34 22 =0，可得 4a2c2 3（a2c2）2，
24、整理可得：3a4+3c410a2c20， 即 3e410e2+30， 解得：e1 或 3 3 ，由于 e（0，1） ， 所以：e= 3 3 ， 故答案为： 3 3 16已知函数() = 2，() = 2 1 2 (0)，若直线 y2xb 与函数 yf（x） ， yg（x）的图象均相切，则 a 的值为 3 2 ；若总存在直线与函数 yf（x） ，yg（x） 图象均相切，则 a 的取值范围是 3 2，+） 【解答】解：设直线 y2xb 与函数 yf（x）的图象相切的切点为（m，2lnm） ， 由 f（x）= 2 ，可得 2 =2，即 m1，切点为（1，0） ， 则 b2，切线的方程为 y2x2，
25、联立 yg（x）ax2x 1 2，可得 ax 23x+3 2 =0， 由题意可得94a3 2 =0，解得 a= 3 2； 设 yf（x）与 yg（x）的图象在交点处存在切线 ykx+t，且切点为（n，2lnn） ， 由 f（x）= 2 ，g（x）2ax1， 可得2 =k2an1，2lnnkn+tan2n 1 2， 化为 kn2，an2= 2+ 2 ，则 2lnn= 1 2 ， 即 4lnn+n1， 设 h（n）4lnn+n，h（n）= 4 +10，可得 h（n）在（0，+）递增，由 h（1）1， 可得 4lnn+n1 的解为 n1， 则 a= 3 2，由 yax 2x1 2（a0）的图象可得，
26、当 a 越大时，抛物线的开口越小， 可得此时 yf（x）和 yg（x）的图象相离，总存在直线与它们的图象都相切， 则 a 的范围是3 2，+） 故答案为：3 2， 3 2，+） 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17已知直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABBC， = = 1 2 ，将直角梯形 ABCD（及 其内部）以 AB 所在直线为轴顺时针旋转 90，形成如图所示的几何体，其中 M 为 的 中点 （1）求证：BMDF； （2）求异面直线 BM 与 EF 所成角的大小 【解答】 （1）证明：ABBC，ABBE，BCBEB，
27、 AB平面 BCE， 以 B 为原点，以 BE，BC，BA 为坐标轴建立空间坐标系 Bxyz，如图所示： 设 ABAD1，则 D（0，1，1） ，F（1，0，1） ，B（0，0，0） ，M（2，2，0） ， =（2，2，0） ， =（1，1，0） ， = 2 2 +00， BMDF （2）解：E（2，0，0） ，故 =（1，0，1） ， cos ， = | | | = 2 22 = 1 2， 设异面直线 BM 与 EF 所成角为 ，则 cos|cos ， |= 1 2， 故 = 3 18已知数列an的前 n 项和为 Sn，且= 1 2 2+ 1 2 （1）求an的通项公式； （2）设= ，为奇
28、数， 2，为偶数，求数列b n的前 2n 项和 T2n 【解答】解： （1）由= 1 2 2+ 1 2 可得 a1S11， 当 n2 时，anSnSn1= 1 2n 2+1 2n 1 2（n1） 21 2（n1）n， 上式对 n1 也成立， 则 ann，nN*； （2）= ，为奇数， 2，为偶数， = ，为奇数 2，为偶数， 则bn的前 2n 项和 T2n1+22+3+24+5+26+（2n1）+22n （1+3+5+2n1）+（22+24+26+22n）= 1 2n（1+2n1）+ 4(14) 14 n2+ 4+14 3 19已知函数() = ( + 6)(0，0)只能同时满足下列三个条件中
29、的两个： 函数 f （x） 的最大值为 2； 函数 f （x） 的图象可由 = 2( 4)的图象平移得到； 函数 f（x）图象的相邻两条对称轴之间的距离为 2 （1）请写出这两个条件序号，并求出 f（x）的解析式； （2）求方程 f（x）+10 在区间，上所有解的和 【解答】解： （1）函数() = ( + 6)满足条件为： 理由如下：由题意可知条件互相矛盾， 故为函数() = ( + 6)满足的条件之一 由可知：T，所以 2 故不合题意 所以函数() = ( + 6)满足条件为： 由知：A2 所以() = 2(2 + 6) （2）由于 f（x）+10 所以 sin（2x+ 6）= 1 2， 所以 2x+ 6 = 6 + 2或2 + 6 = 7 6 + 2（kZ） ， 解得：x= 6 + 或 2 + （kZ） ， 由于 x， 所以 x 的取值为 6 ， 5 6 ， 2 ， 2 所以方程 f（x）+10 的所有的解的和为2 3
